P(S1 S2) = P( ) = 0 e. P(S1 S2) = P(S1) + P(S2)
= + P(S1 S2) = 1
Makan: n(A) = Banyak susunan menu makanan pagi keseluruhan yang terdiri atas nasi kuning, telur, kerupuk, dan minum.
= ( ) cara n(A) = 60 cara
n(S) = Banyak susunan menu makanan pagi keseluruhan yang terdiri atas nasi, telur, kerupuk, dan minum.
n(S) = ( ) cara = 180 cara Jadi: P(A) =
= Contoh 21:
Misalnya ada enam buah angka, yaitu 2, 3, 5, 6, 7, dan 9.
Kemudian kita akan membentuk sebuah bilangan yang terdiri atas tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali saja.
a. Berapa peluang bahwa bilangan yang dibentuk itu bernilai paling besar 753?
b. Berapa peluang bahwa bilangan yang dibentuk itu merupakan bilangan genap?
Penyelesaian:
Bilangan yang terdiri atas tiga angka itu adalah A1, A2, dan A3.
A1 A2 A3
Kita akan menghitung dahulu banyak bilangan keseluruhan yang bisa dibentuk, yang dinotasikan dengan n(S).
A1 bernilai ratusan terdiri atas 6 angka.
A2 bernilai puluhan terdiri atas 5 angka.
A3 bernilai satuan terdiri atas 4 angka.
Jadi: n(S) = ( ) cara = 120 buah.
a. Misalnya A: Peristiwa bahwa bilangan yang dibentuk itu bernilai paling besar 753.
i. Ratusan terdiri atas angka-angka 2, 3, 5, dan 6.
A1 bernilai ratusan terdiri atas 4 angka.
A2 bernilai puluhan terdiri atas 5 angka.
A3 bernilai satuan terdiri atas 4 angka.
Banyak bilangan yang dibentuk = ( ) buah = 80 buah
ii. Ratusan hanya angka 7.
A1 bernilai ratusan terdiri atas 1 angka.
A2 bernilai puluhan terdiri atas 2 angka.
A3 bernilai satuan terdiri atas 4 angka.
Banyak bilangan yang dibentuk = ( ) buah
= 8 buah
A1 bernilai ratusan terdiri atas 1 angka.
A2 bernilai puluhan terdiri atas 1 angka.
A3 bernilai satuan terdiri atas 2 angka.
Banyak bilangan yang dibentuk = ( ) buah = 2 buah
Sehingga banyak bilangan yang dibentuk itu bernilai paling besar 753 = ( ) buah = 90 buah Atau, n(A) = 90.
Jadi: P(A) =
= = 0,75
b. Misalnya B: Peristiwa bahwa bilangan yang dibentuk itu merupakan bilangan genap. Ciri sebuah bilangan merupakan bilangan genap adalah angka satuannya bernilai 2 atau 6.
A3 bernilai satuan terdiri atas 2 angka.
A1 bernilai ratusan terdiri atas 5 angka.
A2 bernilai puluhan terdiri atas 4 angka.
Jadi banyak bilangan yang dibentuk itu merupakan bilangan genap = ( ) buah = 40 buah.
Atau, n(B) = 40 Sehingga: P(B) =
= B. Permutasi
Penghitungan nilai peluang sebuah peristiwa berdasarkan permutasi digunakan rumus sebagai berikut.
( ) ( )
( )
dengan: ( ) = Banyak anggota peristiwa A yang diperoleh berdasarkan permutasi.
( ) = Banyak anggota keseluruhan berdasrkan permutasi.
Contoh 22 :
Diketahui ada 3 abjad pertama, yaitu a, b, dan c. Hitung bahwa peluang dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, jika dibentuk permutasi dari tiga abjad itu?
Penyelesaian :
Misalnya B adalah peristiwa bahwa dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, jika dibentuk permutasi dari tiga abjad itu.
Karena dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, banyak abjad yang akan dibentuk ada 2 buah.
Jadi permutasi yang mungkin = 2! cara.
Banyak permutasi yang dibentuk dari dua abjad yang berdampingan = 2! cara
Maka : n(B) = Banyak susunan dua abjad tertentu yang selalu terletak
berdampingan = (2! × 2!) cara n(B) = 4 cara
Dalam hal ini : n(S) = Banyak susunan keseluruhan berdasarkan permutasi yang bisa dibentuk
n(S) = 6 cara Sehingga : P(B) =
Contoh 23:
Misalnya kita mempunyai kata “PENSIL”.
Berapa peluang bahwa tempat pertama dan terakhir merupakan huruf hidup?
Penyelesaian:
Misalnya A adalah peristiwa bahwa sebuah kata yang dibentuk dari kata PENSIL, dengan tempat pertama dan terakhir merupakan huruf hidup.
