Dokumen Teori Pendukung

1. TEORI PENDUKUNG

•1.1 Pendahuluan

•1.2 Variabel acak

•1.3 Distribusi variabel acak diskrit

•1.4 Distribusi variabel acak kontinu

•1.5 Distribusi multivariat

1

Definisi 1:

Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Notasi : S

Definisi 2:

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Sifat :

Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika

^{A  B}

1.1 Pendahuluan

3

Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A, ditulis dengan sifat: P A ( ) atau { } P A

( ) 0 i  P A ( ) 1 

( ) ( ) 1 dan ( ) 0. ii P S  P  

( ) Untuk setiap kejadian A, ( ') 1iii P A   P A( ).

• Jika A  B , maka ( ) P A  P B ( ).

• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku

• Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

( ) ( ) ( ) ( ).

P A  B  P A  P B  P AB ( ) ( ) ( ).

P AB  P A P B

Prostok-1-firda

• Jika A dan B dua kejadian , dengan

  ^{( )}

( ) P A B P B A

P A

 

( ) 0, P A 

peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:

Jika kejadian-kejadian adalah partisi dari ruang sampel S maka untuk kejadian B

sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0 berlaku:

1

,

2

,...,

_k

A A A

Teorema Bayes :

1

( ). ( )

( )

( )

( ) ( ). ( )



  



i i

i

i k

i i

i

P B A P A P A B

P A B

P B P B A P A

Definisi 3:

Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real. ( R )

Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x , dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama dengan x dinyakan dengan

Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.

5

1.2 Variabel Acak

( ).

P X  x

Klasifikasi Variabel Acak:

1. Variabel Acak Diskrit

2. Variabel Acak Kontinu

Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit

jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk

himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .

Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu

jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).

7

Definisi 4:

Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function (pmf), atau fungsi peluang, ditulis :

( ) ( )

p x  P X x 

Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability

density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis

f(x).

( ) ( )

b

a

P a  X  b 



f x dx

( ) ( ),

F x  P X x       x

( ) ( ) ( )

t x

F x P X x p t



   

( ) ( ) ( )

x

F x P X x f t dt



   

Definisi 5:

Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel acak X adalah:

• Untuk variabel acak diskrit :

• Untuk variabel acak kontinu :

9

Definisi 6:

(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:

( ) ( )

x

E X   xp x

(ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:

( ) ( )

E X x f x dx





 

Prostok-1-firda

 

²

( ) (

2

) ( ) Var X  E X  E X Definisi 7:

Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:

Definisi 8:

Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu

 

( )

^tX

M

X

t  E e 

( ) , e f x dx

tx





tx

( ),

x

e p x



X variabel acak kontinu

X variabel acak diskrit

1.3 Distribusi variabel acak diskrit

11

a. Distribusi Bernoulli

( )

^x 1 ^x

, 0,1 p x  p q

^

x 

( )  E X p

( )  (1  ) 

Var X p p pq

• pmf:

• mean:

• variansi:

b. Distribusi Binomial

• pmf:

• mean:

• varians:

( ) n

^{x n x}

, 0,1,...,

p x p q x n

x

 



   

 

( )

E X  np

( )

Var X  npq

Peubah acak X menyatakan banyaknya

sukses dalam n usaha percobaan binomial

13

c. Distribusi Geometri

• pmf:

• mean:

• varians:

( )

^x 1

, 1, 2,3,...

p x  pq

^

x 

( ) 1

E X  p

( ) q

2

Var X

 p

Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama kali

d. Distribusi Poisson

• pmf:

• mean:

• varians:

( ) , 0,1, 2,...

