Jadi: P(A) =
=
2. Komplemen dari peristiwa yang satu dan peristiwa yang lainnya juga saling bebas.
3. Komplemen dari peristiwa yang satu dan komplemen dari peristiwa yang lainnya juga saling bebas.
Dalil 3.8. SIFAT-SIFAT DUA PERISTIWA BEBAS Jika dua buah peristiwa A dan B saling bebas, maka:
1. Dua buah peristiwa A dan Bc juga saling bebas.
2. Dua buah peristiwa Ac dan B juga saling bebas.
Dua buah peristiwa Ac dan Bc juga saling bebas Bukti:
Dalam pembuktiannya didasarkan pada tabel halaman 101.
B Bc JUMLAH
A Ac
P(A).P(B) P(Ac). P(B)
P(A).P(Bc) P(Ac). P(Bc)
P(A) P(Ac)
JUMLAH P(B) P(Bc) 1
1. Dua buah peristiwa A dan Bc juga saling bebas.
Dalam pembuktiannya, sel pada baris pertama dan kolom kedua berisi P(A Bc), yang hasilnya harus sama dengan P(A) dikalikan P(Bc).
P(A) = P(A) . P(B) + P(A Bc) P(A Bc) = P(A) - P(A) . P(B)
= P(A) [1 - P(B)]
P(A Bc) = P(A) . P(Bc) (terbukti)
2. Dua buah peristiwa Ac dan B juga saling bebas.
Dalam pembuktiannya, sel pada baris kedua dan kolom pertama berisi P(Ac B), yang hasilnya harus sama dengan P(Ac) dikalikan P(B).
P(B) = P(A) . P(B) + P(Ac B) P(Ac B) = P(B) - P(A) . P(B)
= P(B) [1 - P(A)]
P(A Bc) = P(B) . P(Ac) (terbukti)
3. Dua buah peristiwa Ac dan Bc juga saling bebas
Dalam pembuktiannya, sel pada baris kedua dan kolom kedua berisi P(Ac Bc), yang hasilnya harus sama dengan P(Ac) dikalikan P(Bc).
P(Ac) = P(Ac) . P(B) + P(Ac Bc) P(Ac Bc) = P(Ac) - P(Ac) . P(B)
= P(Ac) [1 - P(B)]
P(Ac Bc) = P(Ac) . P(Bc) (terbukti)
Pemahaman uraian mengenai dua buah peristiwa dan komplemennya yang saling bebas diperjelas melalui Contoh 29.
Contoh 29:
Misalnya Faris mengundi sebuah mata uang logam Rp 100 yang seimbang sebanyak tiga kali.
Jika A adalah peristiwa bahwa GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi ada pengundian pertama,
B adalah peristiwa bahwa GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi pada pengundian kedua,
dan C adalah peristiwa bahwa dua GAMBAR “KARAPAN SAPI” terjadi berturut-turut pada pengundian tersebut.
Maka periksa:
a. Apakah dua buah peristiwa A dan B saling bebas?
b. Apakah dua buah peristiwa A dan C saling bebas?
c. Apakah dua buah peristiwa B dan C saling bebas?
d. Apakah dua buah peristiwa A dan Bc saling bebas?
e. Apakah dua buah peristiwa Ac dan B saling bebas?
f. Apakah dua buah peristiwa Ac dan Bc saling bebas?
Penyelesaian:
Ruang sampel ekperimennya adalah:
S = {GGG, GGH, GHG, HGG, GHH, HGH, HHG, HHH}
dengan:
G = GAMBAR “KARAPAN SAPI”
H = HURUF “BANK INDONESIA”
Karena mata uang logam yang digunakan seimbang, maka masing-masing titik sampel mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, yaitu .
A adalah peristiwa bahwa GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi pada pengundian pertama.
Ruang peristiwa dari A adalah:
A = {GGG, GGH, GHG, GHH}
P(A) = P({GGG, GGH, GHG, GHH})
= P({GGG}) + P({GGH}) + P({GHG}) + P({GHH})
= + + + P(A) = =
B adalah peristiwa bahwa GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi pada pengundian kedua.
Ruang peristiwa dari B adalah:
B = {GGG, GGH, HGG, HGH}
P(B) = P({GGG}) + P({GGH, HGG, HGH}) = + + +
P(A) = =
C adalah peristiwa bahwa GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi berturut-turut pada pengundian tersebut.
