B0B0T REsIDUAI BAGIAil PER BAGIAil (Etttltilr-Br-EffiilEff)

0,3409 -1,0331 Sisi kanan ada tambahan term,

I: 2000 mma :2000x10-12 m4

1.4 B0B0T REsIDUAI BAGIAil PER BAGIAil (Etttltilr-Br-EffiilEff)

t94 Teori dan Aplikasi I'letode Elemen Hingga 195

Contoh 7.2

Tentukan solusi dari ^PDP berikut

^1- ^r-

o'L o'l -+--U

0<x<1dan0<y<1

a) ;')

ox-

^oy-

Dengan syarat batas:

T(0,y)=ydan T(l,y)= 1 0(y<

¹

T(x,0)=x2dan

T(x,l)=1 0<x<1

Gunakan fungsi aproksimasi berbentuk

t: ^r'

⁽¹

- y)+y+axy(1 -

^y)(1

-x)

Dengan metode Galerkin, fungsi bobot dapat dihitung dengan pada Tabel 7.1.

,:i=*Y(l-x)(1-Y)

dT

fuga diperlukan derivati, u^'i,

ar, a't

_berikut

(x' _dy'

v--

:2i !

₌₂₍₁

-

^{y) + a(-Zy + 2y'}

)

...

i)x'

9i!

^t2

_=sgzx+2x2)

oy'

formula

(A.1)

(A.2)

(A.3)

formulasi Residu Berbobot

'I

0.tt

0.6

0.4

0.2

0 I

0.6

v

Gambu 7.5 Solusi aproksimasi menurut

0.6

0.2 0.4 x

00

1

T:

xz (1

- ^y)+y+

3,40xy (1'- y)(1

-

^{x) .}

0.2

Dengan mensubstitusikan (A.1)

-

^(A.3) ke persamaar (7.2I), kita dapatkan bobot residual dari soal ini.

Hasil yang diperoleh adalah a = 3,40, yang berarti solusi aproksimasinya

adalah t:

^r,,1f

-y; +y+3,4Oxy(1-y)(1-x). PIot dari solusi ini

digambarkan pada Gambar 7.5.

--:-{-

,

t96 Teori dan Aplikasi l,letode Elemen Hingga 197

Dengan cara

ini

solusi aproksimasi pada setiap bagian dihitung. Bentuk fungsi percobaan yang paling sederhana adalah fungsi

linier.

Fungsi- fungsi

ini

harus memenuhi syarat batas elemen.

Untuk

elemen ke-(r) maka fungsi aproksimasi

f(i)

harus memenuhi kondisi batas berikut

t(')1x,;=T,

aan

t(')11i+r):Ti*r

^(Gambar 7.7).

ffit'@

T, Ti*r

Gambu 7.7 Notasi node dan nomor elemen untuk elemen l-dimensi.

Bentuk fungsi linier yang memenuhi syarat ini adalah

it,) _=T,

sl,)

+T,*, s{?,

^(2.22)

di mana

s1'):1 _{Pada X:Xi}

-0 ^x*xi

dan

Sf?,

=1 pada x=x,*,

*0 _x*xi+l

S(x) dikenal sebagai fungsi bentuk ^(shape function).

bentuk yang memenuhi syarat ini adalah q.(i)_ Xi*t -X _ ^Xi+l -X

"i -*,*,1---T

dan

c(,)

_ X-Xi _X-Xi

sl?,=**-='i "

^Q'24)

Karena fungsi-fungsi bentuk

ini

berbentuk linear maka fungsi

ini

dikenal dengan fungsi bentuk linear (linear shape function). Untuk problem yang

kita

bahas,

keempat

fungsi percobaan

untuk

masing-masing elemen adalah:

formulasi Residu Berbobot

Bentuk dari fungsi

(7.23)

Elemen

(1))fo =r,#i*rrfi=r,{a(e25-x)}+rr{ax} ^0.2s)

Elemen

(2))

_{i(a =1,}

b111,

{}=r,

^{1+(05 -x)}+r, {a(x}

^-02s)}

^{Q .26)}

Elemen

(3))ir.:r

=1,

ra-x ..1*{}:rr1n(0,75-x)}+T,

_\+(x-o,sy ^U'27)

Elemen

(a))

_{frar =1n} ^trs - x _..1,

{}=r.

^{1a(1 -x)}+Tu {a(x}

^-O75)}

^Q'28)

Persamaan-persamaan (7.25) - ^(7.28) mempunyai konstanta T,, ^T2,

"'

^{, Ts}

yang merupakan nilai T pada

titik-titik

nodal. Nilai konstanta

ini

^dapat

kita tentukan menggunakan syarat bobot residual = 0.

