Minggu 2. Nilai-Waktu-atas-Uang

Nilai Waktu atas Uang (Time Value of Money)

MA3161 – Pendahuluan Teori Suku Bunga

Ade Candra Bayu, M.Si.

FMIPA

Minggu 2

Nilai Waktu atas Uang

Apakah arti dari nilai waktu atas uang (time value of money)?

• The time value of money is a basic financial concept that holds that money in the present is worth more than the same sum of money to be received in the future.

• The time value of money is sometimes referred to as the net present value (NPV) of money.

• Time value of money adalah nilai uang setelah memperhitungkan pendapatan yang dapat diperoleh dari jumlah uang tersebut, juga memperhitungkan inflasi yang dapat menggerus jumlah uang.

Nilai Sekarang (Present Value)

Fungsi akumulasi 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖

𝑣𝑣 = 1

1 + 𝑖𝑖 :𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐟𝐟𝐟𝐟𝐝𝐝

Waktu 0 1

Nilai Principal1 Accumulated Value/1 + 𝑖𝑖 Future Value

1 + 𝑖𝑖 : faktor akumulasi

1 + 𝑖𝑖 ⁻¹ Present Value

Waktu 0 1

Nilai Future Value1

Nilai sekarang (present value) dihitung dengan menggunakan fungsi diskon.

Bunga sederhana

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1

1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ≥ 0

Bunga majemuk

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1

1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡 = 𝑣𝑣^𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0

Nilai dari 𝑣𝑣^𝑡𝑡 memperluas definisi dari fungsi akumulasi karena memasukkan nilai negatif dari 𝑡𝑡, sehingga fungsi akumulasi untuk bunga majemuk berlaku untuk semua nilai 𝑡𝑡 ∈ ℝ.

0 𝑎𝑎 𝑡𝑡

𝑡𝑡 1

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡

Contoh

Hitung jumlah awal yang harus diinvestasikan sehingga memperoleh nilai akumulasi Rp 1.000.000 pada akhir dari periode 3 tahun.

a. Gunakan suku bunga tunggal 9%.

b. Gunakan suku bunga majemuk 9%.

Contoh

Berapa lama waktu yang dibutuhkan seseorang untuk menggandakan modalnya jika melakukan investasi pada suatu instrumen yang memberikan

a. Suku bunga tunggal 7,5% per tahun b. Suku bunga majemuk 7,5% per tahun

Tingkat Diskon Efektif (Effective Rate of Discount)

• Suku bunga efektif 𝑖𝑖 adalah ukuran bunga dimana bunga diberikan pada akhir periode.

• Tingkat diskon efektif 𝑑𝑑 adalah ukuran bunga dimana bunga diberikan pada awal periode.

• Tingkat diskon efektif 𝑑𝑑 adalah rasio antara jumlah bunga (atau diskon) yang diperoleh selama satu periode dan nilai investasi pada akhir periode.

• Tingkat diskon efektif pada satu periode adalah 𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 1 − 𝐴𝐴 0

𝐴𝐴 1 = 𝐼𝐼

𝐴𝐴 1

• Tingkat diskon efektif pada periode ke-𝑛𝑛 dari waktu awal investasi dinotasikan sebagai 𝑑𝑑_𝑛𝑛, yaitu

𝑑𝑑_𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 1

𝐴𝐴 𝑛𝑛 = 𝐼𝐼_𝑛𝑛

𝐴𝐴 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, …

Ekuivalensi Dua Suku Bunga atau Tingkat Diskon

Dua suku bunga (atau tingkat diskon) disebut ekuivalen jika untuk jumlah modal yang diinvestasikan untuk periode waktu yang sama, akan menghasilkan nilai akumulasi yang sama.

Misalkan seseorang meminjam sebesar 1 dengan tingkat diskon 𝑑𝑑, sehingga 𝑎𝑎 0 = 1 − 𝑑𝑑 dan 𝑎𝑎 1 = 1. Berdasarkan definisi suku bunga efektif, diperoleh

𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 0

𝑎𝑎 0 = 1 − 1 − 𝑑𝑑

1 − 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 1 − 𝑑𝑑 yang menyatakan 𝑖𝑖 dalam 𝑑𝑑.

Dengan aljabar sederhana dapat diperoleh

𝑑𝑑 = 𝑖𝑖 1 + 𝑖𝑖 yang menyatakan 𝑑𝑑 dalam 𝑖𝑖.

Lebih lanjut, dapat diperoleh

𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑣𝑣 yang menyatakan 𝑑𝑑 dalam 𝑖𝑖 dan 𝑣𝑣.

