Modul Aritmatika Komputer (CCI120)

(1)

1 Universitas Esa Unggul

http://esaunggul.ac.id

MODUL ORGANISASI DAN ARSITEKTUR KOMPUTER (CCI120)

MODUL 10

COMPUTER ARITHMETIC

DISUSUN OLEH

Dr. BUDI TJAHJONO, S.Kom, M.Kom

UNIVERSITAS ESA UNGGUL 2020

(2)

TOPIK ATAU SUB TOPIK 1

A. Kemampuan Akhir Yang Diharapkan

Setelah mempelajari modul ini, diharapkan mahasiswa mampu : 1. Mengetahui jalur komunikasi dalam operasi komputer

2. Menerapkan bilangan biner dalam kehidupan sehari-hari

3.

Menguasai maslaah operasi arithmetic komputer

(3)

“ARITHMETIC LOGIC UNIT”

(4)

10.1 arAitmatika dan logika UNIT

ALU adalah bagian dari komputer yang benar-benar melakukan aritmatika dan logis operasi pada data. Semua elemen lain dari unit sistem kontrol komputer, register, memori, I / O-ada terutama untuk membawa data ke ALU untuk itu untuk memproses dan kemudian mengambil kembali hasilnya keluar. Kami telah, dalam arti, mencapai inti atau esensi dari sebuah komputer ketika kita mempertimbangkan ALU.

Sebuah ALU dan memang, semua komponen elektronik di komputer, didasarkan pada penggunaan perangkat logika digital sederhana yang dapat menyimpan biner digit dan melakukan operasi logika Boolean sederhana.

Gambar 10.1 menunjukkan, secara umum, bagaimana ALU saling berhubungan dengan sisa prosesor. Operan untuk operasi aritmatika dan logika disajikan kepada ALU dalam register, dan hasil operasi disimpan dalam register. register ini lokasi penyimpanan sementara dalam prosesor yang terhubung dengan jalur sinyal ke ALU (misalnya, lihat Gambar 2.3).

ALU juga dapat menetapkan bendera sebagai hasil dari operasi. Sebagai contoh, bendera overflow set ke 1 jika hasil dari com-putation melebihi panjang dari register ke mana itu harus disimpan.

Kont

rol Fla

gs sinyal

ALU Opera

n

Hasil registe

r Regist

er

Gambar 10.1 ALU Input dan Output

Nilai-nilai bendera juga disimpan dalam register dalam prosesor. Prosesor pro-vides sinyal yang mengontrol operasi ALU dan pergerakan data ke dalam dan keluar dari ALU.

(5)

10.2 INTEGER REPRESENTASI

Dalam sistem bilangan biner,¹ nomor sewenang-wenang dapat diwakili hanya dengan angka nol dan satu, tanda minus (untuk angka negatif), dan periode, atau akar titik (Untuk nomor dengan komponen pecahan).

- 1101.01012 = - 13,312510

Untuk tujuan penyimpanan komputer dan pengolahan, namun, kami tidak memiliki ben-efit simbol khusus untuk tanda minus dan titik radix. Hanya biner digit (0 dan

1) dapat digunakan untuk mewakili angka. Jika kita terbatas pada bilangan bulat non-negatif, representasi sangat mudah.

Kata 8-bit dapat mewakili angka 0 sampai 255, seperti 00000000 = 0

00000001 = 1 00101001 = 41

10000000 = 128 11111111 = 255

Sign-Besaran Representasi

Ada beberapa konvensi alternatif yang digunakan untuk mewakili bilangan bulat negatif serta pos-itive, yang semuanya melibatkan mengobati yang paling signifikan (paling kiri) bit dalam kata sebagai bit tanda. Jika bit tanda adalah 0, jumlah ini positif; jika bit tanda adalah 1, nomor negatif.

Bentuk paling sederhana dari representasi yang mempekerjakan sedikit tanda adalah representasi tanda-Magni-tude. dalam sebuahnKata- bit, paling kanan yang n - 1 bit memegang besarnya integer.

