PENDAHULUAN. Gambar potongan kerucut berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola

(1)

A. Deskripsi

Dalam modul ini kita akan mempelajari lengkungan yang dihasilkan dari potongan kerucut dengan bidang datar. Jika suatu kerucut dipotong oleh sebuah bidang, maka garis potong tersebut mempunyai berbagai kemungkinan yaitu :

1. Lingkaran, jika bidang tegak lurus sumbu kerucut dan tidak melalui puncak kerucut.

2. Ellips, jika bidang membentuk sudut lancip terhadap sumbu dan tidak melalui puncak kerucut.

3. Parabola, jika bidang membentuk sejajar garis pelukis kerucut dan tidak melalui puncak kerucut.

4. Hiperbola, jika bidang sejajar sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol.

Gambar potongan kerucut

berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola

Untuk mempelajari materi ini disediakan waktu 56 x 45 menit.

Setiap akhir kegiatan terdapat pertanyaan yang harus dikerjakan.

Pertanyaan tersebut untuk mengukur pemahaman tentang materi yang telah dipelajari.

Modul Matematika

PENDAHULUAN

1

(2)

B. Prasarat

Kemampuan yang harus dicapai dalam kompetensi ini adalah : 1. Menjelaskan pengertian unsur – unsur lingkaran.

2. Menentukan persamaan lingkaran.

3. Menghitung panjang garis singgung sekutu luar dan dalam dua lingkaran.

4. Menjelaskan pengertian unsur – unsur parabola.

5. menentukan persamaan parabola dan grafiknya.

6. Menjelaskan pengertian unsur – unsur ellips.

7. Menentukan persamaan ellips dan grafiknya.

8. Meenjelaskan pengertian unsur – unsur hiperbola.

9. Menentukan persamaan hiperbola dan grafiknya.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Perlu diperhatikan cara menggunakan modul ini sebagai pedoman untuk siswa dalam proses pembelajaran.

1. Langkah yang harus ditempuh

a. Siswa harus mengetahui prasarat kemampuan yang dicapai.

b. Mempelajari kompetensi dan mempelajari langkah – langkah kegiatan pada rencana pembelajaran.

2. Perlengkapan yang harus disiapkan.

Dalam kompetensi ini alat yang harus dipersiapkan dalam proses pembelajaran adalah penggaris, jangka dan busur derajat.

3. Hasil pelatihan

Setelah mempelajari langkah – langkah kegiatan dan mengajukan pengujian terhadap penilai maka siswa mencatat sub kompetensi yang dicapai dalam paspor keahlian ( skill paspor ).

2

(3)

D. Tujuan Akhir

Setelah mengikuti seluruh kegiatan belajar siswa mampu :

1. Menyebutkan unsur – unsur lingkaran yang dideskripsikan sesuai ciri – cirinya.

2. Menentukan persamaan lingkaran yang ditentukan berdasarkan unsur- unsur yang diketahui.

3. Melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran yang diketahui.

4. Menghitung panjang garis singgung sekutu luar dan dalam sesuai jari – jari dan jarak pusat kedua lingkaran.

5. Menerapkan konsep lingkaran dalam penyelesaian masalah kejuruan.

6. Menyebutkan unsur – unsur parabola yang dideskripsikan sesuai ciri – cirinya.

7. Menentukan persamaan parabola berdasarkan unsur- unsur yang diketahui.

8. Melukis sketsa grafik persamaan parabola.

9. Menerapkan konsep parabola dalam penyelesaian masalah kejuruan.

10. Menyebutkan unsur – unsur ellips yang dideskripsikan sesuai ciri – cirinya.

11.Menentukan persamaan ellips berdasarkan unsur- unsur yang diketahui.

12.Melukis sketsa grafik persamaan ellips.

13.Menerapkan konsep ellips dalam penyelesaian masalah kejuruan.

14. Menjelaskan unsur – unsur hiperbola yang dideskripsikan sesuai ciri – cirinya.

15.Menentukan persamaan hiperbola berdasarkan unsur- unsur yang diketahui.

16.Melukis sketsa grafik persamaan hiperbola.

17.Menerapkan konsep hiperbola dalam penyelesaian masalah kejuruan.

3

(4)

E. Kompetensi

Kompetensi yang akan dipelajari dalam modul ini sesuai dengan tabel :

Kompetensi Sub Kompetensi Kriteria untuk Kerja

Ruang Lingkup Belajar Menerapkan

irisan kerucut

Menerapkan konsep lingkaran

- Unsur - unsur lingkaran dideskripsikan sesuai ciri – cirinya

- Persamaan lingkaran ditentukan berdasar unsur - unsur yang diketahui

- Garis singgung sekutu luar dan dalam

dilukiskan dari dua lingkaran yang diketahui - Panjang garis

singgung - Sekutu luar

dan dalam dihitung sesuai jari – jari dan jarak pusat kedua

lingkaran - Konsep

lingkaran diterapkan dalam

penyelesaian masalah kejuruan

- Pengertian unsur – unsur lingkaran - Penentuan

persamaan lingkaran - Pengertian

garis singgung sekutu luar dan dalam - Penentuan

panjang garis singgung sekutu luar dan dalam kedua

lingkaran - Penerapan

konsep lingkaran dalam

menyelesaikan masalah kejuruan

4

(5)

Menerapkan

konsep parabola - Unsur – unsur parabola

dideskripsikan sesuai dengan ciri – cirinya - Persamaan

parabola ditentukan berdasarkan unsur – unsur yang diketahui - Konsep

parabola dalam penyelesaian masalah kejuruan

- Unsur – unsur parabola : direktriks, koordinat titik puncak, titik focus dan persamaan sumbu.

- Penentuan persamaan parabola - Grafik

persamaan parabola - Penerapan

konsep parabola dalam

Menerapkan

konsep ellips - Unsur – unsur ellips

dideskripsikan sesuai dengan ciri – cirinya - Persamaan

ellips ditentukan berdasarkan unsur – unsur yang diketahui - Konsep ellips

dalam

- Pengertian ellips

- Unsur – unsur

ellips :

koordinat titik puncak,

koordinat pusat,

koordinat titik focus, sumbu mayor dan sumbu minor.

