BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini berisi tentang dasar teori dari penelitian yang dilakukan. Adapun yang menjadi landasan teori adalah Burung Enggang, Algoritma Optimisasi, Particle Swarm Optimization, Ant lion optimizer,Grasshopper Optimization Algorithm, Bat Algorithm, Metode Numerik Newton Raphson, dan Fungsi Objektif.
2.1 Burung Enggang
Burung ini berukuran sangat besar dengan ukuran yang berkisar 110-127 cm.
Dalam bahasa inggris, burung enggang dinamakan “hornbill” karena paruhnya yang berbentuk seperti tanduk sapi. Enggang badak memiliki paruh kuning berpangkal merah dengan tanduk berwarna merah-kuning yang melengkung keatas.
Bulu didimonasi warna hitam dan putih, sementara kaki berwarna abu-abu kehijauan dan ekor berwarna putih mencolok dengan garis hitam lebar melintang.
Iris berwarna merah untuk enggang badak jantan dan iris berwarna putih sampai biru untuk enggang badak betina.
2.1.1 Perilaku Makan
Burung enggang yang hidup di hutan hujan tropis umumnya bersifat frugivorous, tetapi dapat juga bersifat omnivoroussaat musim berbiak. Frugivorous adalah hewan pemakan buah. Buah beringin yang berbuah sepanjang tahun di hutan tropis Indonesia merupakan makanan yang sangat penting bagi burung enggang (Hadiprakarsa, 2007). Selain buah beringin, jenis buah-buahan lainnya juga di konsumsi oleh burung enggang seperti buah pala hutan yang kaya akan protein dan lipid serta kenari-kenarian. Burung enggang juga memakan invertebrata dan vertebrata kecil, disaat ketersediaan buah mulai menipis. Saat memakan buah, umumnya enggang memperlakukan buah dengan dua cara, yaitu dengan memasukkan dan melumatkannya di dalam paruh lalu mengeluarkan bijinya dari dalam paruh setelah bagian yang lainnya ditelan. Cara kedua yaitu memasukkan buah yang umumnya berbiji halus melalui paruh, ke kerongkongan dan terus ke
saluran pencernaan di dalam tubuh, lalu bijinya akan dikeluarkan bersama kotorannya. Sebagai burung pemakan buah, pola makan memperlihatkan aktivitas bimodal, yaitu memulainya pada pagi hari dengan frekuensi tinggi, lalu kemudian menurun pada siang hari dan akan meningkat kembali pada sore hari. Tinggi rendahnya frekuensi aktivitas makan diduga dipengaruhi oleh suhu sekitar dan perubahan intensitas cahaya matahari. Semakin tinggi suhu lingkungan maka semakin besar jumlah makanan yang dikonsumsi untuk memenuhi kebutuhan metabolisme tubuhnya. Pada umumnya burung enggang lebih memilih makanan yang ada diatas pohon di hutan, jarang dijumpai burung enggang memakan buah- buahan di atas tanah (Kemp, 1995).
2.1.2 Perilaku Seksual
Gambar 2.1Perilaku Bersarang Burung Enggang (Winarno, 2018) Ketika saatnya untuk berkembang biak betina akan menemukan sebuah lubang di pohon berongga besar, kanopi yang tinggi untuk meletakkan telurnya.
Ketika ia telah menemukan sebuah lubang yang sesuai betina akan menutup diri di dalamnya menggunakan air liur, tanah liat, kotoran dan ranting, dan hanya menyisakan cela kecil yang digunakan untuk mengambil makan dari enggang jantan atau anggota kelompoknya dengan menggunakan paruh. Pada saat bersarang, burung jantan akan melakukan terbang secara diam-diam, tidak banyak megepakkan sayap, jika sudah mendekati sarang agar predator tidak mengetahui
jantan akan melakukan pengintaian di sekitar pohon sarang untuk pengamanan.
Fungsi dari menutupi sarang yaitu untuk melindungi betina dan telur dari predator dan gangguan dari jenis enggang lain (Kinnaird & O’Brien, 1997). Poonswad (1993) menyatakan bahwa terdapat lima tahapan proses bersarang pada enggang selama 120 – 140 hari, rata-rata lama waktu bersarang pada Enggang papan dan Julang emas yaitu sekitar 120 hari, berikut merupakan tahapan dari proses bersarang pada enggang, yaitu
(1). Tahap pre-nesting yaitu periode perkawinan ditunjukkan dengan usaha menemukan sarang (termasuk mengunjungi sarang) sebelum betina terkurung, antara 1 – 3 minggu.
(2). Tahap pre-laying yaitu masa betina mulai terkurung sampai peletakan telur pertama, selama satu minggu. Periode aman bagi enggang untuk mengeluarkan telurnya.
(3). Tahap egg incubationyaitu masa peletakkan telur pertama sampai telur pertama menetas, selama enam minggu, sementara pada Kangkareng perut putih selama empat minggu.
(4). Tahap nesting yaitu masa dari induk betina keluar dari sarang (lubang sarang ditutup kembali) hingga anak memiliki bulu lengkap dan siap untuk terbang, selama 8 – 13 minggu.
(5). Tahap fledging yaitu masa dari pemecahan plester sampai semua anak keluar, memerlukan waktu dari hitungan beberapa jam hingga dua minggu, jika anak lebih dari satu.
Perilaku bersarang pada enggang merupakan perilaku yang tidak biasa dilakukan pada kelas burung, inilah yang menjadikan enggang menjadi burung yang istimewa (Kemp, 1995).
2.1.3 Perilaku Sosial
Burung enggang umumnya hidup berkelompok, baik itu dalam mencari makan atau terbang. Pada saat terbang mereka akan berpasangan dalam sebuah kelompok atau populasi.
