78047 75676724372 1 PB

(1)

Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 13, No. 4 (2024), hal 523-532.

523

PEMODELAN FLUKS PADA ALIRAN DARAH

Sindy Arsita, Bayu Prihandono, Nilamsari Kusumastuti

INTISARI

Fluida adalah zat yang akan mengalami perubahan bentuk dan posisi dari posisi semula ke posisi terkini secara berkelanjutan apabila terkena tegangan geser. Salah satu contoh fluida adalah darah. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui pembentukan model aliran darah sebagai suatu kasus mekanika fluida, yaitu pada aliran Hagen-Poiseuille dan aliran Fluida Casson. Persamaan yang diperlukan dalam memodelkan aliran fluida yaitu persamaan Navier-Stokes, yang merupakan bentuk persamaan diferensial parsial nonlinear dari Hukum kedua Newton yang menjelaskan tentang aliran fluida dinamis. Persamaan Navier-Stokes yang terbentuk yaitu pada koordinat kartesius tiga dimensi 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 yang kemudian diubah untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk dua dimensi 𝑥 dan 𝑦. Selanjutnya, persamaan Navier-Stokes juga diterapkan pada koordinat polar silinder (𝑟, 𝜃, 𝑧). Kedua persamaan, baik pada koordinat kartesius maupun koordinat polar silinder dihubungkan dengan fungsi aliran ψ. Selanjutnya, hasil dari kedua persamaan tersebut diterapkan pada kasus mekanika fluida yaitu aliran Hagen- Poiseuille dan aliran Fluida Casson sehingga diperoleh hasil 𝑄 (Fluks) yang menyatakan jumlah aliran yang melewati suatu permukaan tertentu.

Kata Kunci: Fluida, persamaan Navier-Stokes, aliran Hagen-Poiseuille, aliran Fluida Casson

PENDAHULUAN

Pemodelan matematika merupakan suatu proses mengubah permasalahan atau fenomena di dunia nyata ke dalam bentuk matematika untuk menemukan solusi dari permasalahan tersebut. Banyak disiplin ilmu, termasuk ilmu fisika, menjelaskan hukum alam dunia, menggunakan pemodelan matematika.

Dalam fisika, terdapat pembahasan tentang pergerakan fluida. Fluida adalah zat yang akan mengalami perubahan bentuk dan posisi dari posisi semula ke posisi terkini secara berkelanjutan apabila terkena tegangan geser [1]. Perubahan bentuk dan posisi akibat gaya ini disebut deformasi. Bila dilihat dari karakteristik deformasi akibat gaya geser, fluida dibagi menjadi dua yaitu fluida Newtonian dan fluida non-Newtonian. Fluida Newtonian adalah sebutan untuk fluida yang mengalir secara kontinu berapapun gaya geser diberikan padanya. Contohnya adalah air, udara, dan ethanol. Fluida non-Newtonian mengalir tidak kontinu. Contohnya adalah cairan cat, minyak pelumas, lumpur, dan darah [2].

Dalam sistem peredaran tubuh manusia, darah merupakan cairan yang membawa berbagai zat [3].

Perpindahan zat-zat seperti bahan makanan, udara, dan sisa metabolisme tubuh diangkut dalam darah.

Proses peredaran darah, juga dikenal sebagai kardiovaskular, terjadi ketika darah dipompa ke seluruh tubuh atau ke paru-paru. Selama proses tersebut, terdapat organ pembuluh darah yang membantu jalannya aliran darah. Bentuk pembuluh darah yaitu seperti tabung kecil yang mempunyai fungsi sama seperti pipa air yang dikenal dalam kehidupan sehari-hari [4].

Penelitian ini membahas mengenai pembentukan model aliran darah sebagai suatu kasus mekanika fluida, yang mana membuat model matematika untuk aliran darah sangat diperlukan dalam bidang kesehatan karena untuk mengetahui kecepatan aliran darah tubuh manusia. Persamaan yang digunakan dalam penelitian ini adalah persamaan Navier-Stokes. Pembentukan model dalam kasus mekanika fluida yang diinginkan yaitu pada aliran Hagen-Poiseuille dan aliran fluida Casson, dimana kedua aliran ini berkaitan dengan aliran darah dalam pembuluh darah. Aliran Hagen- Poiseuille dapat mencerminkan aliran darah dalam pembuluh darah kecil yang berdiameter konstan dengan kecepatan aliran rendah.

Sedangkan model Casson dapat digunakan untuk menggambarkan sifat non-Newtonian dari darah.