- Penentuan persamaan ellips

- Sketsa ellips - Penerapan

konsep ellips dalam

5

(6)

Menerapkan

konsep hiperbola - Unsur – unsur hiperbola dideskripsikan sesuai dengan ciri – cirinya - Persamaan

hiperbola ditentukan berdasarkan unsur – unsur yang diketahui - Konsep

hiperbola dalam

- Pengertian hiperbola dan unsur – unsur hiperbola : titik pusat, titik puncak, titik focus, asimtot,

sumbu mayor, sumbu minor.

- Penentuan persamaan hiperbola - Sketsa

hiperbola - Penerapan

konsep hiperbola dalam

6

(7)

KEGIATAN BELAJAR I : LINGKARAN A. Kompetensi Dasar

Menerapkan Konsep Lingkaran B. Prasarat

Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan mampu memahami :

1. Unsur – unsur lingkaran 2. Persamaan lingkaran

3. Garis singgung sekutu luar dan dalam C. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian unsur – unsur lingkaran.

2. Siswa mampu menentukan persamaan lingkaran.

3. Siswa mampu melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dua lingkaran.

4. Siswa mampu menentukan panjang garis sekutu luar dan dalam dua lingkaran.

5. Siswa mampu menerapkan konsep lingkaran dalam menyelesaikan masalah kejuruan.

I. Unsur – Unsur Lingkaran

Sebelum memahami unsur – unsur lingkaran, terlebih dahulu kita memahami pengertian apa itu lingkaran .

Definisi : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

Jarak yang sama itu disebut dengan jari – jari lingkaran, sedangkan titik tertentu itu disebut pusat lingkaran.

Adapun unsur – unsur lingkaran adalah : a. Busur Lingkaran

PEMBELAJARAN

Gambar disamping menunjukan sebuah lingkaran berpusat di O. Kurva pada keliling lingkaran yang menghubungkan titik A dan B disebut busur lingkaran.

7

O

B

A

(8)

b. Tali Busur Lingkaran

B A

O ^.

c. Garis Tengah ( Diameter ) dan Jari – Jari Lingkaran

Q O

R P

- PQ disebut garis tengah

- Titik P dan Q berhadapan diametral - OP, OQ dan OR disebut jari – jari

d. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran B

O ^α

R C

∠ AOB adalah sudut pusat lingkaran

∠ ACB adalah sudut keliling lingkaran

e. Juring Lingkaran

O

A B

f. Tembereng

Ruas garis yang menghubungkan titik A dan B seperti pada gambar disebut tali busur lingkaran.

Jadi, tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.

Apabila tali busur melalui pusat lingkaran maka disebut garis tengah atau diameter lingkaran.

Separuh diameter disebut jari – jari lingkaran.

Apabila dua buah titik terletak di ujung – ujung garis tengah, maka titik itu disebut sebagai berhadapan diametral.

Sudut yang terletak pada pusat lingkaran, yang dibentuk oleh dua buah jari – jari disebut sudut pusat lingakaran.

Sudut yang terletak pada keliling lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur disebut sudut keliling lingkaran.

Juring lingkaran adalah daerah yang oibatasi oleh dua jari – jari lingkaran dan busur lingkaran.

Juring AOB kecil dan juring AOB besar.

8

9

(9)

O ^.

P Q

Dalam suatu lingkaran panjang busur dan luas juring sebanding sudut pusatnya.

A O

B C

Contoh 1

C O

A B

Jawab :

AB = 14 cm → OA = OB = jari – jari = 7 cm , ∠AOB = 80° → ∠BOC = 100°

Luas lingkaran = π r² = x 7² = 154 cm² Luas juring BOC = ∠ BOC

Luas lingkaran ∠ lingkaran

Luas juring BOC = x 154 = 42,78 cm² Keliling lingkaran = 2 π r = 2 x x 7 = 44 cm Panjang busur AB = ∠ AOC

Keliling lingkaran ∠ lingkaran Panjang AB = x 44 = 9,78 cm²

LATIHAN I

Tembereng merupakan bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran.

Pada gambar disamping

Busur AC = ∠ AOC = juring AOC Busur BC ∠ BOC juring BOC

Jika diketahui diameter AB = 14 cm ,

∠ AOB = 80°.

Hitunglah luas panjang BOC dan panjang busur AB !

100 ° 360°

22 7

80 ° 360°

10

(10)

1. Perhatikan gambar di bawah ini !

O

A B

2. Diketahui pusat lingkaran yang pusatnya O dan panjang jari – jari r. Buatkan sebuah tali busur AB yang panjangnya sama dengan jari – jari lingkaran.

a. Berbentuk segitiga apakah ∆ AOB ?

b. Berapakah besar sudut pusat yang terjadi ?

c. Kalau luas lingkarannya adalah L, berapakah luas juring AOB ? 3. Jarak antara titik P dan titik Q yang berhadapan diametral adalah 20 cm. Berapakah panjang jari – jari lingkarannya ?

II. Persamaan Lingkaran

A. Persamaan lingkaran dengan pusat O ( 0, 0 ) dan jari – jari r.

y

x P ( x,y )

r y

O x

Persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0,0 ) dan jari – jari r.

Catatan :

1. { P ( x,y ) | x²+ y² = r²} maka titik P terletak pada lingkaran.

2. { P ( x,y ) | x²+ y² > r²} maka titik P terletak di luar lingkaran.

a. Ada berapa banyak jari – jari yang tampak ? Sebutkan bila ada !

b. Ada berapa banyak garis tengah yang tampak ? Sebutkan bila ada !

c. Ada berapa banyak busur yang tampak ? Sebutkan bila ada !

d. Ada berapa banyak juring yang tampak ? Arsirlah !

Titik O ( 0,0 ) adalah titik asal koordinat dengan O sebagai pusat.

Kita buat lingkaran dengan jari – jari r, titik P ( x,y ) terletak pada lingkaran tersebut.

Untuk titik ( x,y ) dan titik lain pada lingkaran tersebut berlaku persamaan : x²+ y² = r²

(11)

3. { P ( x,y ) | x² + y² < r²} maka titik P terletak di dalam lingkaran.

Contoh 1 :

Diketahui titik O ( 0,0 ).

a. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari - jari 5 satuan panjang !

b. Selidiki, apakah titik ( -3,-4 ) terletak pada lingkaran ? c. Selidiki, apakah titik ( 3,5 ) terletak pada lingkaran ? d. Selidiki, apakah titik ( 2,1 ) terletak pada lingkaran ?

Jawab :

a. Dengan menggunakan persamaan x² + y² = r², maka : x²+ y² = r²

x²+ y² = 5² x²+ y² = 25

Jadi persamaan yang dimaksud adalah x²+ y² = 25

b. Untuk menyelidiki posisi titik terhadap lingkaran, kita substitusikan koordinat titik ( -3,-4 ) ke ( x,y ). Hasilnya adalah : ( -3 )² + ( -4 )² = 25

9 + 16 = 25

25 = 25

Ruas kiri menyatakan kuadrat jarak titik ( -3,-4 ) terhadap titik nol. Karena kuadrat jaraknya juga 25, maka titik tersebut terletak pada lingkaran.

c. Untuk menyelidiki posisi titik terhadap lingkaran, kita substitusikan koordinat titik ( 3,5 ) ke ( x,y ). Hasilnya adalah : 3² + 5² = 9 + 25 = 34

34 > 25

Ruas kiri menyatakan kuadrat jarak titik ( 3,5 ) terhadap titik nol yang lebih besar dari 25. ini berarti bahwa titik ( 3,5 ) terletak di luar lingkaran.

d. Dengan cara yang sama kita substitusikan titik ( 2,1 ). Hasilnya adalah : 2² + 1² = 4 + 1 = 5

5 < 25 Modul Matematika

11

(12)

Ini berarti bahwa titik ( 2,1 ) terletak di dalam lingkaran.

Contoh 2 :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0,0 ) dan melalui titik ( 5,-12 ) !

Jawab :

x² + y² = r²

5² + (-12)² = r² 169 = r² atau r² = 169

Jadi persamaan lingkarannya adalah : x²+ y² = 169

LATIHAN 2

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O ( 0,0 ) dan jari - jari :

a. 4 b. ½ c. √2

2. Tentukan koordinat pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan :

a. x²+ y² = 4 b. 2x²+ 2y² = 12 c. 3x²+ 3y² = 75

3. Selidiki posisi dari titik – titik di bawah ini, apakah terletak pada lingkaran, luar lingkaran atau di dalam lingkaran yang pusatnya O ( 0,0 ) dan jari – jari 6 !

a. ( 2,-1 ) b. ( 2,8 ) c. ( 0,6 )

4. Tentukan persamaan dengan pusat O ( 0,0 ) dan melalui titik : a. ( 1,3 ) b. ( -5,12 ) c. ( 1,-2 )

5. Diketahui titik A ( 1,0 ) dan B ( 9,0 ). P adalah tempat kedudukan titik yang dinyatakan dengan { P | PB = 3PA}. Buktikan bahwa tempat kedudukan P adalah lingkaran dengan persamaan x² + y² = 9 !

12

(13)

B. Persamaan lingkaran dengan pusat M ( a,b ) dan jari jari r

y

x P ( x,y )

r

a

M ( a,b )

y b

O x

Persamaan tersebut disebut persamaan lingkaran yang pusatnya M ( a,b ) dan jari – jari r.

Catatan :

1. { P ( x,y ) |( x - a )² + ( y - b )² = r²} maka titik P terletak pada lingkaran.

2. { P ( x,y ) |( x - a )² + ( y - b )² > r²} maka titik P terletak di luar lingkaran.

3. { P ( x,y ) |( x - a )² + ( y - b )² < r²} maka titik P terletak di dalam lingkaran.

Contoh 1

Tentukan pusat lingkaran dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya ( x + 3 )²+ ( y - 4 )² = 16 !

Jawab :

( x + 3 )²+ ( y - 4 )² = 16

Titik O ( 0,0 ) adalah titik pangkal koordinat, sedang titik M ( a,b ) adalah pusat lingkaran dengan jari – jari r, Titik P ( x,y ) terletak pada lingkaran tersebut.

Untuk titik P ( x,y ) dan titik lain pada lingkaran berlaku persamaan :

MP² = ( x-a )² + ( y-b )² ( x-a )² + ( y-b )² =

r²

13

(14)

( x + 3 )²+ ( y - 4 )² = 4²

Jadi pusatnya M ( -3,4 ) dan r = 4

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya M ( -2,-4 ) dan jari – jari : 5 !

Jawab :

( x - a )²+ ( y - b )² = r² ( x + 2 )²+ ( y + 4 )² = 5²

x² + 4x + 4 + y² + 8y + 16 = 25 x² + y² + 4x + 8y – 5 = 0

Ini adalah persamaan lingkaran yang pusatnya M ( -2,-4 ) dan jari – jari : 5.

Jika pusat lingkarannya tidak diketahui, maka bentuk umum persamaan lingkarannya ditulis :

Persamaan tersebut disebut persamaan umum lingkaran.

Dari persamaan umum lingkaran dapat ditentukan pusat dan jari – jari dengan rumus : pusatnya M ( -½ a, -½ b ) dan r = √¼ a² + ¼ b² – c

Bukti :

x² + y² + ax + by + c = 0 x² + y² + ax + by = – c x² + ax + y² + by = – c

x² + ax + ¼ a²+ y² + by + ¼ b²= ¼ a² + ¼ b²– c ( x + ½a )²+ ( y + ½b )²= ¼ a² + ¼ b²– c

Jadi pusatnya M ( -½ a, -½ b ) dan r = √¼ a² + ¼ b² – c x² + y² + ax + by + c = 0

14

(15)

Catatan : jadi pusatnya ialah koefisien x dan y dibagi 2 tetapi tandanya berlawanan.

Contoh 3

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaannya : X² + y² – 6x + 4y – 3 = 0

Jawab :

X² + y² – 6x + 4y – 3 = 0 X² + - 6x + y² + 4y – 3 = 0

Pusatnya M (-½ a, -½ b ) r = √¼ (36)² + ¼ (16)² +3 (-½ (-6), -½ (4) ) = √ 9 + 4 +3

( 3,-2 ) = 4

Latihan 3

1. Tulislah pusat dan jari – jari lingkaran dari setiap lingkaran berikut ini :

a. ( x – 1 )²+ ( y – 3 )²= 25 c. ( x – 3 )²+ ( y – 3 )²= 50 b. ( x + 2 )²+ ( y – 3 )²= 9 d. ( x + 1 )²+ ( y – 4 )²= 81

2. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat yang diketahui dan melalui titik yang diketahui pula !

a. pusat ( 1,1 ) dan melalui ( 3,3 ) b. pusat ( -2,0 ) dan melalui ( 3,4 ) c. pusat ( 3,-4 ) dan melalui ( 2,3 )

3. Tulislah persamaan lingkaran dengan pusat dan jari – jari sebagai berikut

a. ( 2,-3 ) , 3 b. ( -4,5 ) , 4

III. Garis Singgung Sekutu

Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik. Garis singgung suatu lingkaran tegak

15

(16)

lurus dengan jari jari lingkaran yang melalui titik singgungnya.

Perhatikan gambar berikut ini !

A P

B O

1. Garis singgung persekutuan luar

- AB adalah garis singgung persekutuan luar - AB = CN

- Panjang ∆ CMN ( siku – siku di C ) CN² = MN² – CM²

CN² = MN² – ( R – r )² CN =√MN² – ( R – r )²

Contoh 1

M dan N adalah pusat lingkaran yang berjari – jari 11 cm dan 4 cm, jika jarak M dan N adalah 25 cm, Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran !

Jawab :

AB = CN dan ∆ CMN ( siku – siku di C ) maka

Garis AB adalah garis singgung, menyinggung lingkaran di titik P dan OP AB. Sedangkan garis yang menyinggung dua buah lingkaran disebut garis singgung persekutuan kedua lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran :

A C B

R r

r M R-r N

AB =√MN² – ( R – r )²

A C B 11

cm r

4 cm M11 – 4 = 7 cm N

16

(17)

CN² = MN² – CM²

= MN² – ( R – r )²

= 25² – ( 11 – 4 )²

= 625 – 49

= 576

CN = √ 576= 24 cm

Karena CN = AB maka AB = 24 cm , jadi garis singgung persekutuan luar AB = 24 cm.

2. Garis Singgung persekutuan dalam

- AB adalah garis singgung persekutuan dalam - AB = CN

- Panjang ∆ CMN ( siku – siku di C ) CN² = MN² – CM²

CN² = MN² – ( R + r )² CN =√MN² – ( R + r )²

Contoh 2

Diketahui lingkaran – lingkaran dengan pusat A dan B berturut – turut dengan jari – jari 4 cm dan 2 cm. A dan B berjarak 8 cm.

Lukislah garis singgung persekutuan dalam dan hitung panjang garis sionggung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut !

Jawab :

Modul Matematika A

B

C R

r M N

r

AB =√MN² – ( R + r )²

P

Q

S 4 cm

2 cm A B

8 cm

17

(18)

PQ = BS

Panjang ∆ ABS ( siku – siku di S )

RS² = AB² – AS²

= 8² – 6²

= 64 – 36

= 28

RS = √28 = √ 4 . 7 = 2 √ 7 cm

Karena RS = PQ maka PQ = 2 √7 cm, jadi panjang garis singgung persekutuan dalam PQ = 2 √7 cm.

Latihan 4

Dua buah lingkaran berpusat di titik P dan Q masing masing – berjari – jari 9 cm dan 3 cm. Apabila P dan Q berjarak 13 cm, Hitunglah :

a. Panjang garis singgung persekutuan luarnya dan lukislah ! b. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya dan lukislah !

18

(19)

KEGIATAN BELAJAR II : PARABOLA

A. Kompetensi Dasar

Menerapkan Konsep Parabola

B. Prasarat

1. Unsur – unsur parabola

2. Persamaan parabola dan grafiknya C. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian unsur – unsur parabola.

2. Siswa mampu membuat grafik persamaan parabola.

3. Siswa mampu menentukan persamaan parabola.

4. Siswa mampu menerapkan konsep parabola dalam menyelesaikan masalah kejuruan.

I. Unsur – Unsur Parabola

Kita sudah mengenal parabola sebagai grafik y = ax² + bx + c.

Sekarang kita akan mempelajari geomettri dari parabola.

Definisi : Parabola adalah lintasan atau tempat kedudukan titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu dan terhadap suatu garis tertentu. Titik tertentu disebut Fokus dan garis tertentu disebut Direktriks.

Untuk memahami unsur parabola, perhatikan gambar berikut !

Keterangan :

O : Puncak parabola

F : Fokus

G : garis direktriks L1 dan L2 : Latus rectum

Sumbu simetri adalah sumbu X

Catatan :

1. Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui focus disebut sumbu simetri.

Modul Matematika Y

P Q

O F X L₁

L₂ g

19

(20)

2. Perpotongan antara sumbu simetri dan parabola disebut puncak parabola.

II. Persamaan Parabola

A. Persamaan parabola dengan puncak ( 0,0 )

Persamaan parabola dengan titik focus F ( p,0 ) dan persamaan garis direktriks x = -p serta titik puncak ( 0,0 ) adalah :

Jika titik focus terletak disebelah kiri garis direktriks

- puncak ( 0,0 ) - focus F ( -p,0 )

- persamaan garis

direktriks x = p

- persamaan sumbu simetri y = 0

Persamaannya :

Jika titik focus terletak pada sumbu y dan berada di atas garis direktriks

- puncak ( 0,0 ) - focus F ( 0,p )

- persamaan garis

direktriks y = -p

- persamaan sumbu simetri x = 0

Persamaannya :

Jika titik focus terletak pada sumbu y dan berada di bawah garis direktriks

P ( x,y )

F ( p,0 ) Q (

-p,y )

Y

O X g X = -p

P

F

Q Y

O X g

F P Y

O X

g

Y

O X

g

y² = 4 p x

y² = - 4 p x

x² = 4 p y

20

(21)

- puncak ( 0,0 ) - focus F ( 0,-p )

- persamaan garis

direktriks y = p

- persamaan sumbu simetri x = 0

Persamaannya :

Contoh 1

Tentukan persamaan parabola dengan F ( 4,0 ) dan direktriks x = -2 Jawab :

Karena F ( 4,0 ), maka p = 4 Jadi persamaan parabola : y² = 4 p x

= 4 . 4 x

= 16x

jadi persamaan parabola itu adalah y² = 16x Contoh 2

Lukiskan grafik persamaan parabola y² = - 8x. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktriksnya !

Jawab :

Pandang y² = - 4 p x dan y² = - 8x

Maka diperoleh 4p = 8

p = 2

karena focus terletak di sebelah kiri direktriks maka koordinat fokus adalah F ( -2,0 )

dan persamaan direktriks x = 2

B. Persamaan parabola dengan puncak ( a,b ) Modul Matematika

x² = -4 p y

F Y

0 X

X = 2

1- 2- 3- 4-

-2- -3- -4- -1- -1 -2

-3 1 2 3

21

(22)

Puncak A ( a,b ) Fokus F ( a+p,b )

Direktriks g dengan persamaan x = -p + a

Misalkan titik P ( x,y ) pada parabola maka koordinat titik Q ( -p+a,y ). Berdasarkan definisi PF = PQ maka PF² = PQ²

( x – a – p )² + ( y – b )² = ( x + p – a )²

x² + a² + p² – 2ax – 2px + 2ap + y² – 2 by + b² = x² + p² + a² + 2px – 2ax – 2ap

x² – x² + a² – a² + p² – p² – 2ax + 2ax + y² – 2by + b² = 2px + 2px – 2ap – 2ap

y² – 2by + b² = 4px – 4ap ( y – b )² = 4p ( x – a )

Jadi persamaan parabola dengan puncak ( a,b ) adalah :

Dengan :

- koordinat fokus F ( a+p,b ) - persamaan direktriks x = -p + a

Jika titik fokus terletak disebelah kiri garis direktriks - puncak ( a,b )

- focus F ( a-p,b )

- persamaan garis direktriks x = p + a Persamaannya :

Jika titik focus terletak di atas garis direktriks - puncak ( a,b )

- focus F ( a,b+p )

- persamaan garis direktriks y = -p+b - persamaan sumbu simetri x = 0 Persamaannya :

P ( x,y )

F Q

Y

O X

g

( direktriks )

A ( a,b )

( y – b )² = 4p ( x – a )

( y – b )² = -4 ( x – a )

( x – a )² = 4p ( y – b )

22

(23)

Jika titik focus terletak di bawah garis direktriks - puncak ( a,b )

- focus F ( a,-p+b )

- persamaan garis direktriks y = p+b Persamaannya :

Contoh 1

Tentukan fokus dan persamaan direktriks dari parabola y²– x + 4y + 10 = 0

Jawab :

( y – b )² = 4p ( x – a ) y²– x + 4y + 10 = 0 y² + 4y + 4 = x –10 +4 ( y + 2 )² = ( x – 6 )

maka a = 6, b = -2, 4p = 1 atau p = ¼ jadi fokus F ( a + p, b )

F ( 6 + ¼ , -2 ) = F ( 6¼ , -2 )

persamaan direktriks x = -p + b

= ¼ + 2 = 2¼

Contoh 2

Tentukan fokus, persamaan direktriks dan sketsa grafiknya dari persamaan parabola y² - 8y - 4x – 4 = 0

Jawab :

Pandang

( y – b )² = 4p ( x – a ) y²– 8x – 4y –4 = 0

y² – 4y + 4 = 8x + 4 + 4 ( y – 2 )² = 8x + 8

( y – 2 )² = 8 ( x + 1 )

maka a = -1, b = 2, 4p = 8 atau p = 2

( x – a )² = -4p ( y – b ) 23

(24)

jadi fokus F ( a + p, b ) F ( -1 + 2 , -1 ) = F ( 1 , -1 )

persamaan direktriks x = -p + a

= -2 + -1 = -3

Sketsa grafiknya

Latihan 1

Pada soal no. 1 – 4 tentukan koordinat fokus, persamaan direktriks dan lukiskan grafiknya dari persamaan parabola :

1. y² = 4x 2. x² = -10y

3. y² – 6x – 4y +4 = 0 4. ( x + 4 )² = 8 ( y – 2 )

Pada soal no. 5 – 6 tentukan persamaan parabola dan lukiskan grafiknya !

5. Koordinat fokus ( 2,0 ) dan persamaan direktriks x = -2 6. Koordinat fokus ( 3,3 ) dan persamaan direktriks y = 2

Pada soal no. 7 –8 tentukan persamaan parabola dan lukiskan grafiknya !

7. Koordinat puncak ( 0,4 ) dan koordinat fokus F ( –3,4 ) 8. Koordinat puncak ( 1,6 ) dan koordinat fokus F ( 1,2 )

F Y

O X g

A

24

(25)

KEGIATAN BELAJAR III : ELLIPS A. Kompetensi Dasar Menerapkan Konsep Ellips B. Prasarat

1. Unsur – unsur ellips

2. Persamaan ellips dan grafiknya C. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian ellips 2. Siswa mampu menyebutkan unsur – unsur ellips.

3. Siswa mampu melukis grafik persamaan ellips.

4. Siswa mampu menentukan persamaan ellips.

5. Siswa mampu menerapkan konsep ellips dalam menyelesaikan masalah kejuruan.

I. Unsur – Unsur Ellips

Definisi : Ellips adalah tempat kedudukan titik – titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.

- Kedua titik tertentu itu disebut fokus – fokus ellips.

- Garis penghubung kedua fokus disebut sumbu panjang ( sumbu mayor ).

- Garis melalui ttik tengah kedua fokus dan tegak lurus terhadap sumbu panjang disebut sumbu pendek ( sumbu minor ).

- Titik potong kedua sumbu disebut pusat ellips.

- Titik potong ellips dengan kedua sumbu disebut puncak ellips ( A1,A2, B1,B2 ).

Y

X B₁

B₂

A₂ F₂( -c,0 ) F₁( c,0 ) A₂ P ( x,y )

g₂ g₁

g₁dan g₂= garis direktriks

25

(26)

- Jarak antara A1A2dan B1B2 masing – masing merupakan panjang dari sumbu panjang dan sumbu pendek.

II. Persamaan Ellips

A. Persamaan Ellips dengan pusat ( 0,0 )

Persamaan ellips dapat diperoleh dengan cara berikut :

- Pilih sumbu – sumbu yang berfokus F1 ( c,0 ) dan F2 ( -c,0 )

- Misalkan jumlah jarak yang tetap adalah 2a berarti 2a > 2c atau a > c ( lihat gambar di atas )

- Maka menurut definisi didapatkan : F1P + F2P = 2a

⇔ √( x – c )² + y² + √( x – c )² + y² = 2a

⇔ √( x – c )² + y² = 2a – √( x – c )² + y² - kuadratkan kedua ruas, diperoleh :

x² + 2cx + c² + y² = 4a² – 4a √( x – c )² + y² + x² – 2 cx + c² + y²

⇔ 4cx – 4a² = – 4a √( x – c )² + y²

⇔ cx – a² = – a √( x – c )² + y²

- Kuadratkan kembali kedua ruas, diperoleh : c²x² – 2a²cx +a⁴ = a² ( x² – 2cx + c² + y²)

⇔ c²x² – 2a²cx +a⁴ = a²x² – 2 a²cx + a²c² + a²y² a²x² – c²x² + a²y² =a⁴ – a²c²

⇔ ( a² – c²)x² + a²y² =a²(a²– c²)

- Karena a > c maka a² > c² dan a² – c² > 0

- Misalkan a² – c² = b² ( b² > 0 ), maka diperoleh : b²x² + a²y² = a²b²

- Bagi masing – masing ruas dengan a²b², diperoleh :

+ =

⇔ + = 1

Jadi persamaan ellips yang pusatnya ( 0,0 ) sumbu panjang 2a, sumbu pendek 2b dan koordinat focus – focus F1 ( c,0 ) dan F2 ( -c,0 ) adalah :

b²x²

a²b² a²y²

a²b² a². b² a².b² x²

a²

y² b²

+ = 1

x² a²

y² b²

26

(27)

Koordinat fokus ellips ditentukan oleh persamaan a²- c² = b²

Kepipihan ellips tergantung pada perbandingan antara c dengan a yang disebut eksentrisitas ( e ) = , Persamaan direktriks x = + Contoh 1

Tentukan persamaan ellips dengan F1 ( -3,0 ), F2 ( 3,0 ) dan sumbu mayornya 10. Lukislah grafiknya !

Jawab :

Dari gambar :

C = 3 dan 2a = 10 maka a = 5 b² = a² – c²

= 5² – 3²

= 25 – 9 Jadi persamaan ellips :

= 16

b = 4

Contoh 2

Tentukan sumbu mayor, sumbu minor, koordinat fokus – fokus dan koordinat titik puncak ellips dari : dan lukiskan grafiknya

!

Jawab :

Sketsa grafik :

Dari gambar : Modul Matematika

Y

X D ( 0,4 )

B ( 0,-4 )

A ( -5,0 ) F₁( -3,0 ) F₂( 3,0 ) C ( 5,0 )

Y

X B₁ ( 0,3 )

B₂( 0,- 3 ) A₂ (

-5,0 ) F₁( -4,0 ) F₂( 4,0 ) A₁ ( 5,0 ) c

a a ²

c

+ = 1 ⇒ + = 1

x²

a² y²

b² x²

5² y² 4²

+ = 1

x² 25 y²

16

+ = 1

x²

25 y² 9

27

28

(28)

Pandang

a² = 25 maka a = 5 dan b² = 9 maka b = 3 Jadi sumbu mayor = 2a = 2 . 5 = 10

sumbu minor = 2b = 2 . 3 = 6 b² = a² – c² ⇒ c²= a² – b²

= 25 – 9

= 16 maka c = 4

koordinat fokus F1 ( -c,0 ) = F1 ( -4,0 ) dan F2 ( c,0 ) = F2 ( 4,0 ) Persamaan ellips memotong sumbu x, jika y = 0

Maka :

Persamaan ellips memotong sumbu y, jika x = 0 Maka :

Jadi titik – titik puncak ellips adalah : ( -5, 0 ) , ( 5,0 ) , ( 0,-3 ) dan ( 0,3 ).

Jika ellips yang berpusat di O ( 0,0 ) dan sumbu panjang ( sumbu mayor ) pada sumbu y, maka persamaannya :

- koordinat fokus F1 ( 0,c ) dan F2 ( 0,-c )

- koordinat puncak A1 ( 0,a ) , A2 ( 0,-a ) , B1 ( b, 0 ) dan B2 ( -b,0 ) - panjang sumbu mayor = 2a

- panjang sumbu minor = 2b - persamaan direktriks y = +

Contoh 3

Tentukan koordinat focus, koordinat puncak – puncak, sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan ellips

serta lukiskan grafiknya !

Jawab :

+ = 1 ⇒ x²

a²

y²

b² x²+ = 1

25

y² 9

+ = 1 ⇔ x²

25 0²

9 x² + 0 = 1 ⇔

25 = 1 ⇔ x² = 25 ⇔ x = + 5

x² 25

+ = 1 ⇔ 0²

25

y²

9 0 + = 1 ⇔y²

9 = 1 ⇔ y² = 9 ⇔ y = + 3 y²

9

+ = 1

x² b²

y² a²

a ²

c

+ = 1

x²

9 y²

25 29

(29)

Grafik : Pandang :

a² = 25 maka a = 5 b² = 9 maka b = 3

Jadi sumbu mayor = 2a = 2 . 5 = 10

Dan sumbu minor = 2b = 2 . 3 = 6

b² = a² – c² ⇒ c² = a² – b²

= 25 – 9 = 16 maka c = 4

koordinat fokus – fokus :

F1 ( 0,c ) = F1 ( 0,4 ) dan F2 ( 0,-c ) = F2 ( 0,-4 ) koordinat puncak puncak :

A1 ( 0,a ) = A1 ( 0,5 ) dan A2 ( 0,-a ) = A2 ( 0,-5 ) B1 ( b,0 ) = B1 ( 3,0 ) dan B2 ( -b,0 ) = B2 ( -3,0 )

Latihan 1

1. Tentukan sumbu mayor, sumbu minor, koordinat focus – focus, koordinat puncak – puncak dan lukislah grafik persamaan ellips berikut ini :

a. b. 25x² + 4y² = 100

2. Tentukan persamaan ellips yang pusatnya ( 0,0 ) dan lukislah grafiknya, jika diketahui :

a. F1 ( 2,0 ) dan F2 ( -2,0 ) dan sumbu mayornya √20 b. F1 ( 3,0 ) dan F2 ( -3,0 ) dan sumbu minornya 4 c. Titik – titik puncak : A1 ( 6,0 ), A2 ( -6,0 )

focus – focus F1 ( 3,0 ) F2 ( -3,0 )

d. Titik – titik puncak : B1 ( 10,0 ), B2 ( -10,0 ) focus – focus : F1 ( 0,4 ) F2 ( -0,-4 )

X F₁ ( 0,4

)

F₂ ( 0,-4 )

B₁( -3,0 )

B₂( 3,0 )

A₁ ( 0,5 )

A₂ ( 0,-5 )

+ = 1 ⇔ x²

b²

y²

a² x²+ = 1

9 y²

25

+ = 1

x²

36 y² 16

(30)

B. Persamaan ellips dengan pusat ( p,q )

Persamaan ellips dengan pusat ( p,q ) adalah :

Dengan ketentuan :

- pusat ( p,q )

- koordinat titik puncak :

A1 ( a+p,q ) , A2 ( -a+p,q ) , B1 ( p,b+q ) dan B2 ( p,-b+q ) - koordinat fokus – fokus :

F1 ( c+p,q ) dan F2 ( -c+p,q ) - panjang sumbu mayor = 2a - panjang sumbu minor = 2b - persamaan direktriks x = ++ p

Jika sumbu mayor sejajar sumbu y, maka persamaan ellips :

X F

1

F

2

( p,q )

A₁( p,a+q )

A ( p,-a+q )

B₁(b+p,q ) B₂(-b +p,q )

y = q+ a²

c

a² + = 1

( x – p )² a²

( y – q )² b²

a ²

c

+ = 1 ( x – p )²

b²

( y – q )² a² Y

X A₁(a+p,q ) F₂( -a+p,q ) F₁( a+p,q )

B₁( p,b+q )

( p,q )

B₂( p,-b+q )

X = p - a²

c ^{X = p +} a²

c

A₂ (-a+p,q )

30

31

(31)

Dengan ketentuan : - pusat ( p,q )

- koordinat titik puncak :

A1 ( p,a+q ) , A2 ( p,-a+q ) , B1 ( b+p,q ) dan B2 ( -b+p,q ) - koordinat fokus – fokus :

F1 ( p,c+q ) dan F2 ( p,-c+q ) - panjang sumbu mayor = 2a - panjang sumbu minor = 2b - persamaan direktriks y = ++ q

Dari bentuk baku, persamaan ellips dapat dinyatakan dalam bentuk umum

Dengan ketentuan : A = b²

B = a²

C = -2pb² maka C = -2pA p =

D = -2qa² maka D = -2qB q =

Jadi pusat ellips E = p²b² + q²a² – a²b²

Contoh 3 Modul Matematika

a ²

c

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

C -2A

D -2B

C -2A

D

(

, -2B

)

32

(32)

Diketahui persamaan ellips 4x² + 9y² – 48x + 72y + 144 = 0, Tentukan :

a. Koordinat titik pusat

b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus

d. Persamaan garis direktriks

Jawab :

a. Untuk menentukan koordinat titik pusat, kita ubah persamaan

ellips dalam bentuk : maka :

4x² + 9y² – 48x + 72y + 144 = 0 4x² – 48x + 9y² + 72y = – 144 4 ( x² – 12x ) + 9 ( y² + 8y ) = – 144

4 ( x² – 12x + 36 ) + 9 ( y² + 8y + 16 ) = – 144 + 144 + 144 4 ( x – 6 )² + 9 ( y + 4 )² = 144

Kemudian kita bagi persamaan terakhir dengan 144, diperoleh persamaan ellips dengan bentuk :

Jadi koordinat titik pusat adalah ( 6,-4 )

b. Dalam hal ini a² = 36 dan b²= 16 maka a = 6 dan b = 4 Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 6 = 12

Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8

c. Untuk menghitung koordinat titik fokus kita perlu menghitung c²= a² – b² = 36 – 16 = 20 maka c = √20.

Titik focus berada di sumbu panjang yaitu garis sejajar sumbu x, dengan demikian koordinat titik fokus adalah :

F1 ( c+p,q ) = F1 (√20+6,-4 ) dan F2 ( -c+p,q ) = F2 ( -√20+6,-4 )

d. Garis direktriks sejajar dengan sumbu y dan persamaannya adalah :

x = + + p ⇔ x = + + 6

= + √ 5 + 6

+ = 1 ( x – a )²

a² ( y – b )² b²

+ = 1 ( x – 6 )²

36 ( y +4 )² 16

a ²

c 36

√20 9 5

(33)

Contoh 4

Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus berada di F1 ( 4,1 ) dan F2 ( -2,1 ) dan panjang sumbu mayor adalah 10 !

Jawab :

Titik fokus berada di garis yang sejajar sumbu x, maka persamaan

mempunyai .

dengan a > b.

Titik pusat dari ellips terletak di tengah fokus yaitu :

p = = 1 dan q = = 1

sedang jarak pusat dengan titik fokus adalah c = 4 – 1 = 3

Diketahui panjang sumbu mayor adalah 2a = 10 maka a = 5.

Dengan demikian b² = a² – c²= 25 – 9 = 16 maka b = 4.

