MAKALAH AKTUARIA ASURANSI JIWA DAN PREMI TAHUNAN

(1)

MAKALAH AKTUARIA

ASURANSI JIWA DAN PREMI TAHUNAN

DISUSUN OLEH:

AMALIA AGUSTINA G1D020002 CHINTYA ALYANDA G1D020010 HUMAMI SYIFA AMANDA G1D020024

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS MATARAM

2023 DAFTAR ISI

(2)

DAFTAR ISI………..

ii

BAB I PENDAHULUAN……….

1

1.1 Asuransi Jiwa …...………

1

1.2 Premi Tahunan ……….………...

2

BAB II PEMBAHASAN …….…….………

4

2.1 Asuransi Jiwa …...………

4

2.1.1 Asuransi Berjangkau ….……….…

4

2.1.2 Asuransi Seumur Hidup …..……….…

6

2.1.3 Endowmen …………...……….…

7

2.1.4 Asuransi Tertunda …….……….…

8

2.2 Premi Tahunan ………..………..

9

BAB III PENUTUP ……….………..……

12

3.1 Kesimpulan ……….………

12

3.2 Saran ………..………..…

12

DAFTAR PUSTAKA……….

13

(3)

LAMPIRAN ……….……….

14

(4)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Asuransi Jiwa

Asuransi adalah salah satu mekanisme dari bentuk pengalihan risiko dari tertanggung (pihak yang mengalihkan risiko) kepada pihak penanggung (perusahaan asuransi yang menerika risiko) dengan membayar sejumlah premi, di mana jika terjadi suatu kerugian akibat dari ketidakpastian (risiko) maka pihak penanggung akan memberikan ganti rugi kepada tertanggung (Buku 4 Perasuransian, 2019). Ada berbagai jenis asuransi dan salah satu jenisnya adalah asuransi jiwa. Asuransi jiwa seringkali dianggap sebagai topik yang kurang menyenangkan untuk dibahas, tetapi pada kenyataannya bahwa memiliki polis asuransi jiwa (bukti kontrak perjanjian tertulis antara kedua pihak dalam asuransi) dapat memberikan perlindungan finansial yang sangat penting bagi keluarga dalam keadaan darurat. Dalam situasi tersebut, uang dari polis asuransi jiwa dapat membantu membayar tagihan medis, membayar biaya hidup, dan memberikan ketenangan pikiran.

Asuransi jiwa adalah jenis asuransi yang memberikan perlindungan finansial bagi keluarga jika terjadi kematian. Polis asuransi jiwa dapat dibeli dengan membayar premi tahunan dan jumlah perlindungan yang berbeda tergantung dari jenis polis yang dipilih. Menurut Buku Materi Pokok Asuransi I (1986), berikut akan dipaparkan berbagai bentuk asuransi jiwa.

a. Asuransi Berjangka

Asuransi berjangka merupakan bentuk asuransi yang paling sederhana. Santunan asuransi akan dibayarkan oleh perusahaan kepada pewaris si tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu, yang disebut dengan jangka waktu polis. Namun asuransi berjangka memiliki jangka waktu yang dapat habis dalam jangka waktu yang ditentukan. Bila yang bersangkutan memilih untuk diasuransikan kembali setelah jangka waktunya habis. Maka harus membeli polis baru, yang harganya akan relatif mahal karena usianya sudah semakin tua sehingga peluang kematian semakin tinggi.