2.1.4 Perilaku Pergerakan
Burung enggang bersifat arboreal yaitu melakukan aktivitasnya di atas
meter. Pohon digunakan untuk hinggap, istirahat, tidur dan bersarang. Burung enggang sebagai spesies kunci mempunyai peranan penting dalam regenerasi hutan karena mempunyai kemampuan menyebarkan benih biji tumbuhan hutan dari buah- buahan yang dimakannya. Burung enggang sangat dibutuhkan oleh ekosistem karena jangkauan terbangnya yang sangat luas dibanding dengan burung jenis lain
(Poonswad, , 1997; Marthy, 2008). Beberapa enggang
hidup menetap bersama pasangannya (monogamous) di dalam wilayah teritorinya (pertahanan), dengan luas jangkauan mulai dari 10 Ha sampai 100 Km2 . Jenis enggang yang hidup di hutan hujan tropis marga (genus) Aceros juga dapat melakukan migrasi menyeberang laut antar pulau sebagai aktivitas hariannya untuk mencari pakan. Waktu perjumpaan burung enggang didapatkan hasil pengamatan bahwa pada pagi hari enggang terlihat beraktivitas terbang melintas jalur berkisar antara pukul 06:00 – 10:00 untuk pergi mencari makan, setelah lewat waktu tersebut burung enggang akan melakukan aktivitas beristirahat dengan rangkaian kegiatan membersihkan bulu dan bermain dengan pasangannya karena tercatat bahwa enggang ditemukan selalu berpasangan, tidak pernah dalam jumlah ganjil. Pada pukul 16:00 – 18:30 burung enggang akan terlihat melintas terbang untuk melakukan aktivitas tidur. Pada waktu sore hari burung enggang akan terlihat berkawanan dengan jumlah 3 – 8 individu per kelompok (Kemp, 1991).
2.1.5 Perilaku Khas
Burung enggang dapat dikenali dari suara kepakan sayap pada saat terbang.
Suara yang ditimbulkan dari kepakan sayap langsung dapat dikenali Semua jenis enggang mempunyai suara yang keras dan terdengar sampai lebih dari satu kilometer (Kinnair , 1997). Kelompok Enggang klihingan (Annorhinus galeritus) di TNBBS sering melakukan aktivitas calling. Selanjutnya dijelaskan bahwa callingdilakukan pada waktu-waktu tertentu. Aktivitas ini dilakukan oleh setiap kelompok untuk menandakan keberadaan individu atau kelompok pada suatu lokasi, biasa dilakukan antar individu dalam kelompok atau antar kelompok satu dengan kelompok lain. Callingberfungsi sebagai hal untuk menunjukkan dominasi kelompok. Aktivitas calling dilakukan pada pagi hari dan sore hari menjelang matahari terbenam (Noerfahmy, 2008). Pada saat bersarang aktivitas calling enggang akan berkurang. Burung enggang jantan akan lebih banyak diam, tidak bersuara jika sudah mendekati sarang, namun jika tidak sedang musim bersarang jantan akan bersuara keras jika merasa terganggu (Klop, 1998).
2.2 Algoritma Optimisasi
Menurut kamus besar Bahasa Indonesia optimisasi merupakan proses, cara, tindakan untuk membuat suatu sistem atau rancangan seefektif atau sefungsional mungkin. Sedangkan optimal adalah nilai tertinggi, terbaik, paling menguntungkan dan mengoptimalkan berarti menjadi paling tinggi, menjadikan nilai paling maksimal. Secara umum optimisasi adalah proses pencarian solusi terbaik, optimisasi tidak selalu mencari nilai yang paling tinggi untuk bias dicapai jika tujuan pengoptimalan untuk mendapatkan nilai maksimum, atau tidak selalu mencari nilai yang paling kecil jika tujuan pengoptimalan untuk mendapatkan nilai minimum (Yuniar, 2017).
Algoritma Optimisasi (Optimization Algorithms) merupakan algoritma yang digunakan untuk mendapatkan nilai x dan akan menghasilkan nilau suatu fungsi f(x). Fungsi f(x) memiliki nilai yang sekecil atau sebesar mungkin dalam suatu fungsi yang diberikan, yang disertai dengan beberapa batasan pada nilai x, dimana nilai xbisa berupa skalar atau vektor dari nilai yang didapatkan secara pengukuran maupun nilai yang didapatkan secara perhitungan (Hasad, 2011).
Global Optimization adalah suatu cabang ilmu matematika terapan dan analisa numerik yang membahas mengenai optimisasi yang memiliki kriteria bersifat tunggal, ganda dan konflik. Kriteria dimaksudkan sebagai himpunan fungsi matematika F = {f1, f2, …, fn} yang disebut fungsi-fungsi objektif (Weise, 2007).
Fungsi objektif atau fungsi tujuan (Objective Function) merupakan suatu fungsi linear yang digunakan untuk mempengaruhi nilai optimum dan memiliki batasan-batasan ketidaksamaan linear serta memiliki himpunan yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan pada program linear. Himpunan yang menyelesaikan suatu permasalahan merupakan titik-titik koordinat yang disubstitusikan kedalam fungsi linear untuk mendapatkan nilai dari fungsi tersebut (Hasad, 2011).
Algoritma metaheuristik merupakan algoritma yang sebagian besar terinspirasi dari alam dan dikembangkan berdasarkan keadaan lingkungan alam.
Alam mengalami revolusi jutaan tahun dan menemukan solusi untuk semua masalah yang terjadi pada alam, sehingga dapat mempelajari kebenaran dari suatu pemecahan masalah yang terjadi di alam dan mengembangkan algoritma heuristik dan metaheuristik yang terinspirasi dari alam. Algoritma yang dikembangkan berdasarkan alam diinspirasi oleh teori evolusi Darwin, yang menyatakan bahwa algoritma terinspirasi dari biologi atau yang mendekatinya (Yang, 2010).
Algoritma metaheuristic memiliki dua aspek utama yaitu pemilihan solusi terbaik dan nilai acak. Pemilihan solusi terbaik memastikan bahwa akan berpusat pada nilai optimal. Sedangkan nilai acak bertujuan untuk menghindari solusi yang terjebak pada local optimadan pada saat yang sama maka akan menimbulkan solusi yang beragam. Kombinasi antara kedua aspek akan memastikan bahwa nilai optimal dapat dicapai secara keseluruhan. Algoritma metaheuristicdiklasifikasikan dalam beberapa cara. Salah satu caranya dengan mengklasifikasikan algoritma berdasarkan populasi dan lintasan yang digunakan. Misalnya pada algoritma genetika yang berbasis populasi karena menggunakan banyak lintasan dan algoritma particle swarm optimization (PSO) yang berbasis kawanan dimana algoritma ini menggunakan banyak agen atau partikel (Yang, 2010).