+ 18 = 00.010.010

- 18 = 10010010 (Tanda besarnya)

Ada beberapa kelemahan untuk sign-besarnya representasi. Salah satunya adalah bahwa penambahan dan pengurangan memerlukan pertimbangan baik tanda-tanda angka dan besaran relatif mereka untuk melaksanakan operasi yang diperlukan. Ini harus menjadi jelas dalam diskusi dalam Bagian 10.3. Kelemahan lain adalah bahwa ada dua representasi dari 0:

+ 010 = 00000000 - 010 = 10000000

(Tanda besarnya)

(6)

Hal ini merepotkan karena sedikit lebih sulit untuk menguji 0 (operasi sering dilakukan pada komputer) daripada jika ada representasi tunggal.

Karena kelemahan ini, representasi tanda-besaran jarang digunakan dalam melaksanakan bagian integer dari ALU. Sebaliknya, skema yang paling umum adalah representasi pelengkap berpasangan.²

Berpasangan Pelengkap Representasi

Seperti besarnya tanda, melengkapi representasi berpasangan menggunakan bit yang paling signifikan sebagai bit tanda, sehingga mudah untuk menguji apakah suatu bilangan bulat positif atau negatif. Ini dif-fers dari penggunaan representasi tanda-besaran dalam cara bahwa bit lainnya diinterpretasikan. Tabel 10.1 menyoroti karakteristik kunci dari berpasangan melengkapi Repre-sentation dan aritmatika, yang diuraikan dalam bagian ini dan berikutnya.

Sebagian besar perawatan dari berpasangan melengkapi representasi fokus pada aturan untuk memproduksi angka negatif, tanpa bukti formal bahwa skema tersebut valid. Sebagai gantinya,

tabel 10.1 Karakteristik Twos Complement Representasi dan Aritmatika

Jarak - 2ⁿ^-¹ melalui 2ⁿ^-¹ - 1 Jumlah

Representasi

Satu Zero

Penyangkalan

Ambil komplemen Boolean setiap bit dari yang sesuai

angka positif, kemudian tambahkan 1 ke pola bit yang dihasilkan dilihat

sebagai unsigned integer.

Perluasan Bit Panjang

Menambahkan posisi bit tambahan ke kiri dan isi dengan nilai

dari bit tanda asli.

Aturan Overflow

Jika dua angka dengan tanda yang sama (baik positif atau keduanya nega-

tive) ditambahkan, maka overflow terjadi jika dan hanya jika hasilnya memiliki

tanda berlawanan.

Aturan

pengurangan

untuk mengurangi B dari SEBUAH, Mengambil pelengkap dua-dua dari B dan tambahkan

untuk SEBUAH.

(7)

tabel 10.2 Representasi alternatif untuk Integer 4-Bit

Desimal

Sign- Besaran

berpasangan

Pelengkap berat sebelah Perwakilan Perwakilan Perwakilan Perwakilan

+ 8 - - 1111

+ 7 0111 0111 1110

+ 6 0110 0110 1101

+ 5 0101 0101 1100

+ 4 0100 0100 1011

+ 3 0011 0011 1010

+ 2 0010 0010 1001

+ 1 0001 0001 1000

+ 0 0000 0000 0111

- 0 1000 - -

- 1 1001 1111 0110

- 2 1010 1110 0101

- 3 1011 1101 0100

- 4 1100 1100 0011

- 5 1101 1011 0010

- 6 1110 1010 0001

- 7 1111 1001 0000

- 8 - 1000 -

bilangan bulat positif. KapanSebuahn -1 = 1, istilah 2ⁿ ^-¹ dikurangi dari istilah summa-tion, menghasilkan bilangan bulat negatif.

Tabel 10.2 membandingkan tanda-besaran dan berpasangan melengkapi Representa-tions untuk 4-bit bilangan bulat. Meskipun berpasangan melengkapi adalah representasi canggung dari sudut pandang manusia, kita akan melihat bahwa itu memfasilitasi paling penting arithmetic operasi, penambahan dan pengurangan. Untuk alasan ini, hampir secara universal digunakan sebagai representasi prosesor untuk bilangan bulat.

Sebuah ilustrasi yang berguna dari sifat representasi berpasangan melengkapi adalah kotak nilai, di mana nilai di paling kanan di dalam kotak adalah 1 (2⁰) Dan masing-masing posisi berhasil ke kiri adalah ganda nilai, sampai posisi paling kiri, yang dinegasikan. Seperti yang Anda lihat pada Gambar 10.2a, yang berpasangan paling negatif melengkapi jumlah yang dapat diwakili adalah - 2ⁿ^- ¹; jika salah satu bit selain bit tanda adalah salah satu, itu menambah jumlah positif ke nomor.

Juga, jelas bahwa angka negatif harus memiliki 1 pada posisi paling kiri dan angka positif harus memiliki 0 di posisi itu. Dengan demikian, jumlah positif terbesar adalah 0 diikuti oleh semua 1s, yang sama dengan 2ⁿ^- ¹ - 1.

(8)

Sisa Gambar 10.2 menggambarkan penggunaan kotak nilai untuk mengkonversi dari berpasangan melengkapi ke desimal dan dari desimal ke berpasangan melengkapi.

Rentang Ekstensi

Kadang-kadang diinginkan untuk mengambil n-bit integer dan menyimpannya dalam m bit, di mana m 7 n. ekspansi ini panjang bit disebut sebagaiekstensi berbagai, Karena kisaran angka yang dapat dinyatakan diperpanjang dengan meningkatkan panjang bit.

-128 64 32 16 8 4 2 1

(A) berpasangan delapan posisi melengkapi kotak nilai

-128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1

-128 +2

+1 = - 125 (B) Konversi biner 10.000.011 untuk desimal

-128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 -120 = -

128 +8

(C) Konversi desimal -120 ke biner

Gambar 10.2 Penggunaan Box Nilai untuk Konversi antara Berpasangan Pelengkap Biner dan Desimal

Dalam notasi tanda-besaran, ini mudah dicapai: hanya memindahkan bit tanda ke posisi paling kiri baru dan isi dengan nol.

18 = 00010010 (Tanda besarnya, 8 bit) 18 = 0000000000010010

(Tanda besarnya, 16 bit)

-18 = 10010010 (Tanda besarnya, 8 bit) -18 = 1000000000010010

(Tanda besarnya, 16 bit)

(9)

Prosedur ini tidak akan bekerja untuk berpasangan melengkapi bilangan bulat negatif. Menggunakan contoh yang sama,

18 = 00010010

(Berpasangan melengkapi, 8 bit) 18 = 0000000000010010

(Berpasangan melengkapi, 16 bit) -18 = 11101110

(Berpasangan melengkapi, 8 bit) -

32.658 = 1000000001101110

(Berpasangan melengkapi, 16 bit)

Sebelah baris terakhir mudah dilihat menggunakan kotak nilai Gambar 10.2. Baris terakhir dapat diverifikasi menggunakan Persamaan (10.2) atau nilai kotak 16-bit.

Sebaliknya, aturan untuk berpasangan melengkapi bilangan bulat adalah untuk memindahkan bit tanda ke posisi paling kiri baru dan isi dengan salinan bit tanda. Untuk bilangan positif, isi dengan nol, dan untuk angka negatif, isi dengan orang-orang. Ini disebut ekstensi tanda.

-18 = 11101110

(Berpasangan melengkapi, 8 bit) -18 =

111111111110111 0

(Berpasangan melengkapi, 16 bit)

Fixed Point Representasi

Akhirnya, kami menyebutkan bahwa representasi dibahas dalam bagian ini kadang-kadang disebut titik seperti tetap. Hal ini karena titik radix (titik biner) adalah tetap dan diasumsikan kanan digit paling kanan.

programmer dapat menggunakan representasi yang sama untuk pecahan biner dengan skala angka sehingga titik biner secara implisit diposisikan di beberapa lokasi lain.

10.3 INTEGER ARITMATIKA

Bagian ini membahas fungsi aritmatika umum di nomor berpasangan representasi comple-ment.

Penyangkalan

(10)

Dalam representasi tanda-besarnya, aturan untuk membentuk negasi dari integer sederhana: membalikkan bit tanda. Dalam notasi pelengkap berpasangan, negasi dari integer dapat dibentuk dengan aturan berikut:

1. Ambil komplemen Boolean setiap bit dari integer (termasuk bit tanda). Artinya, mengatur setiap 1-0 dan masing-masing 0-1.

2. Mengobati hasil sebagai integer biner unsigned, tambahkan 1.

proses dua langkah ini disebut sebagai operasi pelengkap berpasangan, Atau pengambilan pelengkap berpasangan integer.

+ 18 = 00010010 (berpasangan melengkapi) bitwise pelengkap = 11101101

+ 1

11101110 = -18

Seperti yang diharapkan, negatif dari negatif nomor yang itu sendiri:

-18 = 11101110 (berpasangan

melengkapi) bitwise pelengkap = 00010001

+ 1

00010010 = 18

Derivasi sebelumnya mengasumsikan bahwa pertama-tama kita dapat mengobati pelengkap bitwise dari SEBUAH sebagai unsigned integer untuk tujuan menambahkan 1, dan kemudian memperlakukan hasil sebagai berpasangan melengkapi integer. Ada dua kasus khusus untuk dipertimbangkan. Pertama, pertimbangkan

A = 0. Dalam hal ini, untuk representasi 8-bit:

0 = 00000000 (berpasangan melengkapi) bitwise pelengkap = 11111111

+ 1

100000000 = 0

Ada sebuah membawadari posisi bit yang paling signifikan, yang diabaikan. Hasilnya adalah bahwa negasi dari 0 adalah 0, sebagaimana mestinya.

Kasus khusus kedua adalah lebih dari masalah. Jika kita mengambil negasi dari pola bit dari 1 diikuti olehn- 1 nol, kita kembali nomor yang sama. Misalnya, untuk kata-kata 8-bit,

+ 128 = 10000000 (berpasangan melengkapi) bitwise pelengkap = 01111111

+ 1

10000000 = -128

(11)

Beberapa anomali tersebut tidak dapat dihindari. Jumlah pola bit yang berbeda dalamnKata-bit adalah 2n, Yang merupakan bilangan genap.

Kami ingin mewakili bilangan bulat positif dan negatif dan 0. Jika jumlah yang sama bilangan bulat positif dan negatif rep-membenci (tanda besar), maka ada dua representasi untuk 0. Jika hanya ada satu representasi dari 0 (komplemen dua-dua ), maka harus ada jumlah yang tidak sama dari angka negatif dan positif diwakili. Dalam kasus berpasangan melengkapi, untuknpanjang-bit, ada representasi untuk - 2ⁿ ^-¹ tetapi tidak untuk + 2ⁿ^-

1.

Penambahan dan pengurangan

Selain di berpasangan melengkapi diilustrasikan pada Gambar 10.3. Selain itu hasil seolah-olah dua nomor yang unsigned integer. Empat contoh pertama menggambarkan operasi yang sukses. Jika hasil dari operasi ini adalah positif, kita mendapatkan angka positif dalam bentuk pelengkap berpasangan, yang sama seperti dalam bentuk unsigned-integer. Jika hasil dari operasi ini adalah negatif, kita mendapatkan angka negatif dalam bentuk melengkapi berpasangan. Perhatikan bahwa, dalam beberapa kasus, ada membawa sedikit di luar akhir kata (ditandai dengan shading), yang diabaikan.

Pada Selain apapun, hasilnya mungkin lebih besar daripada yang bisa diadakan dalam ukuran kata yang digunakan. Kondisi ini disebutmeluap.

Ketika overflow terjadi, ALU harus sinyal fakta ini sehingga tidak ada usaha untuk menggunakan hasilnya. Untuk mendeteksi overflow, aturan berikut diamati:

Gambar 10.3 Selain Bilangan di Twos Pelengkap Perwakilan

Gambar 10.3e dan f menunjukkan contoh melimpah. Catatan melimpah yang dapat terjadi atau tidak ada carry.

Pengurangan mudah ditangani dengan aturan berikut:

(12)

Pengurangan ATURAN: Untuk mengurangi satu nomor (pengurang) dari yang lain (Minuend), mengambil berpasangan melengkapi (negasi) dari pengurang dan menambahkannya ke minuend tersebut.

Dengan demikian, pengurangan ini dicapai dengan menggunakan Selain itu, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 10.4. Dua contoh terakhir menunjukkan bahwa aturan melimpah masih berlaku.

Gambar 10.4 Pengurangan Bilangan di Twos Pelengkap Representasi (M - S)

Pengura

ngan

Tamba han

Pengura

ngan

Tamb ahan

positif 00 00

positif positif 000 ...

0

dari positi v nomor

1111

000 1

nomor nomor nomo

r

111 ...

1

1110

001

0

1101 -2 ^-1 0 1

-1 0 2 0011

-3 3

-2n-2

2n-2 1100

-4

4

010 0

110 ... 0

010 ...

0

(13)

-5 5

1011 -6 6

0101

n-12^n-1-1

-

7 -8 7 -

2

10

011

0

1001

011

1 011 ... 1

10 00

100 ... 0

-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7

8

9 -2n-1 ²n-

1 -1 (A) nomor

4-bit

-2^n-1-1 ₂n-1

(B) nnomor -bit

Gambar 10.5 Gambaran geometris berpasangan Komplemen Integer

Beberapa wawasan Selain pelengkap berpasangan dan pengurangan dapat diperoleh dengan melihat gambaran geometris [BENH92], seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.5. Lingkaran di bagian atas setiap bagian dari angka tersebut dibentuk dengan memilih seg-ment yang tepat dari garis jumlah dan bergabung dengan titik akhir. Perhatikan bahwa ketika angka-angka tersebut diletakkan di lingkaran, komplemen dua-dua dari setiap nomor horizontal berlawanan nomor yang (ditandai dengan garis horizontal putus-putus). Mulai dari sejumlah pada lingkaran, kita dapat menambahkan positifk (Atau kurangi negatif k) Ke nomor yang dengan memindahkan k posisi searah jarum jam, dan kami dapat mengurangi positif k (Atau menambahkan negatif k) Dari nomor yang dengan memindahkan kposisi berlawanan. Jika operasi aritmatika menghasilkan traversal dari titik di mana titik akhir bergabung, jawaban yang salah diberikan (overflow).

SEMUA contoh Angka 10.3 dan 10.4 mudah ditelusuri dalam lingkaran Gambar 10.5.

Gambar 10.6 menunjukkan jalur data dan elemen perangkat keras yang diperlukan untuk accom-plish penambahan dan pengurangan.

Elemen sentral adalah penambah biner, yang merupakan pra-sented dua angka untuk penambahan dan menghasilkan jumlah dan indikasi melimpah. Penambah biner memperlakukan dua angka sebagai unsigned integer. (A logika implemen-tasi dari penambah diberikan dalam Bab 11.) Untuk Selain itu, dua nomor yang pra-sented untuk penambah dari dua register, yang ditunjuk dalam hal ini sebagaiSEBUAH dan Bregister.

(14)

Hasilnya dapat disimpan di salah satu register atau ketiga. Luapan indikasi disimpan dalam overflow flag 1-bit (0 = tidak ada melimpah; 1 = overflow). Untuk sub-traksi, pengurang yang (Bmendaftar) dilewatkan melalui komplementer berpasangan sehingga melengkapi dua-dua nya disajikan untuk penambah. Perhatikan bahwa Gambar 10.6 hanya menunjukkan

B Registrasi Sebuah Register

komplementer

SW

DARI adder

DARI = bit meluap

SW = Switch (pilih penambahan atau pengurangan) Gambar 10.6 Blok Diagram dari Hardware

untuk Penambahan dan Pengurangan

jalur data. sinyal kontrol yang diperlukan untuk mengontrol apakah atau tidak komplementer digunakan, tergantung pada apakah operasi adalah penambahan atau pengurangan.

Perkalian

Dibandingkan dengan penambahan dan pengurangan, perkalian adalah operasi yang kompleks, baik yang dilakukan di perangkat keras atau perangkat lunak. Berbagai algoritma telah digunakan dalam berbagai komputer. Tujuan dari ayat ini adalah untuk memberikan pembaca beberapa nuansa untuk jenis pendekatan biasanya diambil. Kita mulai dengan masalah sederhana mengalikan dua unsigned (non-negatif) bilangan bulat, dan kemudian kita melihat salah satu teknik yang paling umum untuk perkalian angka dalam berpasangan melengkapi representasi.

unsigned integer Gambar 10.7 mengilustrasikan perkalian unsigned bilangan bulat biner, seperti yang mungkin dilakukan dengan menggunakan kertas dan pensil. Beberapa pengamatan penting dapat dibuat:

1. Perkalian melibatkan generasi produk parsial, satu untuk setiap digit di multiplier. Produk-produk parsial kemudian dijumlahkan untuk menghasilkan produk akhir.

