Teori dan Aplikasi Metode Elemen Hingga

PUSTAKAAN {RSIPAN AWA TIMTTR

It7 23

RA

i.1

Teori dan Aplikasi

Metode Elemen Hingga

Dr.

Prabuono Buyung Kosasih

Penerbit AITIDI Yogyakarta

Teori don Aplikosi Metode Elemen $'lingge

0ieh: Dr. Prohuono Buyung Koscsih Hok Cipto

fi

2012 podo Penutris

,l:

i

il il

i

Editor : ^Fl" Sigit Suyontoro

Setting ^{: Alek}

Desoin Cover : ^Bowo

Korektor ; Thomos Pribodi llc!r Cip+1 Cilinclt'noi t.rndong-trn,riong

Dilorong memperbonyok otou memindohkon sebogion otou seluruh isi buku ini dolonr benfuk opopun, boik secoro elektronis moupun mekonis, termosuk memfotocopy, merekom otou dengon ^sistem penyimponon loinnyo, tonpo izin tertulis dori Penulis"

Penerbir: c.v ^{ANDI OFFSET} (Penerbit ANDI)

Jl. Beo 38-40,Telp. ^(.O274\ 56188'l (Hunting), Fox. (02741 588282 Yosvokorto 55281

Percetokon: ANDI ^OFFSET

Jl. Beo 38-40 ,Ielp. ^{{O27 41 56'l 88,l} (Huntins), Fox. ^(Q27 A) 588282 Yosvokorto 5528 ¹

Perpustokcon Nosionol: Kotolog dqlom Terbiton ^(KDT) Kososih, Probuono Buyung

Teori don Aplikosi Metode ^Elemen Hinggo/

Probuono Buyung ^Kososih;

-

^{Ed. I}

. -

Yogyokorto: ANDI,

21 XA 19 l8 17 16 15 14 13

¹²

x + 278 hlm.; I6 x 23 Cm.

IO I 8 7 6 5 4 3 2

^I

ISBN: 978 -979

-

²⁹

-

³¹⁸³

-

⁹

l.

JuCul

L

^{Finite Element Methods}

DDC'2tr : 62S.0S1.51 5'35

97t>-z9e/Rpr/p/2.,tz

PffiAKAT"A

Telah banyak buku tentang metode elemen hingga yang telah ditulis, iaiu mengapa buku

ini

dirulis? Beberapa alasannya adaiah: Pertama, mayoritas truku Metode Elemen Hinsga

(MEm

dituliskan dalam bahasa asing atau

merupakan buku terjemahan. Yang kedua, kebanyakan dari buku MEH

lebih

menekankan

teori

dan kurang memberikan contoh penerapan.

Karena kurangnya

buku

metode elemen hingga berbahasa Indonesia, penulis berharap buku ini dapat menutup kekurangan itu.

Di

samping menjelaskan teori secara detail, pada beberapa bab, buku

ini

juga memberikan contoh teknik pemrograman MEH. Hal

ini

^{karena di}

saat belajar metode elemen hingga, ^mahasiswa akan dapat memahami lebih mendalam dan menerapkan MEH dengan lebih baik apabila mereka juga belajar menerapkan metode elemen hingga daiam bentuk program.

Buku ini ditujukan untuk mahasiswa, insinyrr, penganalisis atau siapa saja

yang perlu memecahkan permasalahan enjineering secara numerik, khu- susnya dengan metode elemen hingga. Teori-teori MEH dibahas mulai dari dasar sehingga pembaca yang awam dengan MEH dapat mengem- bangkan pengetahuannya tentang MEH dari buku

ini

tanpa harus ber- susah-payah mencari referensi tambahan. Dengan teknik penulisan seper-

ti ini

penulis berharap dapat memberikan dasar-dasar teknik MEH yang kokoh sehingga pembaca dapat memahami

dari

mana dan ^bagaimana suatu teori atau formula terbentuk. Semua teori ^atau formula yang dibahas diusahakan untuk dijabarkan ^secara mendetail. Dengan penguasaan dasar*

dasar yang kokoh, pembaca akan terbantu apabila ^membaca buku-buku tingkat lanjutan dalam bahasa Inggris, sehingga dapat mengembangkan pengetahuannya dengan lebih cepat.

-::'enuLisan buku

ini

disesuaikan dengan penulisan umumnya buktl teks

perfiIruan tinggi

yang

terdiri

clari pembahasan

teori,

contoh-contoh -1nerr-'"-:n tecri i'r:rg,

t,'rrL::

.

d:.

sral-soal !:tihan pada akhi. seii,rp h3f.

Seluruh :nateri Cahir:L l-,uku dapst diseles;::ikan dalam eatu semestel:.

iv Teori dan Aplikasi Metode flemen Hingga

Pembahasan materi dimulai dari tingkat ^yang sederhana sampai ke tingkat yang

lebih

kompleks. Oleh karenanya buku

ini

tepat digunakan bagi mahasiswa yang belum mengenal MEH sebelumnya.

Bagi pengajar MEH, urutan pembahasan materi sebaiknya mengikuti urutan bab buku. |umlah jam pengajaran diperlukan untuk membahas se-

tiap bab pada setiap semester dapat disesuaikan dengan kurikulum setem- pat. Kemungkinan urutan pengajaran MEH berdasarkan buku

ini

^adalah

Bab

I

^{dan 2 dapat} diberikan ^{pada 2} pertemuan pertama. Bab 3 sampai bab 8 memerlukan 2-3 kali pertemuan untuk membahas setiaP bab. Pengajar atau dosen yang mengadopsi buku

ini

sebagai buku teks dan memerlukan jawaban soal-soal latihan pada akhir ^{bab dapat} menghubungi penulis pada alamat: PO Box U270 University of Wollongong, Wollongong NSW ^2500' Australia.

Akhir kata

penulis mengucapkan selamat membaca. Ucapan syrkur

kepada Bapa saya panjatkan karena buku ini dapat terwujud berkat ^kasih- Nya semata.

Wollongong, Australia, 2012 Dr. Prabuono Buyrrng ^Kosasih

DAFTAR ISI

PRAKATA.

DAFTARISI

MENGENAT METODE ELEMEN HINGGA

(MEH)

¹

1.1

Apa dan Mengapa: Metode Elemen Hin99a... 1

1.2

Langkah-langkah Penerapan Metode Elemen

Hin99a...

2

1.3

Perkembangan Metode Elemen

Hingga

⁵

1.4

Contoh-contoh Aplikasi Metode Elemen

!Iingga...

⁶

ANATTSTS RANGKA BATANG

(TRUSS)...

¹¹

2.1 Pendahuluan

¹¹

2.2

Elemen Truss l-Dimensi

...

¹³

2.3

Elemen Truss

2-Dimensi... 2l

2.4

^{Elemen Truss}

3-Dimensi...

²⁷

2.5

Program MATT-AB untuk Analisis Truss 3-Dimensi... ³²

2.6

^Soal-soal

Latihan...

³⁹

FORMT'LASI ENERGI POTENSIAT

MIMMUM:

ANALI$S BALOK DAN

RANGKA...

⁴³

3.1 Pendahuluan

⁴³

3.2 FormulasiMinimumEnergiPotensial.... U

3.3

E1emen

Ba1ok...

⁴⁷

3.4

Elemen Rangka

(Frame)

⁵⁸

3.5

Elemen Rangka Umum / Elemen Balok 3-Dimensi...

.. &

3.6

^Efek dari

Panas...

⁷²

3.7

^Soal-soal

Latihan...