2.3 Particle Swarm Optimization
Particle Swarm Optimization(PSO) merupakan algoritma yang terinspirasi dari perilaku sekelompok burung atau ikan. Algoritma PSO meniru perilaku sosial organisme ini. Perilaku sosial terdiri dari tindakan individu yang tepengaruh dari individu-individu lain dalan suatu kelompok. Partikel menunjukkan seekor burung dalam kelompok. Setiap individu atau partikel berperilaku dengan menggunakan kecerdasannya (intelligence) sendiri atau dipengaruhi oleh kelompok secara bersamaan (Santosa, 2011).
Pada algoritmaParticle Swarm Optimization(PSO), kelompok diasumsikan memiliki ukuran tertentu dengan setiap partikel dimana posisi awalnya terletak pada lokasi yang acak dalam ruang yang memiliki berbagai dimensi. Setiap partikel diasumsikan memiliki dua karakteristik yaitu posisi dengan kecepatan. Partikel bergerak dalam ruang atau spacetertentu dan mengingat posisi terbaik yang pernah dilalui atau ditemukan terhadap sumber makanan ataudisebut dengan nilai fungsi objektif. Partikel menyampaikan informasi atau posisi terbaik kepada partikel lain dan menyesuaikan posisi dan kecepatan masing-masing berdasarkan informasi yang didapat mengenai posisi tersebut. PSO dikembangkan berdasarkan model berikut :
1. Ketika seekor burung mendekati target atau makanan (atau bisa minimum atau maximum suatu fungsi tujuan) secara cepat mengirim informasi kepada burung-burung yang lain dalam kawanan tertentu.
2. Burung yang lain akan mengikuti arah menuju ke makanan tetapi tidak secara langsung.
3. Ada komponen yang tergantung pada pikiran setiap burung, yaitu memorinya tentang apa yang sudah dilewati pada waktu sebelumnnya.
Pencarian solusi pada algoritma PSO dilakukan oleh suatu populasi yang terdiri dari beberapa partikel. Populasi bergerak secara random dalam batasan nilai terkecil dan terbesar. Partikel menunjukkan posisi yang menjadi solusi dari permasalahan yang diuji. Solusi yang optimal didapatkan oleh partikel yang melintasi ruang pencarian. Ruang pencarian dilakukan untuk menyesuaikan posisi partikel terhadap posisi partikel terbaik (local best) dan melakukan penyesuaian
terhadap posisi partikel terbaik dari seluruh kelompok (global best). Setiap partikel memiliki suatu caranya masing-masing untuk melakukan penyesuaian dari memori posisi partikel terbaik dan juga tahap penyesuaian saat melintas pada ruang pencarian. Setiap iterasi yang berjalan menunjukkan solusi berupa keluaran nilai dari posisi partikel, performa dari setiap partikel diperbaiki dengan memasukkan solusi pada fitness function (Santosa, 2011).
Partikel diasumsikan sebagai sebuah titik pada suatu dimensi ruangan tertentu. Selanjutnya, terdapat dua faktor yang memiliki karakter terhadap status partikel dalam ruang pencarian yaitu faktor posisi patikel dan kecepatan partikel (Kennedy, 1995). Persamaan matematis penggambaran posisi partikel dan kecepaan partikel dalam suatu dimensi ruang tertentu ditulis sebagai berikut:
( ) = ( ), ( ) , … , ( ) (2.1)
( ) = ( ), ( ) , … , ( ) (2.2)
dimana Xmerepresentasikan posisi partikel, merupakan kecepatan partikel,iadalah indeks partikel,tadalah iterasi ke-t,danNadalah ukuran dimensi ruang.
Persamaan matematis untuk menggambarkan mekanisme pembaruan status partikel dituliskan sebagai berikut.
( ) = ( 1) + ( 1) + ( 1) (2.3)
( ) = ( ) + ( 1) (2.4)
dimana
= , , … , merupakan local best dari partikel ke-i. sedangkan
= , , … , merepresentasikan global best dari seluruh kawanan.
Sedangkan dan adalah suatu konstanta yang bernilai positif yang biasanya disebut sebagai learning factor. Kemudian dan adalah suatu bilangan random yang bernilai antara 0 sampai 1 (Santosa, 2011).
Particle Swarm Optimization memiliki pseudocode yang dapat dilihat pada Gambar 2.3:
Initialize number of particles
Initialize each particle position and velocity randomly Initialize c1, c2, r1, r2, k , kmax, and stop condition While (not stop condition)
For(all particle positions) For(all input training patterns)
apply input training pattern feed forward
update fitness value epsum End for
if ( epsum pbest) update pbest value update pbest vector End if
End for
For (all practicle position)
update gbest to the minimum pbest value update gbest to vector
update particle velocity vector vik
update particle position vector xik
End for End wjile
Gambar 2.3Pseudocode Particle Swarm Optimization (Koohi, 2014)
2.4 Ant Lion Optimizer
Ant lion optimizer(ALO) merupakan algoritma optimisasi metaheuristik yang terinspirasi dari alam. Nama mereka berasal dari perilaku berburu yang unik dan mangsa favorit mereka. Undur-undur menggali lubang berbentuk kerucut di pasir dengan bergerak di sepanjang jalan melingkar dan membuang pasir dengan rahangnya yang besar. Setelah menggali perangkap, larva bersembunyi di bawah bagian bawah kerucut (sebagai predator pasif) dan menunggu serangga (semut) terperangkap di dalam. Tepi kerucut cukup miring sehingga serangga mudah jatuh ke dasar perangkap. Begitu undur-undur menyadari bahwa mangsa ada dalam perangkap, ia mencoba menangkapnya. Namun, serangga biasanya tidak segera ditangkap dan berusaha melarikan diri dari jebakan. Dalam hal ini, undur-undur dengan cerdas melempar pasir ke tepi lubang untuk menggeser mangsa ke dasar lubang. Ketika mangsa tertangkap di rahang, ia ditarik ke bawah tanah dan dikonsumsi. Setelah memakan mangsanya, antlion membuang sisa makanan di luar lubang dan mengubah lubang untuk berburu selanjutnya. Inspirasi utama dari
algoritma ALO berasal dari mencari makan. Pada algoritma ant lion optimizerini memodelkan secara matematis perilaku dari mencari makan untuk dijadikan algoritma optimisasi (Mirjalili, 2015).