I ¹ ,[4-rlox=o

^...

I=iarR(x)d*=[rlS+-,la*=o _{o o[d*'}

^0'2e)

)

Untuk

memudahkan integrasi

$ ^,"t "

diubah menjadi bentuk lain dengan pangkat derivatif ^yang lebih rendah. Bentuk bobot residual (7.29) dikenal dengan strong Form. Dengan mengolah ^{(7.29) sebagai} berikut:

r:\.(4-*L*=i,40*- ^{'tr* d*:} rrdlqll -

^,J,

^{* a,}

' _d*1a*' f ^{d* o*' --} d ' _[d";

^d

Dengan menggunakan integrasi by part,

,:-j##0".[,#],-i,,*

Bentuk bobot residual persamaan (7.30) dikenal dengan Weak Form.

Selanjutnya bobot residual

ini

dihitung bagian per bagian (elemen per elemen) secara piece-wise.

t98 Teori dan Aplikasi Metode Elemen Hingga formulasi Residu Berbobot t99

t=i.'i'f-+ i-r "l (oxclx 9-,*lo.*[,,gl' ) I ^drl,

^(7.3r)

Penerapan bobot residual piece-wise untuk memecahkan Contoh 7.1

ini

dijelaskan pada Contoh 7.3.

Contoh 7.3

Tentukan solusi persamaan PDB

di

bawah dengan membagi domain menjadi empat elemen.

#=*

d2T

0<x<1...

^(7.1)

Pertama-tama derivatif-derivatif

dt(') _drri

_setiap elemen harus dihitung.

dx

Elemen

,, #

⁼

#r, *#r, ^:4rt+4rz

Eremen

,, #:4#r, *#r, ^=-.Arz+Art

Eremen

r, # ^=#r, *#r, ^:-4rz+4r+

Eremen

rt #:#r* *#r, ^:*4r++4rs

Selanjutnya bobot residual elemen per elemen dihitung.

Elemen,l

d'=H=s11)

⁼

^4(0,2s-x) ,;'t ' =[,)')

_ot? =s!1)= ^4x

aa{It

_aslo _

^A

d* - d" --*

d(41)

_Z-ZA ds(1)

dx-d*-*

4',

='j _[-(-4 )(-4r,+4rr)-4(0,2s-x)r]0.-lr{" #1.,

:-

4Tt+4T

r-0,042-#r,

Elemen

2

d) =H=st2):4(0,5-x)

,yr=X=s!2)= ^4g-0,25)

d0/2\

_{z_/t} ^ds!2)

d* - dx --=

ac$2t

_as(jt

_n

d"-dx-=

Elemen

3

,? =X=s!3)

⁼

^4(0,7s-x) ,\, =H=st3)

⁼

^4(x-0,5)

da;13)_as!3)_

_A

d* - dx --=

araf,,

_asf)

_n

dr-dr-=

,f' =:.L[-

⁽ -a X

-+r,

⁺

ar,

_{) -} ^{a (0, 5} _-

x)x]dx _{: -} ^4r

z +

4r,

_{- 0,042}

,g, ::.i[-(4 _X-4r,

+

4r,

_{) -} ^{4 (x} _-0, ^{25) x]}

dx ^{: 4r}

z - ^4r e

-0,052

0,75 _

,f

'

:

;[

^{[-1 -+ ; 1}

^-+r,

⁺ 4r n)- 4(0,75-x)x]

dx :-

4r _t ⁺ 4t _n

-

^0,o73

o,z5r l-ai

ry,

- ="'l _o

f

,

-1+ 11-+r, +4r

r\-4xz .t ) l" lax-la{li i

^dx

:4Tr-4lz-

0,021.

"i'

:,'!: [-(+ X-+r, +4rn)-4(x-0'5)x]dx :4rz-4rt-0'083

-T

200 formulasi Residu Berbobot

Dengan T, ₌ T, = 0, kita dapatkan sistem Persamaan linear sebagai berikut:

Elemen 4

,f, =#=Sla)=a(l-x)

4, =H=s!4): ^4g-0,7s)

ar,ft _asft _

^A

---t

dx

^dx

dr4o'

-ds!o'-, d*-d*-*

--4Tn+4Tu-0,106

I

I+,

: _{! [-(4}

_X-4r4

+4rr)-4(x-0,75)xldx+lrlr,-{l

0,75- | -

_{o*1,_,}

:4r+-4rs- Ooru*jltrl

setelah bobot residual dari setiap elemen dihitung, residual-residual ditotal.