!

e x

p x x

x





  

( )

E X   ( )

Var X  

Peubah acak X menyatakan banyaknya

sukses dalam n usaha percobaan poison

1.4 Distribusi variabel acak kontinu

15

a. Distribusi Uniform

• pdf:

• mean:

• varians:

( ) 1 ,

f x a x b

 b a  



( )

2

 a  b E X

( )

2

Var ( )

12

 b  a X

b. Distribusi Eksponensial

• pdf:

• mean:

• varians:

( )

^x

, 0

f x   e

^

x 

( ) 1

E X ^ 

2

( ) 1 Var X

 

17

c. Distribusi Normal

• pdf:

• mean:

• varians:

( ) 2 12

1

( )

2

,

x

f x e x





 

  

 

 





    

( )

E X  

Var( X )  

2

Fungsi peluang (Pmf) Mean Variansi Mgf Distribusi Peluang Diskrit

( ) ^x 1 ^x, 0,1

p x  p q ^ x 

p pq _{q pe }

^t

( ) ,

0,1,...,

x n x

p x n p q x

x n

  

  

 



np npq

_{(q  pe}^t _ⁿ

( ) 1,

1, 2, 3,...

p x pqx

x

 



1

p

²

q

p ^{(1 )}

t t

pe

 qe

( ) ,

! 0,1, 2,...

e x

p x x

x



 



  e

^{(1et )}

( , ) X B n p

( ) X Bernoulli p

( ) X GEO p

( ) X POI_ 

19

Fungsi densitas (Pdf) Mean Variansi Mgf

( ) 1 ,

f x a x b

 b a  



( ) 2 12

1

( ) 2 ,

x

f x x

e





 

  

 

 

 

   

 _

^{2 1}₂ ^{2 2t t}

e ^{ }

  

 

 

1

( ) , 0

( )

k x ek x

f x x

k

 ^{ }

 



k



²

k



k

t





 

  

 

( )

^x

, 0

f x 



e^ x 

1

 _ ¹

² t



 

2

a  b ( )² 12 b  a

( )

bt at

e e

t b a



 ( , )

X U a b

( ) X EXP_ 

( , ) X GAM_  k

( , )2

X N_  

Distribusi Peluang Kontinu

1.5 Distribusi multivariat

a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka (i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :

(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :

(iii) Pmf marjinal dari X :

(iv) Pmf marjinal dari Y :

( , ) ( , )

p

XY

x y  P X  x Y  y

( , ) ( , )

XY XY

a x b y

F x y p a b

 





( ) ( , )

X XY

y

p x   p x y

( ) ( , )

Y XY

p y 



p x y

21

(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :

|

( , )

( | ) , ( ) 0

( )

XY

X Y Y

Y

p x y

p x y p y

p y

 

|

( , )

( | ) , ( ) 0

( )

XY

X Y Y

a x Y

p a y

F x y p y

p y









[ | ] .

_XY

( )

x

E X Y  y   x p x y

Prostok-1-firda

22

b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka (i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :

(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :

(iii) Pdf marjinal dari X :

(iv) Pdf marjinal dari Y :

2 ( , ) ( , )

XY

F x y f x y

y x

 

 

( , ) ( , )

y x

XY XY

F x y f s t ds dt

 



 

( ) ( , )

X XY

y

f x   f x y dy

( ) ( , )

Y XY

f y 



f x y dx

23

(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :

|

( , )

( | ) , ( ) 0

( )

XY X Y

Y

f x y

f x y f y

 f y 

|

( , )

( )

( )

x

XY X Y

Y

f t y

F x y dt

f y



 

 

_{X Y}| ( | )

E X Y y xf x y dx





 





E X [  Y ]  E X [ ]  E Y [ ]

 Kovariansi dari X dan Y:

( , ) [ ] [ ] [ ] Cov X Y  E XY  E X E Y

 Koefisien korelasi dari X dan Y:

( , ) ( , )

( ). ( ) Cov X Y

X Y Var X Var Y





Soal

1. Jika X , Y variabel acak saling bebas dan masing-

masing berdistribusi Poisson dengan mean Tunjukkan bahwa

variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan mean

25

1

dan .

2

 

1 2

.

  

2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi Asumsikan ^{F x ( ).} , tunjukkan bahwa

0

. ( ) (1 ( )) a E X F x dx



  

¹

0

. (

ⁿ

)

ⁿ

(1 ( )) b E X nx F x dx



 



 (0) 0,

F 

Prostok-1-firda