Ruang peristiwa dari C adalah:
C = {GGH, HGG}
P(C) = P({GGH}) + P({HGG})
= + P(C) = =
Ac adalah peristiwa bahwa bukan GAMBAR “KARAPAN SAPI” terjadi pada pengundian pertama.
Dengan kata lain, Ac adalah peristiwa bahwa HURUF “BANK INDONESIA” terjadi pada pengundian pertama.
Ruang peristiwa dari Ac adalah:
Ac = {HGG, HGH, HHG, HHH}
P(Ac) = P({HGG, HGH, HHG, HHH })
=P({HGG}) + P({HGH}) + P({HHG}) + P({HHH}) = + + +
P(Ac) = =
Bc adalah peristiwa bahwa bukan GAMBAR “KARAPAN SAPI” terjadi pada pengundian kedua.
Dengan kata lain, Bc adalah peristiwa bahwa HURUF “BANK INDONESIA” terjadi pada pengundian kedua.
Ruang peristiwa dari Bc adalah:
Bc = {GHG, GHH, HHG, HHH}
P(Bc) = P({GHG, GHH, HHG, HHH })
=P({HGH}) + P({GHH}) + P({HHG}) + P({HHH}) = + + +
P(Bc) = =
Berdasarkan peristiwa-peristiwa di atas, maka:
a. A B adalah peristiwa bahwa dua GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi berturut-turut pada pengundian pertama dan kedua.
Ruang peristiwa dari A B adalah:
A B = {GGG, GGH}
P(A B) = P({GGG, GGH})
= + P(A B) = =
Sedangkan P(A) . P(B) = ( ) ( ) = = P(A B)
Jadi dua buah peristiwa A dan B saling bebas.
b. A C adalah peristiwa bahwa dua GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi berturut-turut pada pengundian pertama dan kedua, Ruang peristiwa dari A C adalah:
A C = {GGG, GGH}
P(A C) = P({GGG, GGH}) =P({GGG}) + P({GGH}) = +
P(A C) = =
Sedangkan P(A) . P(C) = ( ) ( ) = P(A C)
Jadi dua buah peristiwa A dan B saling bergantungan.
c. B C adalah peristiwa bahwa dua GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi berturut-turut dan salah satu GAMBAR “KARAPAN SAPI” terjadi pada pengundian kedua.
Ruang peristiwa dari B C adalah:
B C = {GGH, HGG}
P(B C) = P({GGH, HGG}) =P({GGH}) + P({HGG}) = +
P(B C) = =
Sedangkan P(B) . P(C) = ( ) ( ) =
P(B C)
Jadi dua buah peristiwa B dan C bergantungan.
d. A Bc adalah peristiwa bahwa dua GAMBAR “KARAPAN SAPI”
terjadi pada pengundian pertama dan HURUF “BANK INDONESIA” terjadi pada pengundian kedua.
Ruang peristiwa dari A Bc adalah:
A Bc = {GHG, GHH}
P(A Bc) = P({GHG, GHH}) =P({GHG}) + P({GHH}) = +
P(A Bc) = =
Sedangkan P(A) . P(Bc) = ( ) ( ) = = P(A Bc)
Jadi dua buah peristiwa A dan Bc saling bebas.
Cara lain:
Berdasarkan sifat-sifat dari dua peristiwa yang saling bebas, karena dua buah peristiwa A dan B saling bebas (hasil no. a), maka dua buah peristiwa A dan Bc juga bebas.
e. Ac B adalah peristiwa bahwa HURUF “BANK INDONESIA” terjadi pada pengundian pertama dan GAMBAR “KARAPAN SAPI” terjadi pada pengundian kedua.
Ruang peristiwa dari Ac B adalah:
Ac B = {GHG, GHH}
P(Ac B) = P({HGG, HGH}) =P({HGG}) + P({HGH}) = +
P(Ac B) = =
= P(Ac B)
Jadi dua buah peristiwa Ac dan B saling bebas.
Cara lain:
Berdasarkan sifat-sifat dari dua peristiwa yang saling bebas, karena dua buah peristiwa A dan B saling bebas (hasil no. a), maka dua buah peristiwa Ac dan B juga bebas.
f. Ac Bc adalah peristiwa bahwa HURUF “BANK INDONESIA” terjadi berturut-turut pada pengundian pertama dan kedua
Ruang peristiwa dari Ac B adalah:
Ac Bc = {HHG, HHH}
P(Ac Bc) = P({HHG, HHH}) =P({HHG}) + P({HHH}) = +
P(Ac Bc) = =
Sedangkan P(Ac) . P(Bc) = ( ) ( ) = = P(Ac Bc)
Jadi dua buah peristiwa Ac dan B saling bebas.