Hubungan hubungan lainnya:

𝑑𝑑 = 𝑖𝑖 1 + 𝑖𝑖 𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖

1 + 𝑖𝑖 −

1 1 + 𝑖𝑖 𝑑𝑑 = 1 − 𝑣𝑣

dan

𝑖𝑖 = 𝑑𝑑 1 − 𝑑𝑑 𝑖𝑖 − 𝑖𝑖𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑖𝑖 − 𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑑𝑑

Akumulasi dan diskon adalah proses yang berlawanan.

𝑡𝑡

0 1

−1

1 1 + 𝑖𝑖

𝑣𝑣 𝑑𝑑

𝑖𝑖

Akumulasi Diskon

Hubungan antara 𝑖𝑖, 𝑑𝑑, dan 𝑣𝑣

𝑣𝑣 = 1

1 + 𝑖𝑖 = 1 − 𝑑𝑑

Hubungan-hubungan di atas dapat diartikan sebagai berikut:

• Meminjam 1 dan membayar 1 + 𝑖𝑖 pada akhir periode, atau

• Meminjam 1 − 𝑑𝑑 dan membayar 1 pada akhir periode

Tingkat diskon efektif yang sudah dibahas sejauh ini menggunakan asumsi bunga majemuk, sehingga menghasilkan diskon majemuk.

Tingkat diskon efektif juga dapat menggunakan asumsi bunga sederhana yang mengakibatkan diskon sederhana.

Definisikan

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 1

Sebagai nilai sekarang dari 1 yang dibayarkan pada akhir periode-𝑡𝑡𝑑𝑑 akibat tingkat diskon sederhana 𝑑𝑑.

Perhatikan bahwa untuk bunga majemuk diperoleh

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣^𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0

Beberapa hasil penting:

• Suku bunga sederhana konstan mengakibatkan suku bunga efektif yang menurun, sedangkan tingkat diskon sederhana kontan mengakibatkan tingkat diskon efektif meningkat (dan suku bunga efektif meningkat).

• Tingkat diskon sederhana dan majemuk menghasilkan hasil yang sama setelah satu periode. Untuk periode yang lebih panjang, tingkat diskon sederhana menghasilkan nilai sekarang yang lebih kecil daripada tingkat diskon majemuk.

Diskon untuk Waktu Pecahan

Bagaimana menghitung diskon atau nilai sekarang pada waktu pecahan (non integer) berdasarkan tingkat diskon?

Perhatikan bahwa fungsi diskon

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 1

𝑑𝑑 dan 𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣^𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0

berlaku untuk seluruh bilangan riil non negatif. Sehingga besar diskon atau nilai sekarang pada waktu pecahan dapat dihitung menggunakan fungsi di atas.

Apakah ada cara lain?

Misalkan akan dihitung nilai sekarang dari pembayaran pada waktu 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 untuk 𝑛𝑛 integer dan 0 < 𝑘𝑘 < 1.

Pendekatan yang dilakukan adalah diskon majemuk digunakan untuk menghitung nilai sekarang sampai pembayaran pada periode ke-𝑛𝑛, sedangkan untuk pembayaran pada periode pecahan terakhir digunakan diskon sederhana, yaitu

𝑎𝑎⁻¹ 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 = 1 − 𝑑𝑑 ^{𝑛𝑛+𝑘𝑘} ≈ 1 − 𝑑𝑑 ^𝑛𝑛 1 − 𝑑𝑑𝑘𝑘

Aproksimasi di atas adalah hasil interpolasi linier dari fungsi 1 − 𝑑𝑑 ^𝑡𝑡 di antara 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 dan 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 + 1.

Contoh

Contoh

Suku Bunga/Tingkat Diskon Nominal (Nominal Rate of Interest/Discount)

• Kata “efektif” berarti bunga/diskon hanya dibayarkan satu kali dalam satu periode pengukuran, baik di awal periode maupun di akhir periode.

• “Nominal” artinya bunga/diskon

dibayarkan lebih dari satu kali dalam satu periode pengukuran.

• Satu periode lazimnya adalah satu tahun.

• Istilah bunga/diskon dibayarkan/diberikan antara lain: payable, compounded,

convertible.

Berapa kali bunga/

diskon dibayarkan Istilah

1 kali per tahun efektif (annually) 2 kali per tahun semi-annually 4 kali per tahun quarterly

12 kali per tahun monthly

Periode di antara 2 pembayaran bunga/diskon berurutan adalah periode konversi bunga/diskon.

