EtEilElt Mltct0 (fililq

ANALISIS BALOK DAN RANGKA

3.4 EtEilElt Mltct0 (fililq

Elemen rangka adalah elemen

di

mana gaya aksial, gaya transversal dan momen dapat terjadi pada elemen (Gambar 3.8). Tampak bahwa elemen

ini

adalah gabungan antara elemen truss dan elemen balok. Formulasi elemen rangka dengan mudah diperoleh dengan menggabungkan formu- Iasi elemen rangka dan elemen balok.

formulasi Energi Potensial ilinimum: Analisis Balok dan Rangka

0 12ET

-

_6EI^L,

E

0 12EI

0

--r- tzEl

--

5EI

v

0

-r-

12ET

-._

6EI

v

(3.28)

0l

6EI I.

^\

-r _ll"*l

2Er

llutv ^I

L _llo'l o

11",. f

-

sll?rl

4EI

^I

_t

Ll

oG)

^FC)

_L

AE 0 0 AE

L

0 0 0

E

5EI 4EI L

0 5EI

a

zEI L Kk)

;s

E

6EI

0

_L

AE 0 0 AE

L

0 urv

e1

azv o2 usv

e3

lr, 6 ^-72 6 o

^o

16 4 -6 2 o

^o

l-r, ^{-6 24} o ^1,2

⁶

16 2 0 8 -6

²

l0 0 -1.2-6 12-6

l0 0 6 2 -6

⁴

Dengan u,, = ur, = 0, maka lajur pertama dan lajur kelima dapat diabaikan sehingga sistem yang harus dipecahkan adalah

. ^"., ^[_nu ; ^{; :lEI} =1-1"'#'l

2.082e'l

l2 0 ⁸ 2ll0rl

_1833,333t

Lo 6 2 -]tr,J I ^o

^J

Solusi yang didapat adalah I

o, I

[-9,oo6e-3rad]

l"rl_l-s,00s"".,",

^I

I ,, [-] r,oor"*.ua

_I

lerJ Izoose-3raaJ

F,, Ftv

Mi

F,,

4,

M,

Contoh 3.3

Sebuah balok terbebani gaya merata sebesar 10

kN/m

sepanjang

1

m pertama dan terbebani gaya aksial sebesar 2 kN pada ujung balok. Dengan menggunakan MEH, hitung pergeseran vertikal dan horizontal ^(aksial'1 dan rotasi balok pada bagian tengah dan ujung balok.

E= 300GPa

[**l*f,o.rur l-J

b

:,J

Gambu 3.8 Gaya dan momen pada elemen rangka.

t0ltNrhr

60 Teori dan Aplikasi Metode Elemen Hingga

Untuk

memecahkan soal

ini,

pertama

kita

akan ubah beban menjadi beban terpusat dan menggambar diagram bebas balok.

merata

72

Karena

di sini

ada gaya aksial maka balok

ini kita

bagi menjadi dua elemen rangka

di

mana beban pada masing-masing elemen digambarkan sebagai berikut:

Fj.

=[o =]

Mr =-S[},..3[I3]fu

& ^{=Rr. =2{ffiN}

***ffiN

*R3

*?

f,z \A _l*r,

72

#

Second moment of area of beam cross-sectional area adalah r =

fr

^{un3 =}

fi

^{{r, r) {0, o5)3}

^:

^{1, o41e-6 ma}

Mr

=ffi3'333tlm

{

Iormulasi Energi Potensial Minimum: Analisis Balok dan Rangka

Matriks sistem persamaan yang diperoleh untuk masing-masing elemen adalah:

untuk elemen ^(1),

6l

ul,

utv

01 u2*

u?.,

t

o2 da

4ee 0 0

4ee 0 0

n untuk ^elemen

(2,

4ee

0

-2,498e6 7,249e6

0 2498e6 1,249e6

0

0 2,4984e6

7,249e6 0 -2,498eb

7,249e6

0

-4ee

'1,249e6

₀

0,833e6

⁰

0

^4ee

-1,249e6

⁰

0,476e6

⁰

0

^*4ee

1,249e6

⁰

0,833e6

⁰

0

^4ee

-7,249e6

⁰

0,4'1.6e6

⁰

0 -2,498e6

-7,249e6 0 2,498e6 -1.,249e6

0 7,249e6 0,4'1.6e6

0 -7,249e6

0,833e6

Fr*

Fru M1 Fr*

F,, M2

kita dapatkan

Fr, -?