(2)

524 S. ARSITA, B. PRIHANDONO, N. KUSUMASTUTI

MEKANIKA FLUIDA

Mekanika fluida merupakan cabang ilmu fisika yang mempelajari perilaku fluida, baik dalam keadaan diam (fluida statis) maupun dalam pergerakan (fluida dinamis). Mekanika fluida bertujuan untuk menganalisis dan memahami sifat-sifat fluida, pergerakan fluida, dan gaya yang bekerja pada fluida. Fluida adalah zat yang dapat mengalir, seperti cairan dan gas. Fluida menyesuaikan diri dengan bentuk wadah apapun karena tidak dapat menahan gaya yang bersinggungan dengan permukaannya.

Tetapi fluida dapat mengeluarkan gaya yang tegak lurus dengan permukaannya. Fluida dibagi dua yaitu fluida Newtonian dan non-Newtonian.

Pada fluida Newtonian gaya gesernya selalu berbanding lurus secara linear dengan gradien kecepatan pada arah tegak lurus bidang geser. Contoh fluida Newtonian antara lain: air, udara, minyak, dan ethanol.

Fluida non-Newtonian mengalir tidak kontinu, jika dikenai tegangan geser, seperti saat mengaduk, maka akan timbul area kosong yang kemudian perlahan akan terisi kembali. Contoh fluida non-Newtonian adalah bahan puding (yang masih cair), dan cairan cat. Pengadukan pada fluida non-Newtonian dapat menurunkan viskositasnya, misalnya pada cat cair. Dalam keadaan tertentu pasir juga dapat dikategorikan sebagai fluida non-Newtonian. Sifat pasir dan cat cair sangat berbeda satu sama lain;

namun, fakta bahwa keduanya tidak mengalir secara kontinu adalah alasan utama mengapa keduanya disebut sebagai fluida non-Newtonian [2].

Aliran fluida merupakan cara untuk menjelaskan gerak suatu fluida dengan membagi fluida menjadi bagian volume yang sangat kecil yang disebut partikel fluida dan mengikuti gerak masing-masing partikel. Koordinat-koordinat dapat diberi nama seperti 𝑥, 𝑦, 𝑧 kepada setiap partikel fluida, yang mana koordinat-koordinat sebagai fungsi-fungsi dari waktu 𝑡 [5]. Pembahasan yang sering muncul dalam mekanika fluida yaitu densitas dan viskositas.

Densitas merupakan jumlah zat yang terkandung dalam suatu unit volume. Selanjutnya, viskositas merupakan besaran yang menunjukkan kekentalan atau hambatan dari suatu fluida mengalir. Fluida yang berbeda memiliki besar viskositas yang berbeda. Semakin rendah viskositas suatu fluida, maka semakin besar pergerakan dari fluida tersebut [6]. Viskositas berkaitan erat dengan tegangan geser.

Berdasarkan hukum Newton, dinyatakan bahwa tegangan geser dalam suatu fluida sebanding dengan laju perubahan kecepatan normal aliran pada arah vertikal, laju kecepatan ini disebut sebagai gradien kecepatan, dengan faktor proporsionalitas sebesar 𝜇. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [2]:

𝜏 =𝐹 𝐴 ≈𝑑𝑢

𝑑𝑦 𝜏 = 𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑦 𝜇 = 𝜏

𝑑𝑢 𝑑𝑦⁄

dengan 𝜏 adalah tegangan geser, 𝜇 adalah viskositas mutlak atau viskositas dinamik, dan ^𝑑𝑢

𝑑𝑦 adalah laju deformasi fluida. Selanjutnya, dalam persoalan fluida sangat sering viskositas muncul dalam bentuk yang dikombinasikan terhadap kerapatan sebagai berikut [6]:

𝜈 = 𝜇

𝜌 (1)

dengan 𝜈 merupakan viskositas kinematik dan 𝜌 merupakan densitas.