Ir: \t)=o ) 4T,

+ 4T

r:o,oa*ff

^to)

arr-

S1o)=0,042+4Tt

lr:I? +lf) =g ) 4Tr*8Tr+4T,

_=0,063

-8Tr ^+4T, :0,O63-4Tt lt=If)

^+I53)

=0 ) 4'12-8Tr+4T, :0,125 l+=lf,)+I\a) =g ) 4Tj-8Tn+4Tu :0,19

4T3 -8T4

:0,19 -

^4Tu

Ii u

: 1ft:o )

4T 4- ^4T s=

0,028-*(1) +r**Str) _=0,028+4Ts

Ieori dan Aplikasi l,|etode Elemen Hingga

-1.4

⁰

0-8

⁴

0 4 _-8 004 000

o ^o1[#tor o oll ^r2

4 oll i.

_8 _n 'll ^r*

'r[g,,,

0,042 0,063 0,125 0,19 0,028

Sistem persamaan linear

ini

dapat dipecahkan dengan teknik ^pemecahan sistem linear (Kosasih, 2006) dengan hasil,

9rrol

_ox

i, i,

L4

grrrr

ox

Solusi pada setiap elemennya ^adalah

tto : _-o039{ax} ^0(xS0,25

it'r :-0,039{a(e5-x)}-0,063{4(x-0,25)\

^{0,2s < x < 0,5}

ttsr :-0,063{4(0,75-x)}-oossla(x-os)}

^0,5

⁽

^{x <0,75}

ttr) :-0,05s{a(r-x)} 0,75<x<1

Perbandingan antara solusi aproksimasi piece-wise dengan solusi analitik ditunjukkan ^{pada Gambar 7.8.}

-0,199 -0,039 -0,063 -0,055 0,249

202 Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga

0

-0.01

_0.02

-0.03

_0.04

0.05

-0.06

-0.07

Gambar 7.8 Perbandingan sotusi analitin lan solusi piece-wise weighted residual

7.5

PEI{EMPA}I }IETODE GALERI(III UNTUI( PDB U}IU}I

Dari

pengamatan analisis

di

atas secara umum formulasi elemen per elemen untuk PDB berbent,rt

4'T=r,

dapat dituliskan sebagai berikut:

dxz

aqt?,

_asl?, ^e.t7)

dx ^dx

Dan bobot residualnYa adalah

rl,,=''i'l

-*rf.r,-dqi"

^dql',',

r,, -s{"rlar

-sl"1I(*,) ⁺

s1"lI1x,.'1

^(7'38)

', -iI dx

dx

'' dx dx

)

,g

='i lif ^{#r' -##r*,}

-sl],,.)a* ^-sP,

#t,lr

^{+ sll,}

S1x'.'1

(7'3e)

atau secara maffiks, bobot ^residual ini dapat dituliskan

1,,r,,=

''1#lf ^dsj. sir[r,

la.-,1,1]j;l]".^

t;i,i]fl,,,.l:i;il#,-,,,,

(''n0)

1,,

,l i

lag',1,

o^

^dx Jlr,

,l i

^lsi?,1

Untuk PDB berbentuk

c, g+CrT+C, _-o ...

^(7'41)

'dx'

Dengan metode Galerkin, residual yang diperoleh ^adalah

;,t, l"' ⁼ -c,''r' _l

*,

^1r

+ ⁺

^)[

^J

^{]a**c,' i'} lSir

l(r'",i't, ^)[;:,

^)a*

. ^v'a2) lr,,l - "'i

l*+J, .'

^ax

Jlr,,,J

^'z

.,"j'

{il} * -{3;}#-,,. _{{fl }#o,.,,}

Dengan mensubstirusikan Sl')dan Sl]1(7.23 ^dan 7.24) persamaan (7.42) dapat dituliskan ^sebagai berikut:

formulasi Residu Berbobot

solusi analitik solusi piece-wise

Pertama-tama tentukan fungsi percobaannya.

tt;) :T, _sl,)+T,*, sll

^{... ..}

Selanjutnya kita tentukan derivatifnya,

dtrir _dSl,,._

^dsl?,

dx :"

d, *Ir*r;|

kemudian fungsi bobot dan derivatif fungsi bobot.

;ritil

.--(t) -v L

-c(r)

W.