(5)

b. Asuransi Seumur Hidup

Maka disaranakan menggunakan cara yang lebih murah dan praktis dibandingkn dengan asuransi berjangka yang bersambung yaitu asuransi seumur hidup. Dengan asuransi tersebut, santunan asuransi akan pasti dibayar tanpa memperdulikan kapan waktunya kematian pemilik asuransi. Premi dapat dibayarkan sekaligus (premi tunggal) atau terbatas sampai beberapa tahun, bahkan seumur hidup.

c. Endowmen

Asuransi endowmen (di PT. Asuransi Jiwasraya dinamakan dwiguna) merupakan penyempurnaan dari konsep asuransi berjangka;

dengan kata lain endowmen merupakan kombinasi dari asuransi berjangka dengan endowmen murni. Bila si tertanggung meninggal selama jangka waktu asuransi, missal n tahun maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp 1, sedangkan pewaris mencapai usia

x+n maka pewaris akan dibayarkan Rp 1 pada akhir tahun ke x+n .

d. Asuransi Tertunda

Konsep asuransi tertunda mirip dengan anuitas tertunda. Premi Tunggal bersih untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp 1 dikeluarkan bagi orang berusia x yang tertunda m tahun. Artinya pembayaran Rp 1 akan dilakukan perusahaan asuransi bagi pewaris ( x ) pada akhir tahun dia meninggal asal dia meninggal antara usia x+m dan x+m+n tahun.

Dari semua bentuk di atas, terdapat manfaat asuransi jiwa yaitu memberikan perlindungan bahkan warisan finansial bagi keluarga jika terjadi sesuatu kepada diri sendiri, dapat membantu membayar tagihan medis dan ketenangan pikiran.

1.2 Premi Tahunan

Premi merupakan suatu kewajiban yang harus dibayar oleh tertanggung kepada penanggung sesuai dengan kontrak asuransi. Premi dipengaruhi oleh tiga hal, yaitu biaya perusahaan, tingkat kematian (mortalitas), dan suku bunga

(6)

(Alwi dkk, 2019). Salah satu macam-macam premi asuransi jiwa adalah premi tahunan, di mana premi tahunan adalah biaya yang harus dibayarkan oleh pemegang polis setiap tahun yang besarnya bisa sama maupun berubah-ubah tiap tahunnya untuk mempertahankan keberlangsungan polis asuransi jiwa.

perusahaan asuransi menghitung premi tahunan berdasarkan beberapa factor, yaitu factor usia, kesehatan, dan jumlah perlindungan yang dibutuhkan.

Semakin tua seseorang maka semakin tinggi risiko kematian, sehingga premi tahunannya lebih tinggi. Kesehatan menjadi faktor penting, karena orang yang lebih sehat cenderung hidup lebih lama dan memiliki risiko kematian yang lebih rendah. Semakin besar jumlah perlindungan yang dibutuhkan, maka semakin tinggi premi tahunannya.

Menurut Andiraja dan Wahyuni (2015) menentukan besarnya premi tahunan yang akan dibayarkan oleh tertanggung dapat menggunakan berbagai cara diantaranya dengan fungsi komutasi, hukum de moivre dan asumsi seragam. Salah satu penelitian yang dilakukan oleh Nurma Harisa (2013) mengenai premi tahunan asuransi jiwa berjangka dengan cara yang digunakan untuk menghitung premi tahunan adalah dengan menggunakan hukum de moivre untuk status gabungan dua orang. Pada hukum tersebut, usia tertanggung yang digunakan hanya berupa bilangan bulat. Sedangkan dengan menggunakan asumsi seragam, dapat menghitung premi tahunan untuk usia tertanggung yang berbentuk decimal. Sehingga memperhitungkan tahun dan bulan hasil perhitungan premi tahunan dengan asumsi seragam lebih akurat.

(7)

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa memiliki berbagai jenis dengan tiap jenisnya memiliki pengertian yang berbeda pula. Bentuk-bentuk asuransi jiwa antara lain yaitu asuransi berjangka, asuransi seumur hidup, endowmen, dan asuransi tertunda. Berikut merupakan definsi serta contoh soal dari asuransi-asuransi tersebut.

2.1.1 Asuransi berjangka

Bentuk asuransi jiwa yang paling sederhana ialah asuransi berjangka. Apabila memilih asuransi jenis ini, maka santunan asuransi akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pewaris dari tertanggung yang meninggal dunia dalam jangka waktu tertentu. Jangka waktu pembayaran tersebut dikenal sebagai jangka waktu polis.