Suku Bunga Nominal (Nominal Rate of Interest)

Suku bunga nominal yang dibayarkan 𝑚𝑚 kali dalam satu periode pengukuran adalah 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 , 𝑚𝑚 > 1. Hal ini berarti dalam satu periode konversi bunga berlaku suku bunga sebesar 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 /𝑚𝑚.

• Suku bunga nominal: 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 , 𝑚𝑚 > 1

• Suku bunga per periode konversi: ^𝑖𝑖_𝑚𝑚^𝑚𝑚 = 𝑖𝑖 _𝑚𝑚

Berdasarkan konsep ekuivalensi dua suku bunga/diskon diperoleh 1 + 𝑖𝑖 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑚𝑚

yang menyatakan hubungan antara suku bunga efektif 𝑖𝑖 dan suku bunga nominal 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 .

Tingkat Diskon Nominal (Nominal Rate of Discount)

Tingkat diskon nominal yang dibayarkan 𝑚𝑚 kali dalam satu periode pengukuran adalah 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 , 𝑚𝑚 > 1. Hal ini berarti dalam satu periode konversi bunga berlaku tingkat diskon sebesar

𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 /𝑚𝑚.

• Tingkat diskon nominal: 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 , 𝑚𝑚 > 1

• Tingkat diskon per periode konversi: ^𝑑𝑑_𝑚𝑚^𝑚𝑚 = 𝑑𝑑 _𝑚𝑚

Berdasarkan konsep ekuivalensi dua suku bunga/diskon diperoleh 1 − 𝑑𝑑 = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑚𝑚

yang menyatakan hubungan antara tingkat diskon efektif 𝑑𝑑 dan tingkat diskon nominal 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 .

Hubungan antara suku bunga nominal dan tingkat diskon nominal.

1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑚𝑚

= 1 − 𝑑𝑑 ^𝑝𝑝 𝑝𝑝

−𝑝𝑝

Jika 𝑚𝑚 = 𝑝𝑝, diperoleh

1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑚𝑚

= 1 − 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

−𝑚𝑚

Hubungan lainnya adalah

𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚 −

𝑑𝑑 ^𝑚𝑚

𝑚𝑚 = 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

Contoh

Contoh

Find the accumulated value of $100 at the end of two years.

a. If the nominal annual rate of interest is 6% convertible quarterly

b. If the nominal annual rate of discount is 6% convertible once every four years.

Force of Interest

Suku bunga/diskon efektif memberikan bunga satu kali setiap periode.

Suku bunga/diskon nominal memberikan bunga 𝑚𝑚 kali setiap periode.

Bagaimana menghitung bunga untuk fraksi periode yang lebih kecil? Misalkan bunga diberikan setiap waktu (interval waktu yang infinitely small).

Ukuran bunga dimana bunga diberikan setiap waktu disebut force of interest.

Force of interest adalah rasio antara perubahan sesaat dari fungsi akumulasi dan fungsi akumulasi itu sendiri, yaitu

𝛿𝛿_𝑡𝑡 = 𝑎𝑎^′ 𝑡𝑡

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴^′ 𝑡𝑡 𝐴𝐴 𝑡𝑡 Sifat-sifat force of interest:

𝛿𝛿_𝑡𝑡 adalah ukuran dari intensitas bunga tepat pada waktu 𝑡𝑡.

𝛿𝛿_𝑡𝑡 menyatakan ukuran bunga sebagai laju perubahan per periode pengukuran.

Fungsi akumulasi dapat dinyatakan sebagai fungsi dari force of interest, yaitu 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒^{∫0𝑡𝑡 𝛿𝛿𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑}, dan

𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 0 𝑒𝑒^{∫0𝑡𝑡 𝛿𝛿𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑} Hubungan lain yang dapat diperoleh adalah

𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝛿𝛿_𝑡𝑡 = 𝐴𝐴^′ 𝑡𝑡

�0

𝑛𝑛𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝛿𝛿_𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = �

0

𝑛𝑛𝐴𝐴^′ 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 𝑡𝑡 �

0

𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 0 = 𝐼𝐼_𝑛𝑛 yang merupakan bunga yang diperoleh dalam interval waktu 0, 𝑛𝑛 .

Perhatikan bahwa

𝐴𝐴^′ 𝑡𝑡 = lim_ℎ→0 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + ℎ − 𝐴𝐴 𝑡𝑡 dan ℎ

𝛿𝛿_𝑡𝑡 = 𝐴𝐴^′ 𝑡𝑡 𝐴𝐴 𝑡𝑡 Sehingga

𝛿𝛿_𝑡𝑡 = lim_ℎ→0 𝐴𝐴 𝑡𝑡 + ℎ − 𝐴𝐴 𝑡𝑡 ℎ𝐴𝐴 𝑡𝑡

Bentuk terakhir menyatakan suku bunga berdasarkan banyaknya bunga yang diperoleh dari waktu 𝑡𝑡 sampai 𝑡𝑡 + ℎ.

