BAB II VEKTOR
2. Perkalian Titik dan Perkalian Silang
Perkalian vektor terdiri dari dua jenis, yaitu perkalian titik dan perkalian silang. Perkalian titik disebut juga perkalian skalar karena menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang disebut juga perkalian vektor karena perkalian tersebut menghasilkan besaran vektor. Misalnya terdapat dua vektor, yakni ̂ dan ̂. Perkalian skalar dari vektor ̂ dan ̂ dinyatakan dengan ̂. ̂ (karena digunakan notasi titik maka perkalian ini dinamakan perkalian titik). Perkalian vektor dari ̂ dan ̂ dinyatakan dengan ̂ x ̂. Karena digunakan notasi x, maka perkalian ini disebut perkalian silang15. 1. Perkalian titik (dot product)
Misalnya diketahui vektor ̂ dan ̂ sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Perkalian titik antara vektor ̂ dan ̂ dituliskan sebagai
̂. ̂ ( ̂ titik ̂).
Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor ̂ dan ̂ ( ̂. ̂), digambarkan vektor ̂ dan vektor ̂ yang membentuk sudut teta (sambil lihat gambar di bawah). Selanjutnya kita gambarkan proyeksi dari vektor ̂ terhadap arah vektor ̂. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor ̂ yang sejajar dengan vektor ̂, yang besarnya sama dengan ̂ cos ζ.
15 Giancoli, Douglas C., 2001. Fisika Jilid I (terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga.
Dengan demikian, kita definisikan ̂. ̂ sebagai besar vektor ̂ yang dikalikan dengan komponen vektor ̂ yang sejajar dengan ̂. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut :
̂. ̂ = ̂ ̂ cos θ (ζ bernilai antara 00 sampai 1800) (2.3)
̂. ̂ = ̂ ̂ cos ζ merupakan bilangan biasa (skalar). Karenanya perkalian titik disebut juga perkalian skalar. Bagaimana jika perkalian titik antara vektor ̂ dan ̂ dibalik menjadi ̂. ̂? sebelum kita definisikan ̂. ̂, terlebih dahulu kita gambarkan proyeksi dari vektor ̂ terhadap vektor ̂ (lihat gambar di bawah).
Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan ̂. ̂ sebagai besar vektor ̂ yang dikalikan dengan komponen vektor ̂ yang sejajar dengan ̂. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut :
̂. ̂ = ̂ ̂ cos θ (ζ bernilai antara 00 sampai 1800) (2.4) Hasil perkalian ̂. ̂ = ̂ ̂ cos ζ dan ̂. ̂ = ̂ ̂ cos ζ. Karena:
̂ ̂cos ζ = ̂ ̂ cos ζ, maka berlaku:
̂. ̂ = ̂. ̂ (2.5)
Jadi besar sudut apit antara dua buah vektor adalah:
| ̂ ̂| = | ̂| . | ̂| cos θ cos θ = | ̂| | ̂|| ̂ ̂|
θ = cos-1 | ̂ ̂|
| ̂| | ̂| (2.6)
Beberapa hal dalam perkalian titik yang perlu anda ketahui : a. Perkalian titik memenuhi hukum komutatif. ̂. ̂ = ̂. ̂
b. Perkalian titik memenuhi hukum distributif. ̂. ( ̂ + C) = ̂. ̂ +
̂.C
c. Jika vektor ̂ dan ̂ saling tegak lurus, maka hasil perkalian titik
̂. ̂ = 0
Ketika vektor ̂ dan ̂ saling tegak lurus, maka sudut yang dibentuk adalah 900 (cos 900= 0). Dengan demikian ̂. ̂ = ̂ ̂ cos
ζ= ̂ ̂ cos 900 = 0. Sebaliknya ̂. ̂ = ̂ ̂ cos ζ = 0
d. Jika vektor ̂ dan vektor ̂ searah, maka ̂. ̂ = ̂ ̂ cos 0o = ̂ ̂
Ketika vektor ̂ dan ̂ searah, maka sudut yang dibentuk adalah 00 (cos 00= 1). Dengan demikian ̂. ̂ = ̂ ̂ cos ζ= ̂ ̂ cos 00= ̂ ̂.
Sebaliknya ̂. ̂ = ̂ ̂ cos ζ = ̂ ̂. (Besar ̂ ̂ = besar ̂ ̂. Misalnya besar vektor ̂ = 2. besar vektor ̂ = 3. maka ̂. ̂ = 2.3 = 6; ini sama saja dengan ̂. ̂= 3.2 = 6). Syarat lain dari dua vektor yang searah, jika ̂ = ̂ maka diperoleh ̂. ̂ = ̂2 atau ̂. ̂ = ̂2
e. Jika kedua vektor ̂ dan ̂ berlawanan arah (ketika dua vektor berlawanan arah maka sudut yang dibentuk adalah 1800), maka hasil perkalian ̂. ̂ = ̂ ̂ cos 1800 = ̂ ̂ (-1) = - ̂ ̂. Cos 1800 = -1.
