Anuitas dan Perpetuitas

(1)

Anuitas dan Perpetuitas

MA3161 – Pendahuluan Teori Suku Bunga

Ade Candra Bayu, M.Si.

FMIPA

Minggu 5

(2)

Anuitas (Annuity)

Anuitas adalah rangkaian pembayaran (atau penerimaan) yang dilakukan secara berkala selama waktu yang sudah ditentukan (fixed period) atau belum pasti (contingent period).

Contoh penerapan anuitas adalah pembayaran KPR, kredit kendaraan, iuran pensiun, premi asuransi, arisan, dan lain sebagainya.

Pembayaran :

Periode : 0 1 2 3 ⋯ 𝑛𝑛 − 2 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 Waktu

1000 1000 1000 ⋯ 1000 1000 1000

• Periode pembayaran dapat bervariasi, seperti tahun (annually), semi-annually, quarterly, dan bulan (monthly).

• Jangka waktu pembayaran/termin (term) umumnya adalah tahun.

• Besar pembayaran dapat bervariasi.

(3)

Jenis-jenis Anuitas

Berdasarkan banyak periode pembayaran

Anuitas pasti (Certain annuity) Anuitas kontingensi

(Contingent annuity) Berdasarkan waktu

pembayaran pada setiap periode

Annuity-immediate Annuity-due Berdasarkan besar

pembayaran

Tetap (level)

Bervariasi (aritmatik, geometrik, umum)

Anuitas yang lebih umum

Ada perbedaan antara periode pembayaran dan suku bunga

Anuitas kontinu

(4)

Annuity-Immediate

Annuity-immediate: pembayaran dilakukan pada akhir setiap periode pembayaran.

Annuity-immediate disebut juga sebagai anuitas segera atau biasa (ordinary annuity).

Nilai sekarang (present value) dari pembayaran sebesar 1 pada akhir setiap periode sebanyak 𝑛𝑛 periode dinotasikan sebagai 𝑎𝑎_𝑛𝑛| atau 𝑎𝑎_{𝑛𝑛|𝑖𝑖}, yaitu

dengan 𝑖𝑖 adalah suku bunga yang berlaku pada setiap periode dan 𝑣𝑣 = 1 + 𝑖𝑖 ⁻¹.

Pembayaran :

Periode : 0 1 2 3 ⋯ 𝑛𝑛 − 2 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 Waktu

1 1 1 ⋯ 1 1 1

𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑣𝑣 + 𝑣𝑣² + 𝑣𝑣³ + ⋯ + 𝑣𝑣^𝑛𝑛−1 + 𝑣𝑣^𝑛𝑛 = �

𝑘𝑘=1 𝑛𝑛

𝑣𝑣^𝑘𝑘 = 1 − 𝑣𝑣^𝑛𝑛 𝑖𝑖

(5)

Nilai akumulasi pada waktu ke-𝑛𝑛 dari pembayaran sebesar 1 pada akhir setiap periode sebanyak 𝑛𝑛 periode dinotasikan sebagai 𝑠𝑠_𝑛𝑛| atau 𝑠𝑠_{𝑛𝑛|𝑖𝑖}, yaitu

Hubungan antara 𝒂𝒂_𝒏𝒏| dan 𝒔𝒔_𝒏𝒏|

𝑠𝑠_𝑛𝑛| = 𝑎𝑎_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛

𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑠𝑠_𝑛𝑛|𝑣𝑣^𝑛𝑛

1

𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 1

𝑠𝑠_𝑛𝑛| + 𝑖𝑖 𝑠𝑠_𝑛𝑛| = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛−1 + 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛−2 + ⋯ + 1 + 𝑖𝑖 + 1 = �

𝑘𝑘=0 𝑛𝑛−1

1 + 𝑖𝑖 ^𝑘𝑘 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛 − 1 𝑖𝑖

(6)

Contoh 1

Badu berencana untuk menabung sebesar Rp 1.000.000 setiap akhir tahun selama 5 tahun. Jika tidak ada penarikan saldo tabungan dan suku bunga efektif yang berlaku adalah 6%, tentukan

a. Nilai sekarang dari total tabungan b. Nilai akumulasi dari total tabungan

(7)

Contoh 2

Harga sebuah mobil adalah $10,000. Pembeli akan membayar mobil dengan pembiayaan kredit sebesar $250 pada setiap akhir bulan selama 4 tahun. Jika pembiayaan kredit dikenakan bunga 12% convertible monthly, tentukan besar uang muka yang harus dibayar pembeli.