Force of Discount

Force of discount dapat didefinisikan analog dengan force of interest menggunakan fungsi diskon.

Force of discount dinitasikan sebagai 𝛿𝛿_𝑡𝑡^′ dan didefinisikan sebagai 𝛿𝛿_𝑡𝑡^′ = −

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑑𝑑 ⁻¹ 𝑡𝑡 𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡

Tanda minus diperlukan untuk membuat nilai force of discount positif, karena 𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 adalah fungsi turun.

Perhatikan bahwa 𝛿𝛿_𝑡𝑡^′ = −

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑑𝑑 ⁻¹ 𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎⁻² 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎⁻² 𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑡𝑡 𝛿𝛿_𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 𝛿𝛿_𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝛿𝛿_𝑡𝑡 Jadi, 𝛿𝛿_𝑡𝑡^′ = 𝛿𝛿_𝑡𝑡.

Force of interest 𝛿𝛿_𝑡𝑡 dapat berubah-ubah sepanjang waktu. Jika 𝛿𝛿_𝑡𝑡 konstan untuk suatu interval waktu maka mengakibatkan suku bunga efektif konstan pada interval waktu tersebut.

Perhatikan bahwa

𝛿𝛿_𝑡𝑡 = 𝛿𝛿, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 𝑛𝑛

𝑒𝑒^{∫0𝑛𝑛 𝛿𝛿𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑} = 𝑒𝑒^{∫0𝑛𝑛 𝛿𝛿𝑑𝑑𝑑𝑑} = 𝑒𝑒^{𝛿𝛿𝑛𝑛} = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑛𝑛 Sehingga

𝑒𝑒^𝛿𝛿 = 1 + 𝑖𝑖 𝛿𝛿 = ln 1 + 𝑖𝑖

𝑖𝑖 = 𝑒𝑒^𝛿𝛿 − 1

Bentuk-bentuk di atas juga dapat diperoleh dengan cara berikut.

𝛿𝛿_𝑡𝑡 = 𝑎𝑎^′ 𝑡𝑡

𝑎𝑎 𝑡𝑡 =

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑑𝑑

𝑎𝑎 𝑡𝑡 =

𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡

1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡 ln 1 + 𝑖𝑖

1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡 = ln 1 + 𝑖𝑖

Hubungan lebih lanjut antar setiap ukuran bunga 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚

𝑚𝑚

𝑚𝑚

= 1 + 𝑖𝑖 = 𝑣𝑣⁻¹ = 1 − 𝑑𝑑 ⁻¹ = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑝𝑝 𝑝𝑝

−𝑝𝑝

= 𝑒𝑒^𝛿𝛿

Force of interest berdasarkan bunga sederhana 𝛿𝛿_𝑡𝑡 =

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑑𝑑

𝑎𝑎 𝑡𝑡 =

𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡

1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝑖𝑖

1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ≥ 0 Force of interest berdasarkan diskon sederhana

𝛿𝛿_𝑡𝑡 = 𝛿𝛿_𝑡𝑡^′ = −

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑑𝑑 ⁻¹ 𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = −

𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡

1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑

1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 < 1 𝑑𝑑

Force of interest merupakan limit dari suku bunga/diskon nominal, yaitu

𝑚𝑚→∞lim 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 = 𝛿𝛿

𝑚𝑚→∞lim 𝛿𝛿 ^𝑚𝑚 = 𝛿𝛿 Bukti: Perhatikan bawah

1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑚𝑚

= 𝑒𝑒^𝛿𝛿

Sehingga 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑒𝑒^{𝑚𝑚𝛿𝛿} − 1 . Ekspansi deret Taylor untuk 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 adalah 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝛿𝛿

𝑚𝑚 + 𝛿𝛿²

2! 𝑚𝑚² + 𝛿𝛿³

3! 𝑚𝑚³ + ⋯ = 𝛿𝛿 + 𝛿𝛿²

2! 𝑚𝑚 + 𝛿𝛿³

3! 𝑚𝑚² + ⋯ Sehingga untuk 𝑚𝑚 → ∞ diperoleh

𝑚𝑚→∞lim 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 = 𝛿𝛿

Contoh

Bank A offers a savings account paying a nominal annual rate of 3.2% compounded

monthly. Bank B offers the same rate, but compounds continuously. If you deposit $4500 for a period of five years how much more will you earn with Bank A and Bank B?