Vortisitas merupakan sebuah konsep dalam mekanika fluida yang menggambarkan rotasi lokal dalam aliran fluida. Vortisitas juga didefinisikan sebagai vektor vortisitas, yang merupakan hasil perkalian cross product (vektor silang) antara vektor kecepatan fluida dan gradien vektor. Secara matematis, vortisitas (ω) dapat dinyatakan sebagai berikut [6]:

(3)

𝜔 = ∇ × 𝑣⃗

Komponen vektor vortisitas dapat dinyatakan dalam tiga dimensi (𝑥, 𝑦, 𝑧) ataupun dua dimensi (𝑥, 𝑦) untuk menggambarkan rotasi disekitar sumbu-sumbu koordinat. Dalam dua dimensi vortisitas memiliki satu komponen bukan nol, yaitu pada arah z. Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

𝜔 =𝜕𝑣

𝜕𝑥−𝜕𝑢

𝜕𝑦. FUNGSI ALIRAN (STREAM FUNCTION)

Dalam mekanika fluida, fungsi aliran atau stream function merupakan fungsi matematika yang digunakan untuk menggambarkan aliran fluida dua dimensi irrotasional (tanpa putaran). Gagasan mengenai fungsi aliran dapat digunakan apabila persamaan kontinuitas dapat disederhanakan menjadi dua suku. Pada umumnya terdapat empat suku [7]:

Kartesian:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜕

𝜕𝑥(𝜌𝑢) + 𝜕

𝜕𝑦(𝜌𝑣) + 𝜕

𝜕𝑧(𝜌𝑤) = 0 Silindris:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+1 𝑟

𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝜌𝑣_𝑟) +1 𝑟

𝜕

𝜕𝜃(𝜌𝑣_𝜃) + 𝜕

𝜕𝑧(𝜌𝑣_𝑧) = 0 Untuk aliran incompresible dua dimensi, persamaan kontinuitasnya adalah

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦 = 0

dengan menyatakan bahwa 𝑢 dan 𝑣 berhubungan, dimana untuk memenuhi persamaan tersebut, fungsi 𝜓 harus didefinisikan sedemikian sehingga

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦, 𝑣 = −𝜕𝜓

𝜕𝑥 BILANGAN REYNOLDS

Fluida dapat bergerak dalam tiga jenis aliran, yaitu laminar, turbulen, dan transisi. Aliran laminar adalah aliran dimana fluida bergerak dengan kondisi lapisan yang membentuk garis alir yang tidak saling berpotongan satu sama lain. Kemudian, aliran transisi yaitu dimana fluida beralih dari aliran laminar ke aliran turbulen. Selanjutnya, aliran turbulen yaitu aliran dimana fluida dan partikelnya bergerak secara acak dan tidak stabil dalam aliran.

Dalam menganalisis jenis-jenis aliran, digunakan bilangan Reynolds. Bilangan Reynolds adalah bilangan yang tidak mempunyai dimensi yang menunjukkan perbandingan gaya-gaya inersia dan kekentalan. Bilangan Reynolds menunjukan bahwa suatu aliran dapat diklasifikasikan dalam nilai atau angka tertentu. Bilang Reynolds dirumuskan sebagai berikut [8]:

𝑅𝑒 =𝜌𝑈𝐿 𝜇

Jika Re ≤ 2000 maka aliran pada kondisi tersebut laminar. Aliran akan turbulen ketika Re ≥ 4000.

Apabila berada diantara kedua nilai yaitu 2000 ≤ Re ≤ 4000 maka aliran transisi.

PERSAMAAN NAVIER-STOKES

Persamaan umum yang digunakan dalam memodelkan aliran darah pada penelitian ini yaitu persamaan Navier-Stokes. Dalam mekanika fluida persamaan Navier-Stokes merupakan persamaan diferensial parsial yang menggambarkan aliran fluida tidak dapat dimampatkan. Persamaan awal yang terbentuk adalah dalam tiga arah yaitu 𝑥, 𝑦 dan 𝑧. Terdapat tiga konsep penting dalam pemodelan fluida, yaitu tekanan, densitas, dan viskositas yang digunakan untuk menggambarkan perilaku fluida. Misalkan 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) menyatakan ketiga komponen kecepatan dan 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) menyatakan tekanan pada titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) pada waktu 𝑡 dalam fluida dengan densitas 𝜌 dan koefisien viskositas 𝜇. Kemudian persamaan kontinuitas, yang menyatakan fakta bahwa jumlah fluida yang -

(4)

memasuki suatu satuan volume per satuan waktu adalah sama dengan jumlah fluida yang meninggalkan per satuan waktu, dituliskan sebagai berikut

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦+𝜕𝑤

𝜕𝑧 = 0 (2)

Berikut persamaan Navier-Stokes pada cairan yang tidak dapat dimampatkan [9]

𝜌 (𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤𝜕𝑢

𝜕𝑧) = 𝑋 −𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇 (𝜕²𝑢

𝜕𝑥²+𝜕²𝑢

𝜕𝑦²+𝜕²𝑢

𝜕𝑧²) (3)

