V, Vvolumep -7-2-4

volumel-

2-3-4

volumep - 1-- 2- 3

volumel- 2- 3- 4

(4.r0s)

(4.106)

(4.108) (4.10e) (4.110) (4.111)

=:

⁽¹^+{{,)(1 ⁺44, )(1+(q )({€t ⁺^rlrh⁺(Q

-2\

ⁱ⁼^1,^{2,..., 8}^...

Node-node tengah sisi:

s, :

|

^{r

^-e'

^I^t^1.⁺^r1q,)^(1.⁺

(\)

=i

tr-r'l(1+44,)(1+CC,) t, _{=1 t,}- e' lt t ⁺{{,) ⁽¹⁺^r7r1,)

i=L0,L2,L8,20 ... ^(4.113)

i=9,11,17,L9

@.1'14)

i=13,14,15,16... ^(4.115)

(4.trz)

Gambar 4.20 Koordinat volume pada eteri'en tiner tetrahedron.

Dari observasi Gambar 4.20 dapat dipahami bahwa jumlah dari ketiga koordinat ini adalah

3.+.$+3 V V V V=L,+L,+Lrl-L4=1""""""""'

^=L,

^+Lr+Lr+

^{L4 =}¹ ^(4'107)

Dapat dibuktikan juga bahwa koordinat penampang L1, L2,

L,

dan ^Ln, adalah fungsi-fungsi bentuk 51, 52, 53 dan Sn yaitu:

Gambar {.21 flemen kuadratik heksahedron serendipiti pada sumbu natural.

4.4.5

Elemen Ifuadratik Tetrahedron

l0

^llode

Elemen

kuadratik

heksahedron mempunyai

20

node. Fungsi-fungsi bentuk 5,, i ₌1,2, . .

.,

20 diberikan oleh persamaan-persamaan berikut:

*F ,./r la

t08 Teori dan Aplikasi I'letode Elemen Hingga fungsi lnterpolasi dan Tipe Hemen r09

I=

!f(Od(xIW,1

^@.r24)

Untuk nodai-nodal sudut:

Si =(2Li ^-

1)Li

i=1,2,3,4 ^-l

s,o

=4LrLn ..

@.122)

di

mana L,,

L,

dan L, adalah koordinat volume yang didefinisikan ^pada

s4.4.3.

^rr

4.5

II{TEGRASI NU}IERII(

Dalam MEH,

kita

sering mengintegrasikan elemen. Integrasi

ini

lebih mudah apabila dihitung secara numerik. ^Padabagian ini kita akan memelajari bagaimana integrasi secara numerik diterapkan pada elemen 1-, 2-

dan

3-dimensi. Metode

numerik

yang

kita

gunakan adalah metode Gaussian quadrature _[Kosasih,

2006].

Integrasi

ini

dilakukan pada koordinat-koordinat lokal,

yaitu f ^untuk

^elemenl-dimensi, _{f,ry untuk} elemen 2-dimensi, dat (,r1,qtnruk elemen 3-dimensi.

4.5.1

EIemen I-Dimensi

Pada problem l-dimensi, umumnya integral dilakukan dari

(

antara -1 dan 1. Bentuk integral 1-dimensi adalah

r=

lft(0d6

^(4.123)

-1

Aproksimasi dari integral

ini

dapat diperolah dengan menggunakan nilai

f($

pada beberapa

titik

Gauss (Gauss

point)

yang digambarkan ^pada Gambar 4.23. Secara umum integrasi numerik ini diberikan oleh:

di

mana

{

^adalah

^nilai ^f

^pada

^titik

^Gauss,

^W,

adalah fungsi pemberar (weighing function) dan N adalah jumlah

titik

Gauss. Tabel 4.3 memberikan lokasi dari

titik-titik

Gauss beserta nilai-nilai fungsi bobotnya.

4.5.2

Elemen 2-Dimensi

Untuk elemen 2-dimensi, integral dilakukan pada

(

antara -1 dan 1, dan pada 17 antara -1 dan 1 . Bentuk integral 2-dimensi adalah

I=

[ lfG,rild€drt

^(4.125)

-1 ^-1

Aproksimasi

dari

integral

ini

umumnya diperoleh dengan melakukan integrasi pada

(

dan kemudian pada _ry.Secara umum bentuk integrasi numerik ini diberikan oleh

11 NN

I: _[ lf(€,rid(dry=t tWW4., ...

^(4.126)

-r

-r i-l

_i-l

St=4LrLt

Su =4L,L.