(15)

1011 Multiplicand (11)

×1101 Multiplier (13)

Gambar 10.7perkalian Unsigned Binary Integer

2. Produk parsial mudah didefinisikan. Ketika bit multiplier adalah 0, produk parsial adalah 0. Ketika multiplier adalah 1, produk parsial adalah multiplicand.

3. Total produk yang dihasilkan dengan menjumlahkan produk parsial.

Untuk ini oper-asi, setiap produk parsial berturut-turut digeser satu posisi ke posisi relatif kiri untuk produk parsial sebelumnya.

4. Perkalian dua n-bit bilangan bulat biner menghasilkan produk hingga 2n bit panjang (misalnya, 11 * 11 = 1001).

Dibandingkan dengan pendekatan pensil dan kertas, ada beberapa hal yang dapat kita lakukan untuk membuat perkalian komputerisasi lebih efisien. Pertama, kita bisa melakukan penambahan run-ning pada produk parsial daripada menunggu sampai akhir. Hal ini menghilangkan kebutuhan untuk penyimpanan semua produk parsial; register sedikit diperlukan. Kedua, kita dapat menghemat waktu pada generasi produk parsial. Untuk setiap 1 pada multiplier, add dan operasi pergeseran yang diperlukan; tetapi untuk setiap 0, hanya pergeseran diperlukan.

Gambar 10.8a menunjukkan implementasi mungkin menggunakan langkah-langkah ini. Multiplier dan multiplicand dimuat ke dua register (Q dan M). Ketiga

multiplicand

Mn- 1

M

0

npenam bah -bit

Men amb ahk an

Bergeser dan menamba hkan kontrol logika

bergeser ke kanan

1011

0000 produk parsial 1011

1011

Produk (143) 10001

111

(16)

C

SEB UAH

n-1

^SE_B

U A H

0

Qn- 1

Q

0

(A) diagram Blok

Pengali

C SEBU

AH Q M

0 000

0 1101 101

1 nilai awal

0 101

1 1101 101 1

Pertam

a

0 010

1 1110 101 1

Ber gese

r sepeda

0 001

0 1111 101 1

Ber gese r

Kedua

sepeda

0 110

1 1111 101 1

Men amb ahk

an Ketiga

0 011

0 1111 101 1

Ber gese

r sepeda

1 000

1 1111 101 1

Keemp

at

0 100

0 1111 101 1

Ber gese

r sepeda

(17)

(B) Contoh dari Gambar 10.7 (produk di A, Q)

Gambar 10.8 Implementasi perangkat keras dari Unsigned Binary Perkalian

mendaftar, register A, juga dibutuhkan dan pada awalnya diatur ke 0. Ada juga 1-bit C register, diinisialisasi ke 0, yang memegang potensi carry bit yang dihasilkan dari penambahan.

Pengoperasian multiplier adalah sebagai berikut. Logic control membaca bit multiplier satu per satu. Jika Q0adalah 1, maka multiplicand ditambahkan ke register A dan hasilnya disimpan dalam register A, dengan bit C digunakan untuk overflow. Kemudian semua bit dari register C, A, dan Q bergeser ke kanan sedikit, sehingga C bit masuk ke An - 1, SEBUAH0 masuk ke Qn - 1, Dan Q0hilang. Jika Q0adalah 0, maka tidak ada penambahan dilakukan, hanya pergeseran. Proses ini diulang untuk setiap bit yang asli multi-plier. Yang dihasilkan 2nproduk-bit yang terkandung dalam register A dan Q. Sebuah flowchart operasi ditunjukkan pada Gambar 10,9, dan contoh diberikan dalam Gambar 10.8b. Perhatikan bahwa pada siklus II, ketika bit multiplier adalah 0, tidak ada operasi add.

Berpasangan melengkapi PERKALIAN Kita telah melihat Selain itu dan pengurangan dapat dilakukan pada nomor dalam notasi komplemen berpasangan dengan memperlakukan mereka bilangan bulat sebagai unsigned. Mempertimbangkan

1001 + 0011 1100

Jika angka-angka ini dianggap unsigned integer, maka kita menambahkan 9 (1001) ditambah 3 (0011) untuk mendapatkan 12 (1100). Sebagai berpasangan melengkapi bilangan bulat, kita menambahkan

- 7 (1001) ke 3 (0011) untuk mendapatkan - 4 (1100).