Untuk memodelkan interaksi antara undur-undur dan semut dalam perangkap, semut diharuskan untuk bergerak di atas ruang pencarian, dan undur-undur diizinkan untuk memburunya dan menjadi bugar menggunakan perangkap. Karena semut bergerak secara stokastik di alam ketika mencari makanan, random walk dipilih untuk memodelkan gerakan semut sebagai berikut:
( ) = [0, (2 ( ) 1), (2 ( ) 1)
, … , (2 ( ) 1)] (2.5)
Dimana cumsummenghitung jumlah kumulatif, nadalah maksimum jumlah iterasi, tmenunjukkan langkah berjalan acak (tiap iterasi), dan r(t)adalah fungsi stokastik yang didefinisikan sebagai berikut:
( ) = 1 > 0.5
0 0.5 (2.6)
Dimana tmenunjukkan langkah berjalan acak (tiap iterasi) danrandadalah angka acak yang dihasilkan dengan distribusi seragam dalam interval [0, 1].
Posisi semut disimpan dan digunakan selama optimasi dalam matriks berikut:
=
, ,
,
, ,
,
, ,
,
(2.7)
Dimana MAnt adalah matriks untuk menyimpan posisi setiap semut, Ai,j menunjukkan nilai variabel ke (dimensi) j pada semut ke-i, nadalah jumlah semut, dan d adalah jumlah variabel. Perlu dicatat bahwa semut mirip dengan partikel di PSO atau individu di GA. Posisi semut merujuk parameter untuk solusi tertentu.
Matriks MAnt telah dipertimbangkan untuk menyimpan posisi semua semut (variabel semua solusi) selama optimisasi. Untuk mengevaluasi setiap semut, fungsi kesesuaian (objektif) digunakan selama optimisasi dan matriks berikut menyimpan nilai kesesuaian semua semut:
=
( , , , , … , , )
, , , , … , , ( , , , , … , , )
(2.8)
Dimana MOA adalah matriks untuk menyelamatkan kebugaran setiap semut, Ai,j menunjukkan nilai ke dimensi j pada semut ke-i, n adalah jumlah semut, dan f adalah fungsi tujuan. Selain semut, diasumsikan undur -undur juga bersembunyi di suatu tempat di ruang pencarian. Untuk menyimpan posisi dan nilai kebugaran mereka, matriks berikut digunakan:
=
, ,
,
, ,
,
, ,
,
(2.9)
Dimana MAntlion adalah matriks untuk menyimpan posisi masing-masing undur- undur, ALi,j menunjukkan nilai dimensi ke-j dari antlion ke-i, n adalah jumlah antisipasi, dan dadalah jumlah jumlah variabel (dimensi).
=
( , , , , … , , )
, , , , … , , ( , , , , … , , )
(2.10)
Dimana MOAL adalah matriks untuk menyimpan kesesuaian setiap antlion, ALi,j
menunjukkan nilai dimensi j dari antlion ke-i, nadalah jumlah antlions, dan fadalah jumlah fungsi objektif.
Semut memperbarui posisi mereka dengan berjalan acak di setiap langkah optimasi. Karena setiap ruang pencarian memiliki batas (rentang variabel), maka persamaan. (2.5) tidak dapat langsung digunakan untuk memperbarui posisi semut.
Untuk menjaga jalan acak di dalam ruang pencarian, mereka dinormalisasi menggunakan persamaan berikut:
=( ) × ( )
( ) + (2.11)
Dimana adalah minimum jalan acak dari variabel ke-i, bi adalah maksimum random walkdalam variabel ke-i, adalah nilai minimum variable ke-i pada iterasi ke-t, dan menunjukkan maksimum variabel ke-i pada iterasi ke-t. Persamaan
(2.7) harus diterapkan dalam setiap iterasi untuk menjamin terjadinya jalan acak di dalam ruang pencarian.
Perjalanan semut secara acak dipengaruhi oleh perangkap-perangkap undur- undur. Dalam rangka untuk asumsi model matematis ini, digunakan persamaan berikut:
= + (2.12)
= + (2.13)
Dimana adalah nilai minimal semua variabel pada iterasi ke-t, menunjukkan vektor termasuk nilai maksimum semua variabel pada iterasi ke-t, adalah nilai minimum semua variabel untuk semut ke-i, adalah nilai maksimum semua variabel untuk semut ke-i, dan menunjukkan posisi j yang dipilih undur- undur ke-j pada iterasi ke-t. Persamaan (2.12) dan (2.13) menunjukkan bahwa semut berjalan secara acak yang didefinisikan oleh vektor c dan d di sekitar antlion yang dipilih
Untuk memodelkan kemampuan berburu undur-undur, digunakan roulette wheels. Semut diasumsikan terjebak hanya dalam satu antlion terpilih. Algoritma ALO diperlukan untuk memanfaatkan operator roulette wheels untuk memilih undur-undur berdasarkan mereka kebugaran selama optimasi. Mekanisme ini memberi peluang tinggi bagi antlions yang lebih bugar untuk menangkap semut.
Dengan mekanisme yang diajukan sejauh ini, undur-undur mampu membangun jebakan yang proporsional dengan kebugarannya dan semut diharuskan ntuk bergerak secara acak. Namun, undur-undur menembakkan pasir ke luar pusat lubang begitu mereka menyadari bahwa seekor semut berada dalam perangkap. Perilaku ini meluncur ke bawah semut yang terperangkap yang berusaha melarikan diri. Persamaan berikut diusulkan dalam hal ini:
= (2.14)
(2.15)
Dimana Iadalah rasio, adalah minimum dari semua variabel pada iterasi ke-t, dan menunjukkan vektor termasuk maksimum dari semua variabel pada iterasi ke-t. Dalam Persamaan (2.14) dan (2.15), I =10 dimana tadalah iterasi saat ini, T adalah jumlah iterasi maksimum, dan w adalah konstanta yang ditentukan berdasarkan iterasi saat ini (w = 2 ketika t> 0.1T, w = 3 saat t> 0.5T, w = 4 saat t>
0.75T, w = 5 saat t> 0.9T, dan w = 6 saat t> 0.95T). Pada dasarnya, konstanta w dapat menyesuaikan tingkat akurasi eksploitasi. Persamaan ini mengecilkan ruang posisi memperbarui semut dan meniru proses geser semut di dalam lubang. Ini menjamin eksploitasi ruang pencarian.