Sebagai contoh dari asuransi jiwa berjangka dengan jangka waktu polis misalkan satu tahun, yaitu misalkan terdapat ^lx orang dan setiap orang berusia tepat x tahun. Tiap-tiap orang telah sepakat untuk menyerahkan uang sebesar A rupiah ke dalam suatu dana dan pada akhir tahun, sebesar Rp 1 akan dibayarkan kepada setiap pawaris dari orang- orang yang menyerahkan dana dan meninggal dunia diantara mereka sepanjang tahun tersebut. Dana yang terkumpul beserta bunganya setahun dianggap tepat sama dengan seluruh pembayaran santunan Rp 1 bagi setiap yang meninggal. Banyaknya orang yang meninggal dalam setahun dari l_x orang adalah d_x . Sehingga seluruh pembayaran setahun kemudian adalah sebesar ^dx rupiah. Dana yang terkumpul beserta bunganya adalah sebesar A ∙l_x(l+i) . Maka diperoleh persamaan

d_x=A ∙ l_x(l+i) 2.1

(8)

Maka

A=d_x l_x (l+i)

¿vd_x l_x

¿v^x+¹dx

l_xv^x

¿C_x D_x

2.2

Nilai A pada persamaan 2.2 disebut sebagai premi tunggal bersih suatu asurans sebesar Rp 1 selama satu tahun. Nilai Rp 1 tersebut hanya akan dibayarkan apabila si tertanggung meninggal dunia dalam jangka waktu satu tahun. Tetapi apabila ia hidup hingga usia x+1 tahun, maka pembayaran tidak akan dilakukan.

Selanjutnya misalkan n⌉ x¿:¿

A¿

menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar Rp 1 pada x dalam jangka waktu n tahun. Maka dapat diturunkan rumus sebagai berikut.

n⌉ x¿:¿

A_¿

¿(v^x+1dx+v^x+2dx+1+…+v^x+ndx+n−1) v^xl_x

¿C_x+C_x+₁+…+C_x+n−1 D_x

¿M_x−M_x+_n D_x

2.3

Dengan

(9)

M_x−M_x+n=

∑

i=0 n−1

C_x+i 2.4

Adapun contoh perhitungan untuk asuransi berjangka yaitu sebagai berikut.

 Hitunglah premi tunggal bersih suatu asuransi berjangka 10 tahun bagi seseorang yang berusia 30 tahun apabila diketahui besarnya santunan adalah seebsar Rp 1.000.000,00.

Penyelesaian

Premi tunggal bersih untuk asuransi sebesar satu juta rupiah bagi seseorang yang berusia 30 tahun selama 10 tahun dapat dihitung sebagai berikut.

10⌉ 30 :¿ ¿ 10⁶A_¿

¿10⁶(182403,4951−165359,8889) 440800,58

¿38665,12 rupiah 2.1.2 Asuransi seumur hidup

Asuransi seumur merupakan pilihan asuransi yang lebih praktis apabila dibandingkan dengan melakukan asuransi berjangka secara bersambung. Dengan memilih asuransi seumur hidup, maka santunan asuransi akan tetap dibayarkan tanpa adanya batas usia bagi tertanggung.

Premi dapat dibayarkan sekali, terbatas sampai beberapa tahun, atau bahkan seumur hidup.

Misalkan ^Ax merupakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi seumur hidup sebesar Rp 1 bagi seseorang yang berusia x tahun. Hal ini berarti apabila orang tersebut meninggal, maka pewaris dari

(10)

orang tersebut akan mendapatkan Rp 1 pada akhir tahun orang tersebut meninggal dunia. Sehingga persamaan dari ^Ax dapat dituliskan sebagai berikut.

A_x=v dx

l_x +v²dx+1

l_x +…+v^w−x+1dw

l_x

¿(v^x+1d_x+v^x+2d_x+₁+…+v^w⁺¹d_w) v^xl_x

¿C_x+C_x+₁+…+C_w D_x

¿M_x D_x

2.5

Adapun contoh perhitungan dari asuransi seumur hidup adalah sebagai berikut.