S, =4LrL,

Su =4L.tL, Sr=4LzLu

(4.116) (4.117) (4.118) (4.11e) (4.120)

(4.t2t)

Tabel 4.3 Titik Gaus dan faktor bobot untuk integral l-dimensi.

]umlah

titik

Lokasi dari titik-titik Gauss

(fl

Faktor bobot (Wi)

1 0 2

2 -0.57735. +0..57735 1. 1

3 -0,77460.0 _.+0.77460 5t9.8t9.s/9

ilt

lt0 Ieori dan Aplikasi }letode Elemen Hingga [ungsi lnterpolasi dan lipe Elemen

.lt.

I itf.

(a) Satu titik Gaus

-0.57t35

(b) Dua titik

0.5??.i5 ^I

Gauss

'--,1-*"\.

jri

i,;

_ti ⁱ

!l .0.5??.35 0

Gambar 4.23 Gauss Quadrature l-dimensi.

Integrasi 2-dimensi

untuk

elemen quadrilateral umumnya dilakukan dengan menggunakan 1 atau 4

titik

^Gauss.^Denganmenggunakan 1

titik

Gauss, integral ini diberikan oleh r:(2)(2)(0,0)

Dengan menggunakan 4

titik

Gauss, integral ini diberikan oleh

I ₌( 1 X ¹) ( -0, 577 25, - 0, 577 35) + (1) (1) t(0, 57 7 2s, - 0, 577 35) + (1)(1)f (0,57725,0,57735)+(1)(1)f (-0,57725,0,57735)

Gambar 4.24 memberikan lokasi 4

titik

^Gauss^padaelemen quadrilateral.

Integral pada elemen segitiga dilakukan dengan cara yang sama. Tabel4.4 memberikan lokasi dan faktor bobot ⁽I7) untuk elemen segitiga. Untuk 3

titik,

Iokasi

titik-titik

ini diberikan ^padaGambar 4.25.

-l

Tabel 4.{ Titik Gauss dan faktor bobot untuk integral segitiga 2-dimensi.

fumlah

titik

Lokasi dari titik-titik Gauss

(L1, L2) Faktor bobot

(W,/luas)

L1 L2

I 0,333333 0,333333 1

3 0,5

0 0,5

0 0,5 0,5

0,33333 0,33333 0,33333

4 0,33333

0,73333 0,13333 0,13333

0,33333 0,13333 0,73333 0,13333

0,56250 0,s2083 0,s0283 0,52083

n i-r:li

I

n i?-!:i _0.51:35.0

a

_i:73i

-l

4.J:l_z_1,.0.5?:3-1

a

0.5r]]:--0._itl35

t

Gambar {.2{ Gaus quadrature 2-dimensi dengan 4 titik Gauss.

il2 ^Ieori^danAplikasi I'letode Elemen Hingga

Gambar 4.25 Gaus quadrature 2-dimensi segitiga dengan 3 titik Gauss.

S0At-S0At

LATlHAil ^t"

Turunkan fungsi

bentuk

51, 52,

S, dan

dari

elemen bilinear segiempat yang diberikan oleh persamaan (4.22)

-

^(4.25).

Buktikan untuk elemen-elemen linear segitiga bahwa _/=Sr

,

_6=5z^dan r/=Sr.

Fungsi-fungsi bentuk elemen quadrilateral isoparametrik diberikan

sebagai fungsi koordinat sumbu natural

(6-ri.

Untuk sistem koordinat nafural seperti di bawah, cari fungsi-fungsi bentuk elemennya.

ITNALISIS BENDA PEJAL ELASTIK 2.DIMENST

s.r

^DAsARKoilTtt{l,}t l,tEIG]{tK BEilDA

pll

_(!0u0)

Pada bab

ini kita

akan memelajari penerapan Metode Elemen Hingga untuk menganalisis tegangan dan regangan benda pejal yang terbebani.

Jika benda padat terbebani maka setiap bagian dari benda itu akan meng- alami tegangan dan regangan Qtergeseran). Gambar 5.1 menggambarkan situasi suatu benda pejal yang terbebani.

Gambu 5.1 Benda pejal yang terbebani.

'fegangan pada setiap bagian

dari

benda

ini

dapat dianalisis dengan menggunakan elemen tegangan ^(stresselement) seperti digambarkan oleh Gambar 5.2.

5

4.5 1.