𝜌 (𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤𝜕𝑣

𝜕𝑧) = 𝑌 −𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇 (𝜕²𝑣

𝜕𝑥²+𝜕²𝑣

𝜕𝑦²+𝜕²𝑣

𝜕𝑧²) (4)

𝜌 (𝜕𝑤

𝜕𝑡 + 𝑢𝜕𝑤

𝜕𝑥 + 𝑣𝜕𝑤

𝜕𝑦 + 𝑤𝜕𝑤

𝜕𝑧) = 𝑍 −𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜇 (𝜕²𝑤

𝜕𝑥² +𝜕²𝑤

𝜕𝑦²+𝜕²𝑤

𝜕𝑧²) (5)

Jika 𝑋, 𝑌, 𝑍 diketahui atau tidak, persamaan (2) - (5) memberikan sistem empat persamaan diferensial parsial nonlinear yang digabungkan untuk empat fungsi yang tidak diketahui 𝑢, 𝑣, 𝑤 dan 𝑝. Persamaan ini harus diselesaikan dengan syarat awal tertentu yang memberikan gerakan fluida pada waktu 𝑡 = 0 dan syarat batas tertentu yang ditentukan untuk permukaan yang dapat dilewati oleh cairan, atau kondisi yang berlaku pada jarak yang sangat jauh dari permukaan.

Persamaan (3) - (5) dapat disederhanakan dengan syarat antara lain: tidak ada gaya luar, yaitu ketika 𝑋 = 0, 𝑌 = 0, 𝑍 = 0, atau ketika gaya-gaya luar membentuk sistem; Geraknya tetap, yaitu bila tidak ada variasi terhadap waktu sehingga 𝑢, 𝑣, 𝑤 dan 𝑝 adalah fungsi dari 𝑥, 𝑦, 𝑧 saja dan 𝜕𝑢/𝜕𝑡, 𝜕𝑣/𝜕𝑡, 𝜕𝑤/𝜕𝑡 dan 𝜕𝑝/𝜕𝑡 semuanya nol; Gerak dalam bentuk dua dimensi, yaitu ketika sama disemua bidang yang sejajar bidang 𝑧 = 0 dan khususnya ketika 𝑤 = 0 dan ketika tidak ada variasi terhadap 𝑧.

Dalam hal ini, persamaan (2) – (4) yang sebelumnya telah diketahui dapat dituliskan kembali.

Sehingga tiga persamaan yang diperoleh untuk tiga variabel, yaitu 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑡) dan 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑡) adalah

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0 (6)

𝜌 (𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣𝜕𝑢

𝜕𝑦) = −𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇 (𝜕²𝑢

𝜕𝑥²+𝜕²𝑢

𝜕𝑦²) (7)

𝜌 (𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇 (𝜕²𝑣

𝜕𝑥²+𝜕²𝑣

𝜕𝑦²) (8)

Persamaan (6) dapat dipenuhi dengan memperkenalkan fungsi aliran 𝜓(𝑥, 𝑦), dengan

𝑢 = 𝜕𝜓

𝜕𝑦 , 𝑣 = − 𝜕𝜓

𝜕𝑥

Substitusikan 𝑢 dan 𝑣 pada persamaan (7) dan (8) serta eliminasi 𝑝 antara keduanya, sehingga diperoleh

𝜕

𝜕𝑡∇²𝜓 +𝜕𝜓

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥∇²𝜓 −𝜕𝜓

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦∇²𝜓 = 𝜈∇⁴𝜓

dimana 𝜈 memenuhi persamaan (1) dan ∇² adalah operator Laplacian yang didefinisikan sebagai

∇² ≡ 𝜕²

𝜕𝑥²+ 𝜕²

𝜕𝑦², ∇⁴≡ ∇²(∇²)

(5)

Secara umum, terdapat tiga komponen kecepatan, yaitu

𝑣

_𝑟 yang merupakan kecepatan sepanjang vektor jari-jari yang tegak lurus sumbu,

𝑣

_𝜃 merupakan kecepatan tegak lurus sumbu dan vektor jari-jari, dan

𝑣

_𝑧 merupakan kecepatan yang sejajar sumbu 𝑧. Untuk kasus axi-simetris, diambil

𝑣

_𝜃

= 0

, dan juga mengambil

𝑣

_𝑟

, 𝑣

_𝑧

,

dan 𝑝 bebas dari 𝜃. Dalam hal ini, persamaan kontinuitas dan persamaan gerak dapat dituliskan sebagai