Tahap terakhir berburu adalah ketika seekor semut mencapai dasar lubang dan ditangkap di rahang antlion. Setelah tahap ini, antlion menarik semut ke dalam pasir dan memakan tubuhnya. Untuk meniru proses ini, diasumsikan bahwa mangsa tangkapan terjadi ketika semut menjadi lebih bugar (masuk ke dalam pasir) daripada antlion yang sesuai. Undur-undur kemudian diminta untuk memperbarui posisinya ke posisi terbaru dari semut yang diburu untuk meningkatkan kesempatan menangkap mangsa baru. Persamaan berikut diusulkan dalam hal ini:
= ( ) > ( ) (2.16)
Dimana tmenunjukkan iterasi saat ini, menunjukkan posisi antlion ke-j yang dipilih pada iterasi ke-t, dan menunjukkan posisi semut ke-i pada iterasi ke-t.
Elitisme adalah karakteristik penting dari algoritma evolusioner yang memungkinkan mereka mempertahankan solusi terbaik yang diperoleh pada setiap tahap proses optimasi. Dalam penelitian ini undur-undur terbaik yang diperoleh sejauh ini dalam setiap iterasi disimpan dan dianggap sebagai elit. Karena elit adalah undur-undur yang paling kuat, ia harus dapat mempengaruhi pergerakan semua semut selama iterasi. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa setiap semut berjalan secara acak di sekitar undur-undur yang dipilih oleh roulette wheels dan elit secara bersamaan sebagai berikut:
= +
2 (2.17)
Dimana adalah jalan acak di sekitar undur-undur yang dipilih oleh roulette wheelspada iterasi ke-t, adalah jalan acak di sekitar elit pada iterasi ke-t, dan
menunjukkan posisi semut ke-i pada iterasi ke-t.
Dengan operator yang diusulkan dalam subbagian sebelumnya, algoritma optimasi ALO sekarang dapat didefinisikan. Algoritma ALO didefinisikan sebagai fungsi tiga tupel yang mendekati optimum globaluntuk masalah optimasi sebagai berikut:
( , , ) (2.18)
Dimana A adalah fungsi yang menghasilkan solusi awal acak, B memanipulasi populasi awal yang disediakan oleh fungsi A, dan C mengembalikan nilai true ketika kriteria akhir terpenuhi. Fungsi A, B, dan C didefinisikan sebagai berikut:
{ , , , }
{ , } { , }
{ , } { , }
(2.19)
Dimana MAnt adalah matriks dari posisi semut, MAntlion termasuk posisi antlions, MOA berisi kesesuaian semut, dan MOAL memiliki kesesuaian antlions. Adapun pseudocodealgoritma ALO didefinisikan sebagai berikut:
Initialize the first population of ants and antlions randomly Calculate the fitness of ants and antlions
Find the best andtlions and assumse it as the elite (determined optimum) whilethe end criterion is not satisfied
forevery ant
Select and antlion using Roulette Wheel
Update c and d using euation Eqs. (2.14) and (2.15)
Create a random walk and normalize it using Eqs. (2.5) and (2.11) Update the positions of ant using (2.17)
end for
Calculate the fitness of all ants
Replace an antlion with its corresponding ant it if becomes fitter (x) Update elite if an antlion vecomes fitter than the elite
End wjile Returnelite
Gambar 2.4Pseudocode Ant Lion Optimizer(Mirjalili, 2015)
2.5 Grasshopper Optimization Algorithm
Grasshopper Optimization Algorithm (GOA) merupakan algoritma optimisasi metaheuristik yang terinspirasi dari alam. Belalang dianggap hama karena kerusakan pada produksi tanaman dan pertanian. Meskipun belalang biasanya terlihat secara individual di alam, mereka bergabung dalam salah satu kawanan terbesar dari semua makhluk. Jumlah kelompok ini mungkin berskala berkelanjutan dan merupakan mimpi buruk bagi petani. Aspek unik dari gerombolan belalang adalah bahwa perilaku gerombolan ditemukan di nimfa dan dewasa. Jutaan belalang melompat dan bergerak seperti silinder yang berputar. Di jalur mereka, mereka memakan hampir semua tanaman. Setelah perilaku ini, ketika mereka menjadi dewasa, mereka membentuk segerombolan di udara.
Beginilah cara belalang bermigrasi dalam jarak yang jauh. Persamaan matematis yang digunakan untuk mensimulasikan perilaku berkerumun belalang disajikan sebagai berikut:
= + + (2.20)
Dimana Xi mendefinisikan posisi ke-i belalang, Si adalah interaksi sosial, Gi adalah gaya gravitasi pada iterasi Belalang, Ai menunjukkan gerakan angin.
Perhatikan bahwa untuk memberikan perilaku acak persamaan dapat ditulis sebagai Xi = r1Si +r2Gi+r3Ai di mana r1 ,r2, dan r3adalah angka acak dalam [0,1] .
= ( ) (2.21)
Dimana dij adalah jarak antara ke-i dan belalang ke-j, dapat dihitung sebagai
= , s adalah fungsi untuk menentukan kekuatan pasukan sosial, seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.22), dan = adalah vektor satuan dari belalang ke-i menuju belalang ke-j. Fungsi s, yang mendefinisikan kekuatan sosial, disajikan sebagai berikut:
( ) = (2.22)
Dimana fmenunjukkan intensitas tarik-menarik dan ladalah skala panjang yang menarik. Fungsi s diilustrasikan untuk menunjukkan bagaimana itu berdampak pada interaksi sosial (daya tarik dan tolakan) belalang.