' dTr

^-r

-..1,v

- ^di(') -",,,

%+t-O, -ri+l """"""'

6l;)

_{_4gto}

d"*d><

(7.32)

(7.33)

(7.34)

(7.3s)

(7.36)

[-. 4r1

I

r,, t'"'__c,t, ^-,tl

ll I.?[? l{f: }.ry{i}.].,fr..1

1,,.,1 =-71-, _r l'li,,l ^{6 Lr} 2llr,.,l

t

^{*t*=*,, I}

(7.43)

-T

Teori dan Aplikasi l,letode Elemen Hinggr

Dengan bentuk matriks residual (7.43) dapat dituliskan

[-. orl

_I

[,]:, ]'"' ⁼

-[*]'"'

{*:, }. {.}'"'

^*

]

^ ^H-'.

. i ⁽⁷

⁴⁴⁾

l"' ^*l'=.'.'

]

Matriks [K] dikenal ^sebagai matriks konduksi sedangkan vektor [F] ^adalah vektor beban.

formulasi Residu Berbobot

Iika dibandingkan ^dengan (7'41)

q

₌

k

=

400Wm'K' C'

=

0

dan

C'

= q :100kw /

-'

^{. [K](a dan [F](' dari} elemen adalah

ful(")

-

^{Crd l1l}

'1.', - _,

_1r[

r*r,,,:?[], ;'] Y[? l]:#[], l]=,"[-1,

dan

{,i," =ry{l}

='ooooo.o'o'

{l} :,,

{l} *,*'

[.utl

^I

I "'u"1.-., [-l o ^{I-J o I-J t} llil

1 atl ^{l-lnotr, -ro)J- Iner'J lnel lqJ}

I

t'*l

I ^l*=*o]I

-i] *',"' *

(7.45)

(7.46)

Contoh 7.4

Sebuah

plat

pemanas dengan ketebalan

20 mm

terbuat

dari

tembaga dengan

k = ^400Wm.K.

Panas

ditimbulkan di

dalam

plat

sebesar 4

=l00kw

^/ m' ^{. Dasar} dari plat adalah sisi terinsulasi dan sisi atas tereks- pose ke udara dengan h = 20 Wm2.K dan T, = 20'C. Dengan mengguna- kan analisis l-dimensi, hitung suhu pada dasar plat T" dan pada sisi atas

plat To.

h = ?0

Wlm2.K ?

-

q:lc,fikff

lma Tr =

20'C

k ₌

{00 Wlrn.K

Persamaan diferensial untuk problem ini adalah

r1'T *q _=o

ox-

dengan hasil

[l]"' =-,,'[: ;]{t}.,,'{1} [: ;]{t}.{,:r}=[:]

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan yang harus dipecahkan adalah

',[-" ;]{t}.[: ;]{t}=,"{l}.{,i-}

DenganA=1m2,

{,r,[_,, ;].[:

f-.gI1

^I

selanjutnya kita substitusikan [K](4, [F](a dan

] ^'

1il.=-" f r'"

t''n')

l

..9Il

^I

[ ^'

u"l.=.,

,J

,ll]{t} _',{i}.{;.}

206 Teori dan Aplikasi Metode Hemen Hingga formulasi Residu Berbobot 207

Dari sistem persamaan ini diperoleh

lil

^[rzo,osl

_"^

1r,l=l ^{rzo J} '

1.5

SOAI._SOAT I.ATIHAII

1.

Dengan menggunakan metode Kolokasi, Least-squares dan Galerkin, dapatkan solusi aproksimasi berbentuk

t1*;:u*'+bx+c

dengan menentukan konstanta-konstanta a, b dar, c untuk PDB-PDB berikut:

a.

_{*rd'T= -2T=t}

dx'

b.

_*r

_1'T-z*tT dx'

dx

_+2T:o 1<x<4

^{syarat batas: T(1) = 0 and T(4) = 12}

c. 4J*4I-21=g 0<x<1

syarat batas: T(0) = 0 and T(1) = ¹² dx2

'dx

2.

Dengan menggunakan bobot residual bagian-per bagian, hitung solusi aproksimasi dari PDB-PDB pada soal 1. Untuk soal

ini

bagi domain menjadi 4 elemen.

3.