1 𝑟

𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝑣_𝑟) + 𝜕

𝜕𝑧𝑣_𝑧 = 0 (9)

𝜌 (𝜕𝑣_𝑟

𝜕𝑡 + 𝑣_𝑟𝜕𝑣_𝑟

𝜕𝑟 + 𝑣_𝑧𝜕𝑣_𝑟

𝜕𝑧) = −𝜕𝑝

𝜕𝑟+ 𝜇 (𝜕²𝑣_𝑟

𝜕𝑟² +𝜕²𝑣_𝑟

𝜕𝑧² +1 𝑟

𝜕𝑣_𝑟

𝜕𝑟 −𝑣_𝑟

𝑟²) (10)

𝜌 (𝜕𝑣_𝑧

𝜕𝑡 + 𝑣_𝑟𝜕𝑣_𝑧

𝜕𝑟 + 𝑣_𝑧𝜕𝑣_𝑧

𝜕𝑧) = −𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜇 (𝜕²𝑣_𝑧

𝜕𝑟² +𝜕²𝑣_𝑧

𝜕𝑧² +1 𝑟

𝜕𝑣_𝑧

𝜕𝑟) (11)

Persamaan (9) dapat dipenuhi dengan memperkenalkan fungsi aliran yang didefinisikan sebagai berikut 1

𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝑟 = 𝑣_𝑧, 1 𝑟

𝜕𝜓

𝜕𝑧 = −𝑣_𝑟

Substitusikan 𝑣

_𝑧

dan 𝑣

_𝑟

pada persamaan (10) dan (11) serta eliminasi 𝑝 antara keduanya, sehingga diperoleh

𝜕

𝜕𝑡(𝐷²𝜓) −1 𝑟

𝜕(𝜓, 𝐷²𝜓) (𝑟, 𝑧) − 2

𝑟²

𝜕𝜓

𝜕𝑧𝐷²𝜓 = 𝜈𝐷⁴𝜓 dimana

𝐷²≡ 𝜕²

𝜕𝑟²−1 𝑟

𝜕

𝜕𝑟+ 𝜕²

𝜕𝑧², 𝐷⁴𝜓 = 𝐷²(𝐷²𝜓) ALIRAN HAGEN-POISEUILLE

Aliran Hagen-Poiseuille, juga dikenal sebagai aliran laminar dalam pipa silinder.

Gambar 1. Kecepatan pada Aliran Poiseuille

Dianggap aliran tunak ketika hanya ada satu komponen kecepatan yang sejajar dengan sumbu sehingga 𝑣_𝑟 = 0, 𝑣_𝜃= 0, dan 𝑣_𝑧 = 𝑣. Kemudian persamaan kontinuitas diberikan

𝑣_𝑧 = 𝑣(𝑟) Persamaan gerak (10) dan (11), selanjutnya diberikan

𝜕𝑝

𝜕𝑟 = 0, 𝑑²𝑣 𝑑𝑟²+1

𝑟 𝑑𝑣 𝑑𝑟 = 1

𝜇

𝜕𝑝

𝜕𝑧 (12)

dari persamaan (12), −(𝜕𝑝 𝜕𝑧)⁄ harus konstan, dengan 𝑃 menyatakan gradien tekanan konstan.

Kemudian dari persamaan (12) diberikan 1 𝑟

𝑑 𝑑𝑟(𝑟𝑑𝑣

𝑑𝑟) = −𝑃

𝜇 (13)

ν

O

(6)

Integralkan persamaan (13) dua kali, didapatkan

𝑟 𝑑𝑣

𝑑𝑟 = − 1

2𝜇 𝑃𝑟

²

+ 𝐴, 𝑣(𝑟) = − 𝑃𝑟

²

4𝜇 + 𝐴 𝑙𝑛 𝑟 + 𝐵

tetapi kecepatan pada sumbu (yaitu pada 𝑟 = 0) harus terbatas, diberikan 𝐴 = 0, dan jika 𝑟

= 𝑎 maka 𝑣(𝑎) = 0 karena kondisi tanpa selip sehingga 𝐵 =𝑃𝑎²

4𝜇 , 𝑣(𝑟) = 𝑃

4𝜇(𝑎²− 𝑟²)

Kecepatan nol di permukaan dan maksimum di sumbu. Faktanya, profil kecepatan parabola dan dalam ruang tiga dimensi, ini dapat dianggap sebagai paraboloid revolusi.