F,, =?

Mr = ^833,333

Fr, =o F?, = ⁵⁰⁰⁰ M, = 833,333

I., = 2000 Mt =o

l_;" _t0

lo

Dengan menggabungkan kedua sistem persamaan

di

atas sistem global 9-r9 berikut

0 2,498eb -1,249e6

0 2,498e6 -7,249e6

0 L,249e6 0,476eb

0 -7,249e6

0,833e6

0 0 0

u2,

u r., o2 u"

ugv 03

Fr*

F,, M2 F,.

Feu

M3

4e' 0

0 2,498e6

0 7,249e6

-4ee ^o 0 -2,498eb

0 7,249eh

00 00 00

o -4ee ⁰ 000

7,249e6 0 -2,498e6 1,249e6 0 0

0,833e6 0 -1,249e1', 0,416en 0 0

ut, u,l

0r uz,

D^

o.

u^

lt- 0.

08ceo o-4e'00

-7,249eh04,997e'002,498c"1,249et' 0,476e6001,666e60-7,249e60,416e"

o-4ee0o4eeoo

0 0 ^,2,498e6 -1,249e6 o 2,498e6 ^1,249e6 0 0 7,249e6 0,416e6 0 1,249e6 0,833e6

Dengan batasan yang ada, ur. = ury = ug, = 0, ^maka untuk lajur satu, dua dan delapan dapat diabaikan dan sistem yang perlu dipecahkan menjadi 6:6 berikut

E

Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga Iormulasi Energi Potensial l'linimum: Analisis Balok dan Rangka 63 67

0,833e6 0 _7,249e6

0,41.6e6 0 0

01 u2*

tl a..

o2 u3*

0"_J

0

_-7,249e6

8ee

0

0

4,997e6

00 4ee

o

0

^1.,24ge6

0,416e6

0

O

4ee

00 7,666e6

0

0

^4ee

0,476e6

0

-833,333 0 -5000 833,333

2000 0

, _l'"'

,,r:n"'l

O,+t6e6 |

,l

0,833e6_l 01

!z^

tlr,, e2 u3*

0?

Fiv"uiv

frx,t\x

- ^(ha

t+.

tl'i9\

Solusi yang didapat adalah -9,006e-3 m

5e'm

-5,003e-3 m

1,001e-3 rad

1e-6 m 2005e-3 m

(')

Y Pada umumnya

struktur

rangka mempunyai elemen-elemen dengan

orientasi yang tidak sejajar dengan sumbu global seperri halnya dengan apa yang telah kita bahas untuk elemen truss di _$2.3. Untuk hal

ini

gaya dan pergeseran dapat diekspresikan dalam koordinat sumbu global

X-y

maupun koordinat sumbu lokal x-y. Transformasi dari sumbu lokal x-y ke sumbu global X-Y diberikan oleh

F,*

=F,*cosa-4rsina

^(3.29a)

F1y:F,*sina+F,rcosa

(3.29b)

lx =F;*cosa-F,rsina

^(3.29c)

$v

=F;*sina+$rcosa

^(3.29d)

\l\'3'

r1;

ll ^4, ll

r"

l[*,

Fyl

I4,

lR, lvr, lr,*

It"

l.*, rl?

0 0 0 coscI

sina

0 Tt'",

00 00 00

*sinc

₀

cosn

⁰

01

'L,-,*,.

t*$\

t+'

rli*

cosa -sina

⁰

sina cosa

⁰

001 000 000 000

0)

Gambu 3.9 Elemen rangka planar: (a) gaya dan pergeseran pada sumbu koordinat global X-Y, dan

(b) pada sumbu koordinat lokal x-y.

Transformasi ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks

${rrh't

Y

64 Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga 65

Dengan menggunakan transformasi yang sama, pergeseran node

i

^dan

j

pada koordinat global X-Y dapat diekspresikan dalam koordinat lokal x-y.