Tentukan suafu solusi dari PDP berikut r2r r2r

u'+u r_0 0<x<1dan0<y<1

;) ^) ox-

oy-

Dengan syarat batas:

r(o.y)

=ydan Str,rl=0 0(y(

_ox ¹

T(x,0)

=0dan {1*,r1

⁼

r

0

<xs

1

&

Gunakan fungsi aproksimasi berbenruk

f :

y(1

-

^{x) +xy+a xy(1}

-

^0.5x)(1

-

^0.5y)

4.

lDiadopsi

dari Burnett, 198/

Gunakan metode Galerkin unruk mencari solusi aproksimasi berbentuk

W(x): 2

^-f a"<p"(x)

n-1

di mana

r<x<2

^{syarat batas: T(1) = T(2) = 0}

e,(x):sinf +,{,.1=}[r-.*?)

dengan menentukan konstanta-konstanta an:

9[rdl):. dx[^ dx /

^b

o<x<L

. 2nx

Q3(x)=srn-

\\r \2t

\f

r

^(4r

Secara sistematik:

a.

^{Bentuk weak} form

b.

Bentuk sistem persamaan linear

c.

Pecahkan persamaan linear tersebut

d.

Plot hasil sepanjang domain.

Syarat batas: W(0) = W(L) = 0 dan L = 10m, g = 9.8m/s2 dan T ₌ 98N.

5.

_lDiadopsi

dari Bumett 1982

Gunakan metode Galerkin untuk mencari solusi aproksimasi PDB berikut:

*[.'iY):#t-3oxa+204x3-35rx2+110x) 0<x<4

I

208 Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga 209

yang berbentuk:

a.

kuadratik: U1*;= ao+atx+a2x2, ^dan

b.

^{kubik: tJ} 1*1=ooarrr+a,rx2 +arx3

Solusi juga harus memenuhi kondisi ^batas: U(0)

=

1 dan U(4) = ^0' Bandingkan solusi aproksimasi ini dengan solusi sesungguhnya.

u (*) =

+

^{(-3xa + 34x3} -1'l7xz +11,0x+24)

Sebuah fin dengan penampang ^persegi berukuran ⁽⁵ mm lebar x 1 mm tebal

x

150 mm paniang) digunakan untuk memindahkan panas dari permukaan dengan suhu 150'C

ke

udara dengan suhu

T, =

^20'C'

Karena panjang dari

fin

safu order lebih besar dari lebar dan ^tebal maka problem

fin ini

dapat dianalisis sebagai problem perpindahan panas 1-dimensi. Persamaan permindahan ^panas

fin

l-dimensi adalah

/rAg _-

^/rpT+hpT, =o clx-

di mana

A

₌ Iuas penampang dan p

:

perimeter = ² x (lebar + tebal).

|ika

konduktivitas

(k)

aluminium adalah 168

wm.K

^{dan konveksi}

koefisien dari udara sekeliling fin (h) adalah 35 Wm2.K' ^:

a.

Hitung suhu sepanjang fin dengan menggunakan ⁵ elemen.

b.

Perkirakan total panas yang terbuang jika ada 50 fin.

Dinding sebuah oven industri terdiri dari tiga lapisan bahan tahan ^api.

Lapisan pertama mempunyai tebal 10 cm ^dengan konduktivitas,

t

=

0.12

Wm.K.

Tebal lapisan kedua adalah 20 cm dengan

k =

^0'071

Wm.K.

Lapisan ketiga mempunyai tebal 12

cm

dengan

k ₌

0'72 Wm2K. ^Suhu dinding dalam adalah 250"C sedangkan suhu udara luar adalah 35'C ^dengan

h

_{= 45} Wm2.K' Hirung suhu sepanjang dinding

Iormulasi Residu Berbobot

Trhd: 35 ^oC h = 45 W/mz.K

itl

Kaca belakang mobil dipanasi dengan elemen pemanas dengan panas

yang ditimbulkan

sebesar _{4 =} 7 kW / m3

. Kaca ini

mempunyai konduktivitas k = 0.8

Wm..C

dan tebal6 mm. Koefisien aliran panas udara di dalam mobil h, = 20 Wm2.K dan suhu 20'C. Sedangkan pada bagian luar udara berada pada suhu -5oC dengan

h,

= 50 Wm2.K.

Dengan menggunakan elemen l-dimensi, hitung suhu pada sisi dalam dan sisi luar kaca mobil tersebut.

heatgenerated 4 =

7kWm3

8.

6.

h:

^{20 W/mz.K}

Tt:20

_"C

h:

^{50 Wm2.K}

Tr:

^{-J og}

7.

I locm | 2ocm I rzcm ^I

,

kompisite ini.