Fluks total yang melintasi setiap bagian, yaitu volume total fluida yang melintasi setiap bagian per satuan waktu, dituliskan sebagai

𝑄 = ∫ 𝑣2𝜋𝑟 𝑑𝑟 =𝜋𝑎⁴ 8𝜇 𝑃

𝑎 0

ALIRAN FLUIDA NON-NEWTONIAN DALAM TABUNG EDARAN

Beberapa tipe yang telah diusulkan untuk cairan non-Newtonian khusus adalah:

Tabel 1. Tipe-Tipe pada Fluida Non-Newtonian

Pada tabel 1 terdapat kondisi yang harus dipenuhi pada suatu aliran, dimana diketahui syarat pada tegangan atau 𝜏 dan regangan yaitu 𝑒. Regangan mengacu pada perubahan gradien kecepatan dalam fluida. Selanjutnya, diasumsikan aliran laminar dari cairan non-Newtonian dalam tabung edaran dibawah gradien tekanan konstan. Misalkan volume kontrol dibatasi oleh dua silinder koaksial dengan jari-jari 𝑟 dan 𝑟 + 𝑑𝑟 dan misalkan menjadi panjang satuan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Karena gradien tekanan, ada yang maju pada 𝑃 × 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 diatasnya.

Kondisi yang Memenuhi Nama Aliran

𝜏 = 𝜇𝑒 + 𝜏₀ (𝜏 ≥ 𝜏₀)

𝑒 = 0 (𝜏 ≤ 𝜏₀) Aliran Herschel-Bulkley 𝜏^{1 2}^⁄ = 𝜇^{1 2}^⁄ 𝑒^{1 2}^⁄ + 𝜏₀^{1 2}^⁄ (𝜏 ≥ 𝜏₀)

𝑒 = 0 (𝜏 ≤ 𝜏₀)

Aliran Casson

𝜏 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛⁻¹(𝑒 𝑐)⁄ Aliran Prandtl

𝜏 = 𝐴𝑒 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛⁻¹(𝑒 𝑐)⁄ Aliran Prandtl-Eyring

𝑒 = 𝐴𝜏 + 𝐵 𝜏^𝑛 Aliran Ellis

𝜏 =

𝜇

_∞

+

[

𝜇

₀

− 𝜇

_∞

1 + (𝜏 𝜏

⁄ ₀

)

²]

𝑒

Aliran Reiner-Philiphoff

𝑒 = 1

𝜇

₀

𝜏 + ∑ 𝑆

_𝑞

𝜏

^2𝑞+1

𝑞

Aliran Rabinowitsch

(7)

Gambar 2. Kekuatan pada Volume Kontrol

Misalkan tegangan 𝜏(𝑟) pada jarak 𝑟 dari sumbu 𝑙 maka gaya pada permukaan silinder bagian dalam adalah 2𝜋𝑟𝜏, dan gaya pada permukaan silinder bagian luar adalah

2𝜋(𝑟𝜏) + 𝑑

𝑑𝑟 (𝑟𝜏) 𝑑𝑟

Menyeimbangkan gaya dalam arah aksial dalam volume kontrol, didapatkan

2𝜋

^𝑑

𝑑𝑟

(𝑟𝜏) = 2𝜋𝑃𝑟 atau

^𝑑

𝑑𝑟

(𝑟𝜏) = 𝑃𝑟 (14)

Mengintegralkan persamaan (14), diperoleh 𝑟𝜏 =¹

2𝑃𝑟²+ 𝐴 atau 𝜏 =¹

2𝑃(𝑟 + 𝐷 𝑟)⁄ karena tegangan 𝜏 terbatas pada sumbu (yaitu pada 𝑟 = 0), didapat

𝐴 = 0, 𝐷 = 0, 𝜏 =1

2𝑃𝑟 (15)

Kecepatan 𝑣 sejajar dengan sumbu 𝑙 pada Gambar 2, yang merupakan fungsi dalam 𝑟 dan akan mengalami penurunan dari maksimum menjadi nol pada permukaan sehingga laju regangan dalam aliran ini dapat dihitung dengan mengukur perubahan kecepatan dalam arah yang berbeda sepanjang pipa, dapat dituliskan sebagai berikut

𝑒 = −(𝑑𝑣⁄𝑑𝑟) (16)

untuk aliran non-Newtonian, diketahui

𝜏 = 𝑓(𝑒), (17)

sehingga dari persamaan (15) - (17), 1

2𝑃𝑟 = 𝑓 (−𝑑𝑣

𝑑𝑟). (18)

Integralkan persamaan (18) dengan syarat bahwa 𝑣 = 0 ketika 𝑟 = 𝑅, didapat 𝑣 sebagai fungsi dari 𝑟.

