BELAJAR TENTANG KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

Terdapat 4 kemungkinan kedudukan dua lingkaran,

 Kedua lingkaran tidak berpotongan

 Kedua lingkaran bersinggungan dalam

 Kedua lingkaran bersinggungan luar

 Kedua lingkaran berpotongan

KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

3.4

KATA KUNCI

LINGKARAN

TITIK PUSAT

DI LUAR LINGKARAN MENYINGGUNG

BERPOTONGAN

PERSAMAAN LINGKARAN

DI DALAM LINGKARAN TIDAK BERPOTONGAN

3.4.1

KEDUDUKAN DUA LINGKARAN

Kedudukan dua lingkaran 𝑳_𝟏 yang berpusat di 𝑪_𝟏 dan berjari-jari 𝒓_𝟏 dan lingkaran 𝑳_𝟐 yang berpusat di 𝑪_𝟐 dan berjari-jari 𝒓_𝟐 dengan |𝑪_𝟏𝑪_𝟐| berarti jarak antara pusat lingkaran 𝑳_𝟏 dan lingkaran 𝑳_𝟐, diperoleh

Kedua Lingkaran Tidak Berpotongan

𝐿₁dan 𝐿₂ saling lepas (𝐿₁dan 𝐿₂ tidak bersinggungan maupun berpotongan), berarti:: Jarak antara kedua pusat = |𝑪_𝟏𝑪_𝟐| > (𝒓_𝟏+ 𝒓_𝟐).

Kedua Lingkaran Bersinggungan Dalam

𝐿₁ di dalam 𝐿₂, berarti: Jarak antara kedua pusat = |𝑪_𝟏𝑪_𝟐| ≤ |𝒓_𝟏− 𝒓_𝟐|.

Kedua Lingkaran Bersinggungan Luar

𝐿₁ di dalam 𝐿₂, berarti: Jarak antara kedua pusat = |𝑪_𝟏𝑪_𝟐| = (𝒓_𝟏+ 𝒓_𝟐).

Kedua Lingkaran Berpotongan

𝐿₁ di dalam 𝐿₂, berarti: Jarak antara kedua pusat = |𝒓_𝟏− 𝒓_𝟐| < |𝑪_𝟏𝑪_𝟐| < (𝒓_𝟏+ 𝒓_𝟐).

Contoh 1::

Selidikilah hubungan lingkaran-lingkaran 𝐿₁ dan 𝐿₂, serta 𝐿₁ dan 𝐿₃ berikut : 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 − 3 = 0

𝐿₂ ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 0 𝐿₃ ≡ (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 4)² = 9 Pembahasan,

𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 − 3 = 0 Pusat 𝐶₁(−²

2, −⁰

2) = (−1,0)

Jari-jari 𝑟₁ = √(−1)²+ 0²+ 3 = √4 = 2 𝐿₂ ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 0

Pusat 𝐶₂(−⁻⁴

2 , −⁻⁸

2) = (2,4)

Jari-jari 𝑟₂ = √2²+ 4²− 11 = √9 = 3 Penentuan jarak antar pusat lingkaran 𝐿₁𝐿₂ ⟹ |𝐶₁𝐶₂| = √(2 + 1)²+ (4 − 0)² = 5 𝐿₁𝐿₃ ⟹ |𝐶₁𝐶₃| = √(1 + 1)²+ (4 − 0)² = 2√5 Penentuan hubungan antar jari-jari lingkaran 𝑟₁− 𝑟₂ = 2 − 3 = −1

𝑟₂− 𝑟₁ = 3 − 2 = 1 𝑟₁+ 𝑟₂ = 2 + 3 = 5

Hubungan antara 𝐿₁ dan 𝐿₂, karena |𝐶₁𝐶₂| = 𝑟₁+ 𝑟₂, maka 𝐿₁ dan 𝐿₂ bersinggungan di luar.

Hubungan antara 𝐿₁ dan 𝐿₃, karena 𝑟₁− 𝑟₃ < |𝐶₁𝐶₃| < 𝑟₁+ 𝑟₃, maka 𝐿₁ dan 𝐿₃saling berpotongan.

𝐿₃ ≡ (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 4)² = 9 Pusat 𝐶₃ = (1,4)

Jari-jari 𝑟₃ = √9 = 3

𝑟₁− 𝑟₃ = 2 − 3 = −1 𝑟₃− 𝑟₁ = 3 − 2 = 1 𝑟₁+ 𝑟₃ = 2 + 3 = 5

3.4.2

PERSAMAAN GARIS (TALI BUSUR) DARI DUA LINGKARAN YANG BERPOTONGAN

Misalkan lingkaran 𝐿₁ yang berpusat di 𝐶₁ dan berjari-jari 𝑟₁ dan lingkaran 𝐿₂ yang berpusat di 𝐶₂ dan berjari-jari 𝑟₂, serta kedua lingkaran tersebut berpotongan di dua titik yaitu A dan B, maka persamaan garis (tali busur AB) dari 𝐿₁ dan 𝐿₂ adalah 𝐿₁− 𝐿₂ = 0

Panjang garis (tali busur) ditentukan dengan

𝐴𝐵 = 2𝐴𝑀 = 2√𝑟₁²− 𝑝₁² = 2√𝑟₂²− 𝑝₂²

Dengan 𝑝₁ dan 𝑝₂ merupakan jarak yang tegak lurus antara pusat terhadap tali busurnya.

Contoh 1::

1. Periksa kedua lingkaran 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 dan 𝐿₂ ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 apakah bersinggungan di dalam atau di luar, serta tentukan titik singgungnya.

2. Diberikan dua lingkaran 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟² dan 𝐿₂ ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 10𝑥 + 16 = 0. Tentukan nilai 𝑟 agar 𝐿₁ dan 𝐿₂ saling berpotongan

3. Tentukan persamaan garis (tali busur) yang melalui titik potong kedua lingkaran 𝐿₁ ≡ 3𝑥²+ 3𝑦²− 2𝑥 + 12𝑦 − 9 = 0 dan 𝐿₂ ≡ 𝑥²+ 𝑦² + 6𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0

Pembahasan Nomor 1,

𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 Pusat 𝐶₁(−²

2, −²

2) = (−1, −1)

Jari-jari 𝑟₁ = √(−1)²+ (−1)²− 1 =1 𝐿₂ ≡ 𝑥² + 𝑦²− 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 Pusat 𝐶₂(−⁻⁴

2 , −⁻⁶

2) = (2,3) Jari-jari 𝑟₂ = √2² + 3²+ 3 = 4 Jarak antar pusat lingkaran

𝐿₁𝐿₂ ⟹ |𝐶₁𝐶₂| = √(2 + 1)²+ (3 + 1)² = 5 Tinjauan antar jari-jari lingkaran

|𝑟₁− 𝑟₂| = |1 − 4| = 3 𝑟₁+ 𝑟₂ = 1 + 4 = 5

Pembahasan Nomor 2, 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟²

Pusat 𝐶₁(0,0), Jari-jari 𝑟₁ = 𝑟 𝐿₂ ≡ 𝑥² + 𝑦²− 10𝑥 + 16 = 0 Pusat 𝐶₂(−⁻¹⁰

2 , −⁰

2) = (5,0) Jari-jari 𝑟₂ = √5² + 0²− 16 = 3

Karena |𝐶₁𝐶₂| = 𝑟₁+ 𝑟₂, maka 𝐿₁ dan 𝐿₂ bersinggungan di luar.

Misalkan titik singgungnya adalah (𝑎, 𝑏)

Maka titik singgung tersebut membagi 𝐶₁(−1, −1) dan 𝐶₂(2,3) dengan rasio jari-jari 𝑟₁: 𝑟₂ = 1: 4

Sehingga

𝑎 =1(2) + 4(−1) 1 + 4 = −2

5 𝑏 =1(3) + 4(−1)

1 + 4 = −1 5

Jarak antar pusat lingkaran

𝐿₁𝐿₂ ⟹ |𝐶₁𝐶₂| = √(5 − 0)²+ (0 − 0)² = 5 Tinjauan antar jari-jari lingkaran

|𝑟₁− 𝑟₂| = |𝑟 − 3|

𝑟₁+ 𝑟₂ = 𝑟 + 3

Karena 𝐿₁ dan 𝐿₂ berpotongan, maka syaratnya

|𝑟₁− 𝑟₂| < |𝐶₁𝐶₂| < 𝑟₁+ 𝑟₂

⇔ 𝑟 − 3 < 5 < 𝑟 + 3

Sehingga 𝑟 − 3 < 5 atau 5 < 𝑟 + 3

⇔ 𝑟 < 8 atau 𝑟 > 2

⇔ 2 < 𝑟 < 8

Jadi batasan nilai 𝑟 adalah 2 < 𝑟 < 8 Pembahasan Nomor 3,

𝐿₁ ≡ 3𝑥²+ 3𝑦²− 2𝑥 + 12𝑦 − 9 = 0

⇔ 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²−2

3𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0 Pusat 𝐶₁(¹

3, −2) , Jari-jari 𝑟₁ = 2√10 𝐿₂ ≡ 𝑥² + 𝑦²+ 6𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0 Pusat 𝐶₂(−3, −1), Jari-jari 𝑟₂ = 5

Persamaan garis (tali busur) dari 𝐿₁ dan 𝐿₂ adalah 𝐿₁− 𝐿₂ = 0

⇔ (𝑥²+ 𝑦²−2

3𝑥 + 4𝑦 − 3) − (𝑥²+ 𝑦²+ 6𝑥 + 2𝑦 − 15) = 0

⇔ −20

3 𝑥 + 2𝑦 + 12 = 0

⇔ −20𝑥 + 6𝑦 + 36 = 0

⇔ −10𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0

Panjang tali busur 𝐿₁ dan 𝐿₂ adalah 2√𝑟₂²− 𝑝₂², dengan 𝑝₂ adalah jarak yang tegak lurus antara pusat 𝐶₂ terhadap tali busurnya.

Sehingga mencari 𝑝₂ sama dengan mencari jarak antara titik pusat 𝐶₂(−3, −1) dengan tali busur

−10𝑥 + 3𝑦 + 18 = 0, yaitu 𝑝₂ = |^{𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐}

√𝑎²+𝑏² | = |−10(−3)+3(−1)+18

√(−10)²+3² | = ⁴⁵

√109

Sehingga Panjang tali busur lingkaran = 2√𝑟₂²− 𝑝₂² = 2√25 −²⁰²⁵

109 = 2√⁷⁰⁰

109= 20√ ⁷

109

Tuliskan langkah-langkah penyelesaian soal berikut!

Foto dan unggah pekerjaan kalian di fitur submission.

1. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 10𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0 dan 𝐿₂ ≡ 𝑥² + 𝑦²+ 14𝑥 − 6𝑦 + 22 = 0 saling bersinggungan! Tentukan apakah bersinggungan di dalam atau di luar!

Kemudian tentukan titk singgungnya!

2. Tentukan persamaan garis (tali busur) yang melalui titik potong kedua lingkaran 𝐿₁ ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 dan 𝐿₂ ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 serta tentukan panjang tali busurnya!

TASK 1