I o**

^I

-T

lr0 ^{Teori dan} Aplikasi l,letode Elemen Hingga

PERSAMAAN I

DIFERENSIAL PARSIAL

8.I

PEI{DAI|UI.UAII

Pada Bab

7 ^($

7.3)

kita

telah memelajari bagairnana solusi persamaan

diferensial parsial (PDP) diperoleh dengan menggunakan formulasi residual berbobot. Pada bab

ini

kita akan memelajari teknik MEH ber- dasarkan residual berbobot untuk memecahkan PDP pada suatu domain dengan membagi domain menjadi ^beberapa sub-domain (elemen). PDP yang akan kita bahas adalah PDP elliptik. PDP elliptik sering digunakan untuk menganalisis berbagai permasalahan eniineering. PDP

ini

mempu- nyai bentuk umum

{

^{{*, r, 11}

^* {

^{{*, y, r) *}

ff

^{8, v, z) = Q(x, y,}

^{z) ..}

...'.'...

c)x'

^{Oy' (8.1)}

Persamaan ini juga dikenal sebagai persamaan Poisson's. Apabila Q(*,y,r)

= 0, maka (8.1) dikenal sebagai persamaan Laplace.

azT

. a2T

^{^2m}

r \x,y,z)+ u (x,y,z)+9-l(x,y,z)=0 -....-...

^(B.2)

dx' oy-

^oz-

Dengan syarat batas (boundary conditions), ^solusi dari PDP elliptik adalah

T di

dalam domain permasalahan. Untuk problem 2-dimensi, pengaruh domain dari permasalahan ini dapat dilukiskan oleh Gambar 8.1.

-T

2r3

212 Teori dan Aplikasi I'letode Elemen Hinga

K

Gambar 8.1 llustrasi domain persamaan diferensial parsial 2-dimensi.

Secara numerik ^persamaan

ini

dapat dipecahkan dengan berbagai metode yang berbeda. Metode yang umum digunakan adalah Metode Perbedaan Hingga (MPH) dan Metode Elemen Hingga (MEH). Teknik-teknik yang digunakan dengan metode perbedaan hingga telah diberikan

di

buku penulis fKosasih, 2006]. Dibandingkan dengan MEH,

MPH

umumnya hanya digunakan pada domain yang mudah unruk dibagi dalam grid yang uniform atau setidaknya dapat ditransformasikan ke sistem koordinat di mana grid uniform dapat digunakan. Dengan MEH, hal

ini

dapat diatasi menggunakan elemen empat

sisi

(quadrilaterall isoparametrik atau elemen segitiga (triangular) karena elemen-elemen

ini lebih

fleksibel sehingga mudah

untuk

mengikuti bentuk-bentuk domain yang rumit (Gambar 8.2).

Persamaan Diferensial Panial

8.2

T()R}IUI,ASI I,IETODE ELE}IEil HIilGGA DE]{GA]I I,IET()DE GAI.ERIffiI Guna menjelaskan metode

ini

kita akan pecahkan PDP eliptik 2-dimensi berikut:

a2T.

^azT

\](x,y,z)+\](x,y,z):Q(x,y,z) _ox-

_oy- ^(8.3)

Dengan menggunakan metode Galerkin, pertama-tama

kita

turunkan residual PDP di atas.

(8.+1

Bentuk residual (8.4) dikenal dengan strong form. Dalam bentuk ini,

integral

pertama berupa persamaan

derivatif tingkat 2 yang

harus disederhanakan menjadi derivatif

tingkat

1. Term pertama

dari

^(8.4)1

dapat diubah menjadi integral derivatif tingkat

I

dengan cara berikut:

dT An

,=h,(#.s-oJo"

=h,#oo+ h,#do- ^fia,edo a)

^azT

---=(*.y) +----7(x, y) = f(x,y)

0(w

^{Gambar 8.2} Diskretisasi domain dengan elemen empat sisi dan elemen segitiga.

't do=ll

^dxdy

*=

lt4

^{Ieori dan Aplikasi l'|etode Elemen Hingga Persamaan} Diferensial Parsial 215

'=-al**.##)^"-f,roQdo+ s'ffar

⁽⁸⁸⁾

Term terakhir pada persamaan (8.8) adalah integral garis yang hanya dilakukan sepanjang batas domain.

8.3

^ELE}IEII BI-II]IEAI SEGI E}IPAT

Dengan menggunakan elemen bi-linear segi empat ^(Gambar 4.6), soiusi aproksimasi

i

^{diberikan oleh} persamaan (8.9).

ft,r:gG)

^T,

*Sf)! *Sf)t *Sf)T* . ... .

^(8.9)

Di

mana fungsi bentuk, S, diberikan oleh persamaan (4.22)-(4.25) atau,

(4.29)-(4.32).

