BELAJAR TENTANG KALKULUS I

LOGO

KALKULUS I

Pendahuluan

1

Sistem Bilangan dan Ketidaksamaan

2

Fungsi dan Grafik

3

Limit

4

Pendahuluan

KALKULUS I Mempelajari tentang :

Turunan dan aplikasi

5

Sistem Penilaian

 UJIAN:

UTS : 30 %

UAS : 40 %

 TUGAS : 20 %

 KEHADIRAN : 10 %

 TOTAL : 100 %

Purcel E, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid I, Erlangga,

1

1995

George B. Thomas, Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Pub. Comp., 1975

2

Leithold, The Calculus and Analytic Geometry, Harperand Row,

3

1976

Daftar Pustaka

Hille Salas, Calculus of One and Several Variable, John Willey and Sons Inc., 1985

4

1

Pertidaksamaan 2

Pembahasan

Bilangan Riil

SISTEM BILANGAN

Garis Bilangan

SELANG

SIFAT BILANGAN REAL

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN

CONTOH:

CONTOH

CONTOH

CONTOH

CONTOH

CONTOH

1

Pembahasan

Nilai Mutlak

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1

Pembahasan

Koordinat Kartesius

Persamaan Garis Lurus 2

3 Persamaan Lingkaran

Koordinat Kartesius / Persegi Panjang

Dikenalkan : Pierre de Fermat (1629) & Rene Descartes (1637).

Sumbu Koordinat:

Sumbu horizontal sumbu-x (absis) dan sumbu vertikal sumbu-y (ordinat)

Koordinat:

Setiap titik P sembarang memiliki pasangan sb-x dan sb-y yang disebut koordinat (x,y). Contoh: A (2,3) dan B(4,5).

Kuadran:

Keseluruhan daerah koordinat kartesius dapat dibagi menjadi 4 kuadran

Rumus Jarak:

Misalkan P(x₁,y₁) dan Q(x₂,y₂) adalah dua titik pada koordinat kartesius, maka jarak antara P dan Q adalah

Rumus Titik Tengah:

Jika M(x,y) adalah titik tengah yang menghubungkan titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2)

Contoh:

1. Hitunglah jarak dan titik tengahnya:

a. (2,5) dan (7,17).

b. (1,4) dan (5,2).

Persamaan Garis Lurus

Bentuk Umum: y = mx + c

dengan m = gradien atau kemiringan c = konstanta

contoh : y = 5x + 2 y = 3x – 4 y = -5x + 3

Kemiringan Garis

Misalkan (x1,y1) dan (x2,y2) adalah dua titik pada garis tersebut. Maka kemiringan garis (m)

Persamaan Garis

Misalkan (x1,y1) dan (x2,y2), persamaan garis yang melalui dua titik tersebut adalah:

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1,y1):

y – y1 = m(x – x1)

Misalkan garis L1 dan L2 adalah dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2.

m1 = m2  Garis sejajar

m1 . m2 = -1  Garis tegak lurus

Persamaan Lingkaran

Lingkaran: himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran)

Persamaan Lingkaran:

a. Pusat (0,0) dan jari-jari r

persamaan lingkaran : x² + y² = r²

b. Pusat (p,q) dan jari-jari r

persamaan lingkaran : (x-p)² + (y-q)² = r²

Pembahasan

Fungsi dan Grafik

Persamaan Kuadrat

Fungsi dan Grafik

Latihan:

1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari:

GRAFIK FUNGSI

b. Fungsi Kuadrat

1. Sifat-sifat fungsi kuadrat:

a>0  parabola membuka ke atas a<0  parabola membuka ke bawah

c>0  parabola memotong sumbu y positif c<0  parabola memotong sumbu y negatif

D>0  parabola memotong sumbu x di dua titik D=0  parabola menyinggung sumbu x

D<0  parabola tidak memotong sumbu x

Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, tentukan:

1. Titik potong dengan sumbu x  y=0 2. Titik maksimum atau minimum

Bila Diskriminan: D = b

²

– 4ac , maka:

Nilai maksimum atau minimumnya adalah : y = -D/(4a) atau y = (b

²

-4ac)/(4a)

Sehingga titik maksimum atau minimum : (-b/(2a), -D/(4a))

3. Tentukan titik potong dengan sumbu y  x = 0

III. Operasi Fungsi

Pembahasan

 Limit Fungsi

Limit Fungsi

Pengertian Limit

Limit berarti mendekati

Pembahasan

 Turunan/differensial

Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Contoh :

Pembahasan

Aplikasi Diferensial

Aplikasi Diferensial

1. Nilai Stasioner Fungsi 2. Maksimum dan minimum 3. Kecepatan dan percepatan

1. Nilai Stasioner Fungsi

Pada titik A, B dan C diperoleh: f’(a) = f’(b) = f’(c) = 0

Jika f’(c) = 0, maka f(c) disebut nilai stasioner (kritis) dari f pada x=c.

Ada tiga kemungkinan: Nilai belok, nilai maksimum atau nilai minimum

Jika f(a) adalah nilai stasioner maka :

(1) f(a) adalah nilai balik maksimum bila f’(a) =0 dan f”(a)<0 (2) f(a) adalah nilai balik minimum bila f’(a) =0 dan f”(a)>0 (3) f(a) adalah nilai belok bila f’(a) =0 dan f”(0) =0

Latihan:

Tentukan nilai stasioner dan tentukan pula macamnya dari : 1. f(x) = 3x⁵ – 5x³

2. f(x) = x(12-2x)² 3. f(x) = x² – 4x + 6

2. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dapat diperoleh dengan mencari f’(x) = 0

Untuk kasus terapan, untuk memperoleh nilai maksimum atau minimum harus diketahui bentuk fungsinya.

Latihan:

1. Jumlah dua buah bilangan adalah 30. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum.

2. Suatu persegi panjang mempunyai luas 900 cm². Tentukan ukuran persegi panjang agar kelilingnya minimum.

3. Suatu proyek direncanakan selesai dalam x hari yang akan menelan biaya (3x + 1200/x – 60) ribu rupiah. Berapa harikah proyek tersebut harus selesai, agar biaya minimum?

4. Bagilah bilangan 120 menjadi dua bagian sedemikian sehingga perkalian satu bagian dengan kuadrat dari bagian lainnya adalah maksimum?.

Latihan:

5. Jam 9 pagi, kapal laut B terletak 65 km di sebelah timur kapal laut A. Kapal B kemudian berlayar ke barat dengan kecepatan 10 km/jam dan A berlayar ke selatan dengan kecepatan 15 km/jam.

Jika keduanya tetap menjaga arah masing-masing, kapankah kapal-kapal tersebut berjarak paling dekat satu sama lain dan seberapa dekat?

6. Kontainer silinder dengan dasar berbentuk lingkaran mempunyai volume 64 m³. Tentukan dimensinya sedemikian rupa sehingga banyaknya pelat logam yang dibutuhkan untuk membuat kontainer tersebut adalah minimum, bila kontainer tersebut tanpa tutup?

3. Kecepatan dan Percepatan

Bila fungsi suatu jarak diketahui, maka kecepatan dan percepatan merupakan turuna pertama dan turunan kedua dari fungsi jarak.

S = f (t)

V = dS/dt = f’(t) a = dV/dt = f” (t)

Latihan:

1. Misalkan posisi suatu mobil di jalan raya ditentukan oleh persamaan: s = f(t) = t² – 5t, dimana s = m dan t = detik

Tentukan

a. kecepatan pada saat t = 5 detik.

b. Percepatannya pada saat itu

2. Gerak dari sebuah partikel sepanjang garis lurus diberikan oleh persamaan s = t³ – 6t² + 9t + 4

a.Tentukan s dan a pada v = 0 b.Tentukan s dan v pada a = 0

3. Sebuah batu ditembakkan ke atas dengan kecepatan awal 112 m/detik, bergerak menurut s = 112t – 16t2 , dimana s adalah jarak dari titik awal. Hitunglah

a. kecepatan dan percepatan ketika t = 3 b. Ketinggian maksimum yang tercapai?