(8)

Contoh 3

Sebuah keluarga berencana untuk menabung sebesar $1000 pada setiap akhir tahun selama 10 tahun pertama dan $ 1000 + 𝑋𝑋 pada setiap akhir tahun selama 10 tahun berikutnya. Jika tabungan memperoleh suku bunga efektif 7% dan diharapkan saldo tabungan pada akhir tahun ke-20 adalah $50,000, tentukan besar 𝑋𝑋.

(9)

Annuity-due: pembayaran dilakukan pada awal setiap periode pembayaran.

Annuity-due disebut juga sebagai anuitas jatuh tempo.

Nilai sekarang (present value) dari pembayaran sebesar 1 pada awal setiap periode sebanyak 𝑛𝑛 periode dinotasikan sebagai ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| atau ̈𝑎𝑎_{𝑛𝑛|𝑖𝑖}, yaitu

dengan 𝑖𝑖 adalah suku bunga yang berlaku pada setiap periode dan 𝑣𝑣 = 1 + 𝑖𝑖 ⁻¹.

Annuity-Due

Pembayaran :

Periode : 0 1 2 ⋯ 𝑛𝑛 − 3 𝑛𝑛 − 2 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 Waktu

1 1 1 ⋯ 1 1 1

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 1 + 𝑣𝑣 + 𝑣𝑣² + ⋯+ 𝑣𝑣^𝑛𝑛−2 + 𝑣𝑣^𝑛𝑛−1 = �

𝑘𝑘=0 𝑛𝑛−1

𝑣𝑣^𝑘𝑘 = 1 − 𝑣𝑣^𝑛𝑛

1 − 𝑣𝑣 = 1 − 𝑣𝑣^𝑛𝑛

𝑖𝑖𝑣𝑣 = 1 − 𝑣𝑣^𝑛𝑛 𝑑𝑑

(10)

Nilai akumulasi pada waktu ke-𝑛𝑛 dari pembayaran sebesar 1 pada awal setiap periode sebanyak 𝑛𝑛 periode dinotasikan sebagai ̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| atau ̈𝑠𝑠_{𝑛𝑛|𝑖𝑖}, yaitu

Hubungan antara ̈𝒂𝒂_𝒏𝒏| dan ̈𝒔𝒔_𝒏𝒏|

̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| = ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = ̈𝑠𝑠_𝑛𝑛|𝑣𝑣^𝑛𝑛

1

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 1

̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| + 𝑑𝑑

̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛 + 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛−1 + ⋯ + 1 + 𝑖𝑖 ² + 1 + 𝑖𝑖 = �

𝑘𝑘=1 𝑛𝑛

1 + 𝑖𝑖 ^𝑘𝑘 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛 − 1

𝑖𝑖𝑣𝑣 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛 − 1 𝑑𝑑

(11)

Hubungan antara annuity-immediate dan annuity-due

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑎𝑎_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 atau 𝑎𝑎_𝑛𝑛| = ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛|𝑣𝑣

̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| = 𝑠𝑠_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 atau 𝑠𝑠_𝑛𝑛| = ̈𝑠𝑠_𝑛𝑛|𝑣𝑣

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 1 + 𝑎𝑎_{𝑛𝑛−1|}

̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| = 𝑠𝑠_𝑛𝑛+1| − 1

(12)

Contoh 4

Jika ̈𝑎𝑎_𝑝𝑝| = 𝑥𝑥 dan 𝑠𝑠_𝑞𝑞| = 𝑦𝑦, tunjukkan bahwa 𝑎𝑎_{𝑝𝑝+𝑞𝑞|} = ^{𝑣𝑣𝑣𝑣+𝑦𝑦}_{1+𝑖𝑖𝑦𝑦} .

(13)

Contoh 5

Seorang pekerja berusia 40 tahun berencana untuk menabung dana pensiun dengan cara menyimpan sebesar $3000 pada setiap awal tahun selama 25 tahun. Mulai dari usia 65 tahun, pekerja berencana untuk melakukan penarikan setiap awal tahun selama 15 tahun. Asumsikan semua pembayaran pasti terjadi dan berlaku suku bunga efektif 8% untuk 25 tahun pertama dan 7% untuk tahun-tahun berikutnya. Tentukan besar penarikan setiap tahun.

(14)

Contoh 6

Tentukan nilai sekarang dari pembayaran sebesar Rp 200.000 setiap 6 bulan selama 4 tahun dan sebesar Rp 100.000 setiap 6 bulan selama 6 tahun berikutnya.