⁷⁵

lll

1.

2.

3.

4.

Teori dan Aplikasi l'|etode Elemen Hingga

FI.JNGSI INTERPOLASI DAN TIPE ELEMEN ...

4.L

Pendahuluan

4.2

Elemen l-Dimensi..

4.2.1 Elemen Linear...

4.2.2 Elemen Kuadratik...

4.2.3 Elemen Polinomial Umum...

4.3

Elemen2-Dimensi..

4.3.1 Elemen Linear Rektangular

4.3.2 Elemen Linear Quadrilateral Isoparametrik...

4.3.3 Elemen Linear Triangular

4.3.4 Elemen Kuadratik Rektangular...

4.3.5 Elemen Kuadratik Rektangular Serendipiti...

4.3.6 Elemen Kuadratik Sisi Lekuk Isoparametrik 8 node...

4.3.7 Elemen Kuadratik Sisi Lurus 6 node...

4.3.8 Elemen Kuadratik Sisi Lekuk Isoparametrik 6 node...

4.4

Elemen 3-Dimensi

4.4.1 Elemen Linear Heksahedron...

4.4.2 Elerrren Linear Heksahedron Isoparametrik...

4.4.3 Elemen Linear Tetrahedron

4.4.4 Elemen Kuadratik Heksahedron Serendipiti ²⁰ Node..

4.4.5 Elemen Kuadratik Tetrahedron 10 Node

4.5

^Integrasi Numerik...

4.5.1 Elemen 1-Dimensi

4.5.2 Elemen 2-Dimensi ...

4.6

^Soal-soal Latihan...

ANALISIS BENDA PEIAT ELASTIK 2-DIMENSI

5.1

^Dasar Kontinuum Mekanik Benda Pejal (Solid)

5.2

Anatisis Tegangan Bidang (Plane Suess Analysis) ...

5.3

Analisis Regangan Bidang (Plane Strain Analysis)....

79 79 80 80 83 84 85 85 89 90 95 97 99

i00

101 101 102 104 105

r07 t07 108 108 109

t12

113 113 r17 118 5.

Daftar lsi vil

6.

5.4

^Formulasi MEH: Elemen Segitiga

Linear

... 119

5.5

Formulasi MEH: Elemen Linear Segi

Empat.

... 125

5.6

^Beban Merata (Distributed

Load)...

... 135

5.7

Benda Pejal

Aksissimetris

... 139

5.8

Efek dari Panas

...

^{... 147}

5.9

^Soal-soa]

Latihan...

... 152

ANALTSTS

MODAr...

... 757

6.1 Pendahuluan

... 157

6.2

Sistem Beberapa Massa dan

Pegas

.... 160

6.3

Penghitungan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan

MATLAB

....

lU 6.4

^Sistem

Kontinum

... 165

6.5

Elemen Aksial

(l-Dimensi)

... 166

6.6

^Elemen

Ba1ok...

... 172

6.7

^Elemen

Frame...

... 177

6.8

^Soal-+oal

Latihan

... 179

FORMIJLASI

RESIDUBERBOBOT

... ¹⁸³

7.1

Metode Numerik untuk Memecahkan Persamaan

Diferensial ..

¹⁸³

7.2

Metode Residu Berbobot

l-Dimensi..

... 184

7.2.7 Metode

Kolokasi

... 186

7.2.2 Metode Least

Squares

... 187

7.2.3 Metode

Galerkin

... 187

7.3

Metode Residu Berbobot

2-Dimensi..

... 192

7.4

^{Bobot Residual} Bagian-per-Bagian (E1ement-by-Element)

l-Dimensi

... 195

7.5

^Penerapan Metode Galerkin untuk PDB

umum ..

202

7.6 Soa]--soallatihan

... 206 7.

Yiii Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga

8.

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL...

8.1

Pendahuluan

8.2

^{Formulasi Metode} Elemen Hingga dengan Metode Galerkin...

8.3

Elemen Bi-linear Segi Empat.

8.4

E1emen Linear Segitiga

8.5

^Elemen Isoparametrik Segi Empat.

8.6

Problem Aksissimetris ...

8.7

Problem Transien

8.7.1 Perbedaan Maju ...

8.7.2 Perbedaan Mundur...

8.7.3 Metode Crank-Nicholson (C-N) ^...

8.8

^Soal-soal Latihan...

DAFTAR PUSTAKA

21,1

2tt

2L3 215 237 246 254 262 264 264 265 270 274

MENGENAL

METODE ELEMEN HINGGA (MEH)

l.l

^APA DAl{ }lEllGAPA: ltlET0DE EtEltlEt{ HIilGGA

Metode Elemen Hingga adalah metode numerik untuk mendapatkan solu- si persamaan diferensial, baik persamaan diferensial biasa (Ordinary Ditre- rential Equation) maupun persamaan diferensial parsial (Partial Differen- tial Equation). Karena persamaan diferensial seringkali digunakan sebagai

model permasalahan enjineering maka penting bagi para insinyur untuk dapat memahami dan mampu menerapkan MEH. Saat

ini

MEH merupa- kan salah satu metode numerik paling versatile untuk memecahkan pro- blem dalam domain kontinuum.

Pada awalnya MEH dikembangkan untuk memecahkan problem

di

bi- dang mekanika benda padat (solid mechanic), tetapi

kini MEH

sudah merambah ke hampir semua problem enjineering seperti mekanika fluida

(fluid

mechanics), perpindahan panas (heat transfer), elektromagnetik (electro magnetism), getaran (vibration), analisis modal (modal analysis), dan banyak lagi problem enjineering lainnya.

Proses

inti MEH

adalah membagi problem yang kompleks menjadi bagian-bagian

kecil

atau elemen-elemen

dari

mana solusi yang lebih sederhana dapat dengan mudah diperoleh. Solusi dari setiap elemen jika digabungkan akan menjadi solusi problem secara keseluruhan. Gambar 1.1

menjelaskan cara kerja MEH di mana solusi suatu problem yang kompleks diaproksimasikan oleh solusi elemen. Untuk mendapatkan solusi elemen- tal, MEH menggunakan fungsi interpolasi untuk mengaproksimasikan so- lusi elemen. Untuk contoh

ini

suatu fungsi linear yang sederhana diper- gunakan sebagai fungsi interpolasi. Setelah solusi setiap elemen diperoleh, dengan menggabungkan solusi-solusi elemen maka solusi keseluruhan

L

^Ieori dan Apiikasi i{etooe llemen llingga

probiem dapat dipercleh fungsr kuadratik seoagal

dlperoleh.

Dengan menggunakan lungsi poiinomiatr sePefti tungsr interpoiasl, ^solusr yang 1e'brh akurat bisa

elemetr

^{titik nresh}

inor"le)

Gambar

l.l

Aproksimasi solusi keseluruhan diperoleh dari gabungan solusi-solusi elemen.

I.2

IAI{GIOH.IANGIGH PEI{ERAPA}I }IEIODE EIE}IE}I HI]IGGA

prinsip

MEH

adalah membagi domain permasalahan, baik

itu

^domain

ruang (spatial domain) atau domain waktu (time domain), menjadi ^sub- domain atau elemen yang lebih kecil. Dengan menghitung solusi ^pada elemen-elemen dan selanjutnya menggabungkan keseluruhan solusi ele- mental, solusi total dari permasalahan diperoleh. ^Dalam menghitung ^solu- si per elemen tentunya solusi elemen harus memenuhi ^beberapa ketentu- arr, seperti kontinuitas ^pada

titik-titik

^{nodal dan antarmtka} (interface) elemen.

Di

samping Metode Elemen Hingga, metode numerik lain yang umum digunakan adalah Metode ^Perbedaan Hingga (MPn.Perbedaan utama dari kedua metode ini terletak ^pada solusi yang diperoleh ^dan _iuga bentuk (geometrfl dari domain. MPH menghasilkan solusi aproksimasi ^pada

titik- titik

^nodal Qtointwise solution). Guna memperoleh solusi yang lebih akurar,

jumlah titik nodal

diperbanyak.

MPH sulit

digunakan ^pada domain dengan benruk geometri yang kompleks. Hal

ini

^{dapat dipahami}

hrngri rr"'rluri 5*slrnFstlhn\'"1

:nlusi r:lemetrhrl {aprokrinr:rsi ⁾

i'iengenal i'letode Iiemen Hingga (i'ltH)

dari Gambar

i.2

yang berupa sebuah seperempat

protil

annuius. lv{er;ir

MPH digambarkan pada Gambar i.2a dan mesh MEF{ pada Garnbar i.2b dan 1.2c. ]eias terlihat bahwa dengan menggunakan MPF{,

titrk-titik

uresh

(nodeil tidak

dengan tepat berada pada batas annulus.

Hal ini

^akan

rnengurangi akurasi hasil dari MPFI. Secara logika IVIFH dapat digunakan pada problem dengan domain yang kompleks asalkan

kita

^gunakan

ukuran mesh yang kecil sehingga boundari domain dapat diikuti

titik-titik

mesh secara

lebih

akurat.

Hal ini tidak

rnenjadi masalah

jika

MEH digunakan karena

ritik-dtik

mesh ivlEH dapar diietakkan pada batas

domain (Gambar 1.2b dan 1.2c). Gambar 1.2 menggambarkan dua ^jenis elemen MEH,

yaitu

elemen segitiga (triangalar element) dan elemen segiempat (q uadrila teral elem en t).

(.) (b)

k)

Gambar 1.2 (a) Mesh Metode Perbedaan Hingga, (b) elemen segitiga, (Q elemen segiempat. o adalah titik-titik nesh (node\.

Dengan

MEH,

solusi yang diperoleh adalah fungsi interpolasi setiap elemen. Setelah fungsi interpolasi elemen dihitung, solusi keseluruhan dapat diperoleh. Fungsi-fungsi interpolasi setiap elemen ditentukan oleh nilai ^pada

titik-titik

^mesh.

Pada prinsipnya penerapan Metode Elemen Hingga terdiri dari langkah- langkah berikut:

1.

Diskretisasi domain

Pada tahap

ini

kita tentukan jenis elemen yang akan

kita

gunakan.

Untuk

problem 2-dimensi (Gambar 1.2), elemen 2-dimensi yang umum digunakan adalah elemen triangular Qiga ^sist) atau quadrila-

teral

(empat sist). Elemen-elemen

ini

^bisa berupa elemen linear

2.

leori dan Aplikasi I'letode Elemen Hingga

ataupun non-linear.

Untuk

problem 3-dimensi, elemen 3-dimensr yang umum digunakan adalah elemen tetrahedral (empat muka) ^dan heksahedral (enam muka). Terlihat pada Gambar 1.2, elemen-elemen yang digunakan mempunyai ukuran yang berbeda-beda.

Ini

^adalah

salah satu keunggulan dari MEH dibanding MPH,

di

mana elemen- elemen yang berbeda ukuran dapat digunakan. Elemen-elemen ber- ukuran kecil dapat digunakan pada daerah dengan gradiasi nilai ^yang besar. )enis-jenis elemen yang umum digunakan pada metode elemen hingga akan kita bahas pada Bab 4.

Penentuan bentuk fungsi aproksimasi

Pada tahap

ini

bentuk dari fungsi interpolasi ditentukan. Fungsi yang umum digunakan ^adalah fungsi polinomial. Tingkat dari polinomial

ini

ditentukan oleh jumlah node pada setiap elemen dan syarat konti- nuitas yang diperlukan pada batas elemen.

Untuk

elemen segitiga dengan tiga

titik

nodal, fungsi interpolasinya ^adalah fungsi linear atau polinomial tingkat 1. Dengan enam

titik

^nodal, fungsi interpolasi yang digunakan adalah fungsi polinomial tingkat ^{2 atau} fungsi kuadratik- Penghitungan properti elemen

Fungsi interpolasi yang telah ditentukan ^pada tahap 2 kemudian di- substitusikan kembali pada persamaan-persamaan diferensial dan di- proses guna mendapatkan sistem persamaan linear atau sistem matriks yang merupakan properti dari elemen terkait. Ada beberapa cara yang dapat digunakan

untuk

mendapatkan persamaan

linear

tersebut, antara

lain

pendekatan

direk,

pendekatan variasional, ^pendekatan residu berbobot (weighted residue) dan pendekatan keseimbangan energi. Beberapa dari teknik ini akan kita pelajari di buku ini.

Pembentukan sistem persamaan linear

Matriks-matriks elemen yang terbentuk kemudian ^digabung menjadi matriks global. Ilkuran matriks elemen adalah jumlah node perlemen dikalikan jumlah ^degree of freedom (dol) setiap node. |adi untuk ^ele- men segitiga dengan 3 node dan

I

dof, ukuran dari matriks elemennya adalah 3x3. Seandainya setiap node mempunyai

2

dof maka ukuran matriks elemennya adalah 6-16.

3.

4.

l''lengenal l'|etode Elemen Hingga (l,lEH)

5.

Pemecahan sistem pers:rmaan linear

Sistem global yang terbenruk pada tahap 4 dapat berupa sisrem persa- rrraan linear atau sistem persamaan non-linear. fika ^sistem yang ter- bentuk berupa sistem persamaan linear teknik-teknik umum untuk memecahkan sistem dapat kita gunakan. Beberapa teknik yang umum digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear telah dibahas oleh penulis _[Kosasih, 2006].

6.

Post process hasil

Setelah solusi diperoleh pada tahap 5, hasil dapat ditampilkan berupa grafik kontour atau

plot. iika

ada parameter

lain

yang bergantung pada hasil maka parameter ini dihitung setelah hasil diperoleh.

I.3

PERIG}IBAI{GAII }IETODE ELE]IE]{ HIilGGA

Metode Elemen Hingga awalnya dikembangkan untuk industri pesawat terbang pada tahun 1950-an oleh Boeing dan Bell Aerospace. Artikel journal peftama tentang metode

ini

ditulis oleh Turner, et al. Tulisan

ini

menjabarkan bagaimana formulasi elemen ditentukan dan elemental ma- triks dibentuk. Pada saat

itu

mereka belum menggunakan istilah Finite Element Method

(MEI4.

Istilah Metode Elemen Hingga pertama kali digunakan

oleh

Clough pada

tahun

1960

lewat

tulisannya mengenai elastisitas.

Pada awalnya perkembangan MEH agak sedikit lambat karena kemampu-

an

komputer saat

itu

membatasi kegunaan

dari MEH

dan kurangnya

bukti-bukti

matematik yang solid. Namun demikian beberapa peneliti seperti Zienkiwicz, Iron, Owen dan Gallagher melihat potensi dari MEH dan terus mengembangkan teknik MEH. Seiiring dengan perkembangan perangkat komputer maka permasalahan yang dapat dipecahkan semakin bervariasi dan berbagai program komputer ditulis. Hal

ini

diikuti dengan berkembangnya beberapa program komersial MEH, seperri NASTRAN yang dikembangkan oleh NASA pada tahun 1965, ANSYS yang dibuat oleh |ohn Swanson dan dikomersialkan pada tahun 1969, ABAQUS pada tahun 1978 yang dibuat khusus untuk problem non-Iinear, dan LS-DyNA

Teori dan Aplikasi l'letode Elemen }lingga

yang khusus untuk non-linear problem oleh |ohn hallquist di Livermore National Laboratory.

Saat

ini

MEH ^sudah menjadi mata kuiiah wajib di banyak fakultas teknik' Para mahasiswa teknik, terutama teknik sipil ^dan teknik mesin, diharus- kan memelajari dan mampu menggunakan program MEH'

I.4

C(}I'|T()H.C()NTOH APTIIGSI I.IETODE EtEl'IEt{ HINGGA

Berbagai macam pemasalahan telah dianalisis dengan menggunakan MEH' Aplikasi Metode ^Elemen Hingga dapat digolongkan menurut ^tiga kategori lHuebner,

D7n.

Yang perrama adalah jenis permasalahan yang dikenal sebagai problem equillibrium atau problem steady-stare. Contoh-contoh problem equillibrium ^pada problem mekanika ^benda pejal adaiah peng- hitungan tegangan (stress) dan regangan (strain), pada problem perpin- dahan panas konduksi (conduction heat ^transfer) penghitungan distribusi suhu, ^pada problem mekanika fluida, tekanan, kecepatan dan suhu fluida dapat dihitung ^oleh MEH.

Contoh problem konduksi panas pada Gambar 1'3a menggambarkan distribusi suhu dinding ^{cerobong asap.} Dinding cerobong terdiri dari dua bahan: beton dan bata. Suhu ^gas di dalam cerobong bagian dalam adalah 140'C dan suhu udara di bagian luar adalah 10"C. Pada problem ini varia- bel yang ingin kita ketahui adaiah suhu ^pada sisi luar karena iika ^suhu terlalu tinggi maka lapisan beton harus dipertebal. Dengan menggunakan Mechanical APDL, program MEH dari ANSYS suhu pada setiap bagian dapat dihitung. Gambar 1.3b memberikan mesh yang digunakan ^dan Gambar 1.3c memberikan distribusi ^suhu di tembok cerobong'

Mengenal l''letode Elemen Hingga (l'ltH)

T* l4lXl tr- 301!:mrl'C

lJetslfi L * 1.l"l1f i-("

Bata k.. L).' lv."{:

*.,1m T. I*,C

h - 3{! !f,tr:.''C e

,

Gambar 1.3 (a) Parameter problem cerobong, (b) l'lesh cerobong, (c) Distribusi suhu di cerobong.

Teori dan Aplikasi l,letode Elemen Hingga

|enis problem yang

lain

adalah problem eigenvalue

di

mana frekuensi natural (natural frequency) dan mode dari ^getaran (uibration mode) dari suatu struktur perlu dihitung. Bagi para enjineer yang merancang struktur atau komponen

di

mana terdapat beban dinamik (dynamic loading), frekuensi natural dan mode vibrasi merupakan parameter yang perlu dipertimbangkan pada tahap perancangan.

Gambar 1.4 adalah contoh suatu komponen suspensi dari harddisk drive.

Kerja harddisk sangat sensitif dengan getaran, terutama getaran pada arah radial. Oleh karenanya perancang harddisk perlu mengetahui frekuensi natural suspensi

di

mana mode vibrasi pada arah radial terjadi. Dengan menggunakan

MEH

^(pada

contoh ini,

program Mechanical APDL digunakan) frekuensi-frekuensi nafural dari suspensi

ini

diperoleh beserta dengan mode vibrasinya. Dari hasil yang diperoleh dapat dilihat bahwa getaran radial terjadi ^pada mode kelima dengan frekuensi natural sebesar 11.85 kHz. Dengan informasi

ini,

pengoperasian harddisk pada frekuensi ini harus dihindari.

l'|engenal Metode Elemen Hingga (l'lEH)

I'lode 3 pada frekuensi 2.761 kHz l'lode 4 pada frekuensi 9.336 kHz

a|a,h.adbt

l.lode 5 pada frekuensi I 1.85 kHz Gambar 1.4 I'lode-mode vibrasi suspensi harddisk'

|enis problem yang ketiga adalah problem yang bergantung dengan waktu (time-dependenr) ata:u transient problem.

Untuk

menjelaskan contoh problem ini kita gunakan kembali contoh cerobong asap. |ika ^{sebelum gas} mengalir

di

dalam cerobong suhu dari dinding cerobong sama dengan suhu udara

di

luar cerobong,

yaitu

10"C, dan ^sesaat setelah gas _Panas (140'C)

mulai

mengalir maka suhu dinding akan

naik

dan akhirnya mencapai

equillirium

ataLl steady-state.

fika kita ingin

^mengetahui

l'|ode I pada frekuensi 257.46 Hz Ilode 2 pada frekuensi 1.944 kHz

t0 ^Teori dan Aplikasi lletode Eiemen Flingga

progresi suhu dinding muiai dari gas mengalir, anaiisis iransi€nt hai:us

dilakukan. Dengan rnenggunakan Mechanicai

APili,,

distribusi suhu paca dinding cerobong dapat diprediksi. Gambar 1.5 menggambarkan distribusi suhu beberapa waktu setelah gas mengalir.

20 detik 40 detik

60 detik 80 detik

Gambar 1.5 Suhu pada dinding cerobong pada waktu yang berbeda.

E

AhIAIISIS MANGKA BATANG {vHUss)

}.I

PEI{DAHUTUAN

Truss terdiri dari elemen-elemen lurus memaniang(truss element) dengan sambungan-sambungan yang bebas berputar, seperti sambungan ^baut, rivet atau pin ^(Gambar 2.1). Beberapa contoh ^{rangka truss} yang sering kita jumpai sehari-hari antara lain menara transmisi, rangka jembatan (Gam- bar 2.2), rangka bangunan dan rangka otomotif ^(chasis). Karakteristik dari elemen truss adalah dimensi penampang yang iauh lebih kecil dibanding dimensi aksial.

Oleh

karena

itu

elemen truss

tidak

dirancang untuk menahan beban torsi (torsion), beban geser (shear load), dan beban tekuk (bending). Elemen truss hanya digunakan untuk menahan gaya aksial. Hal

ini

mungkin jika hanya ada dua gaya kolinear ^(gaya yang beraksi ^pada sumbu eiemen) yang beraksi ^pada setiap elemen. Untuk keseimbangan, kedua gaya

ini

beraksi dengan arah yang berlawanan. Karenanya elemen truss dikenal ^sebagai elemen dua gaya (two-force element). Gaya-gaya

ini

menyebabkan elemen mengalami tegangan ^atau tekanan yang menyebab- kan elemen itu memanjang atau memendek.

Pada Gambar ^2.3a terlihat bahwa elemen truss ada yang mempunyai sum- bu aksial yang paralel dengan sumbu x sistem koordinat

x-y

dan ada yang mempunyai sumbu aksial dengan sudut

a

terhadap sumbu-x ^(Gambar 2.3b). Dari analisis truss, apa yang ingin kita ketahui adalah pergeseran (deformation) dan besarnya tegangan/tekanan (internal stress) anggota- anggota truss pada regime elastik. Struktur ^{truss bisa merupakan} struktur planar (2-dimensi) atau struktur ^ruang (3-dimensi).

Analisis truss menjadi sederhana jika sifat bahan truss tidak berubah pada saat terbebani. |uga jika pergeseran yang terjadi kecil sehingga perubahan geometris

tidak

memengaruhi persamaan-persamaan yang diturunkan.

t2 Teori dan Aplikasi I'letode Elemen Hingga

Oleh karenanya metode analisis truss yang kita bahas pada bab

ini

tidak dapat diterapkan

unruk

menganalisis permasalahan yang melibatkan

yielding,

buckling

atau

pergeseran

yang

besar sehingga perubahan geometri harus diperhitungkan dengan memperbarui geometri. Untuk permasalahan dengan pergeseran yang besar, analisisnya menjadi analisis permasalahan non-linear.

Gambu 2.1 Sambungan pada truss

(a)

Jembatan

^(b) Tower transmisi Gambar 2.2 Contoh-contoh struktur truss

Analisis Rangka Batang (lruss)

on.,

-€

l,rras porarrpaug

A(t)

u44-uto

,

t

L_*

llrol

@

Ftd.,!9

_{til tt}

'L_-

(b)

Gambar 2.3 (a) Elemen bersumbu aksial sejajar dengan sumbu x,

(b) Elemen benumbu aksial dengan sudut a ^terhadap sumbu x.

2.7

^{ETEI,IE}I TRU$ I.DI}IENSI}

Mari kita

analisis elemen truss l-dimensi (Gambar 2.3a). Pada elemen truss, gaya-gaya eksternal hanya beraksi pada ujung-ujung elemen: node

r

dan _7. Sebagai akibat dari beban ini maka elemen (e) akan memanjang atau memendek. Pada buku

ini

superskrip (e) menandakan elemen

ke

^(e)

sedangkan subskrip menandakan nomor node elemen. Sebagai contoh, pergeseran sejajar sumbu-x node

7

^akan dituliskan sebagai

u\l)

^{y^rg}

menandakan komponen-x dari variabel u untuk lokal ^node

j

elemen (2).

t3

(a)

t4 Ieori dan Aplikasi l',letode Elemen Hingga

Guna menghitung pergeseran elemen (e),

kita

gunakan analisis statis.

Untuk memenuhi syarat keseimbangan (equillibrium) atau menghindari terjadinya pergerakan badan rigid (rigid body motion) maka

I

^{F- = 0:PIc)} _ll

*P(e):0 )

F!e) _Il =_Ptet ^(2.1) Sedangkan gaya intern ul,

{),

yang beraksi pada elemen digambarkan secara sembarang pada masing-masing bagian tetapi harus berlawanan arah ^(Gambar 2.4). Guna memenuhi kondisi keseimbangan node

i

^dan

I

maka

IF-=O

tF

x=0

(node

l:

^{P{e) *1{e)}

=0 )

(node):

_P@

-1@:0 )

I

F:')I

F(')

)

-

^sG)

= -(e) (2.2)

(2.3)

u1') dan

I Gambar 2.4 Gaya internal pada elemen

Besarnya gaya internal frd dapat dihitung dari pergeseran node:

u(') ^{sesuai hukum Hooke.}

l

O@ -g(e) ^r(c) (2.4)

di

mana

Jd

^adalah tegangan (stress), Erd adalah Young modulus ^dun ek)

adalah regangan (strain) yang merupakan rasio perubahan panja.rg,

d''

dan panjang awal,L@. dd

dib"rikr.,

A("):uld

_

_.r1")

...

^(2.5)

dan regangan, s(") 4i6erikan oleh

tt)

^6/c)

ul"

^(.e)

- *

^ui_uk)

(e)

11r)

(2.6)

Analisis Rangka Batang (lruss)

Persamaan (2.6) dapat juga diperoleh dengan mengumpamakan elemen truss sebagai elemen l-dimensi

di

mana pergeseran di elemen diberikan oleh persamaan

u@ :uG) _{sfd + uf')}

sj"' ...

^(2.7)

S, dan S, adalah fungsi bentuk ^(Shape Function) sehingga u pada node

i

sama dengan

u,

dan pada node ,r ^sama dengan u,. Fungsi-fungsi yang memenuhi syarat-syarat ini adalah

x,

-x

si

= xi-xi

^(2.8)

t5

q - X-Xi

ri-

'

^xj

-xi

^(2.e)

Dapat dihitung dari (2.8) dan (2.9) bahwa Si bernilai satu pada node zdan nol pada node _7. Sebaliknya, S1 bernilai satu pada node Tdan nol pada node r. Selanjutnya srrain, a("), diberikan oleh

t,.) du(r''

/,,) d

sli)

, ^{, d}

51"

ul'r

-

^rt''r

t"'':f,* :rl"; *ri"' ai ' ,,,

^(2.10)

yang sama dengan persamaan (2.6). Selanjutnya dengan menggunakan definisi

,tr"r, /'l

yang diberikan oleh

dan dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan (2.10) dan (2.i1) ke persamaan (2.4) diperoleh

,,",

_E'l';fl'!F,;,*r1,,)... (2.r2)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.2) dan (2.3) kita peroleh dua persamaan.

rf'):t<(d(ula)*:uQ))

^(2.13)

(2.11)

t6 Ieori dan Aplikasi I'letode Elemen Hingga

pt,r -pr,r(-u,r,,

*

u,f,) (2.t4)

di

^mana

k/d

adalah koefisien kekakuan (stiffness coefficient) yar,g bergantung pada sifat bahan dan geometri dari truss dan diberikan oleh (2.15).

vret -.E(')

A1" ...

^(2.15)

r<._.=_IJJ

Dengan k(') dari ^(2.15) sistem persamaan (2.13) dan (2.14) dapat dituliskan dalam suafu sistem matriks sebagai berikut:

,-'(e) r tk)

lol

[- -,.,r[1 -11J"'I

1tl =k'"1-1 ,li",l

^{(2 16)}

F@ K@

^ok)

d.i mana Fr', adaiah vekror

g

^{ya, K@} adalah matriks kekakuan (element stiffness matrix) d"r, ^u1"/ aciaiah vektor pergeseran (displacement vector).

Contoh 2.1

Sebuah

batang terbebani gaya ak&al

^sebesar

10 kN.

^Tentukan

pemanjangan batang

ini.

contoh

ini

dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan teori elastisitas, tetapi kita akan menggunakan MEH untuk menghitungnya.

l0kN

Dengan menggunakan sebuah elemen truss, model

dari

balok

ini

di- berikan oleh ^gambar di atas. Sistem matriks untuk satu elemen hanyalah sistem

untuk

elemen

itu

sendiri yang diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.16).

,{,* 0.001 ra}.

F:

^{?00 GPa}

Analisis Rangka Batang (fruss)

Seandainya model elemen hingga dari contoh di atas terdiri dari beberapa elemen truss seperti diberikan oleh Gambar 2.5

di

bawah, relasi antara gaya dan pergeseran pada setiap elemen tetap diberikan oleh persamaan (2.16).

A(l) E(1, A(2),E(a _A(s), E(tr)

(n)

r*

I (1) F2*]? (2) F:{ .E

t7

[* ,o ]"':u"'[], /l[l;]"

Menurut persamaan

(2.1,

k0) = ^400e6 N/m dan karena node rterkonstrain ui = 0, maka dari lajur kedua kita dapat persamaan

F, = 400e6 u,

)

^u,

=

#=r,025

^mm

Selanjutnya reaksi

\

^dapat dihitung dari persamaan yang diberikan oleh lajur pertama.

Ri

:

k(1)(ui

-

^{ui) = 400e6(0}

-

^{0,025e-3) = 10}

kN

I L(r) I t-t2t ^I

Gambar 1.5 Problem terdiri dari beberapa

Lfd elemen truss aksial l-dimensi.

(2.17)

,'l[;;]"'

Untuk elemen (1)

It,lt"=p,,,[1

LF,l

^L-1

danelemen (2)

l'rf''' =L,r,[1

LF,l

^L-1

;l[;;]''

^(2.18)

i9 Anaiisir fhngka Batang (frus)

ilada contoh

ini

batang dibagi menjadi dua elemen. Kekakuan pada rnasing-rnasing elernen diperoleh sesuai persamaan (2. 15).

,ntu

:2ood^I9r-0,

₌ 8ooe6 N / m 0.25

przr :2ooee

:q:qg'=

^{4ooe6 N / m}

I--lan sistem elemental matriks dari masing-masing elemen ini adalah

rR,l''' --.1 1 -1.l[r,-l"', [Fr-]''' .^^^l 1 -l-l[ur-lt2'

ldl =soOeo[-t , ]L;;l o" Lu,l =+00e"[-t ,]1",1

Dengan menggabungkan kedua matriks maka

kita

akan mendapatkan sistem matriks global dari problem ini.

i--nu)I

I

^I{r

=R," I t 8 -8

^o

-l[",

¹

!p,:rl"*pj"l--roo"nl-s 8+4 -4ll r, l)

l .l';" ' ] [o -4 * ]1",1

lo, I t8 -8 oll o]

| -sooo

l:too"ol-s B+4 -+ll ".

^I

t t t il'l

[10000] L0 -4 a_lL,,l

Karena ur = 0, guna menghitung u, dan u, kita hanya perlu memecahkan sistem sebesar 2-r2.

J

-sooo

i=roo""l r, -nl[,,l

|

100001 l-4

^a

llrrl

Sistem

ini dapat

dipecahkan menggunakan metode-metode untuk rnerr$hitung sistem persamaan linear _fKosasih, 2006] dengan hasil

Iu"l

^16.2s1

i ' l:l le'mm

Lrr

l

^131.25)

'irlaljutnya

^{gaya reaksi pada node 1 dihitung} menggunakar-I irersamaan ,:rdr laju.r pertama.

t8 Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga

dan elemen (n/

tF r{rr) I1 -1-l[u^-Jt"'

I -n I =[,rl 'll "" I

^i2.19)

LF"

'l L-l

¹

llr"

^{, l}

Guna mendapatkan sistem globai, semua sistem persamaan (2.I7)

-

^(2.19)

digabung hingga membentuk ^sistem global (2'20)'

tq

1., t- lF. t:

lu"

lu,.r,

Fl"

Fl1)+Ff) Fj2)+Fj')

:

Ff' ') ⁺ Fl"

Fll

0 0 0

y(n ¹⁾ *y.(tr) tr(r)

k(1) -k(1)

⁰

_k(1) _k(r) +

k(2)

-k(2/

0 _k(2)

^prz) * trr:r

::

00 00

K

nll",

0 li

tr^

o ,ll: ll ".

p,,,,

ll *.

u,,, _lL,"-, 1z.lor

:

0 0

di mana F adalah vektor ^gaya global termasuk ^gaya reaksi pada penyangga' K adalah matriks kekakuan (gtobal stiffness) global d"n u1') adalah vektor

pergeseran

global.

$,

Contoh 2.2

Sebuah batang terbebani gaya sebesar

10 kN dan 5 kN'

Tentukan pergeseran pada lokasi.di mana gaya berada (u, dan u.) dan reaksi pada node 1.

lfi kN

A:0.Sill

^{nr3^}

E*

^3{iS

fitrn

l* ki{

Teori dan Aplikasi lvletode Elemen Hingga

Rr = ^1ooe6 (-8 x 6.25e-6) = -5 kN

Dari sini terlihat bahwa pembagian elemen ditentukan ^pada

titik-titik

di mana ada gaya atau ada perubahan properti dari balok. Contoh ^2.3 lebih memperjelas hal ini.

Contoh 2.3

Sebuah balok terbebani gaya sebesar 10 kN. Tentukan pergeseran ^pada node 2 dan 3 (u, dan ur) dan reaksi

\.

F3= 10h.N

l0kN

pada contoh

ini

balok dibagi menjadi ^dua elemen]Node di mana elemen dibagi adalah

titik di

mana ada perubahan penampang. Sesuai data yang diberikan, koefisien kekakuan untuk masing-masing elemen ^adalah

200ee x0.002

p(1) =

1(2) =

0.25 200ee x0.001

0.5

=1.600eeN/m

=400e6 N / m

Sistem elemental matriks dari masing-masing elemen ^adalah

[o,'1"'=r.oer[ 1 -'l["'lt"

LF,.l L-1

¹

ll",l

['rlt"=+ooe6[ 1 -tl['^.1(2)

I F,

I L-1 ' ]1";]

-

0"003 rrrl

A = ^0.001 nrl

Analisis Rangka Batang (lruss)

2.3

EtEltElt TRUSS 2-DIltEilSI

Elemen truss 2-dimensi (Gambar 2.5a) mempunyai 4

dodyain

pergeseran setiap elemen diberikan oleh 4 pergeseran nodal u,*, tliy, uix dan u,, pada

koordinat sistem global X-Y.

Persamaan (2.16) hanya dapat diterapkan pada sistem koordinat lokal (x- v).

2t

Dengan menggabungkan kedua matriks ini, matriks global didapat:

[n,l lrc -1,6 o-l[",-l

I

r, l:roo"ul-ro 't6+4

^-+ ll

,, l+

Lr.l Io -4 n]1".]

I n. -] [ te -r('

^{o-ll- o'.l}

I o' l:roo"'l-ro

^{'16+4 -o ll}

,,

I

[roooo.] [o 4

n_]1",]

Guna menghitung u, dan u, kita hanya perlu memecahkan sistem sebesar

2i2.

tol .lzo -a-ltu"l

I l=L0Oeo| ll 'I 110000.1 14 a.ll"r,l

Sistem ini dapat dipecahkan dengan hasil

[,rrl |

^{6.251 _^}

I l=l

le "

fiun

["r.]

^{| 31.2s.1}

Gaya reaksi pada node

I

diberikan oleh persamaan pada lajur pertama.

Rr = ^1ooe6 (-16 x 6.25et1 = -to t N

[','-l"'

L4" l 4;/

7t ^{Teori dan Aplikasi} l'letode Ilemen Hingga

S""fr

S-$

ry."s

(a)

y.-#'"P

F.rP -'-

^{fr.- W /'}

0)

Gambar 2.5 gemen-elemen aksial 2-dimensi, (a) gaya dan pergeseran dalam koordinat sistem global X-Y, (b) dalam sistem koordinat lokal x-y.