 Carilah premi tunggal bersih dari suatu polis asuransi jiwa yang besar santunan pada 10 tahun pertama adalah sebesar satu juta rupiah dan dua juta rupiah sesudahnya bagi orang yang berusia 20 tahun.

Penyelesaian

Anggap sebagai selisih dua asuransi seumur hidup. Asuransi sebesar 2 juta rupiah sejak usia 20 tahun akan dikurangi asuransi berjangka 10 tahun mulai usia 20 tahun sebesar 1 juta rupiah. Maka premi tunggal yang diperoleh yaitu.

M (¿¿20−M₃₀)

D₂₀ 2M₂₀

D₂₀ −¿

10⁶

{

²^A20−A20 : 101

}

⁼¹⁰⁶^¿

M (¿¿20+M₃₀)

D₂₀

¿

¿10⁶¿

¿10⁶

{

196657,1668+182403,4951

580662,42

}

(11)

¿652807,29 juta rupiah 2.1.3 Endowmen

Asuransi endowmen adalah penyempurnaan dari gagasan asuransi berjangka. Dalam hal ini, asuransi endowman berbeda dengan emdowmen murni. Asuransi endowmen dapat dikatakan sebagai perpaduan antara asuransi berjangka dengan asuransi endowman murni. Sehingga apabila seorang tertanggung meninggal dalam jangka waktu asuransi, missal dalam n tahun, maka pewaris orang tersebut akan menerima bayaran sebesar Rp 1. Sedangkan apabila orang tersebut mencapai usia x+n tahun maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp 1 pada akhir tahun

ke x+n. Adapun symbol yang digunakan dalam asuransi ini yaitu n⌉ x:¿

A_¿ . Persamaan tersebut dapat diturunkan sebagai berikut.

n⌉ n¿⌉ x¿:¿ x:¿ A_¿

¿(v^x+1d_x+v^x+2d_x+₁+…+v^w⁺¹d_w) v^xl_x

¿M_x−M_x+n D_x +D_x+_n

D_x

¿M_x−M_x+_n+D_x+n D_x

2.6

Contoh perhitungan untuk asuransi endowmen adalah sebagai berikut.

 Hitunglah premi tunggal bersih dari suatu asuransi endowmen sebesar 1 juta rupiah dikeluarkan orang selama 20 tahun bagi orang yang berusia 20.

Penyelesaian

(12)

Premi tunggal bersih yang dikeluarkan dapat dihitung sebagai berikut.

20⌉ 20 :¿ ¿ 10⁶A_¿

¿10⁶

{

196657,1668−165359,8889+328983,61

580662,42

}

¿620465,31 juta rupiah 2.1.4 Asuransi tertunda

Asuransi berjangka tertunda memiliki symbol n⌉

x¿:¿

m|A_¿

. Simbol tersebut memiliki arti bahwa premi tunggal bersih untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp 1 dikeluarkan bagi orang yang berusia x tahun yang tertunda selama m tahun. Hal ini berarti pembayaran Rp 1 akan dilakukan perusahaan asuransi bagi pewaris (x) pada akhir tahun ia meninggal dengan syarat bahwa orang tersebut meninggal dalam rentang

usia x+m dan x+m+n tahun. Persamaan n⌉

x¿:¿ m|A_¿

dapat diturunkan sebagai berikut.

n⌉ x¿:¿ m|A_¿

¿(v^x+m+1dx+v^x+m+2dx+1+…+v^x+m+ndx+m+n−1) v^xl_x

¿C_x_+m+C_x+m+1+…+C_x+m+n−1 D_x

¿M_x+m−M_x+m+n D_x

2.7

(13)

Symbol n⌉ x¿:¿ m|A_¿

merupakan premi tunggal bersih endowmen sebesar Rp 1 bagi (x) selama n tahun. Tunjangan tersebut akan dibayarkan bila (x) meninggal dalam rentang usia x+m sampai x+m+n tahun.