Untuk dapat menghitung perkalian skalar secara langsung jika kita mengetahui komponen x, y dan z dari vektor ̂ dan ̂ (vektor yang diketahui). Untuk melakukan perkalian titik dengan cara ini, terlebih dahulu kita lakukan perkalian titik dari vektor satuan, setelah itu kita nyatakan vektor ̂ dan ̂ dalam komponen- komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
Vektor satuan ̂ ̂ ̂, saling tegak lurus satu sama lain.
Diperoleh perkalian titik atau perkalian skalar adalah:
̂. ̂ = ̂ . ̂ cos ζ
̂ . ̂ = ̂ . ̂ = ̂ . ̂ = (1) (1) cos 00 = 1 ̂ . ̂ = ̂ . ̂ = ̂ . ̂ = (1) (1) cos 900 = 0
Nyatakan vektor ̂ dan ̂ dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
̂. ̂ = (Ax ̂ + Ay ̂ + Az ̂) . (Bx ̂ + By ̂ + Bz ̂)
̂. ̂ = (Ax ̂ . Bx ̂ + Ax ̂ . By ̂ + Ax ̂ . Bz ̂) + (Ay ̂ . Bx ̂ + Ay ̂ . By ̂ + Ay ̂ . Bz ̂) +
(Az ̂. Bx ̂ + Az ̂ . By ̂ + Az ̂ . Bz ̂)
̂. ̂ = (Ax . Bx+ 0 + 0). (0 + Ay . By+ 0) . (0 + 0 + Az . Bz)
̂. ̂ = (Ax . Bx + Ay . By + Az . Bz) (2.7) Berdasarkan hasil analisis di atas dapat disimpulkan bahwa perkalian skalar atau perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen-komponennya masing-masing.
Contoh Soal 2.1:
1. Besar vektor ̂ dan ̂ berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut, jika sudut yang terbentuk adalah 30o.
Jawab:
Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor ̂ dan ̂, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5 Ay = (5) sin 0o = (5) (0) = 0 Az = 0
Bx = (4) cos 300 = (4) ( √ ) = 2√
By = (4) sin 300 = (4) ( ) = 2 Bz = 0
Komponen z bernilai nol karena vektor ̂ dan ̂ berada pada bidang xy.
Hitung perkalian titik antara vektor ̂ dan ̂ menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :
̂. ̂ = (Ax . Bx + Ay . By + Az . Bz)
̂. ̂ = (5 . 2√ + 0 . 2 + 0. 0)
̂. ̂ = (10√ + 0 + 0)
̂. ̂ = 10√
Coba kita bandingkan dengan cara:
̂. ̂ = A B cos θ
̂. ̂ = (5) (4) cos 300
̂. ̂ = 20 ( √ )
̂. ̂ = 10√
2. Perkalian Silang (cross product)
Perkalian silang dari dua vektor, misalnya vektor ̂ dan ̂ ditulis sebagai ̂ x ̂ ( ̂ silang ̂). Perkalian silang dikenal dengan perkalian
vektor, karena hasil perkalian ini menghasilkan besaran vektor.
Misalnya vektor ̂ dan vektor ̂ tampak seperti gambar di bawah16.
Untuk mendefinisikan perkalian silang antara vektor ̂ dan ̂ ( ̂ x
̂), kita gambarkan vektor ̂ dan ̂ seperti gambar di atas, dan digambarkan juga komponen vektor ̂ yang tegak lurus pada ̂ (lihat gambar di bawah), yang besarnya sama dengan ̂ sin ζ.
Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan besar perkalian silang vektor ̂ dan ̂ (A x ̂) sebagai hasil kali besar vektor ̂ dengan komponen vektor ̂ yang tegak lurus pada vektor ̂.
Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
̂ ̂= ̂ ( ̂ sin θ) (2.8) (ζ bernialai antara 00 sampai 1800)
Bagaimana jika perkalian silang antara vektor ̂ dan ̂ ( ̂ x ̂) kita balik menjadi ̂ x ̂?. Terlebih dahulu kita gambarkan vektor ̂ dan ̂ serta komponen vektor ̂ yang tegak lurus pada ̂ (lihat gambar di bawah).
16 Halliday dan Resnick. 1991. FisikaJilid I (terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga.
A B
θ
A B
θ
A sin θ
Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan perkalian silang antara vektor ̂ dan ̂ ( ̂ x A) sebagai hasil kali besar vektor ̂ dengan
komponen vektor ̂ yang tegak lurus pada vektor ̂. Secara matematis ditulis :
̂ ̂ = ̂ ( ̂ sin θ) = ̂ ̂ sin θ (2.9) (ζ bernialai antara 00 sampai 1800)
Jadi besar sudut apit antara dua buah vektor adalah:
| ̂ ̂| = | ̂| x | ̂| sin θ sin ζ = | ̂| | ̂|| ̂ ̂|
θ = sin-1 | ̂ ̂|
| ̂| | ̂| (2.10)
Bagaimana dengan arah vektor ̂ x ̂ dan arah vektor ̂ x ̂ ? a. Arah Perkalian Silang ̂ x ̂
Perkalian silang adalah perkalian vektor, sehingga selain hasil perkaliannya memiliki besar atau nilai dan arah. Besar hasil perkalian vektor telah kita turunkan di atas, sekarang kita menentukan arahnya.