Dengan menggunakan metode Gaussian Quadrature ^dengan

titik

Gauss dan (b) empat

titik

Gauss, hitung integral

,: i ₁ ⁱ _{t 2+rl-} ^g!i!a4a,,

t..ot,a-

v#4,r,

lr,--...

ffl

ot*\Il-

*

^xr.Yr^

,j/€

sr.Yt \' / --*lr. _r

xt,Y:

4. (a) satu

il4 Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga il5

Agar elemen berada dalam kondisi ekuilibrium maka o*, = ^oy*

,

^o*,=

4,

dan or,

= or.

Dengan menggunakan notasi vektor, elemental tegangan dapat dituliskan

d

[o*

^on^o,,

o* ouor] ... ..

^(5.1)

Dengan analisis yang sama, elemental regangan dapat dituliskan ^dengan menggunakan notasi vektor.

J

["*

^tyy^e,,^€y,^eu

er]...

^(5.2)

Apabila tegangan hanya menyebabkan pergeseran yang

kecil

dan saat beban ditiadakan benda kembali ke bentuk asal seperti sebelum terbebani, benda dikatakan masih berada dalam sifat elastik. Pada regime elastik, hubungan antara tegangan, ^q,dan regangan, e, mengikuti hukum Hooke.

Analisis Benda Pelal Elastik 2-Dimensi

atau dalam bentuk matriks

tol

⁼

tcl td

... (s.4)

Pada persamaan (5.4)

[C]

^adalah^matriks

konstitutif

bahan (material constitutive ./au). Elemen

dari

matriks

konstitutif ini

ditentukan dari eksperimen. Untuk benda isotropik, Young's modulus, E dan ^Poisson's ratio, v tidak bergantung pada arah. Untuk materi

ini

hubungan antara tegangan dan regangan diberikan oleh Hukum ^Hooke.

. _-o** _-,,oYY -,,o*

oxx-E E

^E ^(s.s)

(s.6)

(s.7)

(s.8) (5.e)

(s.10)

,n:-u?.+-"+

'rr=-u?-"+.?

oYz

c -:

"yz-

- _-oxz o*r-

G oxy

c --

"xy-

di mana G adalah modulus geser isotropik (isotropic shear modulus) yang diberikan oleh

I -=- E

2(1,+v)

^(s'11)

Persamaan-persamaan (5.5)

-

^(5.11)memberikan matriks konstitutif _[C],

€_xx

t w

€zz

€_yz

€xz

€xy

o

_xx

o

_zz

o

_yz

o

_xz

o

_xy

c11 cr2 c13

cr4

c22 c23

cz4

ca3

ca4 c44 sym.

c15

^c16

c25

cz6

cas

c36

c45

c46

c55

cs6 c66 Gambu 5.2 Elemen tegangan

(s.3)

il7

il6 Ieori dan Aplikasi Metode Elemen Hingga

l-vvv000 yL-vv000 vvL-v000

0 0 0 0.5-v 0

⁰

0 0 0 0 0.5-v

0000 0 0.5-v

Dengan MEH, solusi yang dihitung adalah pergeseran node. |adi ^setiap node

terdiri 3

^dof,ux, uy dan

u,.

Dengan menggunakat

dofdof iri

hubungan antara regangan,

q

dar, derivatif pergese+n dihitung sebagai

berikut

^ ^_ r. u(x+Ax,y,x) -tt(x,y,z) -0u^

6vv - IllIl

^ niSo Ax

ur(x,y

+ Ly,z)

Avry - ur(x,y,z) : ^A"l

^ ^_ r: 'or(x,y,z+Lz)-ur(x,y,z) _fu,

o7z

zz n}50

- lllll

Lz

Regangan geser (shear strain) didefinisikan sebagai perubahan sudut suatu elemen sebagai akibat

dari

beban. Gambar

5.3

memberikan ilustrasi sudut-sudut ini.

uu(x + Lx,y,z)

- ^ur(x,y,z)

^(5'16)

+lim-

Ax-0 ^Ax

Analisis Benda Pejal Elastik 2-Dimensi

Regangan geser, rxy diberikan oleh

axy =0"1+42

tcl=

^(s.12)

(s.13)

(s.14)

(5.1s)

u *(x, y + Ly, ^z)- ^u*(x,^y,^z) Ay

a"L

=

lim

Ay+0 aux

(\J

drrrr _tt - lllTl_Av--+O

Dengan cara yang sama regangan geser yang lain dapat diturunkan sebagai

berikut:

du-

^auv

'v,:ff*;

^(s.17)

",, =L* *.

