Kesimpulan

B. Pembahasan

IV. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh bahwa dengan menerapkan model pembelajaran kooperatif tipe TGT (Team Games Tournament), hasil belajar mahasiswa PGSD dapat dtingkatkan. Peningkatan hasil belajar ini dapat dilihat berdasarkan hasil belajar mahasiswa pada siklus I, 8 mahasiswa (40%) mencapai target ketuntasan dan pada siklus II mengalami peningkatan yakni 19 mahasiswa (95%) mencapai target ketuntasan. Selain itu, mahasiswa sangat termotivasi dalam belajar. Hal ini dapat dilihat lebih dari 80% mahasiswa memberikan respon yang positif terhadap perkuliahan dengan menggunakan model pembelajaran kooperatif tipe TGT.

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2013

Pendidikan Matematika yang Berkualitas untuk Membentuk Karakter Bangsa DAFTAR PUSTAKA

Arikunto, S. 2007. Penelitian Tindakan Kelas. Jakarta: Bumi Aksara.

Depdiknas. 2006. Permendiknas RI No 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah.

Muhibin. 2002. Psikologi Pendidikan dengan Pendekatan Baru. Bandung: Remaja Rosdakarya

Purwanto, M. N. 2009. Prinsip- Prinsip dan Teknik Evaluasi Pengajaran. Bandung: PT Remaja Rosdakarya

Saryantono, B. 2013. Pengaruh Pembelajaran Koopertif Tipe Teams Games Tournament (TGT) Dalam Pembelajaran Matematika.

(http://lenterastkippgribl.blogspot.com/2013/02/pengaruh-pembelajaran- kooperatif-tipe.html, diakses 24 Juni 2013)

http://diyah-pgsd.blogspot.com/2013/01/motivasi-siswa-dalam-pembelajaran_24.html.

Motivasi Siswa dalam Pembelajaran Matematika (diakses 12 Juli 2013)

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2013

Pendidikan Matematika yang Berkualitas untuk Membentuk Karakter Bangsa

AKIBAT TEOREMA Mc.COY DALAM SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN DAN MODUL

HENRY W. M. PATTY

Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon

e-mail: henry_4t00@yahoo.com

Abstrak

Dalam menyelesaikan suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) ,AX B atas lapangan sering digunakan Eliminasi Gauss-Jordan. Namun operasi tersebut belum tentu dapat digunakan untuk mencari solusi suatu SPL atas ring. Terkait dengan konsistensi solusi SPL tersebut akan dibahas teorema Mc. Coy dan akibatnya dalam penentuan solusi SPL homogen AX 0 serta peranannya dalam penentuan basis dari suatu R-Modul bebas. Diperoleh, suatu SPL homogen AX 0 akan mempuyai penyelesaian non trivial jika banyaknya persamaan kurang dari banyaknya variabel.

Selanjutya jika banyaknya elemen dari himpunan yang bebas linier sama dengan banyaknya elemen himpunan pembangun dari suatu modul bebas yang dibangun secara hingga maka himpunan pembangun tersebut merupakan basis.

Kata kunci: Teorema Mc.Coy, SPL Homogen, modul bebas.

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2013

Pendidikan Matematika yang Berkualitas untuk Membentuk Karakter Bangsa I. Latar Belakang

Sistem persamaan linier yang biasanya dipelajari dalam Aljabar adalah sistem persamaan linier atas lapangan dimana elemen-elemenya merupakan anggota suatu lapangan. Hal ini berarti jika dipunyai SPL, AX B dengan AMm n_

 

F , XRⁿ dan BR^m maka untuk menentukan solusi SPL tersebut umumnya digunakan eliminasi Gauss-Jordan atau Operasi Baris/Kolom Elementer. Namun operasi ini belum tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier atas ring. Hal ini jelas dari perbedaan struktur lapangan dan ring dimana lapangan adalah struktur ring yang sudah dilengkapi dengan sifat komutatif dengan elemen satuan dan memiliki invers terhadap operasi pergandaan. Sehingga penentuan solusi dari SPL atas ring tentunya membutuhkan syarat tambahan.