Mengubah parameter ldan fdalam persamaan (2.22) menghasilkan perilaku sosial yang berbeda dalam belalang buatan. Untuk melihat efek dari kedua parameter ini, fungsi sdibuat ulang dengan variasi ldan fsecara independen. Parameter l dan fdidefinisikan mengubah zona kenyamanan, tarik wilayah, dan daerah tolakan secara signifikan. Oleh karena itu, fungsi ini tidak dapat menerapkan kekuatan yang kuat antara belalang dengan jarak yang besar di antara mereka. Untuk mengatasi masalah ini, dipetakan jarak belalang dalam interval [1,4]. Komponen G pada persamaan (2.20) dihitung sebagai berikut:
= (2.23)
Dimanagadalah konstanta gravitasi dan egmenunjukkan vektor persatuan terhadap pusat bumi.
Komponen A pada persamaan (2.20) dihitung sebagai berikut:
= (2.24)
di mana u adalah arus konstan dan adalah vektor kesatuan dalam arah angin.
Belalang nimfa tidak memiliki sayap, sehingga gerakan mereka sangat berkorelasi dengan arah angin.
Mengganti S,G, dan Adalam Persamaan (2.20), persamaan ini dapat diperluas sebagai berikut:
= + (2.25)
Dimana ( ) = dan Nadalah jumlah belalang.
Karena belalang nimfa mendarat di tanah, posisi mereka tidak boleh di bawah ambang batas. Namun, tidak tidak menggunakan persamaan ini dalam simulasi segerombolan dan optimasi algoritma karena mencegah algoritma dari mengeksplorasi dan mengeksploitasi ruang pencarian di sekitar solusi. Bahkan,
segerombolan. Dalam percobaan dilakukan pengujian 20 belalang buatan yang bergerak lebih dari 10 unit waktu. Setelah 10 unit waktu, semua belalang mencapai zona nyaman dan tidak bergerak lagi.
Namun, persamaan ini tidak dapat digunakan secara langsung untuk menyelesaikan masalah optimisasi, terutama karena belalang dengan cepat mencapai zona nyaman dan kerumunan tidak menyatu ke titik yang ditentukan.
Sebuah versi dimodifikasi dari persamaan ini diajukan sebagai berikut untuk memecahkan masalah optimasi:
= 2 + (2.26)
Dimana mana ubd adalah batas atas di dimensi ke-D, lbd adalah batas bawah di dimensi D ( ) = , adalah nilai dimensi ke-Ddalam target (solusi terbaik yang ditemukan sejauh ini), dan c adalah koefisien penurunan untuk mengecilkan zona kenyamanan, zona tolakan, dan zona tarik.
Perhatikan bahwa S hampir mirip dengan Skomponen dalam Persamaan (2.20).
Namun, tidak menganggap gravitasi (tidak ada G) komponen dan menganggap bahwa arah angin selalu menuju target ( ).
Persamaan matematis yang diusulkan dapat mengeksplorasi dan mengeksploitasi ruang pencarian. Namun, harus ada mekanisme untuk meminta agen pencarian untuk menyesuaikan tingkat eksplorasi hingga eksploitasi. Di alam, belalang pertama kali bergerak dan mencari makanan secara lokal karena pada larva mereka tidak memiliki sayap. Mereka kemudian bergerak pencarian secara lokal untuk menemukan perkiraan yang akurat dari global optimum. Untuk menyeimbangkan eksplorasi dan eksploitasi, parameter c diperlukan untuk dikurangi sebanding dengan jumlah iterasi. Mekanisme ini menggalakkan eksploitasi sebagai pengulangan hitungan lipatan. Koefisien c mengurangi zona kenyamanan sebanding dengan jumlah iterasi dan dihitung sebagai berikut:
= (2.27)
di mana cmax adalah nilai maksimum, cmin adalah nilai minimum, l menunjukkan iterasi saat ini, dan l adalah jumlah maksimum iterasi. Dalam pengujian digunakan 1 dan 0,00001 untuk cmax dan cminmasing-masing. Adapun pseudocodealgoritma Grasshopper Optimization Algorithm difefinisikan sebagai berikut:
Initialize the swarm Xi(i = 1, 2, … , n)
Initialize cmax, cmin, and maximum number iterations Calculate the fitness of each search agent
T = the best search agent
While (l < Max number of iterations) Update c using Eq (2.27)
foreach search agent
Normalize the distances betweem grasshoppers in [1,4]
Update the position of the current search agent by the equation (2.26) Bring the current search agent back if it goes outside the boundaries end for
Update T if there is a better solution l = l + 1
end wjile ReturnT
Gambar 2.5Pseudocode Grasshopper Optimization Algorithm(Mirjalili, 2017)
2.6 Bat Algorithm
Bat Algorithm (BA) merupakan algoritma optimisasi metaheuristik yang dikembangkan oleh Xin She Yang pada tahun 2010. Hal ini terinspirasi berdasarkan perilaku ekolokasi kelelawar. Kemampuan gema dari microbats sangat menarik karena kelelawar ini dapat menemukan mangsanya dan membedakan berbagai jenis serangga bahkan dalam kegelapan total. Kebanyakan microbatsadalah insektivora.
Microbatsmenggunakan jenis sonar, yang disebut, echolocation, untuk mendeteksi mangsa, menghindari rintangan, dan menemukan celah-celah bertengger mereka dalam gelap. Kelelawar ini memancarkan pulsa suara yang sangat keras dan mendengarkan gema yang memantul kembali dari objek sekitarnya. Denyut nadi mereka bervariasi dalam sifat dan dapat dikorelasikan dengan strategi perburuan mereka, tergantung pada spesiesnya. Kebanyakan kelelawar menggunakan sinyal
Bandwidthsinyal mereka bervariasi tergantung pada spesies, dan sering meningkat dengan menggunakan lebih banyak harmonik.
Meskipun setiap pulsa hanya berlangsung beberapa per seribu detik (sekitar 8 hingga 10 ms), namun, ia memiliki frekuensi konstan yang biasanya di wilayah 25 kHz hingga 150 kHz. Rentang frekuensi tipikal untuk sebagian besar spesies kelelawar berada di wilayah antara 25 kHz dan 100 kHz, meskipun beberapa spesies dapat memancarkan frekuensi yang lebih tinggi hingga 150 kHz. Setiap ledakan ultrasonik biasanya berlangsung 5 hingga 20 ms, dan microbats memancarkan sekitar 10 hingga 20 suara seperti itu meledak setiap detik. Saat berburu mangsa, laju emisi pulsa dapat dipercepat hingga sekitar 200 pulsa per detik ketika mereka terbang di dekat mangsanya.singkat seperti itu Suara menyiratkan kemampuan luar biasa dari kekuatan pemrosesan sinyal kelelawar. Bahkan, penelitian menunjukkan
Karena kecepatan suara di udara biasanya v = 340 m / s, panjang gelombang suara ultrasonik meledak dengan frekuensi konstan f diberikan oleh:
= (2.28)
yang berada dalam kisaran 2mm hingga 14mm untuk tipikal rentang frekuensi dari 25kHz hingga 150 kHz. Panjang gelombang seperti itu berada dalam urutan yang sama dengan ukuran mangsanya.
Dalam simulasi, digunakan kelelawar virtual secara alami. Dimana harus mendefinisikan aturan bagaimana mereka posisi xidan kecepatan vi dalam ruang pencarian d-dimensi diperbarui. Solusi baru xti dan kecepatan vti pada waktu t langkah diberikan oleh:
= + ( ) (2.29)
= + ( ) (2.30)
= + (2.31)
Dimana [0, 1] adalah vektor acak yang diambil dari distribusi yang seragam. Di sini x adalah lokasi (solusi) global terbaik saat ini yang terletak setelah membandingkan semua solusi di antara semua kelelawar. Karena produk i fiadalah kenaikan kecepatan, dapat digunakan salah satu dari fi(atau i) untuk menyesuaikan
perubahan kecepatan sambil memperbaiki faktor lain i (atau fi), tergantung pada jenis masalah yang diinginkan. Dalam implementasi, digunakan fmin= 0 danfmax= 100, tergantung ukuran domain dari masalah yang diminati. Awalnya, setiap kelelawar secara acak diberi frekuensi yang diambil secara seragam dari [fmin, fmax].
Untuk bagian pencarian lokal, setelah solusi dipilih di antara solusi terbaik saat ini, solusi baru untuk setiap kelelawar dihasilkan secara lokal menggunakan berjalan acak:
= + (2.32)
Dimana At= <Ati> adalah kenyaringan
rata-rata dari semua kelelawar pada langkah waktu ini.
Pembaruan kecepatan dan posisi kelelawar memiliki beberapa kesamaan dengan prosedur dalam optimisasi standar, karena pada dasarnya mengendalikan kerumunan partikel kecepatan dan jangkauan pergerakan partikel yang berkerumun. Untuk tingkat tertentu, Bat Algorithm dapat dianggap sebagai kombinasi seimbang dari optimasi kerumunan partikel standar dan pencarian lokal intensif yang dikendalikan oleh kenyaringan.
Selain itu, kenyaringan Aidan laju emisi pulsa harus diperbarui sesuai dengan lanjutkan iterasi. Karena kenyaringan biasanya berkurang begitu kelelawar menemukan mangsanya, sementara laju emisi pulsa meningkat, kenyaringan dapat dipilih sebagai nilai kenyamanan apa pun. Sebagai contoh, dapat menggunakan A0 = 100 dan Amin= 1. Untuk kesederhanaan, dapat menggunakan A0 = 1 dan Amin = 0, dengan asumsi Amin = 0 berarti bahwa kelelawar baru saja menemukan mangsa dan untuk sementara waktu berhenti mengeluarkan suara. Dan persamaan menjadi:
= , = [1 exp( )], (2.33)
Dimana dan adalah konstanta. Untuk setiap 0 < < 1 dan > 0, maka didapatkan
0, , (2.34)
Dalam kasus kesederhanaan, dapat menggunakan = . Pilihan parameter memerlukan beberapa percobaan. Awalnya, setiap kelelawar harus memiliki nilai
pengacakan. Misalnya, kenyaringan awal A0i biasanya dapat [1, 2], sedangkan tingkat emisi awal r0i bisa sekitar nol, atau nilai r0i [0, 1] jika menggunakan persamaan (2.31). Tingkat kenyaringan dan emisi mereka akan diperbarui hanya jika solusi baru ditingkatkan, yang berarti bahwa kelelawar ini bergerak menuju solusi optimal. Adapun pseudocodealgoritma Bat Algorithm difefinisikan sebagai berikut:
Objective function f(x), x = (x1,… , xd)T
Initialize the bat population xi(i = 1, 2, … , n) and vi
Define pulse frequency fiat xi
Initialize pulse rates riand the loudness Ai
While (l < Max number of iterations)
Generate new solutions by adjusting frequency,
And updating velocities and locations/solutions [Eq. (2.29) to (2.31)]
if(rand > ri)
Select a solution among the best solutions
Generate a local solution around the selected best solution end if
Generate a new solution by flying randomly if (rand < Ai& f(xi) < f(x*))
Accept the new solutions Increase riand reduce Ai
end if
Rank the beats and find the current best x*
end wjile
Postprocess result and visualization
Gambar 2.6Pseudocode Bat Algorithm (Yang, 2010)
2.7 Metode Numerik Newton Raphson
Metode Newton Raphsonmerupakan metode penentuan akar-akar persamaan yang paling banyak digunakan dalam ilmu terapan dan rekayasa. Metode Newton Raphson paling banyak digunakan dan diminati karena metode ini memiliki konvergensi yang paling cepat dibandingkan metode lainnya. Dalam melakukan penurunan persamaan, metode Newton Raphson memiliki dua pendekatan yaitu penurunan metode Newton Raphson secara geometri dan penurunan metode Newton Raphson menggunakan deret Taylor. Langkah-langkah dalam melakukan penentuan akar dari persamaan metode Newton Raphsonsebagai berikut (Afrianita, 2015).