2.2 Premi Tahunan

Semua asuransi dikeluarkan dengan premi tunggal, namun premi tunggal jarang sekali digunakan dalam praktek. Biasanya premi dibayar secara berkala, misalnya tiap tahun, enam bulan sekali, ataupun sebulan sekali dan dilakukan pada permulaan tiap selang waktu. Pembayaran premi asuransi jiwa seumur hidup, misalnya dapat dilakukan tiap permulaan tahun seumur hidup sering disebut asuransi biasa (ordinary life insurance). Sedangkan pembayaran premi yang terbatas, misalnya selama maksimum 20 tahun, disebut asuransi dengan pembayaran terbatas (limited-payment life).

Catatan:

Tabel Mortalitas “Standard Ordinary Mortality” (CSO) Komisi 1941 dengan i = 2,5% terdapat pada Lampiran.

Berikut ini diberikan perubahan besar premi bersih untuk asuransi

seumur hidup bagi seseorang berusia 20 tahun (CSO 2 1

2% ) dengan santunan Rp. 1000

Rencana Asuransi Premi Tunggal

Premi dibayar seumur hidup Rp. 12,49

Premi lunas pada usia 85 tahun Rp. 12,52

Pembayaran premi selama 30 tahun Rp. 16,53 Pembayaran premi selama 25 tahun Rp. 18,58 Pembayaran premi selama 20 tahun Rp. 21,76 Pembayaran premi selama 15 tahun Rp. 27,19 Pembayaran premi selama 10 tahun Rp. 38,19

Premi Tunggal Rp. 338,68

Tingkat bunga jelas juga mempengaruhi besarnya premi. Makin tinggi tingkat bunga makin rendah premi yang harus dibayar untuk besar santunan yang sama,

(14)

seperti dapat dilihat pada tabel berikut untuk usia waktu polis dikeluarkan 20 tahun.

Premi bersih untuk Asuransi Rp. 1000

Rencana Asuransi i = 2% i = 2,25% i = 2,5% i = 3%

Asuransi biasa Rp. 13,86 Rp. 13,15 Rp. 12,49 Rp. 11,29 Asuransi seumur hidup

dengan 20 kali pembayaran

Rp. 25,51 Rp. 23,54 Rp. 21,76 Rp.18,70 Asuransi seumur hidup

dengan 10 kali pembayaran

Rp. 45,72 Rp. 41,74 Rp.38,19 Rp. 32,15 Asuransi seumur hidup

dengan premi tunggal Rp. 414,08 Rp. 374,11 Rp. 338,68 Rp. 279,26 Asurani berjangka 10

tahun Rp. 2,79 Rp. 2,78 Rp. 2,77 Rp. 2,75

Endowmen sampai

usia 65 tahun Rp. 17,05 Rp. 16,23 Rp. 15,46 Rp. 14,02 Endowmen 20 tahun Rp. 41,99 Rp. 40,92 Rp. 39,87 Rp. 37,85

Simbol untuk cara pembayaran premi mirip dengan simbol asuransinya, berikut simbol-simbol tersebut:

P_x : menyatakan premi bersih tahunan untuk A_x , jadi besar santunannya Rp. 1

n^Px : menyatakan premi bersih tahunan untuk A_x dengan pembayaran premi maksimum n kali

n´⌉ x¿:¿

P_¿ :

menyatakan premi bersih tahunan untuk n´⌉ x¿:¿

A_¿ n´⌉

x:¿ P_¿

:

menyatakan premi bersih tahunan untuk n´⌉ x:¿

A_¿ m^Px ^:

menyatakan premi bersih tahunan untuk n´⌉ x:¿

A_¿

dengan

(15)

pembayaran premi maksimum m kali ( m≤ n¿

Dalam menghitung premi, gunakan persamaan dasar.

Nilai turunan premi yang akan datang = nilai tunai santunan (benefit) yang

akan datang.