Supaya sistem

lokal

^(x-y) dapat ditransformasikan

ke

sistem koordinat global X-Y, gaya pada koordinat ^sistem lokal (x-y) diekspresikan dalam koordinat ^{sistem globai} (X-Y) menggunakan transformasi berikut:

Analisis Rangka Batang (fnss) ₂₃

F,* =Fr* cosa

F1y =F'* cosp

F;x

=l*

^cosa

F;v =F;* cosP

(2.21)

Transformasi ini dapat diekspresikan dalam benruk matriks

/-\

lF,, l'" [cosa 0 I

It" | _l.o,p o l[r,.]"' e.zz)

ll-l I o cosal[r,-]

Lt,rl Io

^cosp_l

Ff.,, r'

*k) ^Ey"

Dengan menggunakan transformasi yang sama, pergeseran

titik-titik

nodal diberikan oleh

-

^{-/^\}

lr,* l'" [cosa 0

1"," | =l .o,p , l[,,..1"' -|^\

^(2.22)

1",*l I o cosallui-J

L"i"l L 0

^cosP.l

"[{, T'

-k)

"':]

di mana matriks transformasi Tr'l adalah

lcosacos600l

T'":L o o' .oro "orpl

^(2'24)

[)engan menggabungkan (2.20), (2.22) dat (2.23) maka kita peroleh

t4 Ieori dan Aplikasi l,letode Elemen Hingga

(2.25)

Kalau

K!]

adalah marriks kekakuan ^pada sistem koordinat lokal (x-y) maka Kl'l adalah matriks kekakuan global untuk elemen truss 2-dimensi.

11tu.r-1r('')

"fl r,,

^(2.26)

Hasil dari persamaan (2.26) setelah ketiga matriks dikalikan ^adalah

I cos'a

^cosa

cosp -cos2a

-cosa ^cosp'il

,.t,.,

^{, ,,,,}

I

^cosa

cosp cosll

-cosa

cos13 -cos,zp

_{| 1Z.Zl1}

K"''

=k"'l l

^'

| -cot'a -cosacosP cos2a

^{cosacosP I}

[-cor,r.orP -cos2P

^{cos a}

cosP

^cos2

P

I

Term cos pada persamaan (2.27) adalah arah kosinus (directional ^cosine) yang diberikan ^oleh:

'\a

Y /\i 7\i

COSII:

I -,

i''

[F,*

.l"''

[r,*-]t'''

ll i :r,'"',.rrr,.,l:;-

Lt,",l 1","

lI

Fll 11(e) ufi

dan

(2.28)

(2.2e)

.orP=

^Yrar;I

Panjang elemen L"/ diberikan oleh

(2.30)

Analisis Rangka Batang (Irus) 25

Contoh 2.4

I Iitung pergeseran nodal

2

dan besarnya truss dari rangka di bawah. Properti dari (),004 _m2 dan panjang 2,83 m.

tegangan pada kedua elemen truss adalah E = 200 ^GPa,

A

₌

Kedua elemen mempunyai properti yang sama sehingga k(r) -k(2)

:tE

^:Z,USe8 _{N / m}

L

Matriks kekakuan global elemen (1): i = ^{1 dan} j ₌

l;

I cos'45 cos45cos45

-cos245

,t1)

_^

-. *l

I

cos45cos45 cos245

-cos45cos45

I\ =Z,OJe ^I

| -cos245 -cos45cos45

^cos245

[-cos45cos45 -cos245

^cos45cos45

hubungan gaya

dan

pergeseran (2.25) unruk

0,5 -0,5 0,5 -0,5 -0,5

^0,5

-0,5

^0,5

-cos45 cos45l

-cos245

^|

cos45cos45 ^|

cos245

|

Setelah di clemen

(-f

IF,,

lt'

lE"l

1.,,

^I

Lr," ]

hitung

adalah

)

:)

^R'

-0,5

|

[u,* ]'''

-o,s

1J"," I

0,5

|

lur,

^I

o,s ll,,,J

0,5 0,5 -0,5

-o5

2,83e8 11(1)

alah

t6 ^Teori dan Aplikasi l'letode Elemen Hingga

=3danj=2:

kuan elemen ^(-Z) sama dengan elemen (1), sehingga

[ 0,5 -0,5 -0,5

^{0,5 -l} [ur1l(2)

,2.83"11-o'5 o'5 o'5

^-ou-

l]"*

-''""'

|

|

-0,5 0,5 0,5 -0,5

^|

lur*

^{

L

o,u -0,5 -{,5

^o,s

l["rrJ

a sistem di atas digabung ^maka kita dapatkan sistem global

0,5 0,5 -0,5 -0,5 0

⁰

0,5 0,5 -0,5 -{,5 0

⁰

-o,s -o,s li-rl -o,s

^o,s

-0,5 -0,5 l0 1l 0,5 -0,5

0 0 -0,5 0,5 0,5 -0,5 0 0 0,5 -0,5 -0,5

^0,5

Karena urx = ury = [ax = uev = 0, kita hanya perlu menghitung ur* and ur"

saja. Dan sistem Zx2yatgperlu dipecahkan adalah

[Fr*]_r.rr"r[1 olJ".l

Lrr".l:''"'= Lo rl1"*l

Dengan mensubstitusikan Fr* = ²⁰⁰ N dan Fr, = -600 N ke persamaan di

atas

[

^2oo

.l_,

o,-, [1 o'lJ"-l

[-eoo.]-''""- Lo 1.ll"r"J

Hasilnya adalah rzx= ^o,o707e-t m dan

!zv=

-0,2120e-t m' Dengan meng- gunakan ^persamaan lajur 1-2 dan 5-6, Saya-gayareaksi ^pada node 1 dan 3 dihitung sebagai berikut:

Node

,/:

^Fr* = 200 N dan Frv = 200 N Node

3: Fr*:

^{-400 N dan} Fsv = 400 N

Analisis Rangka Baang (Intss)

n

Dan stress pada setiap elemen adalah

.or

-

^Fr"

-

^{(Frx cos451Frv cos45)}

=70,71.kpa

^(kompresi)

u - \- Ar -'v'

.r(2) = Fs*

-

(Fr* cos451Fr" cos45)

=14-1.,421.ftpn ^(kompresi)

As -^=

L.4

^{ELEltEil TRUSS 3-DtltEil$}

Truss 3-dimensi (Gambar 2.6) dikenal ^sebagai truss ruang (space truss).

Elemen truss 3-dimensi mempunyai 6 dofyang terdiri dari 6 pergeseran nodal u,", u1y, n12,\1,u,v dan u;z pada koordinat sistem global XYZ.

Gambu 2.5 Hemen truss 3-dimensi.

Sama halnya dengan elemen 2-dimensi

vektor

gaya,

F$),

dan vektor pergeseran u$), diperoleh dari transformasi dari lokal koordinat sistem ke global koordinat sistem.

&, =t''"' ,!:1,,

^(2.31)

aglz =t''"'ulfl,

dengan matriks transformasi

28 Teori dan Aplikasi l,|etode Elemen Hingga

[cosacospcos/ 0 0 0l

T(e)_l-""" ""P Lvr/ v v " | ... ^(2.33)

^ L0 0 0 cosacosPcosTl

Dengan cara yang sama,

untuk

menurunkan (2.25), hubungan ^antara

rf{,

^dan uf

\,

^{dapat diperoleh}

Fftr,

=K'"' o9\,

^Q.34)

fahu

K{11' adalah matriks kekakuan pada sistem koordinat lokal ^(xyz)

^yL

maka

KId

adalah

matriks

kekakuan global elemen 3-dimensi ^yang diberikan oleh

y(d

_--1t@

K,:l*T

^(2.35) _"

Hasil dari persamaan (2.35) setelah ketiga matriks dikalikan ^adalah [ ^.or' , cosa cos/ cosc cos/ - cos' a cosa cosp - to'o tot/l

| .rrr.o.p ^cos' p eosBcosT - cosacosB cost p cos/cos7

|

"--u,l

cosacos/ cospcosT cos / -cosacosr/ cos/cos7 cos'1

^ ^ |

I ^cos a cosacosp -cosacos/ cos'd cosacos/ cosacosT

I

| -.orr.orB -cost / -cospcosl cosacosp cos'p ^cospcosT I

[-.orr"or7 cospcosT - ^cost T cosacos/ cosfcosT co"'7 |

Term ^cos pada persamaan (2.36) adalah arah kosinus (directional ^cosine) yang diberikan oleh:

cosa=a-f

Y-Y ^(2.37)

I:') cosB: l-j ,lo Y-Y

Zt-2,

COST= !-;

' lret

Dan panjang elemen Lr"/ diberikan oleh

(2.38)

(2.3e)

(2.40)

Analisis Rangka Batang (fns)

Prosedur pembentukan matriks kekakuan elemen dan penggabungan sistem elemen ke global ^{sistem sama} dengan proses pada truss 2-dimensi.