1. Menentukan perkiraan awal akar untuk fungsi f(x). Perkiraan awal dari akar fungsi f(x) dinyatakan dalam bentuk xa.
2. Menentukan turunan pertama dari fungsi f(x). Turunan pertama dari fungsi f(x) dinyatakan dalam bentukf’(x).
3. Melakukan evaluasi fungsi f(x) dan f’(x) dengan nilai x=xa.
4. Menghitung pendekatan akar yang baru dari fungsi f(x) menggunakan persamaan (2.35)
= (( ))dimana f(xr (2.35)
5. Periksa kesalahan relatif (Er) hasil perhitungan dimana:
a. Jika kesalahan relatif (Er) lebih besar dari tingkat ketelitian yang diizinkan maka perhitungan diulang lagi dari Langkah ke 2 sampai langkah ke 4.
b. Jika kesalahan relatif (Er) lebih kecil dari tingkat ketelitian yang diizinkan maka perhitungan selesai. Perhitungan kesalahan relatif digunakan persamaan (2.36)
= ( ) ( )
( ) . 100% (2.36)
2.8 Fungsi Objektif
Fungsi Objektif adalah fungsi yang memilki nilai paling baik dari segi nilai terkecil hingga terbesar (Kristanto, 2015). Tes fungsi uji objektif unimodal dan multimodal dilakukan sebagai studi dalam mendapatkan optimisasi baru. Fungsi uji merupakan masalah buatan yang dapat dijadikan sebagai evaluasi dari perilaku siatu algoritma yang beragam dan memiliki situasi yang sulit. Fungsi uji dapat mencakup nilai minimum global tunggal, tunggal atau ganda global minimum tanpa masalah walaupun terdapat banyak minimum lokal, lembah yang sempit dan panjang, ruang kosong dan permukaan yang rata. Masalah buatan dimodifikasi dan dimanipulasi untuk dilakukan pengajuan algoritma dengan berbagai kondisi.
Sedangkan masalah dunia nyata berasal dari berbagai macam bidang seperti bidang fisika, kimia, teknik, matematika dan lain-lain. Masalah ini sulit dimanipulasi dan terdapat aljabar atau turunan yang rumit dan memiliki banyak data yang
2.8.1 Fungsi Uji Unimodal
Fungsi uji yang memiliki satu titik nilai optimum dari segi minimum atau maksimum disebut sebagai fungsi unimodal. Berikut contoh fungsi uji unimodal (Jamil, 2013).
a. Fungsi Uji Booth
Fungsi uji Booth merupakan fungsi uji unimodal hanya didefinisikan pada bidang 2 dimensi, Dimana fungsi memiliki persamaan sebagai berikut:
( , ) = ( + 2 7) + (2 + 5) (2.37)
Batas atas dan bawah yang digunakan pada fungsi uji Booth yaitu -10 x 10, dengan nilai Global minimum terdapat pada nilai x,y = (1,3) dan nilai fungsi f(x) = 0. Berdasarkan persamaan fungsi, fungsi uji Booth memiliki bentuk yang dapat dilihat pada Gambar 2.7:
Gambar 2.7Fungsi Uji Booth b. Fungsi Uji Matyas
Fungsi uji Matyas merupakan fungsi uji unimodal yang hanya didefinisikan pada bidang 2 dimensi. Dimana Fungsi memiliki persamaan sebagai berikut:
( , ) = 0.26( + ) 0.48 (2.38)
Batas atas dan bawah yang digunakan pada fungsi uji Matyas yaitu -10 x 10, dengan nilai Global minimum terdapat pada nilai x,y = (0,0) dan nilai fungsi f(x) = 0. Berdasarkan persamaan fungsi, fungsi uji Matyasmemiliki bentuk yang dapat dilihat pada Gambar 2.8.
Gambar 2.8 Fungsi Uji Matyas c. Fungsi Uji Three Hump Camel
Fungsi uji Three Hump Camel merupakan fungsi uji unimodal yang hanya di definisikan pada bidang 2 dimensi. Dimana fungsi memiliki persamaan sebagai berikut:
( , ) = 2 1.05 +
6 + + (2.39)
Batas atas dan bawah yang digunakan pada fungsi uji Three Hump Camel yaitu - x Globalminimum terdapat pada nilai x,y= (0,0) dan nilai fungsi f(x) = 0. Berdasarkan persamaan fungsi, fungsi uji Three Hump Camelmemiliki bentuk yang terdapat pada Gambar 2.9.
2.8.2 Fungsi Uji Multimodal
Fungsi uji yang memiliki lebih dari satu titik nilai optimum dari segi minimum atau maksimum adalah fungsi uji multimodal. Berikut contoh fungsi uji multimodal (Jamil, 2013).
a. Fungsi Uji Alpine N.1
Fungsi uji Alpine N.1 merupakan fungsi uji multimodalyang memiliki n dimensi. Dimana fungsi memiliki persamaan sebagai berikut:
( ) = ( , … , ) = | ( ) + 0.1 | (2.40)
Batas atas dan bawah yang digunakan pada fungsi uji Alpine N.1 x Globalminimum terdapat pada nilai x= (0,…,0) dan nilai fungsi f(x) = 0. Berdasarkan persamaan fungsi, fungsi uji Alpine N.1 memiliki bentuk yang terdapat pada Gambar 2.10.
Gambar 2.10Fungsi Uji Alpine N.1 b. Fungsi Uji Bartels Conn
Fungsi uji Bartels Conn merupakan fungsi uji multimodal yang memiliki n-dimensi. Dimana fungsi memiliki persamaan sebagai berikut:
( , ) = | + + | + | ( )| + | ( )| (2.41) Batas atas dan bawah yang digunakan pada fungsi uji Bartels Conn yaitu - x Globalminimum terdapat pada nilai x,y= (0,0) dan nilai fungsi f(x) = 1. Berdasarkan persamaan fungsi, fungsi uji Bartels Connmemiliki bentuk yang terdapat pada Gambar 2.11.
Gambar 2.11Fungsi Uji Bartels Conn c. Fungsi Uji Bohachevsky N.2
Fungsi uji Bohachevsky N.2 merupakan fungsi uji multimodal yang memiliki n-dimensi. Dimana fungsi memiliki persamaan sebagai berikut:
( , ) = + 2 0.3 (3 ) (4 ) + 0.3 (2.42)
Batas atas dan bawah yang digunakan pada fungsi uji Bohachevsky N.2 yaitu - x Globalminimum terdapat pada nilai x,y= (0,0) dan nilai fungsi f(x) = 0. Berdasarkan persamaan fungsi, fungsi uji Bohachevsky N.2 memiliki bentuk yang terdapat pada Gambar 2.12.
Gambar 2.12Fungsi Uji Bohachevsky N.2
Halaman ini sengaja dikosongkan
