Kita mengasumsikan bahwa tidak ada mahasiswa di universitas tersebut yang mempunyai berat badan kurang dari 20 kg atau lebih dari 175 kg, sehingga ruang hasil dari X adalah:
Rx = {X: 20 ≤ x ≤ 175}
Karena Rx merupakan sebuah interval, maka X termasuk kedalam peubah acak kontinu.
Bentuk umum dari fungsi Peluang aada dua kemungkinan, yaitu berupa konstanta dan barupa fungsi dari nilai peubah acak.
Fungsi peluang berupa konstanta yang bisa terdiri atas satu nilai atau lebih.
Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas satu nilai, artinya untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan, maka nilai fungsi peluangnya sama. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak Y berbentuk ;
Py = ; y = ,0,1,2
Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari satu nilai, artinya untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan masing-masing mempunyai nilai fungsi peluangnya.
Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk ; Py
Fungsi peluang berupa fungsi dari nilai peubah acak FPBF sebenarnya sama dengan fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari satu nilai FPBK , hanya bedanya FPBF ditulis secara umum dan berlaku untuk nilai peubah acak tertentu sedangkan FPBK ditulis satu per satu yang berlaku untuk masing-masing nilai peubah acaknya. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk
P(x) =
pemahaman distribusi peluang dan fungsi peluang dari sebuah peubah acak diperjelas melalui Contoh 4.7 dan 4.8.
Contoh:
Misalnya Farah mengundi dua buah mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara sekaligus.
Jika peubah acak X menunjukkan banyak huruf BANK INDONESIA yang muncul, maka tentukan distribusi peluang dari X.
Penyelesaian ;
Dalam hal ini, kita harus menghitung nilai peubah acak X, yaitu x dan nilai peluangnya.
Ruang sampelnya ; S = [GG,GH,HG,H].
Karena X menyatakan banyak H yang mucul, maka ;
i. Untuk titik sampel GG , bilanga bulat yang sesuai adalah 0, ditulis Xs= X[GH]= 0.
ii. Untuk titik sampel GH, bilangan bulat yang sesuai adalah 1, ditulis Xs = X[GH] = 1.
iii. Untuk titik sampel HG, bilangan bulat yang sesuai adalah 1, ditulis Xs = X[GH] = 1.
iv. Untuk titik sampel HH, bilangan bulat yang sesuai adalah 2, ditulis Xs = X[GH] = 2.
Karena mata uang logam Rp 100 yang digunakan dalam pengundian itu seimbang, maka pleluang masing-masing titik sampel sama, yaitu .
Peluang setiap nilai peubah acaknya adalah sebagai berikut ; i. P[ X = 0 ] = P [GG] =
ii. P[ X = 1 ] = P [GH] atau [HG]
= P [GH] + P [HG]
= + = = iii. P[ X = 2 ] = P[HH] =
Jadi distribusi peluang dari X adalah:
x 0 1 2 px
Contoh:
Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk ; Px = [ ][kx+ 1]; x = 0,1,2,3
= 0 ; x lainnya.
Tentukan nilai k Penyelesaian ;
∑
∑,
-, -
[ ] [1 , - , - , - 6k
6k = 1 k =
Apabila kita akan menngambar grafik dari fungsi peluang atau distribusi peluang, maka grafiknya dapat berupadiagram batang atau histogram peluang.
Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X berbentuk :
X X1 X2 X3 X4 X5
P(x) P(x1) P(x2) P(x3) P(x4) P(x4) Diagram batang untuk distribusi peluang di atas dapat dilihat dalam Gambar. 4.3.
Gambar 4.3 Diagram Batang Secara Umum
Adapun histogram peluang dari distribusi peluang di atas dapat dilihat dalam Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Histogram Peluang Secara Umum x x5
x4
x3
x2
x1
P(x) p(x3) p(x4)
p(x5) p(x2)
p(x1)
x x5
x4
x3
x2
x1
P(x) p(x3)
p(x4)
p(x5) p(x2)
p(x1)
Contoh:
Lihat kembali soal pada Contoh (Misalnya Farah mengundi dua buah mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara sekaligus.