Kemudian didapat fluks 𝑄 dengan menggunakan 𝑅

𝑄 = ∫ 2𝜋𝑟𝑣 𝑑𝑟 0

(19) Integralkan ruas kanan dari persamaan (19) dengan bagian-bagiannya, didapat

𝑄 = 2𝜋 ∫ 𝑟 𝑣(𝑟) 𝑑𝑟

𝑅 0

𝑄 = 2𝜋 [(1 2𝑣𝑟²)

0 𝑅

− ∫ 1 2𝑟² 𝑑𝑣

𝑑𝑟 𝑑𝑟

𝑅 0

].

Karena 𝑣 = 0 di 𝑟 = 𝑅, diperoleh

𝑄 = 𝜋 ∫ 𝑟

²

𝑒(𝑟) 𝑑𝑟

𝑅 0

dr r

l

(8)

ALIRAN FLUIDA CASSON DALAM TABUNG EDARAN Disini

𝜏^{1 2}^⁄ = 𝜇^{1 2}^⁄ 𝑒^{1 2}^⁄ + 𝜏₀^{1 2}^⁄ (𝜏 ≥ 𝜏₀) Sehingga untuk wilayah bukan inti, persamaan (17) diberikan

−𝑑𝑣

𝑑𝑟 = 𝑒 =(¹

2𝑃𝑟)^{1 2}^⁄ − (¹

2𝑃𝑟_𝑝)^{1 2}^⁄ 𝜇^{1 2}^⁄

atau

𝑑𝑣 𝑑𝑟 = −1

2 𝑃

𝜇(𝑟^{1 2}^⁄ − 𝑟_𝑝^{1 2}^⁄ )²= −1 2

𝑃

𝜇(2√𝑟𝑝𝑟 − 𝑟 − 𝑟_𝑝) Integralkan persamaan, sehingga diperoleh

𝑣 =1 2

𝑃 𝜇(4

3√𝑟𝑝𝑟^{3 2}^⁄ −1

2𝑟²− 𝑟_𝑝𝑟 −4

3√𝑟𝑝𝑅^{3 2}^⁄ +1

2𝑅²+ 𝑟_𝑝𝑅) Sehingga kecepatan ditentukan oleh

𝑣_𝑝=1 2

𝑃 𝜇(1

2𝑅²+ 𝑟_𝑝𝑅 −4

3√𝑟𝑝𝑅^{3 2}^⁄ −1 6𝑟_𝑝²)

=1 4

𝑃𝑅²

𝜇 (1 + 2𝑐_𝑝−8

3𝑐_𝑝^{1 2}^⁄ −1

3𝑐_𝑝²) =𝑃𝑅² 4𝜇 𝑔(𝑐_𝑝) selanjutnya

𝑣_𝑝

(𝑣_𝑝)₀= 𝑔(𝑐_𝑝)

Gambar 2 menunjukkan variasi dari 𝑔(𝑐𝑝) dengan 𝑐𝑝. Ini menunjukkan bahwa, ketika 𝜏0 meningkat (𝜇 tetap sama), kecepatan sumbat atau kecepatan maksimum akan berkurang dengan cepat sampai 𝑐𝑝 mencapai 1 ketika kecepatan dikurangi sedikit dari nilainya dan kemudian menurun. Untuk darah, perubahan kecil pada 𝜏0 menyebabkan perubahan signifikan pada kecepatan maksimum.

Gambar 2. Variasi dari 𝑔(𝑐𝑝) dengan 𝑐𝑝

𝑔(𝑐

𝑝

)

𝑐

_𝑝

(9)