Guna

menghitung

residual { diperlukan - y d;' ^0a dy'

4, 4

^{dan co.} Berdasarkan definisi metode Ga1erkin, fungsi bobot rr;

Ax

0y adalah

ro,ffa.,=r[i,$o"Jo,

:(i"[#)1"

=i{ :i*#...[,#]:.].,

: ;i :i |rff a'ar.;i['#]:,

:-h**,".T[,ff].",,- :i[,#l

)o L ^_1xo

^dv

Dari hasil terakhir terlihat bahwa

ro,ffac,=

:24

_- h**ao+[a;ffn*dr

^{... (8.s)}

Di

sini terlihat bahwa terdapat dua integral ^dengan derivatif tingkat ^1.

Salah satu dari integralnya adalah integral garis (line integral). Dengan cara yang sama term kedua dari persamaan (8.4) dapat kita diperoieh

U,ffac,= ^- h##ao+[a,ffiiydr '...

^(8'6)

Prosedur yang baru saja

kita

lakukan dikenal sebagai Teorema Green (Greenb Theorem). Dengan mensubstitusikan (8.5) dan (8.6)

ke

^(8.a)'

persamaan residual kita peroleh:

,=- {*#.##J*. i'[ff..*60,)o'-i,'o*

^{(8 7)}

Bentuk residual yang diberikan oleh persamaan (8.7) dikenal sebagai weak formyangbisa ^juga dituliskan sebagai berikut

r,t

-L

^{i = 1,2,3 dan 4}

--r

ATt

Dari sini ^jelas bahwa fungsi bobot sama dengan fungsi bentuk,

a\') =31'l

^{i =}

^t,2,3

^dan

4... ..

^(8.11)

Selanjutnya derivatif-derivatif fungsi bobot diperoleh sebagai berikut:

acd't

__(w lz-y)

^ac,tr't

__(w

^I

z+y)

_(8.12a)

Ax ^LW

aaj;t

_(w tz-y)

Ax LW

ac,tt)

_(w lz+y)

Ax LW

ryLw

aatft

__(t lz+x)

(8.12b)

LW

aa\')

-(L

^{I 2+x)}

ryLW

(8.10)

(8.12c)

2t6 ^{Teori dan Aplikasi} lletode Elemen Hingga 2t7

Persamaan Diferensial Parsial

[sf'l

tl:fl lou"

⁽⁸

^ls)

Lsr']

Setelah integralnya dihitung, persamaan (8.15) dapat disederhanakan menjadi

fr.l(") t l2 _-2 -1 1l l2 1 -1 -21lliT.l

^t1l

l,;l ^{,l*1, 2 1,} ,l _'1, ² -2 -, lllr,l o'*l,l

^(8'16)

L;:l 'l'Li i ^:,:).*11 : ^{? tllltl "lll}

Setelah semua residual elemen

dihitung dan

digabung menjadi total residual atau global residual, kita akan dapatkan sistem persamaan linear berbentuk

lKl{r}=El

^(8.17)

Matriks

[K]

^{dikenat dengan} matriks konduksi (conductance matrix) dan

[fl

^adalah

^vektor

^beban

^(load

^vector).

^Integral Srffar ini

^harus

ditambahkan pada residual elemen untuk elemen yang berada pada batas domain. Guna menjelaskan hal

ini,

seandainya suatu elemen dengan sisi

2-3

berada batas domain (Gambar 8.3), dengan syarat batas berupa derivatif

{=o,maka

^{integral ini} diberikan oleh

an*

[st,l [sl',] ^[ol

',1:fl1*.,

=:{,|:fl1" o,=ryli I

⁽⁸¹⁸⁾

Lsf,l Lsf,l

^Lol

(8.12d)

rl

T,l_{' ldc)}

il

aatft

__(w lz+y)

Ax LW

aoft _(rlz-x)

qrLW

dan

$:r,#*r,r#*r,**rrry

^(8.13a)

4"'=, q.lry^zq-Jq_+ry ^04" *t"a{'-*7^a?t'-*7^ry

^(8.13b)

Dengan derivatif-derivatif ini, residual elemen diperoleh sebagai berikut:

t\q=-b(*+.Wfllo"-h,,{aqao

^(814a)

,(e, ,(mu' u{.q14.'|*-[,4,qoo

(8.14b)

t)'=-h[ & ^ax - ay ^ay )*.

tft=-h(*+.#Wlo"-t*)Qdo

^(814b)

tf,i=-b(*+.W{lao-s,frqao

^(8r4c)