Karena huruf hidup pada kata PENSIL ada dua buah, yaitu E dan I, maka penempatan kedua huruf hidup itu ada dua kemungkinan, yaitu:
i. Huruf E diletakkan pada tempat pertama dan huruf I diletakkan pada tempat terakhir.
Susunan huruf-hurufnya bisa dilihat sebagai berikut:
E T
1
T
2
T
3
T
4
I Tempat T1 dapat ditempati oleh 4 cara
Tempat T2 dapat ditempati oleh 3 cara.
Tempat T3 dapat ditempati oleh 2 cara.
Tempat T4 dapat ditempati oleh 1 cara.
Banyak susunan huruf-huruf yang mungkin = ( ) cara = 24 cara.
ii. Huruf I diletakkan pada tempat pertama dan huruf E diletakkan pada tempat terakhir.
Susunan huruf-hurufnya bisa dilihat sebagai berikut:
I T
1
T
2
T
3
T
4
E Tempat T1 dapat ditempati oleh 4 cara
Tempat T2 dapat ditempati oleh 3 cara.
Tempat T3 dapat ditempati oleh 2 cara.
Tempat T4 dapat ditempati oleh 1 cara.
Banyak susunan huruf-huruf yang mungkin = ( ) cara = 24 cara.
Jadi: n(A) = Banyak susunan huruf dari kata PENSIL, dengan huruf pertama dan terakhir merupakan huruf hidup.
= ( ) cara n(S) = 48 cara
Adapun, n(S) = Banyak susunan huruf keseluruhan dari kata PENSIL
= 6! cara n(S) = 720 cara Maka: P(A) =
=
Contoh 24:
Diketahui ada tiga abjad pertama, yaitu a, b, dan c.
Hitung peluang bahwa dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, jika kita membentuk permutasi dari tiga abjad itu.
Penyelesaian:
Misalnya B adalah peristiwa bahwa dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, jika kita membentuk permutasi dari tiga abjad itu
Karena dua abjad tertentu selalu terletak berdampingan, banyak abjad yang akan dibentuk ada 2 buah.
Jadi permutasi yang mungkin = 2! cara.
Banyak permutasi yang dibentuk dari dua abjad yang berdampingan = 2! cara.
Maka: n(B) = Banyak susunan dua abjad tertentu yang selalu terletak berdampingan.
= ( ) cara
n(B) = 4 cara
Dalam hal ini: n(S) = Banyak susunan keseluruhan berdasarkan permutasi yang bisa dibentuk.
= 3! Cara
= 3 × 2 × 1
= 6 n(S) = 6 cara Sehingga: P(B) = =
C. Sampel yang Berurutan
Penghitungan nilai peluang sebuah peristiwa berdasarkan sampel yang berurutan dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
( ) ( )
( )
dengan: ( ) = Banyak peristiwa anggota A yang diperoleh berdasarkan sampel yang berurutan.
( ) = Banyak anggota keseluruhan berdasarkan sampel yang berurutan.
Contoh 25 :
Sebuah kotak berisi 40 kelereng, dengan perincian 15 buah berwarna putih, 20 buah berwarna kuning, dan 5 buah berwarna hijau. Kemudian kita mengambil dua buah kelereng secara acak dan satu per satu. Berapa peluang bahwa dua kelereng yang terambil itu satu buah kelereng di antaranya berwarna kuning, jika pengambilan kedua buah kelereng itu:
a. dengan pengambilan b. tanpa pengambilan penyelesaian:
Misalnya K: peristiwa bahwa kelereng yang terambil itu berwarna kuning.
Kc: peristiwa bahwa kelereng yang terambil itu berwarna bukan kuning.
Susunan kedua kelereng yang terambil itu ada dua kemungkinan, yaitu:
i. Kelereng pertama yang terambil itu berwarna kuning dan kelereng kedua yang terambil itu berwarna bukan kuning, ditulis K Kc.
ii. Kelereng pertama yang terambil itu berwarna bukan kuning dan kelereng kedua yang terambil itu berwarna kuning, ditulis Kc K.
a. Pengambilan Kelereng Dilakukan Dengan Pengambilan.
Misalnya A: Peristiwa bahwa dua kelereng diambil dengan pengembalian dari kotak, dengan satu kelereng di antaranya berwarna kuning.
i. Kemungkinan pertama: K Kc
Misalnya A1: Peristiwa bahwa dua kelereng diambil dengan pengembalian dari kotak dengan satu kelereng di antaranya berwarna kuning untuk kemungkinan pertama.
Banyak susunan kelereng pertama yang terambil berwarna kuning = 20 cara.
Banyak susunan kelereng pertama yang terambil berwarna bukan kuning = ( ) cara = 20 cara.
Banyak susunan kelereng keseluruhan, baik pada pengambilan kelereng pertama maupun pada pengambilan kelereng kedua masing-masing 40 cara.
Jadi: n(A1) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil dengan pengembalian pada kemungkinan pertama.