𝑄 = 𝜋𝑣

_𝑝

𝑟

_𝑝²

+

^𝑃𝜋

𝜇

[

⁸

21

√𝑟

𝑝

(𝑅

^{7 2}^⁄

− 𝑟

_𝑝^{7 2}^⁄

) −

¹

8

(𝑅

⁴

− 𝑟

_𝑝⁴

) −

¹

3

𝑟

_𝑝

(𝑅

³

− 𝑟

_𝑝³

) −

2

3

√𝑟

𝑝

𝑅

^{3 2}^⁄

(𝑅

²

− 𝑟

_𝑝²

) +

¹

4

𝑅

²

(𝑅

²

− 𝑟

_𝑝²

) +

¹

2

𝑟

_𝑝

𝑅(𝑅

²

− 𝑟

_𝑝²

)] =

^𝜋

4 𝑃𝑅⁴

4𝜇

𝑐

_𝑝²

𝑔(𝑐

_𝑝

) +

𝜋𝑃𝑅⁴ 𝜇

× [

⁸

21

√𝑐

𝑝

(1 − 𝑐

_𝑝^{7 2}^⁄

) −

¹

8

(1 − 𝑐

_𝑝⁴

) −

¹

3

𝑐

_𝑝

(1 − 𝑐

_𝑝³

) −

²

3

√𝑐

𝑝

(1 − 𝑐

_𝑝²

) +

1

4

(1 − 𝑐

_𝑝²

) +

¹

2

𝑐

_𝑝

(1 − 𝑐

_𝑝²

)]

= 𝜋𝑃𝑅

⁴

8𝜇 ℎ(𝑐

_𝑝

)

sehingga

𝑄 𝑄 ⁄

₀

= ℎ(𝑐

_𝑝

)

Gambar 3 memberikan graf ℎ(𝑐

_𝑝

) terhadap 𝑐

_𝑝

. Ini menunjukkan bahwa, untuk 𝜏

0

(𝜇 tetap sama), fluks berkurang dengan cepat sampai 𝑐

𝑝

mencapai 1 dan dan terus menurun. Untuk darah, perubahan kecil pada 𝜏

0

dapat membuat perubahan signifikan 𝑄. Cairan Casson mengalir dalam tabung hanya jika 𝑟

_𝑝

< 𝑅 yaitu, jika 2𝜏

₀

< 𝑃𝑅

Gambar 3. Variasi ℎ(𝑐

𝑝

) terhadap 𝑐

𝑝

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh hasil penurunan persamaan Navier-Stokes dari tiga dimensi menjadi dua dimensi serta dihubungkan dengan fungsi aliran (Stream Function) diperoleh persamaan koordinat kartesian dan koordinat polar silinder yaitu:

𝜕

𝜕𝑡∇²𝜓 +𝜕𝜓

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥∇²𝜓 −𝜕𝜓

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦∇²𝜓 = 𝜈∇⁴𝜓

𝜕

𝜕𝑡(𝐷²𝜓) −1 𝑟

𝜕(𝜓, 𝐷²𝜓) (𝑟, 𝑧) − 2

𝑟²

𝜕𝜓

𝜕𝑧𝐷²𝜓 = 𝜈𝐷⁴𝜓

Selanjutnya diterapkan pada kasus mekanika fluida aliran Hagen-Poiseuille, diperoleh hasil Fluks:

𝑄 =𝜋𝑎⁴ 8𝜇 𝑃 serta pada aliran fluida Casson diperoleh hasil Fluks:

𝑄 =𝜋𝑃𝑅⁴ 8𝜇 ℎ(𝑐_𝑝)

h(c

_p

)

c

_p

(10)

DAFTAR PUSTAKA

[1] H. Nasution, Mekanika Fluida Dasar, Padang: Bung Hatta University Press, 2008.

[2] A. Ghurri, Dasar-Dasar Mekanika Fluida, Bali: Universitas Udayana, 2014.

[3] M. Hoefnagles, Biology The Essentials, New York: McGraw-Hill, 2013.

[4] G. Salman, S. Fatimah dan K. Yulianti, “Model Matematika untuk Kecepatan Aliran Darah,” Jurnal EurekaMatika, vol. 6(2), pp. 73-82, 2018.

[5] D. Halliday dan R. Resnick, Fisika, Edisi ketiga, Jakarta: Erlangga, 1985.

[6] B. R. Munson, D. F. Young dan T. H. Okiishi, Mekanika Fluida, Edisi Keempat, Jakarta:

Erlangga, 2003.

[7] F. M. White, Mekanika Fluida, Edisi Kedua, Jakarta: Erlangga, 1986.

[8] L. Nurcholis, “Perhitungan Laju Aliran Fluida pada Jaringan Pipa,” Unimus, vol. 7(1), pp. 19-31, 2008.

[9] J. N. Kapur, Mathematical Models in Biology and Medicine, New Delhi: Affiliated East- West Press Private Limited, 1985.

SINDY ARSITA : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak [email protected]

BAYU PRIHANDONO : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak [email protected]

NILAMSARI KUSUMASTUTI : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak