Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Diketahui garis g:y=mx+n , dan lingkaran
L:x2+y2+Ax+By+C=0 . Perpotongan garis g dengan lingkaran L adalah
x2+(mx+n)2+Ax+B(mx+n)+C=0
⟺x2+m2x2+2mnx+n2+Ax+Bmx+Bn+C=0
⟺
(
1+m2)
x2+(2mn+A+Bm)x+(
n2+Bn+C)
=0Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah D=b2−4ac
¿(2mn+A+Bm)2−4
(
1+m2) (
n2+Bn+C)
Ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:
1) Jika D<0 , maka persamaan garis y=mx+n terletak di luar lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 , dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k>r) .
2) Jika D=0 , maka persamaan garis y=mx+n terletak pada lingkaran (menyinggung) x2+y2+Ax+By+C=0 , dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k=r) . 3) Jika D>0 , maka persamaan garis y=mx+n terletak di
dalam lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 , dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k<r) .
Gambar 14 Gambar 13
Gambar 15
Jarak pusat lingkaran P(x1, y1) ke garis ax+by+c=0 adalah k=
|
a x√
1+b ya2+b12+c|
Tentukan kedudukan garis terhadap lingkaran Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.
Tentukan agar garis menyinggung lingkaran Penyelesaian:
Dari persamaan disubstitusikan ke persamaan :
Ternyata sehingga garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda. Titik-titik potongnya adalah:
Contoh 6
⟺x+4=0atau x−3=0
⟺x=−4atau x=3
Untuk x=−4 maka:
y=x+1=−4+1=−3⟹(−4,−3)
Untuk x=3 maka:
y=x+1=3+1=4⟹(3,4)
Jadi, titik potongnya adalah (−4,−3) dan (3,4) .
2. Subtitusi persamaan y=x+a ke persamaan lingkaran x2+y2−6x−2y+2=0 :
x2+y2−6x−2y+2=0
⟺x2+(x+a)2−6x−2(x+a)+2=0
⟺x2+x2+2ax+a2−6x−2x−2a+2=0
⟺2x2+(2a−8)x+a2−2a+2=0 Diskriminan: D=b2−4ac
¿(2a−8)2−4.2.
(
a2−2a+2)
¿4a2−32a+64−8a2+16a−16
¿−4a2−16a+48.
Agar garis g menyinggung lingkaran maka haruslah D=0 . Dengan demikian:
−4a2−16a+48=0
⟺−a2−4a+12=0
⟺a2+4a−12=0
⟺(a+6)(a−2)=0
⟺a+6=0atau a−2=0
⟺a=−6atau a=2
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah −6 atau 2 .