= ( ) cara n(A1) = 400 cara
n(S) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil dengan pengembalian secara keseluruhan pada kemungkinan pertama.
= ( ) cara n(S) = 1.600 cara Sehingga: P(A1) =
= ii. Kemungkinan kedua: Kc K
Misalnya A2: Peristiwa bahwa dua kelereng diambil dengan pengembalian dari kotak, dengan satu kelereng di antaranya berwarna kuning untuk kemungkinan kedua.
Banyak susunan kelereng pertama yang terambil berwarna bukan kuning = ( ) cara = 20 cara.
Banyak susunan kelereng kedua yang terambil berwarna kuning = 20 cara.
Banyak susunan kelereng keseluruhan, baik pada pengambilan kelereng pertama maupun pada pengambilan kelereng kedua masing-masing 40 cara.
Jadi: n(A2) = banyak susunan dua kelereng yang diambil dengan pengembalian pada kemungkinan kedua.
= ( ) cara n(A2) = 400 cara
n(S) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil dengan pengembalian secara keseluruhan pada kemungkinan kedua.
= ( ) cara n(S) = 1.600 cara Sehingga: P(A2) =
=
Akibatnya: P(A) = P(A1) + P(A2)
= + P(A) = =
b. Pengambilan Kelereng Dilakukan Tanpa Pengembalian.
Misalnya B: Peristiwa bahwa dua kelereng diambil tanpa pengembalian dari kotak, dengan satu kelereng di antaranya berwarna kuning.
i. Kemungkinan pertama: K Kc
Misalnya B1: Peristiwa bahwa dua kelereng diambil dengan pengembalian dari kotak dengan satu kelereng di antaranya berwarna kuning untuk kemungkinan pertama.
Banyak susunan kelereng pertama yang terambil berwarna kuning = 20 cara.
Banyak susunan kelereng pertama yang terambil berwarna bukan kuning = ( ) cara.
= 20 cara.
Banyak susunan kelereng keseluruhan pada pengambilan kelereng pertama ada 40 cara dan pada pengambilan kelereng kedua ada 39 cara.
Jadi: n(B1) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil dengan pengembalian pada kemungkinan pertama.
= ( ) cara n(B1) = 400 cara
n(S) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil tanpa pengembalian secara keseluruhan pada kemungkinan pertama.
= ( ) cara n(S) = 1.560 cara Sehingga: P(B1) =
=
ii. Kemungkinan kedua: Kc K
Misalnya B2: Peristiwa bahwa dua kelereng diambil tanpa pengembalian dari kotak, dengan satu kelereng di antaranya berwarna kuning untuk kemungkinan kedua.
Banyak susunan kelereng pertama yang terambil berwarna bukan kuning = ( ) cara = 20 cara.
Banyak susunan kelereng kedua yang terambil berwarna kuning = 20 cara.
Banyak susunan kelereng keseluruhan pada pengambilan kelereng pertama ada 40 cara dan pada pengambilan kelereng kedua masing-masing 39 cara.
Jadi: n(B2) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil tanpa pengembalian pada kemungkinan kedua.
= ( ) cara n(B2) = 400 cara
n(S) = Banyak susunan dua kelereng yang diambil tanpa pengembalian secara keseluruhan pada kemungkinan kedua.
= ( ) cara n(S) = 1.560 cara Sehingga: P(A2) =
= Akibatnya: P(B) = P(B1) + P(B 2)
=
+
P(B) =
D. Kombinasi
Penghitungan nilai peluang sebuah peristiwa berdasarkan kombinasi dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
( ) ( )
( )
dengan: ( ) = Banyak anggota peristiwa A yang diperoleh berdasarkan kombinasi.
( ) = Banyak anggota keseluruhan berdasarkan kombinasi.
Pemahaman ruus diatas diperjelas melalui Contoh 26.
Contoh 26:
Sandy mempunyai sebuah kotak berisi 15 buah kelereng terdiri atas 7 buah kelereng kuning dan 8 buah kelereng putih.
Kemudian ia mengambil lima buah kelereng secara sekaligus.
Berapa peluang bahwa dari lima buah kelereng yang terambil itu, tiga buah di antaranya berwarna kuning?
Penyelesaian:
Misalnya A: Peristiwa bahwa lima buah kelereng yang terambil itu, tiga buah di antara warnanya kuning.
Banyak susunan kelereng kuning yang teambil = . / cara = 35 cara.
Banyak susunan kelereng kuning yang teambil = . / cara = 28 cara.
Jadi: n(A) = Banyak susunan lima buah kelereng yang terambil, dengan tiga buah di antaranya berwarna kuning.
= cara n(A) = 980 cara
n(S) = Banyak susunan lima buah kelereng yang terambil secara keseluruhan
= . / cara n(S) = 3.003 cara
Sehingga: P(A) =
.