Iormulasi Energi Potensial l,linimum: Analisis Balok dan Rangka

diturunkan dengan cara yang sama dengan cara kita menurunkan elemen truss maupun elemen balok. Berikut adalah matriks kekakuan ^elemen rangka umum.

oAEoL

bEI 12EI--

;u-i-

000

0

0

_68t."

L:

0 72E1..

L,

(3.33)

G adalah elastisitas modulus ^geser dan _J adalah momen inersia polar dari penampang balok. Matriks u(") d.an vektor beban F(') ad.alah:

urx urv 0i uix ujv

0,

"fi

cosa -sina 0 0

⁰

sinacosa000

00100

0 0 0 _{cosa -sina} 0 0 0 sina

cosa

00000

TT.,

0.1[,,,

o 11"',

0ll

^0,

o _ll

'i.

o

ll"i,

1lIor

(3.31)

000

0 0 ---=6EI_L.

o - -^)- 6EII: ^o

GT OU

L 2EI,,.

{}J0 L

00- 2F.l

L

000

6EI L, 6EI....

r) "' 0

I:

CI (,U

L

4F,I,,-ll o L

4E1..

L

00 00

4EI L

AE L

00

^ ^6EI11

t.-

Gl ₀

L 4L1,,

L AE

L 00

9Y-

o t.'

12EIyy I,.

0 0

_ 12EI,, L' 0 t Llyu

L, 0

0

0 12El _yy

L3

u$

Dengan mensubstitusikan (3.30) dan (3.31)

ke

(3.28),

kita

bisa peroleh sistem persamaan elemen pada sumbu koordinat global.

11')11r"r

T@u%:Ff], ...

^(3.32)

3.5

^{ErEltElt RAt{Gt0} u}ru}r/EtE}tEil BArot( 3-Dt}tEltsl

Elemen rangka

umum

adalah elemen

di

mana gaya

aksial,

gaya transversal, momen dan torsi dapat terjadi pada elemen (Gambar 3.10).

Pada elemen ini setiap node mempunyai kebebasan untuk bergeser searah sumbu lokal x, y, dan z dan melentw (bending) terhadap sumbu y dan z.

|adi setiap node mempunyai 6 dofdan secara keseluruhan terdapat ¹²

dof

pada setiap elemen.

Gambar 3.10 17 dof elenen rangka umum

Matriks

kekakuan

dari

elemen rangka

umum

adalah

matriks

12x12 (persamaan 3.33). Pada elemen rangka umum rotasi pada sumbu lokal x

terjadi

dikarenakan

oleh torsi. Matriks

kekakuan elemen

torsi

dapat

lL-

il

67 66

... (3.34)

.... (3.35)

formulasi Energi Potensial ilinimum: Analisis Balok dan Rangka

Contoh 3.4

Sebuah balok terbebani gaya sebesar 10 kN/m dan puntiran sebesar 1kN.m pada ujung bim. Dengan menggunakan MEH, hitung pergeseran vertikal, horizontal (aksial) dan rotasi balok pada bagian tengah dan ujung-ujung balok dalam sistem koordinat global.

lktilm

T"osm

Ieori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga

dan ttk)

-

F@-

ui,

uty

ti, oi*

0,r, or,"

ui,

uiv

tj,

0,,, 0jry

o

j,,

4*

4y F,,

I*,

M,r,

Mr,.

4.

F;,

Fj, Mjry

I,,

Mi,,

Untuk

memecahkan soal menjadi beban terpusat.

E'.

=o 'ty -'

I?.

=

Ltz

ini,

pertama-tama

kita

ubah beban merata

-rI

Momen inersia kedua

I,

dan I,, untuk penampang melingkar adalah

I :T -

^ndo _=o,3o6e-6 ma 'yy

-'r, - 64 -

dan momen inersia polar (sumbu x) adalah

J=Ip

⁼

#=0,613e-6

^ma

Data balok lainnya A = ^1,963e-3

-',

^{L = 0,5 m} dan elastisitas modulus geser diberikan oleh

G=fr

E

q=78,'l'25cPa

10kN

68 59

1.1,-

Ieori dan Aplikasi l'letode Hemen Hingga

Poisson ratio balok adalah 0,28. Matriks kekakuan elemen ini diberikan

formulasi Energi Potensial l,,linimum: Analisis Balok dan Rangka

rrrngka mempunyai orientasi yang tidak sama dengan orientasi sumbu global seperti digambarkan pada Gambar 3. 1 1.