Asumsikan pembayaran di awal periode dan 𝑖𝑖 ² = 6%.

(15)

Valuasi Anuitas pada Sembarang Waktu

Terdapat 3 (tiga) kasus dalam valuasi anuitas pada sembarang waktu, yaitu 1. Nilai anuitas pada satu atau lebih periode sebelum pembayaran pertama.

2. Nilai anuitas pada satu atau lebih periode setelah pembayaran terakhir.

3. Nilai anuitas di antara pembayaran pertama dan pembayaran terakhir.

(16)

Kasus 1

Nilai anuitas pada satu atau lebih periode sebelum pembayaran pertama.

Misalkan akan ditentukan nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang dilakukan mulai dari periode ke-𝑚𝑚 sebanyak 𝑛𝑛 kali.

Annuity-immediate

Nilai sekarang dari anuitas dengan skema pembayaran di atas adalah 𝑣𝑣^𝑚𝑚 𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑎𝑎_{𝑚𝑚+𝑛𝑛|} − 𝑎𝑎_𝑚𝑚|

Nilai anuitas : 𝑎𝑎_𝑛𝑛|

Pembayaran :

Periode : 0 ⋯ 𝑚𝑚 + 1 𝑚𝑚 + 3 ⋯ 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 1 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 Waktu

1 1 ⋯ 1

𝑚𝑚 + 2

1 𝑚𝑚

1

(17)

Annuity-due

Nilai sekarang dari anuitas dengan skema pembayaran di atas adalah 𝑣𝑣^𝑚𝑚 ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = ̈𝑎𝑎_{𝑚𝑚+𝑛𝑛|} − ̈𝑎𝑎_𝑚𝑚|

Anuitas seperti dalam kasus 1 ini lazim disebut sebagai anuitas yang ditunda (deferred annuity) dan dinotasikan sebagai

𝑚𝑚|𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑣𝑣^𝑚𝑚 𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑎𝑎_{𝑚𝑚+𝑛𝑛|} − 𝑎𝑎_𝑚𝑚|

atau

𝑚𝑚| ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = 𝑣𝑣^𝑚𝑚 ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = ̈𝑎𝑎_{𝑚𝑚+𝑛𝑛|} − ̈𝑎𝑎_𝑚𝑚|

Nilai anuitas : ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛|

Pembayaran :

Periode : 0 ⋯ 𝑚𝑚 + 1 ⋯ 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 2 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 1 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 Waktu

1 1 ⋯

𝑚𝑚 + 2 1 𝑚𝑚

1 1

(18)

Kasus 2

Nilai anuitas pada satu atau lebih periode setelah pembayaran terakhir.

Misalkan akan ditentukan nilai akumulasi setelah 𝑚𝑚 periode dari pembayaran terakhir dari pembayaran sebesar 1 sebanyak 𝑛𝑛 kali.

Nilai akumulasi : 𝑠𝑠_𝑛𝑛|

Pembayaran :

Periode : 0 2 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 Waktu

1 1 1

⋯

⋯ 1

1

Nilai akumulasi dari anuitas dengan skema pembayaran di atas adalah 𝑠𝑠_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 = 𝑠𝑠_{𝑛𝑛+𝑚𝑚|} − 𝑠𝑠_𝑚𝑚| = 𝑎𝑎_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^{𝑛𝑛+𝑚𝑚}

(19)

Annuity-due

Nilai akumulasi dari anuitas dengan skema pembayaran di atas adalah

̈𝑠𝑠_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 = ̈𝑠𝑠_{𝑛𝑛+𝑚𝑚|} − ̈𝑠𝑠_𝑚𝑚| = ̈𝑎𝑎_𝑚𝑚| 1 + 𝑖𝑖 ^{𝑛𝑛+𝑚𝑚}

Nilai akumulasi : ̈𝑠𝑠_𝑛𝑛|

Pembayaran :

Periode : 0 2 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 Waktu

1 1 1

⋯

⋯ 1

1

(20)

Kasus 3

Nilai anuitas di antara pembayaran pertama dan pembayaran terakhir.

Misalkan akan ditentukan nilai akumulasi dari pembayaran sebesar 1 sebanyak 𝑛𝑛 kali pada waktu 𝑚𝑚 periode setelah pembayaran pertama dan 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛.