Jika peubah acak X menunjukkan banyak huruf BANK INDONESIA yang muncul, maka tentukan distribusi peluang dari X ).
Gambarkan grafik distribusi peluang dari X.
Penyelesaian:
Penyelesaian dari soal pada Contoh 4.7 menghasilkan distribusi peluang sebagai berikut.
X 0 1 2
P(x)
Diagram batang dan histogram peluangnya masing-masing dapat dilihat dalam Gambar 4.5 dan 4.6 pada halaman berikut.
Gambar 4.5 Diagram Batang
0 1 2
1/4 1/2
P(x)
x
Gambar 4.6 Histogram Peluang
Dalam peubah acak kontinu, fungsi yang memenuhi sifat- sifat tertentu dinamakan fungsi densitas peluang atau fungsi densitas saja.
Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan dijelaskan definisi fungsi densitas.
Definisi 4.7 : FUNGSI DENSITAS
Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan bilangan real.
Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilai-nilainya, yaitu f(x), memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.
i. ( ) ( ) ii. ∫ ( )
iii. Untuk setiap a dan b, dengan maka:
P( ) ∫ ( )
Sifat (iii) di atas menunjukkan penghitungan peluang dari peubah acak kontinu X
yang mempunyai nilai dari a sampai b.
0 1 2
1/4 1/2
P(x)
x
`
Gambar 4.7, P( ) = Luas Daerah yang Dipulas
Berdasarkan Gambar 4.7, P( ) sama dengan luas daerah di bawah kurva f dari x = a sampai x = b.
Dalam peubah acak diskrit, peluang dari peubah acak yang berharga lebih dari satu nilai yang membentuk sebuah interval bisa dihitung dengan mudah bergantung pada bentuknya intervalnya.
Artinya, jika kita akan menghitung P ( ) hasilnya akan berbeda dengan P(0 ) ( ) atau P( ) Akan tetapi, perhitungan peluang dari peubah acak kontinu yang harganya membentuk sebuah interval apa saja hasilnya akan sama. Hal ini bisa dilihat Dalil 4.1.
Dalil 4.1 : PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU BERBENTUK INTERVAL
Jika X adalah peubah acak kontinu serta a dan b adalah dua konstanta real, dengan a , maka :
Dalil 4.1: PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU BERBENTUK INTERVAL
Dalil 4.1: PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU BERBENTUK INTERVAL
f(x)
f
b 0 a
P(a ) ( ) ( ) ( )
Bukti :
Jika A = {x: x = a}, maka P(X A) = P(X = a) =
∫ ( )
Jika A = {x: x = b}, maka P(X A) = P(X = b) = ∫ ( ) = 0.
Berdasarkan hasil di atas, kita akan membuktikan:
i. P(a ) ( ) ii. P(a ) ( ) iii. P(a ) ( ) iv. P(a ) ( ) v. ( ) = ( ) vi. ( ) = ( ) Pembuktiannya bisa dilihat di bawah ini.
i. P( ) = ( ) + P(X = b)
= ( ) + 0 P( ) = ( )(terbukti) ii. P(a ) ( ) ( )
= 0 + ( ) + 0 P(a ) = ( ) (terbukti)
iii. ( ) = ( ) ( ) + P(X = b)
= 0 + ( )– 0 ( ) = ( )(terbukti)
iv. ( ) ( ) ( ) P(X = b)
= 0 + ( )– 0
( ) = ( ) (terbukti) v. ( ) ( ) ( )
= 0 + ( )
( ) = ( )(terbukti) vi. ( ) ( ) + P(X = b)
= ( ) + 0
( ) = ( )(terbukti)
Grafik dari fungsi densitas berupa sebuah kurva atau sebuah garis atau bahkan kombinasi keduanya, yang penggambarannya disesuaikan dengan bentuk fungsi densitasnya.
Pemahaman penghitungan peluang dan peubah acak kontinu yang berharga tertentu sampai penggambaran grafiknya diperjelasmelalui contoh 4.10.