1011

× 1101

000010111011 × 1 × 2⁰ 000000001011 × 0 × 2¹ 001011001011 × 1 × 2² 010110001011 × 1 × 2³ 10001111

Gambar 10.10 Perkalian Dua

Unsigned Integer 4-Bit Menghasilkan sebuah 8-Bit Hasil

(18)

Sayangnya, skema sederhana ini tidak akan bekerja untuk perkalian.

Untuk melihat ini, mempertimbangkan lagi Gambar 10.7. Kami dikalikan 11 (1011) oleh 13 (1101) untuk mendapatkan 143 (10.001.111). Jika kita menafsirkan ini sebagai berpasangan melengkapi angka, kita memiliki - 5 (1011) kali - 3 (1101) sama - 113 (10.001.111). Contoh ini menunjukkan bahwa lurus ke depan perkalian tidak akan bekerja jika kedua multiplicand dan multiplier negatif. Bahkan, itu tidak akan berhasil jika salah satu multiplicand atau multiplier adalah nega-tive. Untuk membenarkan pernyataan ini, kita perlu kembali ke Gambar 10.7 dan menjelaskan apa yang sedang dilakukan dalam hal operasi dengan kekuatan 2. Ingat bahwa setiap bilangan biner unsigned dapat dinyatakan sebagai jumlah dari kekuatan 2. Dengan demikian,

1101 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 2³ + 2² + 2⁰

Selanjutnya, perbanyakan bilangan biner oleh 2ⁿ dicapai dengan shift-ing nomor yang ke kiri nbit. Dengan pemikiran ini, Gambar 10.10 recasts Gambar 10.7 untuk membuat generasi produk parsial oleh perkalian eksplisit. Satu-satunya perbedaan pada Gambar 10.10 adalah bahwa ia mengakui bahwa produk parsial harus dilihat sebagai 2nnomor- bit yang dihasilkan dari nmultiplicand-bit.

Dengan demikian, sebagai unsigned integer, 4-bit multiplicand 1011 disimpan dalam sebuah kata 8-bit sebagai 00001011. Setiap produk parsial (selain itu untuk 2⁰) Terdiri dari ini num-ber bergeser ke kiri, dengan posisi kosong di sebelah kanan diisi dengan nol (misalnya, pergeseran ke kiri dari dua tempat menghasilkan 00.101.100).

Sekarang kita dapat menunjukkan bahwa perkalian langsung tidak akan bekerja jika multiplicand negatif. Masalahnya adalah bahwa setiap kontribusi dari multiplicand negatif sebagai produk parsial harus angka negatif pada 2nbidang -bit; tanda bit dari produk parsial harus berbaris.

Hal ini ditunjukkan pada Gambar 10.11, yang menunjukkan bahwa perkalian 1001 oleh 0011. Jika ini diperlakukan sebagai unsigned integer, perbanyakan 9 * 3 = 27 hasil sederhana. Namun, jika 1001 ditafsirkan

1001

(9

) 1001 (-7)

× 0011 (3

) × 0011 (3)

0000100 1

10 01 ×

2⁰

111110

01 (-7) × 2⁰

= (-7) 0001001

0

10 01 ×

2¹

111100

10 (-7) × 2¹ = (-14)

0001101

1 (2

7) 111010

11 (-21)

(A) bilangan bulat Unsigned

(B) berpasangan pelengkap bilangan bulat

(19)

Gambar 10.11 Perbandingan Perkalian dari Unsigned dan berpasangan pelengkap Integer

PERTANYAAN LATIHAN

1 Konversikan bilangan dibawah ini a.(110011011)2= ( ……….)8

b.(ABC)16=( ………)2

JAWABAN LATIHAN :

1.(633)8

2.(101010111101)2

DAFTAR PUSTAKA

1. Computer Organization and Archictecture: Designing for Performance, 8th Ed, by William Stalling, 2010, Pearson Education, Inc.

2. Computer organization and Design, 4th Ed, by David A. Patterson and John L. Hennessy, Morgan 2012, Kauffmann.

3. Fundamental of Computer Organization and Architecture, 1st Ed, by Mostafa Ebd-El-Barr and Hesham El-Rewini, 2005, John Wiley & Sons.