Nilai anuitas pada waktu 𝑚𝑚 adalah

𝑎𝑎_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 atau 𝑠𝑠_𝑛𝑛|𝑣𝑣^{𝑛𝑛−𝑚𝑚}

Nilai sekarang

atau akumulasi : 𝑠𝑠_𝑛𝑛|

Pembayaran :

Periode : 0 2 𝑚𝑚 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 Waktu

1 1 1

⋯

⋯ 1

1 1

⋯

⋯ 𝑎𝑎_𝑛𝑛|

(21)

Annuity-due

Nilai anuitas pada waktu 𝑚𝑚 adalah

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 atau ̈𝑠𝑠_𝑛𝑛|𝑣𝑣^{𝑛𝑛−𝑚𝑚}

Nilai sekarang

atau akumulasi : ̈𝑠𝑠_𝑛𝑛|

Pembayaran :

Periode : 0 2 𝑚𝑚 𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 Waktu

1 1 1

⋯

⋯ 1

1 1

⋯

̈𝑎𝑎_𝑛𝑛|

(22)

Contoh 7

Diketahui bahwa _5|𝑎𝑎_10| = 3 ⋅ _10|𝑎𝑎_5|. Tentukan nilai 1 + 𝑖𝑖 ⁵.

(23)

Contoh 8

Anuitas 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 memiliki skema pembayaran sebagai berikut.

Anuitas 𝑋𝑋 dan 𝑌𝑌 mempunyai nilai sekarang yang sama berdasarkan suku bunga efektif 𝑖𝑖 sedemikian sehingga 𝑣𝑣¹⁰ = 0,5.

Tentukan nilai 𝐾𝐾.

Waktu pembayaran

(akhir tahun ke-) Anuitas 𝑋𝑋 Anuitas 𝑌𝑌

1 – 10 1 𝐾𝐾

11 – 20 2 0

21 – 30 1 𝐾𝐾

(24)

Perpetuitas (Perpetuity)

Perpetuitas adalah anuitas dengan jangka waktu tak terbatas (banyak periode adalah tak terhingga).

Contoh penerapan anuitas adalah pembayaran dividen dan royalti.

Jenis-jenis perpetuitas serupa dengan anuitas.

• Perpetuitas-immediate dinotasikan sebagai 𝑎𝑎_∞|, yaitu

𝑎𝑎_∞| = 𝑣𝑣 + 𝑣𝑣² + 𝑣𝑣³ + ⋯ = �

𝑘𝑘=1

∞

𝑣𝑣^𝑘𝑘 = 𝑣𝑣

1 − 𝑣𝑣 = 1 𝑖𝑖 atau

𝑎𝑎_∞| = lim_{𝑛𝑛→∞}𝑎𝑎_𝑛𝑛| = lim_{𝑛𝑛→∞}1 − 𝑣𝑣^𝑛𝑛

𝑖𝑖 = 1

𝑖𝑖

(25)

• Perpetuity-due dinotasikan sebagai ̈𝑎𝑎_∞|, yaitu

̈𝑎𝑎_∞| = 1 + 𝑣𝑣 + 𝑣𝑣² + ⋯ = �

𝑘𝑘=0

∞

𝑣𝑣^𝑘𝑘 = 1

1 − 𝑣𝑣 = 1 𝑑𝑑 atau

̈𝑎𝑎_∞| = lim_{𝑛𝑛→∞} ̈𝑎𝑎_𝑛𝑛| = lim_{𝑛𝑛→∞} 1 − 𝑣𝑣^𝑛𝑛

𝑑𝑑 = 1

𝑑𝑑

(26)

Contoh 9

Deposit sebesar $1000 dilakukan setiap awal tahun selama 20 tahun. Setelah 30 tahun, penarikan dilakukan setiap akhir tahun sebesar 𝑋𝑋 dan berlanjut selamanya. Jika berlaku suku bunga efektif 6%, tentukan nilai 𝑋𝑋.

(27)

Contoh 10

Suatu perpetuitas-due yang ditunda dimulai pada waktu 𝑛𝑛 dengan pembayaran tahunan sebesar $1000. Jika nilai sekarang dari anuitas ini adalah $6561 dan suku bunga efektif 𝑖𝑖 = 1/9, tentukan nilai 𝑛𝑛.

(28)

Referensi

1. Kellison, Stephen G., The Theory of Interest, 3rd Edition, Mc Graw Hill, 2008

2. Vaaler, Leslie Jane Federer, Mathematical Interest Theory, AMS MAA Textbooks, 2019 3. Wilders, Richard James, Financial Mathematics for Actuarial Science The Theory of

Interest, CRC Press, 2020