Cara lain:
Berdasarkan sifat-sifat dari dua peristiwa yang saling bebas, karena dua buah peristiwa A dan B saling bebas (hasil no. a), maka dua buah peristiwa Ac dan Bc juga bebas.
Catatan:
Coba periksa apakah peristiwa-peristiwa Ac dan C, A dan Cc, Ac dan Cc, B dan Cc, Bc dan C, serta Bc dan Cc saling bebas atau bergantungan sebagai perlatihan.
Berikut ini akan dijelaskan definisi tiga buah peristiwa yang saling bebas, dengan beberapa persyaratan yang harus dipenuhi semuanya. Jika ada salah satu persyaratan dari tuga buah peristiwa yang saling bebas yang tidak dipenuhi maka ketiga
buah peristiwa itu dikatakan tidak saling bebas atau bergantungan.
Definisi 3.10: TIGA BUAH PERISTIWA SALING BEBAS Tiga buah peristiwa A, B, dan C dikatakan saling bebas, jika dan hanya jika dipenuhi persyaratan sebagai berikut.
1. Peristiwa-peristiwa yang berpasangan bebas, yaitu:
a. P(A B) = P(A) . P(B) b. P(A C) = P(A) . P(C) c. P(B C) = P(B) . P(C) 2. P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)
Pemahaman uraian tiga buah peristiwa yang saling bebas tersebut diperjelas melalui Contoh 30.
Contoh 30:
Lihat kembali soal pada Contoh 2.29.
Coba periksa apakah A, B, dan C saling bebas atau bergantungan.
Penyelesaian:
1. Peristiwa-peristiwa yang berpasangan:
a. Untuk A dan B menghasilkan dua buah peristiwa yang saling bebas.
(lihat hasil penentuannya pada halaman 69) penyelesaian contoh 3.30.
b. Untuk A dan C menghasilkan dua buah peristiwa yang bergantungan.
(lihat hasil penentuannya pada halaman 70) penyelesaian contoh 3.30.
c. Untuk B dan C menghasilkan dua buah peristiwa yang bergantungan.
(lihat hasil penentuannya pada halaman 70) penyelesaian
2. adalah peristiwa bahwa dua GAMBAR
“KARAPAN SAPI” terjadi berturut-turut pada pengundian pertama dan kedua.
Ruang peristiwa dari adalah:
= {GGH}
P( ) = P({GGH}) =
Sedangkan: P(A). P(B). P(C) = ( ) ( ) ( ) = ( ) P( )
Karena ada beberapa persyaratan yang tidak dipenuhi, maka disimpulkan bahwa A, B dan C adalah peristiwa-peristiwa yang tidak saling bebas atau bergantungan.
Berdasarkan definisi tiga buah peristiwa yang saling bebas, ternyata ada empat buah persyaratan yang semuanya harus dipenuhi. Kita bisa menentukan banyak persyaratan yang harus dipenuhi dalam penentuan minimal empat buah peristiwa yang saling bebas.
Untuk empat buah peristiwa yang saling bebas, persyaratan yang harus dipenuhi sebanyak 11 buah. Untuk lima buah peristiwa yang saling bebas, persyaratan yang harus dipenuhi sebanyak 26 buah. Dan seterusnya.
3.7. DALIL BAYES
Penghitungan peluang bersyarat Bayes didasarkan pada beberapa peristiwa yang merupakan partisi dari ruang sampel. Berikut ini kita akan membahas dahulu pengertian partisi.
Contoh 31:
Dalam pengundian sebuah dadu yang seimbang, misalnya hasil- hasil yang mungkin dari beberapa peristiwanya adalah sebagai berikut.
B1 = {1, 2}
B2 = {3, 4, 5}
B3 = {6}
Apakah B1, B2, dan B3 merupakan partisi dari ruang sampel S?
Penyelesaian:
Ruang sampelnya adalah:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a. = = = Definisi 3.11: PARTISI
Peristiwa-peristiwa B1, B2, B3, …, B7 dikatakan partisis dari ruang sampel S, jika:
a. 𝐵𝑖 𝐵𝑗 = , untuk semua i j.
b. ⋃𝑖 𝐵𝑖 = S
c. 𝑃(𝐵𝑖) , untuk semua i = 1,2, 3, …, 7.