Selanjutnya, dalam Aljabar telah diketahui bahwa setiap SPL, AX B dapat disajikan dalam bentuk matriks representasi Mm n_

 

F yaitu himpunan semua matriks berukuran m n dengan elemen-elemennya di lapangan F. Hal ini menjadi menarik ketika struktur lapangan diperluas menjadi ring artinya elemen dari matriks representasi tersebut berasal dari ring R yaitu Mm n_

 

R . Tentunya menjadi suatu kajian karena ada beberapa hal yang berlaku pada Mm n_

 

F tetapi tidak berlaku pada Mm n_

 

R .

Berikut akan diberikan beberapa perbedaan yang timbul di dalam mempelajari

m n

 

M _ F dan Mm n_

 

R .

Tabel 1.1 Perbedaan Mm n_

 

F dan Mm n_

 

R

Matriks Atas Lapangan Matriks Atas Ring

m n

 

M _ F =



^{Am n  } ^{aij aijF}



Mm n_

 

R =



^{Am n  } ^{aij aijR}



Am n_ Mm n_

 

F A_{m n} Mm n_

 

R Berlaku Operasi Baris Elementer (OBE)

dan Operasi Kolom Elementer (OKE)

Tidak berlaku OBE dan OKE, karena unsur-unsurnya belum tentu mempunyai invers terhadap perkalian

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2013

Pendidikan Matematika yang Berkualitas untuk Membentuk Karakter Bangsa Untuk m=n

A invertibel  det (A)  0

Untuk m=n

A invertibel  det (A) merupakan unit Am n_ dapat dipandang sebagai

transformasi linear dari ruang vektor Fⁿ ke F^m

Am n_ dapat dipandang sebagai

transformasi linear dari modul Rⁿ ke R^m Rank(A) = dimensi (Im(A)) dengan Im(A)

merupakan subruang F^m

Rank(A) = maks { t | I_t (A)  0 }

Rank(A)  dimensi (Im(A)) karena belum tentu modul R^m mempunyai basis sehingga dicari definisi yang dapat diturunkan pada lapangan.

Rank(A) = maks { t |Ann_R(I_t(A)) = 0 }

Terlihat definisi rank pada Mm n_

 

R berbeda dengan Mm n_

 

F . Berikut diberikan beberapa sifat-sifat dari rank pada Mm n_

 

R

Sifat 1.2

Diberikan A_{m n} Mm n_

 

R .Didefinisikan rk(A) = maks {t |AnnR(It(A)) = 0 }, maka:

a. 0  rk(A)  min{m,n}

b. rk(A) = rk(A^t)

c. rk(A) = rk(PAQ) untuk sebarang matriks invertibel P_{m m} dan Q_{n n} d. rk(A) = 0 jika dan hanya jika AnnR(It(A))  {0}

e. Jika m = n maka rk(A)  n jika dan hanya jika det(A) pembagi nol di R.

Dari aljabar matriks telah diketahui SPL, AX B mempunyai solusi dalam Rⁿ jika dan hanya jika



^{  Rn}



^{ A B. Jika B  maka AX  } disebut Sistem Persamaan Linear Homogen (SPLH). SPLH ini selalu memiliki paling tidak satu penyelesaian yaitu ^{   }



^{0 0}



^tRn. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2013

Pendidikan Matematika yang Berkualitas untuk Membentuk Karakter Bangsa

dari SPLH AX  . Sementara itu, vektor Rⁿ disebut penyelesaian non trivial dari AX   jika terdapat    dan AX  .

Dari sini, timbul suatu pertanyaan bagaimana karakterisasi dari SPLH yang memiliki penyelesaian non trivial dan adakah algoritma yang tepat untuk mencari penyelesaian non trivial dari SPLH AX  . Pertanyaan ini telah dijawab oleh Neal Mc.Coy dalam bukunya yang berjudul Rings and Ideals. Dalam buku tersebut diberikan suatu teorema yang sangat berguna dalam menentukan kapankah suatu SPLH AX   mempunyai penyelesaian non trivial sebagai berikut :

Teorema Mc.Coy

Diberikan AM_{m n} ( )R , SPLH AX   mempunyai penyelesaian non trivial jika dan hanya jika rk(A)n.