B:, A"ra

Gambar 3.ll ^0rientasi sumbu lokal terhadap sumbu global.

Untuk

mentransformasikan pergeseran, rotasi, dan beban

dari

sumbu lokal, persamaan yang digunakan adaiah

u\f,, = T'"' o'I)r,

^(3.36)

dan

Ffl, = T'"' Ffl,

^(3.37)

Dari batasan yang ada, ui* _{= uiy =} ui, =

0*

=

0,,

= 0;,, = 0, maka lajur satu sampai la;'ur enam dapat diabaikan dan sistem yang perlu dipecahkan menjadi 6:5 berikut:

0.785ee

⁰

0

0,734e6

00 00 00

0

_-0,367e6

0.785e' 0

0 0,734e6

00 00 00

0 0,367e6

-0.785ee 0

0 -0,734e6

00 00 00

0 0.367e6

uj*, Iiyy

aj,,

oi**

0iry oi,,

00 00 0,734e6 0

0 0,479e5

O,367e6 0

00 00 00 0,734e6 0

0 0.479et

o.367e6 0

00

00

0 0,367e6

0,367e6 0

00 0,244e" 0

0 0,244e"

00

0 -{,367e6

0,367e6 0

00 0,122e6 0

0 0,122e6

0.785e' 0

0 {,734e6

00 00 00

0 -O,367e6

0.785ee 0

0 0,734e6

00 00 00

0 -0.367e6

00 00 -O,734e" 0

0 0.479e'

0,367e6 0

00 00 00 0,734e6 0

0 0,479e1

0,367e6 0

o0

00

0 0,367e6

0,367e6 0

00 0,122e6 0

0 0,122ed

00

0 -O,367e6

0,367e6 0

00 0,2,1,1c" 0

0 0,244e"

0 -10000

0 1000

0 0

000 000

0,734e6 0

^0,367eh

0 0,479es

0

0,367e6 o

0,244e6

000

0 _-0,367e6

0 0 0 0,244e6

u,_.t\

u.tv

uj,

o._{- lx\}

e_-

lvv

oi,, Solusr yang didapat adalah

0m

-54,8e-3m 0m 20,881e-3rad

0 rad -82,372rad

Di mana matriks transformasi Tr"/ diberikan oleh

tr-. o o ^ol ' l ^ol

a,.,-l o r,' ,

^(3.38)

lo ^o r, ^0l

L0 0 0 ^Trl

fika ^{sumbu lokal elemen} mempunyai orientasi yang sama dengan sumbu global seperti pada Gambar 3.10, matriks kekakuan tidak perlu ditransfor- masi dari sistem lokal ke sistem sumbu global. Namun umumnya elemen

ry

70 7t

!:

Ieori dan Aplikasi l'|etode Elemen Hingga

Elemen matriks T" adalah

[l* ffi*

^n"-l

rr=lt, ffiy ", ^| .

^(3.3e)

LI. fr. ^n,

]

It,

^mu dan no adalah arah kosinus atau vektor unitas sumbu lokal yang memberikan

Iormulasi Energi Potensial ]linimum: Analisis Balok dan Rangka

Gambar 3.12 Arah vektor posisi untuk menentukan arah kosinus sumbu y dan z.

Dari

Gambar 3.12 bisa diperoleh dengan menggunakan ^persamaan- persamaan (3.46)

-

^(3.48).

i:

l*X + m,Y +

n,Z

^...

y=lr*+mri +n"2

2

:l,X+ -,V

⁺ n,2...

1*, m* dan n* dapat dengan mudah dihitung karena arah sumbu adalah arah node rke node _7.

X. _X,

t,

xL

* _{x L} =I-X

^G'44)

Z.

-2.

"*=#

^(3.4s)

Untuk menentukan sumbu lokal

y

dan z diperlukan satu

titik

tambahan yang terletak pada bidang

x-y

unruk menentukan orienrasi bidang x-y.

Dengan diketahuinya

titik ini,

arah kosinus sumbu lokal

y

dan z dapat

dihitung.Vektorposisi

V,, V, arn

Vuadalah