Suku Bunga Bervariasi

Suku bunga efektif dapat bervariasi sepanjang waktu.

• Tipe pertama, suku bunga efektif berubah-ubah setiap periode.

Misalkan 𝑖𝑖_𝑘𝑘 adalah suku bunga efektif pada periode ke-𝑘𝑘, maka untuk bilangan bulat 𝑡𝑡 ≥ 1 berlaku fungsi akumulasi

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖₁ 1 + 𝑖𝑖₂ 1 + 𝑖𝑖₃ … 1 + 𝑖𝑖_𝑡𝑡 = �

𝑘𝑘=1 𝑡𝑡

1 + 𝑖𝑖_𝑘𝑘 Jika 𝑖𝑖₁ = 𝑖𝑖₂ = 𝑖𝑖₃ = ⋯ = 𝑖𝑖_𝑡𝑡 = 1, maka 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡.

Fungsi diskon (nilai sekarang) adalah

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖₁ ⁻¹ 1 + 𝑖𝑖₂ ⁻¹ 1 + 𝑖𝑖₃ ⁻¹ … 1 + 𝑖𝑖_𝑡𝑡 ⁻¹ = �

𝑘𝑘=1 𝑡𝑡

1 + 𝑖𝑖_𝑘𝑘 ⁻¹ = �

𝑘𝑘=1 𝑡𝑡

𝑣𝑣_𝑘𝑘

• Tipe kedua, force of interest berubah-ubah setiap periode, namun konstan dalam satu periode.

Misalkan 𝛿𝛿 _𝑘𝑘 adalah force of interest pada periode ke-𝑘𝑘, maka untuk bilangan bulat 𝑡𝑡 ≥ 1 berlaku

𝛿𝛿 _𝑘𝑘 = ln 1 + 𝑖𝑖_𝑘𝑘 dan fungsi akumulasi

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒^{∫0𝑡𝑡𝛿𝛿 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑} = 𝑒𝑒^{∑𝑘𝑘=1𝑡𝑡 𝛿𝛿 𝑘𝑘} Fungsi diskon (nilai sekarang) adalah

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒^{− ∑𝑘𝑘=1𝑡𝑡 𝛿𝛿 𝑘𝑘}

Contoh

Rangkuman Suku Bunga

Suku Bunga/Diskon Nilai akumulasi dari 1 saat

waktu 𝑡𝑡 Nilai sekarang dari 1 saat waktu 𝑡𝑡

Bunga/diskon sederhana 𝑖𝑖

𝑑𝑑

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⁻¹

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 ⁻¹ 𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑𝑡𝑡 Bunga/diskon majemuk

𝑖𝑖

𝑖𝑖 ^𝑚𝑚

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑡𝑡

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑚𝑚𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^−𝑡𝑡 = 𝑣𝑣^𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

−𝑚𝑚𝑡𝑡

Suku Bunga/Diskon Nilai akumulasi dari 1 saat

waktu 𝑡𝑡 Nilai sekarang dari 1 saat waktu 𝑡𝑡

Bunga/diskon majemuk 𝑑𝑑

𝑑𝑑 ^𝑚𝑚

𝛿𝛿

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑 ^−𝑡𝑡

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

−𝑚𝑚𝑡𝑡

𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒^{𝛿𝛿𝑡𝑡}

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 1 − 𝑑𝑑 ^𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑚𝑚𝑡𝑡

𝑎𝑎⁻¹ 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒^{−𝛿𝛿𝑡𝑡}

Misalkan diberikan jumlah awal dan periode yang sama. Untuk memperoleh nilai akumulasi yang sama diperlukan besar suku bunga dengan urutan berikut

𝛿𝛿 < ⋯ < 𝑖𝑖 ³ < 𝑖𝑖 ² < 𝑖𝑖

Misalkan diberikan nilai akumulasi dan periode yang sama. Untuk memperoleh nilai sekarang yang sama diperlukan besar tingkat diskon dengan urutan berikut

𝑑𝑑 < 𝑑𝑑 ² < 𝑑𝑑 ³ < ⋯ < 𝛿𝛿^′

Referensi

1. Kellison, Stephen G., The Theory of Interest, 3rd Edition, Mc Graw Hill, 2008

2. Vaaler, Leslie Jane Federer, Mathematical Interest Theory, AMS MAA Textbooks, 2019 3. Wilders, Richard James, Financial Mathematics for Actuarial Science The Theory of

Interest, CRC Press, 2020