Contoh 2.5

Struktur truss 3-dimensi

di

bawah

terdiri

dari tiga elemen dengan ^luas penampang yang sama,

yaitu

15 cm2. Truss terbuat dari baja dengan Young's Modulus, E

=

200 GPa. Hitung: pergeseran

titik

^penyambung

node 1, tegangan (stress) pada setiap member, dan gaya-gaya reaksi pada node 2, 3, dan 4.

Struktur di atas terdiri dari 3 elemen, elemen ⁽¹⁾ (node 1-4), elemen (2) (node

1-),

dan elemen (3) (node

l-fl.

^Dari geometri, panjang ketiga elemen ^L(1) =L@ =161 = 2.5 m. Karena ketiga elemen juga mempunyai ^luas dan properti yang ^{sama maka} koefisien kekakuan k(1) =

kq

= ^k@ = ^l,2eg N/m. Matriks kekakuan masing-masing elemen ^adalah:

Elemen

(f

cosa=ff=-o,r )

^o(') =143,13"

cosp='j!=o,o ) /"

=s3,13"

19

Ieori dan Aplikasi l,letode Elemen Hingga

cosT=

0-0 "rJ =o ) /') =90'

Dengan mensubstitusikan sudut-sudut

ini

^ke

kekakuan elemen (1) diperoleh

-0,48

⁰

0,36

0

00

0,48

0

-0,36

⁰

00

persamaan (2.36), matriks

K(1) =7,2e8

K@ =1,2e8

Elemen (3)

0-2

2,5

^ 0-0

cosF=

u

0,64 -0,49

0 -0,64

0,48 0

0,64 0 -0,48 -0,64

0 0,48

-0,64 0,49

⁰

0,48 -0,36

0

000

0,64 -0,49

0

-0,49 0,36

⁰

000

Elemen (2)

cosry=

o;ft =-,o,t )

^a@ = 143,13"

cos6=9-9=s)y'ry=90" '

2,s 1.5

-0

,o"y=ff=0.6 )

^y'4

=s3,tl"

Matriks kekakuan elemen (2)adalah

0 -0,49

_-0,64

000

0 0,36

0,49

0 0,49

^0,64

000

0 -0,36

_-0,49

0 0 0 0 0 0

0,49 0 -0,36 -0,48

0 0,36

=-0,8 )

a@=143,13"

=o ) /0 =go'

ll

Analisis Rangka Batang (frus)

,ov=!!r;o=-0,6 > /"

^=t26,BZ'

Matriks kekakuan elemen (3) adalah

K@ =1,2e8

Dengan menggabungkan ketiga elemental matriks ini, kita bentuk sebagai berikut:

sistem global dapat

Dari sistem persamaan linear diperoleh urx = -0,1736e-n, ur"

=

-0,6944e'a _, dan

u,, = 0 m.

Sedangkan gaya-gaya reaksi pada nodal

2, 3, dar

4 diperoleh dari:

-0,48 0 -0,36

0,48 0 0,36

0 0,48 0,64

0

0000

0 0,36 -0,48

⁰

0 -0,48 0,64

0

0000

0 -0,36 0,49

0 0,64

0 0,48 -0,64

0 -0,48

li;ll !;i1 ;;T ,,,1;r ; 7:"i^'.: ":. :f xr:ll;lil

lF,,l I o o o o o o o o o o o ollr,,l lt-l=r.r",lo,nr 0

-0,36 -o,48

0 0,36 0 0 0 0 o oll",,l lFrrl l-0,64 0 -0,48 0 0 o

^0,64

0 0,48 0 0 0ll".,l lr., l I o o o o o o o o o o o oll,*l

lo,rl l-0,+e 0 -0,35 0 0 0

^0,48

0 0,36 0 0 ollr-l lo^l l-0,* o,4B 0 0 0 0 0 0 o

^{0,64 +,ns}

oll".,

l

io,,l lo,+s -0,36 0 0 0 0 0 0 0

-0,48 0,36

oll"*l le,,) [ o o o o o o o o o o o o]|"-]

Karena uzx = ^uzy = tzz = ^usx = ^uay = u3z = ^unx =

[lv

= t+z = 0, kita ^hanya perlu menghitung u1x

, uly,

^dan

u,,

saja. Dan sistem 3x3 yang perlu dipecahkan adalah

I F,r=o I I t.oz -0.48 o j(",*')

Ir,,=-2ooo l=l-0.+a 0.36 o

_ll

",,

LFrz=olLo o o.z2)lurr)

I

1,92 4,48 -0,48 ^0,36

32 Ieori dan Aplikasi Metode Elemen Hingga

Fx = -1,2e8 x0.64x-0,1736e n

=

^{1333,25 N}

Frr=0N

Fzz= l,2eB x 0.48 x -0,1736e'a

=

^{-1000 N}

Fsx = -1,2e8 x0.64x -0,1736e a

=

^{1333,25 N}

Frr=0N

Fzz= -l,2e9 x 0.48

x

-0,1736e-a

=

^{1000 N}

Fax = 1,2e8 x (-0.64 x -0,1736e-a + 0.48

x

-0.6944e)

=

^{-ZO6O,S N}

Fay = ^1,2e8 x ^(0.48 x -0,1736e-a - 0.36

x

-0.6944e4)

=

^{2000 N} Fnr=0N

Dan stress pada masing-masing member ^dapat dihitung o,.,, -F4

- A =@

^0,0015

=2,22Mpa

^(tension)

t)t F,

o'''

₌

?=

A J]g33,zq' ]

^1oqEl

=1,11Mpa

^(kompresi)

0.0015

,,r, =?=ry =r,\7Mpa

^(kompresi)

2.5

PR()GRAI,I }IATI.AB UI{TUI( AIIATISIS

T[U$

3.DII,IEilSI

Teknik penghitungan pergeseran nodal, gaya-gaya reaksi dan ^tegangan (stress) pada elemen truss seperti dibahas

di

^{atas jika} diterapkan dengan program komputer dapat menjadi alat yang ^{sangat berguna} untuk meng- analisis struktur rangka batang. Sekarang mari

kita

pelajari bagaimana program berbasis MATLAB dituliskan.

Analisis Rangka Batang (frass)

Dalam penulisan suatu program, pertama-tama

kita

buat flowchart dari program. Flowchart dari program yang akan

kita tulis

diberikan oleh Gambar 2.7. Program MEH umumnya terdiri dari tiga bagian utama. yaitu pre-prosesor, prosessor dan post-prosessor. Pada bagian pre-prosessor, data-data geometrik dihitung atau diberikan sebagai data input, propefti mekanik

dari truss

ditentukan, syarat batas (boundary conditions) diterapkan. Pada tahap prosessor, matriks kekakuan elemen dihitung, global ma