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7
S
b. ⋃ =
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= S
c. P( ) = = P( ) = = P( ) =
Karena persyaratan di atas dipenuhi, maka , , dan menunjukkan partisi dari ruang sampel S.
Secara umum Definisi 3.11 dapat diperluas untuk k buah peristiwa.
Definisi 3.12: PARTISI SECARA UMUM
Peristiwa-peristiwa B1, B1, B3, …, Bk menunjukkan partisi dari ruang sampel S, jika:
a. = , untuk semua i j.
b. ⋃ = S
c. ( ) , untuk semua i = 1,2,3, …, k.
Misalnya dari peristiwa-peristiwa B1, B2, dan B3, …, B7
yang merupakan partisi dari ruang sampel S ada sebuah peristiwa yang merupakan gabungan dari semua peristiwa di atas.
Penghitungan peluang dari peristiwa itu bisa dilihat dalam Dalil 3.9.
Dalil 3.9. TOTAL PELUANG Jika peristiwa-peristiwa B1, B2, dan B3, …, B7 merupakan partisi dari ruang sampel S, maka peluang dari peristiwa A yang sembarang dari S adalah:
𝑃(𝐴) 𝑖 𝑃(𝐵𝑖) 𝑃(𝐴/𝐵𝑖)
Kita akan membuktikan Dalil 3.9.
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7
Gambar 3.4 peristiwa A
Jika kita akan memperhatikan Gambar 3.4, maka:
dengan:
Jadi:
B1 B2 B3 B4
A
B5 B6 B7 S
A
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Karena ( ) ( ) ( ) ( ) merupakan peristiwa-peristiwa yang saling lepas, maka:
( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑ (( )
Karena peristiwa ( ) terjadi lebih dahulu dari , maka:
( ) ( ) ( | )
Sehingga: ( ) ( ) ( | ) (terbukti)
Secara umum dalil di atas dapat diperluas untuk buah peristiwa.
Pemahaman total peluang di atas diperjelas melalui contoh 3.32
Dalil 3.10. TOTAL PELUANG SECARA UMUM
Jika peristiwa-peristiwa merupakan partisi dari ruang sampel S, maka peluang dari peristiwa yang sembarang dari S adalah:
( ) ∑ ( ) ( | )
Contoh 32:
Misalnya Farah mempunyai tiga buah kotak yang masing-masing berisi lampu cabe
Kotak 1 berisi 10 lampu cabe, dengan 4 diantaranya tidak jalan.
Kotak 2 berisi 6 lampu cabe, dengan 1 diantaranya tidak jalan.
Kotak 3 berisi 8 lampu cabe, dengan 3 diantaranya tidak jalan.
Sebuah kotak dipilih secara acak, kemudian sebuah lampu cabe diambil secara acak dari kotak yang terpilih itu.
Berapa peluang bahwa lamou cabe yang terambil itu adalah rusak (tidak jalan)?
Penyelesaian:
Misalnya adalah peristiwa bahwa kotak 1 yang terpilih.
adalah peristiwa bahwa kotak 2 yang terpilih.
adalah peristiwa bahwa kotak 3 yang terpilih.
adalah peristiwa bahwa lampu cabe yang terambil itu tidak jalan.
| adalah peristiwa bahwa sebuah lampu cabe yang terambil itu adalah tidak jalan, jika kotak 1 yang terpilih
| adalah peristiwa bahwa sebuah lampu cabe yang terambil itu adalah tidak jalan, jika kotak 2 yang terpilih
| adalah peristiwa bahwa sebuah lampu cabe yang terambil itu adalah tidak jalan, jika kotak 3 yang terpilih
Peluang untuk masing-masing peristiwa dia atas adalah:
( ) ( ) ( )
( | )
( | )
( | )
Sehingga peluang bahwa lampu cabe yang terambil itu tidak jalan adalah:
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jika kita memperhatikan contoh di atas, kita hanya dapat memperoleh nilai peluang sebuah lampu cabe yang terambil itu tidak jalan. Kita dapat mengetahui dengan pasti apakah lampu cabe yang tidak jalan itu berasal dari kotak 1, kotak 2, atau kotak 3. Apabila kita ingin mengetahui besar peluang bahwa lampu cabe yang tidak jalan itu berasal dari kotak tertentu, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan Bayes yang akan dijelaskan dalam dalil berikut ini.
Dalil 3.11 : ATURAN BAYES
Jika peristiwa-peristiwa merupakan partisi dari ruang sampel S, maka peluang dari peristiwa yang sembarang dari S sedemikian hingga ( ) berlaku:
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
Untuk