Untuk menentukan arah ̂ x ̂, terlebih dahulu kita gambarkan vektor
̂ dan ̂ seperti gambar di bawah. Kedua vektor ini kita letakan pada suatu bidang (lihat gambar di bawah).
Kita definisikan perkalian silang ̂ x ̂ sebagai suatu vektor yang tegak lurus bidang di mana vektor ̂ dan ̂ berada. Besarnya sama dengan ̂ ̂ sin ζ. Jika ̂ = ̂ x ̂ maka ̂ = ̂ ̂ sin ζ. Arah ̂ tegak lurus bidang di mana vektor ̂ dan ̂ berada. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan arah ̂. Jika kita menggenggam jari tangan di mana arahnya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka arah ̂ searah dengan arah ibu jari menuju ke atas.
b. Arah perkalian silang ̂ x
Untuk menentukan arah ̂ x ̂, terlebih dahulu kita gambarkan vektor ̂ dan ̂ seperti gambar di bawah. Kedua vektor ini kita letakan pada suatu bidang (lihat gambar di bawah).
Jika ̂= ̂ x ̂ maka = ̂ ̂ sin ζ. Arah ̂ tegak lurus bidang di mana vektor ̂ dan ̂ berada. Kita dapat menggunakan kaidah tangan kanan untuk menentukan arah ̂. Jika kita menggenggam jari tangan di mana arahnya searah dengan arah putaran jarum jam, maka arah ̂ sama dengan arah ibu jari menuju ke bawah.
̂x ̂ tidak sama dengan ̂x ̂. Hasil perkalian silang menghasilkan besaran vektor, di mana selain mempunyai besar, juga mempunyai arah. Pada penurunan di atas, arah ̂x ̂ berlawanan arah dengan ̂x ̂.
Beberapa hal dalam perkalian silang yang perlu anda ketahui : 1) Perkalian silang bersifat anti komutatif. ̂ x ̂ = - ̂ x ̂. Tanda
negatif menunjukkan bahwa arah hasil perkalian silang ̂ x ̂ berlawanan arah dengan ̂x ̂.
2) Jika kedua vektor saling tegak lurus maka sudut yang dibentuk adalah 90o (Sin 90o = 1). Dengan demikian, besar hasil perkalian silang antara vektor ̂ dan ̂ akan tampak sebagai berikut.
̂ x ̂= ̂ ̂ sin ζ = ̂ ̂ sin 900 = ̂ ̂
̂ x ̂ = ̂ ̂ sin ζ = ̂ ̂ sin 900 = ̂ ̂
3) Jika kedua vektor searah, maka sudut yang dibentuk adalah 0o. (sin0o= 0). Dengan demikian, nilai alias besar hasil perkalian silang
antara vektor ̂ dan ̂ akan tampak sebagai berikut.
̂ x ̂ = ̂ ̂ sin ζ= ̂ ̂ sin 0o = 0
̂ x ̂= ̂ ̂ sin ζ= ̂ ̂ sin 0o = 0
Hasil perkalian silang antara dua vektor yang searah alias segaris kerja sama dengan nol. Untuk menghitung perkalian silang secara langsung
jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Urutannya sama dengan perkalian titik. Pertama-tama, kita lakukan perkalian antara vektor- vektor satuan ̂ ̂ ̂, hasil perkalian vektor antara vektor satuan yang sama adalah nol.
̂ x ̂ = ̂ x ̂ = ̂ x ̂ = 0
Dengan berpedoman pada persamaan perkalian vektor yang telah diturunkan sebelumnya ( ̂ x ̂= ̂ ̂ sin ζ) dan sifat anti komutatif dari perkalian vektor ( ̂ x ̂ = - ̂ x ̂), maka kita peroleh :
̂ x ̂ = + ̂ dan ̂ x ̂= - ̂ ̂ x ̂ = + ̂ dan ̂ x ̂ = - ̂ ̂ x ̂ = + ̂ dan ̂ x ̂ = - ̂
Nyatakan vektor ̂ dan ̂ dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
̂x ̂ = (Ax ̂ + Ay ̂ + Az ̂) x (Bx ̂ + By ̂ + Bz ̂)
̂x ̂ = (Ax ̂ x Bx ̂ + Ax ̂ x By ̂ + Ax ̂ x Bz ̂) + (Ay ̂ x Bx ̂ + Ay ̂ x By ̂ + Ay ̂ x Bz ̂) + (Az ̂ x Bx ̂ + Az ̂ x By ̂ + Az ̂ x Bz ̂)
̂x ̂ = (AyBz – AzBy) ̂ + (AzBx - AxBz) ̂ + (AxBy - AyBx) ̂ (2.11)