Contoh:
Diketahui: f (x) = kx²; 0 < x < 2
= 0; x lainnya.
a. Tentukan nilai k agar f(x) merupakan fungsi densitas dari peubah acak X.
b. Hitung P(1< X < 2).
c. Gambarkan grafik dari fungsi densitasnya.
Penyelesaian:
a. Berdasarkan sifat kedua dari fungsi densitas, maka:
b. P(1 < X < 2) =
= P(1 < X < 2) =
Gambar 4.8 grafik fungsi desintas
Fungsi densitas dari sebuah peubah acak kontinu bisa mempunyai beberapa nilai bargantung pada nilai peubah acaknya.
Jika setiap nilai fungsi densitas itu merupakan fungsi dari konstata yang belum diketahui, maka penghitungan konstata itu tidak dilakukan terhadap masing-masing interval nilai peubah acaknya melainkan terhadap semua interval nilai peubah acaknya.
Contoh:
Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk:
g(x) = kx; 0 ≤ x ≤ 1 = k; 1 ≤ x ≤ 2
= -kx + 3k; 2 ≤ x ≤ 3 = 0; x lainnya.
a. Hitung nilai k.
b. Gaambarkan grafik dari g(x).
0 2 3/2
f(x)
Penyelesaian:
Dalam hal ini, perhitungan nilai k tidak dilakukan untuk setiap interval nialai x melainkan terhadap nilai x dari 0 sampai 3.
Adapun batas-batas pengintegralannya diisi dengan setiap interval nilai x.
a. Berdasarkan sifat kedua dari fungsi densitas, maka:
Jadi fungsi densitas dari X berbentuk:
g(x) = =
b. Grafik dari bisa dilihat dalam Gambar 4.9.
Gambar 4.9 Grafik Fungsi Densitas Contoh 4.11 4.4 : FUNGSI DISTRIBUSI
Apabila kita mempunyai distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskrit, maka kita bisa menghitung peluang dari peubah acak tersebut yang berharga tertentu. Nilai peluang dari peubah acak tersebut bisa mempunya beberapa kemungkinan, yaitu :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
dengan a dan b adalah dua buah konstanta.
Jika kita memperhatikan bentuk maka bentuk umumnya ditulis
g(x)
0 1 2 3 x
Dalam statistika matematika, bentuk ( ) dinamakan fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi saja.
Definisi 4.8 FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF
Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X, dengan :
( ) ( )
Definisi 4.9 FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT
Misalnya X adalah peubah acak diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk :
( ) ( ) ∑ ( )
dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t
Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak diskrit akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja.
Jika peubah acak X mempunyai nilai=nilai yang benyaknya berhingga, yaitu dan masing - masing mempunyai peluangnya ( ) ( ) ( ) maka fungsi distribusinya ditentukan sebagai berikut.
Jika kita memperhatikan bentuk fungsi distribusi di atas, maka nilainya berupa konstanta semua untuk setiap interval nilai x yang diberikan.
Setiap halnya fungsi peluang atau distribusi peluang dan fungsi densitas, fungsi distribusi juga dapat menggambarkan grafiknya. Dalam hal ini, grafik fungsi distribusi dari peubah acak diskrit berupa fungsi tangga.
Penentuan fungsi distribusi dan gambarnya dari peubah acak diskrit diperjelas melalui Contoh berikut.
Contoh:
Apabila kita mengundi dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara sekaligus, maka distribusi peluangnya berbentuk :
0 1 2
dengan X menunjukkan banyak huruf “BANK INDONESIA”
a. Tentukan fungsi distribusi dari X b. Gambarkan grafik fungsi distribusinya Penyelesai:
a. Untuk x F(x) = 0
Untuk 0 F(0) = ( ) = P(0) F(0) =
Untuk 1 F(1) = ( ) = p(0) + p(1) = + F(1) =
Untuk 2 F(2) = ( )
= p(0) + p(1) + p(2) = +
Jadi fungsi distribusi dari X berbentuk:
F(x) = 0; x = ; 0 = ; 1 = 1; 2
b. Grafik dari fungsi distribusinya bisa dilihat dalam Gambar 4.10 berikut ini
Gambar Grafik Fungsi Distribusi Distrik
Hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi distribusi untuk peubah acak distrik adalah penulisan notasinya. Notasi untuk fungsi distribusi bisa ditulis dengan huruf besar F, G, H, atau lainnya yang diikuti dengan nilai peubah acaknya.
1
1
X 0
F(x)
2
1. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan F(x).
2. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan G(x).
3. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan H(x).
4. Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan K(x).
Defenisi 4.10: FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU
Misalnya X adalah perubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk :
F(x) = P ( X x ) = ∫ ( )
Dengan f (t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t
Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak kontinu akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja.
Nilai fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu biasanya berupa konstanta dan fungsi.
Grafik fungsi distribusinya berupakombinasi dari beberapa kemungkinan berikut ini: garis lurus,garis yang sejajar dengan sumbu datar,garis yang berimpit dengan sumbuh datar, dan sebuah kurva.
Jadi grafik fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu mempunyai beberapa kemungkinan, diantaranya sebagai berikut.
1. Grafik berupa garis yang berimpit dengan sumbuh datar
2. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbuh datar, garis lurus, dan garis yang sejajar dengan sumbuh datar.
3. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbuh datar, kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbuh datar.
Penentuan fungsi distribusi dan grafiknya untuk peubah acak kontinu diperjelas melalui contoh berikut.
Contoh:
Misalnya fungsi densitas dari peubah acak x berbentuk:
f(x) = ( ) ; 0 < x < 2 = 0 ; x lainya.
a. Tentukan fungsi distribusi F (x) b. Gambarkan garafik dari F(x) Penyelesaian:
Untuk x < 0 F(x) = 0
a. Untuk 0 ≤ x < 2
F(x) = ∫ ( ) ∫ ( ) = ∫ ∫ . / = 0 + . / ( ) -
F(x) = . / x3 Untuk 2 x
F(x) = ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) = ∫ ∫ . / + ∫ = 0 +. / (t3) + 0
F(x) = 1
Jadi fungsi distribusinya berbentuk:
F(x) = 0 ; x < 0
= . / x3 ; 0 x < 2 = 1 ; 2 x b. Grafiknya bisa dilihat dalam gambar 4.11.
Grafik Fungsi Distributif
Jika kita memperhatikan Gambar 4.11, maka grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbuh datar,kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbuh datar.
Hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu adalah penulisan fungsi notasainya. karena dari definisi fungsi distribusi notasi yang digunakannya adalah F, notasi untuk fungsi distribusinya tidak selalu dengan F. Notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan huruf besar F,G,H, atau lainya diikuti dengan nilai peubah acaknya dn sebaiknya disesuaikan dengan notasi fungsi densitasnya.
1. Apabilah fungsih densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan g(y) maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan G(y).
F(x) = 𝑥 /8 F(x)
0 1 2 X
2. Apabilah fungsih densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan f(y) , maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan F(y).
3. Apabilah fungsih densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan h(y), maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan H(y).
4. Apabilah fungsih densitas dari peubah acak Y dinotasikan dengan k(y) , maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya digunakan K(y).
Kita sudah menjelaskan bahwa penghitugan peluang dari peubah acak yang mempunyai nilai dalam bentuk interval dapat dilakukan berdasarkan fungsi
Peluang atau fungsi densitas. Selain itu, nilai peluang tersebut, baik peubah acak diskrit maupun kontinu, dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusi. Hal ini bisa dilakukan dengan menggunakan rumus :
( ) ( ) – ( )
dengan a dan b adalah dua bilangan real dan a < b.
Adapun penghitungan peluang dari peubah acak yang berharga satu nilai dapat dilakukan dengan menggunakan rumus :
( ) ( ) – ( )
Pemahaman penggunaan kedua rumus diatas untuk peubah acak diskrit dan kontinu masing-masing diperjelas melaui Contoh 4.14 dan 4.15.
Contoh:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak berbentuk : F(x) =
=
; =
=
=
a. HitungP( 0 ) b. Hitung P( ) c. Hitung P( ) d. Hitung P( ) e. Hitung P( ) Penyelesaian :
a. P( ) ( ) ( )
P( )
b. P( ) ( )
c. P( ) ( ) = Fx ( ) =
P( )
d. P( ) Fx( ) Fx( ) =
P( )
e. P( ) Fx( ) Fx( )
P( ) Contoh:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak berbentuk : F(x) = ;
=
= = a. Hitung P( )
b. Hitung P( ) c. Hitung P( ) d. Hitung P( )
Penyelesaian :
a. ( ) ( ) ( ) = ( )
= P( )
b. P( ) ( ) ( ) = ( )
= =
P( )
c. P( ) ( ) ( ) = ( ) =
P( ) d. P( ) ( ) =
P( )
e. P ( X=1 ) = (1) (1 ) P ( X=1 ) = (1 0,5) 0,5 P ( X=1 ) = 0
Kita sudah menjelaskan penghitungan peluang dari peubah acak yang berharga tertentu berdasarkan fungsi peluangnya atau fungsi densitasnya dan fungsi distribusinya.
Berikut ini akan diberikan contoh penghitungan peluang tersebut dengan kedua cara diatas untuk peubah acak diskrit maupun kontinu, kemudian kita akan membandingkan kedua hasilnya.
Contoh:
Misalnya distribusi peluang dari peubah acak Y berbentuk : y 0 1 2 P(y) Fungsi distribusi dari peubah acak y berbentuk :
G(y) = 0 ; y 0 = ; 0 y 1 = , 1 y 2 = 1 ; 2 y
Hitung peluang berikut ini dengan menggunakan perumusan fungsi peluang dan fungsi distribusi.
a. P(0 Y 2) b. P(Y ) c. P(Y 0,5) Penyelesaian :
1. FUNGSI PELUANG
a. P(0 ) ( ) P(Y ) ( )
P(0 ) b. P(Y ) ( )
( ) ( )
P(Y )
c. P(Y ) ( )
P(Y ) P(Y ) 2. FUNGSI DISTRIBUSI
a. P(0 ) ( ) ( )
P(0 ) b. P(Y ) ( )
c. P(Y ) ( ) 1 ( ) 1
P(Y ) Contoh:
Jika fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk : f(x) ; x 0 ; x lainnya.
Dan fungsi distribusinya setelah ditentukan diperoleh : F(x)
1 ; x
Maka hitung peluang berikut ini dengan menggunakan perumusan fungsi densitas dan fungsi distribusi.
a. P(0,5 ) b. P(X ) c. P(X )
Penyelesaian :
1. FUNGSI DENSITAS
a. P(0,5 ) ∫ - P(0,5 )
b. P(X > 0,5) = ∫ . dx = - P(X > 0,5) = 1- c. P(X > 1,2) = 1- P(X 1,2) = 1 - ∫ . dx = 1 + - = 1 + - 1 P(X < 1,2) =
2. FUNGSI DISTRIBUSI
a. P(0,5< X > 1) = Fx (1) – Fx(0,5)
= (1- ) – (1- ) P(0,5< X > 1) = –
b. P(X 0,5) = (0,5) P(X 0,5) = 1 – c. P(X 1,2) = 1 – P(X 1,2)
= 1 – (1,2) = 1 – (1- ) P(X 1,2) =
Jika fungsi peluang atau fungsi densitas dari sebuah peubah acak diketahui, maka kita dapat menetukan fungsi distribusinya. Sebaliknya, kita bisa menetukan fungsi peluang atau fungsi densitas dari sebuah peubah acak, jika fungsi distribusinya diketahui.
Berikut ini kita akan menjelaskan penentuan fungsi peluang atau fungsi densitas untuk peubah acak diskrit dan kontinu, jika fungsi distribusinya diketahui.