^(s.18)

"*, - _Ax ,

6z

^...

Hubungan antara regangan dan derivatif pergeseran (5.13)

-

^(5.18)^dapat

dituliskan menggunakan notasi matriks berikut:

Au__-L dx auv

dx auZ

au- ^fu,, c\

4L ^dz

au

_7.,^au_X

ox

.f. ^oz

du., _ar ],

(rx

1Ti Lry

(5.1e)

5.2

AilAUsTs TEGAilGAil BrDAlrG

(puilf

SrfrEt!

tMffiA

IIuiuk

benda pejal yang mempunyai riing _ukuranpenampang, dan beban

ketebalan yang kecil (tipis) dlban- hanya berada pada bidang penam-

(7+v)(1-2v)

-1'F-

il8 ^Teoridan Aplikasi I'letode Elemen Hingga il9

pang, maka tegangan pada arah tegak lurus dari penampang dapat diabai- kan atau dianggap

nol.

Seandainya penampang berada pada bidang

ry

maka ini berarti

o,.=

oy,= o*,= 0. Dengan asumsi

oy"=

oo= 0, persamaan Hooke untuk problem tegangan bidang Qilane ^stress)diberikan oleh

r r t lr

lo I lt v o ll.s

]o**f=rl, _I _YYI _{1_v2l} 1ol]r..f _ll

_YYI ^(s.20)

lol'"lno1-'ll,l

[",vJ L" " ₂ .][""vJ +

|adi untuk analisis tegangan bidang, matriks konstitutifnya adalah

Analisis Benda Pejal Elastik 2-Dimensi

5.4

t0RllULASl ilEH: E[E]lEil SEGITIGA tl]IEAR

Ada dua

teknik

yang umum digunakan

untuk

menurunkan formulasi MEH problem elastik:

/)

minimum potensial energi ^(Bab2 dan Bab 3), dar,

)

Metode Galerkin. Pada bab ini kita akan menggunakan pendekatan minimum potensial energi.

Pertama-tama regangan diekspresikan dengan pergeseran node. Untuk elemen segitiga linear, pergeseran pada elemen diberikan oleh persamaan (4.36)

"f;):S, ^u*r

⁺⁵²^ur2^{+53 u,,3} ^(s.24)

tk) =S1rr1SzuyzSaryg

^(5'25)

Selanjutnya dengan menggunakan (5.24) dan (5.25) regangan dihitung

(s.26)

u-

_XI

'y1

ux2 uy2

u^

_XJ

u^

_y3

Dengan menggunakan S,, S, dan S, yang telah diberikan oleh (4.37)

-

(4.39) pada (5.26), kita peroleh

5.3 ^At{Atl$

RtGAllGAll BIDAIIG (PUilE

lrWil lWUltlt

Untuk benda pejal yang mempunyai ketebalan yang besar dibandingkan dengan

ukuran

penampang

dan

beban hanya berada pada bidang penampang, maka regangan pada arah tegak lurus dari penampang dapat dianggap nol. fika bidang penampang adalah bidang

2-3-4

=:

-2\

|

-e'

(\)

=i

i=9,11,17,L9

(4.trz)

3.+.$+3 V V V V=L,+L,+Lrl-L4=1""""""""'

+Lr+Lr+

L,

4.4.5

l0

kuadratik

20

.,

I=

!f(Od(xIW,1

1)Li

=4LrLn ..

di

L,

s4.4.3.

4.5

kita

ini

dan

numerik

kita

2006].

ini

yaitu f untuk

4.5.1

(

r=

lft(0d6

ini

f($

titik

point)

di

{

nilai f

titik

W,

titik

titik-titik

4.5.2

(

I=

[ lfG,rild€drt

dari

ini

(

I: [ lf(€,rid(dry=t tWW4., ...

-r i-l

(4.t2t)

titik

(fl

ilt

i,;

untuk

titik

titik

titik

titik

titik,

titik-titik

titik

I

a

a

t

LATlHAil t"

bentuk

S, dan

dari

-

^-e'

^+Lr+Lr+

yaitu f ^untuk

^nilai ^f

^titik

^W,

I: _[ lf(€,rid(dry=t tWW4., ...

LATlHAil ^t"

_(!0u0)

,: i ₁ ⁱ _{t 2+rl-} ^g!i!a4a,,

. _-o** _-,,oYY -,,o*

- _-oxz o*r-

^ ^_ r. u(x+Ax,y,x) -tt(x,y,z) -0u^