Contoh 1:

Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi biasa dengan santunan 2 juta rupiah bagi orang yang berusia 30 tahun!

Jawab :

Misalkan premi bersih tahunan P. Menurut persamaan dasar diperoleh P´a₃₀=2×10⁶A₃₀

Perhatikan, ruas kiri menyatakan nilai tunai seluruh premi (premi tugggal bersih).

Premi dibayar tiap permulaan tahun sejak usia 30 tahun, yang merupakan anuitas seluruh hidup. Ruas kanan menyatakan nilai tunai santunan (premi tunggal bersih). Jadi,

P=2×10⁶A₃₀/ ´a₃₀

¿2×10⁶M₃₀/N₃₀

10.594 .280,39

¿2×10⁶(182.403,4951)/¿ ⁾

¿34.434,33rupiah Contoh 2:

Hitunglah premi bersih tahunan untuk asuransi endown sampai usia 65 tahun bagi orang berusia 30 tahun dengan pembayaran premi 20 kali, besar santunan Rp1.000.000

Jawab :

Misalkan premi bersih tahunan P, maka

(16)

35´ ⌉

¿ 20´ ⌉ 3 0 :¿ 30 :¿ 10⁶A_¿

10⁶∙M₃₀−M₆₅+D₆₅ D30

=PN₃₀−N₅₀ D30

M

(¿¿30−M₆₅+D₆₅) (N₃₀−N₅₀)

P=10⁶∙¿

P=10⁶∙(182.403,4951−87.499,6261+116.088,1500) (10.594 .280,39−3.849 .487,5900)

¿31.282,21rupiah

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah disampaikan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

a. Asuransi jiwa adalah jenis asuransi yang memberikan perlindungan finansial bagi keluarga jika terjadi kematian. Polis asuransi jiwa dapat dibeli dengan membayar premi tahunan dan jumlah perlindungan yang berbeda tergantung dari jenis polis yang dipilih. Bentuk-bentuk asuransi jiwa antara lain yaitu asuransi berjangka, asuransi seumur hidup, endowmen, dan asuransi tertunda.

b. Premi tahunan adalah biaya yang harus dibayarkan oleh pemegang polis setiap tahun yang besarnya bisa sama maupun berubah-ubah tiap tahunnya untuk mempertahankan keberlangsungan polis asuransi jiwa.

Dalam menghitung premi, gunakan persamaan dasar berikut.

Nilai turunan premi yang akan datang = nilai tunai santunan (benefit) yang akan datang

(17)

3.2 Saran

Makalah yang telah selesai ini tidak terlepas dari kekukarang dan ketidak sempurnaan. Diharapkan pada makalah selanjutnya, contoh soal dengan berbagai kasus lebih diperbanyak lagi agar pemahaman pembaca semakin bagus.

(18)

DAFTAR PUSTAKA

Andiraja, N., dan Wahyuni, D., 2015, Premi Tahunan Asuransi Jiwa Berjangka dengan Asumsi Seragam untuk Status Gabungan, Jurnal Sains Matematika dan Statistika, 1(2): 83-88, DOI: http://dx.doi.org/10.24014/jsms.v1i2.1962.

Anriani, Alwi, W., & Abdal, A., M., 2019, Pehitungan Premi Tahunan untuk Asuransi Jiwa Endowmen Joint Life dengan Suku Bunga Stokastik, Jurnal Matematik dan Statistika serta aplikasinya, 7 (1): 14-20, DOI:

https://doi.org/10.24252/msa.v7i1.7617.

Otoritas Jasa Keuangan (OJK), 2016, Buku 4 Perasuransian Seri Literasi Keuangan Perguruan Tinggi, OJK, Jakarta.

Sembiring, RK., 1986, Buku Materi Pokok Asuransi I STAT4331/3 SKS/MODUL 1-5, Karunika Universitas Terbuka, Jakarta.

(19)

LAMPIRAN

(20)

(21)

(22)