A. Peubah Acak Diskrit
Misalnya bilangan real t terletak dalam interval (b-h, b]
yaitu b-h < t b, dengan h adalah bilangan positif.
Apabila nilai h menuju nol, maka interval tersebut akan menuju ke satu nilai, yaitu t = b, dan ditulis:
( ) = , ( ) (b-h)]
= (b) – ( (b-h) = (b) - (b-h)
Jadi jika b adalah nilai diskontinu dari maka b adalah nilai dari peubah acak X dengan peluangnya, positif. Peluang bahwa X = b merupakan ukuran loncatan pada (b). Untuk lebih jelasnya lihat Gambar 4.12.
Fungsi Distribusi dan fungsi peluang P(x = b) P(x= a)
P(x = c)
b Fx(t)
a t
0 c
1
Jadi langkah-langkah untuk menentukan fungsi peluang berdasarkan fungsi distribusi adalah sebagai berikut.
1. Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang menyebabkan fungsi distribusi (x)
diskontinu .
2. Tentukan peluang untuk setiap nilai x yang dikontinu, dengan rumus:
P(X = ) = ( ) – ( -)
dengan : adalah sebuah nilai yang menyebabkan (x) dikontinu.
Pemahaman penentuan fungsi peluang sebuah peubah acak diskrit berdasarka fungsi distribusinya di perjelas melalui Contoh berikut
Contoh:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:
(x) = 0 ; x 0 = ; 0
= ; 2 = 1 ; 3
Tentukan fungsi peluangnya.
Penyelesaian:
Jika kita memperhatikan Fᵪ(x),maka ada tiga nilai yang menyebabkan Fᵪ(x) dikontinu,yaitu : x=0,2, dan 3.
Ketiga nilai itu merupakan nilai peubah acak X dengan peluangnya sebagai berikut.
p(0 ) = Fᵪ(0) - Fᵪ(0-) = - 0
P(0) =
p(2 )= Fᵪ(2) - Fᵪ(2-) =
P(2) = =
p(3 ) = Fᵪ(3) - Fᵪ(3-) =
P(2) =
Jadi fungsi peluang dari X adalah : P(x) = ; x = 0
= ; x = 2 =1/6 ; x =3 =0 ; x lainnya.
B. Peubah Acak Kontinu
Jika f(x) dan F(x) masing-masing merupakan fungsi densitas dan fungsi distribusi dari peubah acak X di x, maka:
( )
F(x)
Apabila hasil turunannya ada.
Pemahaman penentuan fungsi densitas dari sebuah peubah acak kontinu berdasarkan fungsi distribusinya diperjelas melalui contoh 4.19.
Contoh:
Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:
F(x) = 0 ; x ≤ 0 = x² ; 0 < x ≤1 =1 ; x > 1
Tentukan fungsi densitasnya.
Penyelesaian :
Unuk x ≤ 0 : f(x) = F‟(x) = 0 DALIL 4.2: PENENTUAN FUNGSI DENSITAS
Untuk 0 < x <1 : f(x) = F‟(x) = 2x Untuk x ≥ 1 : f(x) = F‟(x) = 0 Jadi fungsi densitasnya berbentuk :
f(x) = 2x ; 0 < x < 1 = 0 ; x lainnya.
Setelah kita menjelaskan teknik penentuan fungsi distrbusi berdasarkan fungsi peluangnya atau fungsi densiasnya atau sebaliknya. Kita perlu mengetahui beberapa sifat dari fungsi distribusi.
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, karena 0 ≤ P(X ≤ x) ≤ 1.
2. F(x) adalah fungsi tidak turun di x. artinya jika x‟ < x”, maka F‟(x) < F” (x).
Hal ini bisa dilihat dari uraian berikut ini.
Jika x‟ < x”, maka
{x : x ≤ x”} = {x : x ≤ x‟} {x : x‟< x x”}
P(X ) ( ) ( ) F( ) ( ) ( )
F( ) ( ) ( ) Karena ( ) F( ) ( )
F( ) ( ) Atau ( ) F( )
3. F( ( ( ) ( ) ( )
Hasil ini bisa di buktikan dengan uraian berikut ini.
S={- + * + Dengan:
{ + * + * +
* + * + {0 + * + * +
* +
Jadi S =,⋃ * +- ,⋃ * +-)
P(S)=P[⋃ * +- ,⋃ * +-
= * + * +
1
= * + * +
1 =
, ( )
( )- , ( ) ( )-
1 = , ( ) ( )- + , ( ) ( )-
1 = [F(0) –F(-∞)] + [F(∞) – F(0)]
1 = F(∞) – F(-∞) … (1)
Karena -∞ < ∞, maka F(-∞) ≤ F(∞) dan F(-∞) ≥0
F(∞) ≤ 1
Jadi: 0≤F(-∞) ≤ F ∞) ≤ 1 …(2)
Dari persamaan (1): F (∞) = 1 + F(-∞)
Dar persamaan (2): 0≤F (-∞)≤ 1 + F(-∞)≤1, sehingga diperoleh:
F(-∞)≤0
Karena F(-∞)≤0, maka F(-∞)=0 Akibatnya: F(∞)=1
4. F(x) kontinu kanan pada setiap nilai x.
Soal-soal Latihan
1. Berikan dua buah contoh mengenai peubahan acak diskrit!
2. Berikan dua buah contoh mengenai peubahan acak kontinu!
3. Misalkan Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika X menyatakan munculnya mata dadu, maka:
a. apakah X merupakan sebuah peubahan acak?
b. jika y, apakah peubahan acak diskrit atauk ontinu? Jelaskan!
4. Misalnya Farah mengundi dua buah dadu yang seimbang secara sekaligus. Jika Y menyatakan jumlah dua mata dadu yang muncul, maka:
a. apakah Y merupakan sebuah peubahacak?
b. jika y , apakah peubahacak diskrit atau kontinu? Jelaskan!
5. Berdasarkan soal no. 3, maka:
a. tentukan distribusi peluang dari X!
b. gambarkan grafik distribusi peluangnya!
6. Berdasarkan soal no. 4, maka:
a. Tentukan distribusi peluang dari X!
b. Gambarkan grafik distribusi peluangnya!
7. Sebuah kotak berisi 4 bola ping pong yang bernomor 1, 2, 3, dan 4. Kemudian dua bola ping pong diambil secara sekaligus. Jika Y menunjukkan jumlah angka dari dua bola ping pong yang terambil, maka:
a. tentukan distribusi peluang dari Y!
b. hitung P(Y≤ 5)!
c. gambarkan grafik distribusi peluangnya!
8. Sebuah kotak berisi 4 kelereng merah dan 5 kelereng biru.
Kemudian tiga buah kelereng diambil secara sekaligus. Jika Y menunjukkan banyak kelereng merah yang terambil, maka:
a. tentukan distribusi peluang dari Y!
b. gambarkan grafik distribusi peluangnya!
9. Sebuah kotak berisi 8 bola ping pong merah, 10 bola ping pong kuning, dan 12 bola ping pong hijau. Kemudian sebuah pola ping pong diambil secara acak. Peubahacak X akan bernila 1, jika bola
pingpong yang terambil itu berwarna merah. Peubahacak X akan bernilai 5, jika bola ping pong yang terambil itu berwarna kuning.
Peubahacak X akan bernilai 10, jika bola yang terambil itu berwarna hijau.
b. Tentukan distribusi peluang dari X!
c. Gambarkan grafik distribusi peluangnya!
10. Diketahui fungsi peluang dari X terbentuk:
( ) ( )( )
( ) Gambarkan grafik distribusi peluangnya!
11. Misalnya distribusi peluang dari X terbentuk:
x 0 1 2 3 4 5
p(x) k 3k 3k k2 2k2 6k2 +
k a. Tentukan nilai konstanta k!
b. Hitung P(X < 4), P(X ≥ 4), dan P(0 <X< 4)!
c. Tentukan nilai m minimum sedemikian hingga P(X ≤ m) >
0.5.
12. Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk:
( ) ( ) Tentukan nilai konstanta c!
13. Misalnya fungsi peluang dari X berbetuk:
p(x) =
;1, 2, 3, 4, 5
Hitung P(X = 1 atau 2), P(0.5<X 2.5), dan P(1 ≤ X ≤ 2)!
14. Misalnya fungsi den sitas dari X berbentuk:
f(x) = cx2 ; 1 < x < 2 = 0 ; x lainnya
a. Tentukan nilai konstanta c!
b. Hitung P (0 < X < 1,5)!
c. Gambarlah grafik fungsi densitasnya!
15. Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk:
f(x) = ; -1 < x < 1 = 0 ; x lainnya.
a. Gambarkan grafik dari f(x)!
b. Gambarkan grafik dari f(x)!
c. Hitung P (0 < X < 2)
16. Misalnya fungsi densitas dari Y berbentuk:
f(y) = ( ) (y + 1); 2 < y < 4 a. Gambarlah grafik f(y)!
b. Hitung P (Y < 3) dan P (0 < Y < 3)!
17. Berdasarkan hasil soal no. 5 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
18. Berdasarkan hasil soal no. 6 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
19. Berdasarkan hasil soal no. 7 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
20. Berdasarkan hasil soal no. 8 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik distribusinya!
21. Berdasarkan hasil soal no. 9 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
22. Berdasarkan hasil no. 14 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
23. Berdasarkan hasil no. 15 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
24. Berdasarkan hasil no. 16 di atas, tentukan fungsi distribusinya dan gambarkan grafik fungsi distribusinya!
25. Misalnya fungsi densitas dan W berbentuk:
h(w) = ; 0 < w ≤ 1 = ; 1 < w ≤ 2
= ( ) (3 – w) ; 2 < w ≤ 3
= 0 ; w lainnya.
a. Gambarkan grafik dari h(w)!
b. Tentukan fungsi distribusinya!
26. Misalnya fungsi densitas dan X berbentuk:
F(x) = 0 ; x < 1 = ; 1 ≤ x < 4 = ; 4 ≤ x < 10 = ; 6 ≤ x < 10 = 1 ; 10 ≤ x
Hitunglah P (2 < X < 6) dan P (X = 4)!
Tentukan distribusi peluang dari X ! 27. Diketahui fungsi distribusi dari Y adalah:
F(y) = 0 ; y < -3 = ; -3 ≤ y < -1 = ; -1 ≤ y < 0 = 1 ; 0 ≤ y
a. Buktikan bahwa F(y) merupakan fungsi distribusi!
b. Hitunglah P (-2 < Y < 6) dan P (Y> -1,5) c. Gambarlah grafik dari F(y)!
d. Tentukan distribusi peluang dari Y ! 28. Diketahui Fungsi distribusi dari Y adalah:
G(y) = 0 ; y < 0 = ; 0 ≤ y < 5 =
=
= ; 100 ≤ y < 102 = 1 ; 102 ≤ y
a. Buktikan bahwa G(y) merupakan fungsi distribusi!
b. Hitung P (Y 6), P (1< Y ≤ 10), dan P(Y > 15)!
c. Gambarkan grafik fungsi G(y)!
d. Tentukan distribusi peluang dari Y!
29. Misalnya fungsi distribusi dari X berbentuk F(x) = 0; x < -1
= ( ) (x+2) ; -1 < x<1 = 1; 1 x
Hitung P (-0,5 < X 0,5) dan P(X = 0)!
30. Diketahui fungsi distribusi dari Y sebagai berikut.
H(y) = 0; y < 0
= y2 ; 0 y<
= 1 – 3 (1 – y)2 ; y < 1 = 1 ; 1 y
a. Buktikan bahwa H(y) adalah fungsi distribusi dari Y!
b. Hitung P( Y ), P ( < Y ), P ( < Y 2), dan P (Y > ) !
c. Gambarkan grafik dari H (y)!
d. Tentukan fungsi densitas dari Y!