Dengan menggunakan derivatif persamaan (8.12) dan (8.13), pada (8.14) dan untuk sementara kita tinggalkan term terakhir pada persamaan (8.8), kita dapatkan persamaan residual

ast"r

I

[*i"'.l

+l _layl

J",l ^lell

t'

^{lf asl",}

^{6!;' asf,}

^asf,)

I ^ar

^lf

6sgr l[

a^ a, a,

^a, J-lmy, _ll

-ill _lEl

4ll

_a*

I

^lasf'I

_LE-l

[], ^.1(')

lll ^=-ff

1,,

l

asf, ffi,;'

asf) asf,)

- -l

dy dy dy ^dY)

2r8 Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga 2t9

dt dI

-:-= , dn dx=0,

i

Gambar 8.3 Elemen bi-linear segiempat dengan sisi 2-3 pada batas domain

Untuk sisi-sisi yang lain (Gambar 8.4), integral

ini

didapat dengan cara yang sama.

Untuksisil-2,

[sl,,.l [sl",l

^[1.]

r,lffl

l#,. ^='!,l;[l l" o"=+lll

^(81e)

Lsf'l Lsf'l

^Lol

Persamaan Diferensial Panial

dan sisi

1-4,

[s1" ¹

Isp lat

^.

-ls5',

la"r:

Lsf'l

-1,

-Lifl] "+[i] ⁸²

dTdTVY GH

ar-r =- _a*

=o'"*l I-L

I

(iH€J

sisi 3 ^- 4,

[s1" ¹

r^l:[]

l#..=

Lsf',1

{E,1 sisi 3 -.1 ic1 sisi 1

-{

Gambu 8.f Elemen bilinear segi empat dengan sisi l-Z J'4dan l'4pada batas domain.

Contoh 8. I

Pecahkan persamaan Laplace di bawah,

^1 a)

d-9*d-9=0 0<x<

¹

dan0<Ys

¹

^ ) _^', cx'

^oy'

Dengan syarat batas berikut:

0(0,y) ⁼ y dan Q(l,y) ^{= 1}

untuk

0

<y

< 1

0(r,0)

="' dr,

_0(x,1) = ¹ untuk 0 < x < 1

Gunakan ^pembagian elemen seperti Gambar 8.5. Dengan menggunakan persamaan (8.16), residu elemen dihitung.

;t dT

dT

Teori dan Aplikui I'letode Elemen Hingga Persamaan Diferensial Panial 22r

l4 r l-r

o)-z

llLfil .[1'] ^*1"J,. l-,

Elemen ¹

[ill"'-,f--,

l', | ^--61-'

Lr.I

^l.-1

4) ₍₄ , l-,

=-.1_?

S:.1=1

5) _t4

, l-,

e)-z [-, l"r

Lr,,

-1 ^-2 4

-'t.

-1.

⁴

-2 ^-1

fur=l

^S

Elemen

3

[i:1"'

Lrl

-1 -z -1][Qrl ^[o",]

4 _-1 ,flo- l.pAl"l,-l -1. a _-lllo, I 2l ^ol

-z -1 njlo,l _Lol

$:r=1

Su=0 Si:=1

06=0 15

$r=0

&:0"0625 fu=0,:5 S4=0.5615 ^$:=1 Gambu 8.5 Elemen-elemen segi empat bilinear untuk Contoh 8.1.

Elemen ,/ mempunyai dua sisi pada batas domain (sisi 1-2 dan sisi 1-4).

Dari dua sisi

ini term

(8.19) dan (8.21) ditambahkan pada ^persamaan

lll[Iil ^.[1 _l

Elemen

2

mempunyai

sisi 2-3

pada batas domain

dan term

^(8.19)

ditambahkan pada persamaan residualnya.

Elemen

3

^j:uga mempunyai sisi pada batas domain. OIeh karenanya ^ada tambahan term ^pada residualnya. Dengan cara yang sama, tambahan term pada residual yang lain ^juga ditambahkan untuk elemen dengan sisi yang berada pada batas domain.

-1 -2

4-1 -1

⁴

-2 -1

-1 -2

4

_-1,

-1

⁴

-2 -1

-1, -2

4-1 -1

⁴

-2

^-1,

6:+=1 &:=l

*re=0

[i lt,,

residualnya.

Elemen 2

ltrf") l4 ^-1

ttt

11,

I tl-1

⁴

I I =--t

ll, I ^{ol-z -1}

L,,l ^{[-r -z}

6

l]|fi] .ft'l .hl

1[fi] .[Il

llt[: _I