Jadi persamaan ellips adalah :

Latihan 2

1. Tentukan koordinat pusat , koordinat fokus, panjang sumbu mayor dan sumbu minor, persamaan direktriks dan lukiskan grafiknya dari persamaan ellips berikut ini :

a. b. 9x² + y² + 6y – 18x –7 = 0

2. Tentukan persamaan ellips yang memiliki sifat :

a. Titik pusat ( 1,-2 ), sumbu mayor mendatar dan panjang 8 serta eksentrisitasnya adalah 0,75.

b. Titik fokus ( -3,0 ) dan ( -3,4 ) dan sumbu mayor adalah 6.

+ = 1 ( x – a )²

a² ( y +b )² b²

-2 + 4

2 1 + 1

2

+ = 1 ( x – 1 )²

25

( y -1 )² 16

+ = 1 ( x – 3 )²

49 ( y +2 )² 16

33

(34)

KEGIATAN BELAJAR II : HIPERBOLA

A. Kompetensi Dasar

Menerapkan Konsep Hiperbola

B. Prasarat

1. Unsur – unsur hiperbola

2. Persamaan hiperbola dan grafiknya C. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa mampu menjelaskan pengertian hiperbola.

2. Siswa mampu menyebutkan unsur – unsur hiperbola.

3. Siswa mampu melukis grafik persamaan hiperbola.

4. Siswa mampu menentukan persamaan hiperbola.

5. Siswa mampu menerapkan konsep hiperbola dalam menyelesaikan masalah kejuruan.

I. Unsur – Unsur Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jarak terhadap dua buah titik ( titk fokus ) selalu tetap.

Diketahui titik fokus F ( c,0 ) dan bilangan e > 1, e adalah eksentrisitas maka hiperbola dapat dipandang juga sebagai tempat kedudukan titik P ( x,y ) yang perbandingan jarak terhadap F dan garis direktriks x = sama dengan e > 1.

- O sebagai pusat hiperbola

₁ Y ₂

X

g₁ g₂

B₁

B₂

A₁

A₂ F₁

F₂

G P

( x,y )

O

c e²

34

35

(35)

- Sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu simetri - F1 dan F2 = titk fokus

- g1 dan g2 = garis direktriks - A1 dan A2 = puncak hiperbola - 1 dan 2 = garis asimtot

= e ( eksentrisitas ) dengan e > 1 - A1A2 = sumbu mayor = 2a - B1B2 = sumbu minor = 2b

II. Persamaan Hiperbola

Untuk mencari persaman hiperbola, misalkan titik P ( x,y ) terletak pada hiperbola. Jarak titik P terhadap garis direktriks x =

adalah d = ( - x ).

Sedangkan jarak titik P terhadap titik fokus adalah √( x – c )² + y² Selanjutnya

Kalikan dengan penyebut dan kemudian kuadratkan, hasilnya adalah : ( x – c )² + y² = e² ( x - )

x² - 2xc + c² + y² = e²x² – 2cx + c²

( e² – 1 ) x² – y² = c² ( 1 - ) = ( e² – 1 )

Seperti pada ellips, tulis a = , maka

persamaan hiperbola menjadi : ( e² – 1 ) x² – y² = a ² ( e² – 1 ) hasilnya adalah :

Untuk lebih menyederhanakan persamaan ini ditulis : b² = a² ( e² – 1 )

= a²e² – a²

= c² – a² dengan b > 0

dengan demikian persamaan hiperbola mempunyai bentuk :

Modul Matematika PF

PG

c

e² c

e²

e =

√( x – c )² + y²

- x c

e²

c e²

1

e² c

e² c e

– = 1

x² e²

. y² ^. a² ( e²-1 )

– = 1 x²

a²

y² b²

(36)

Jadi persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat ( 0,0 ), dengan panjang sumbu mayor 2a dan sumbu minor 2b. dengan ketentuan :

- pusat ( 0,0 )

- sumbu mayor pada sumbu x

- sumbu minor pada sumbu y

- Fokus F1 ( c, 0 ) dan F2 ( -c, 0 ) dengan b² = c² – a²

- Puncak A1 ( a,0 ) dan A2 ( -a,0 ) - Persamaan garis direktriks x = +

- Eksentrisitas e =

- Persamaan garis asimtot y = + x

Sedangkan persamaan hiperbola dengan pusat ( 0,0 ), sumbu mayor pada sumbu y adalah :

Dengan ketentuan :

- pusat ( 0,0 )

- sumbu mayor pada sumbu y

- sumbu minor pada sumbu x

- Fokus F1 ( 0,c ) dan F2 ( 0,-c ) dengan b² = c² – a²

- Puncak A1 ( 0,a ) dan A2 ( 0,-a ) - Persamaan garis direktriks y = + - Persamaan garis asimtot y = + x

a ² c c

a b

a

– = 1 y²

a²

x² b²

a ²

c a b Y

X Y = - xb

a

B₂ ( a,0

( -a,0 ) ) F( c,0 )

F( -c,0 ) O

Y = xb

a

x = - x

a²

c x = xa²

c

- = 1 x²

a² y² b² A1

A2

36

(37)

Contoh 1

Diketahui hiperbola dengan persamaan

Tentukan koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, garis direktris dan persamaan asimtot serta lukiskan grafiknya !

Jawab :

- Untuk menghitung koordinat titik fokus, kita hitung nilai c² = a² + b²

a² = 16, b² = 9 maka c² = 16 + 9 = 25 jadi c = 25. dengan demikian koordinat titik fokus adalah F1 ( 5,0 ) dan F2 ( -5,0 )

- Berdasarkan persamaan hiperbola, diperoleh a² = 16 dan b² = 9, maka a = 4 dan b = 3. jadi panjang sumbu mayor = 2a = 2.4 = 8, sedangkan panjang sumbu minor = 2b = 2.3 = 6

- Nilai eksentrisitas ( e ) = = = 1,25

- Garis direktris x = + = = = + 3,2 - Persamaan asimtot y = + x = + x

Y

X Garis direktris

F₁( 0,c ) A₁ ( 0,a )

O

Garis direktris

F₂( 0,- c ) A₂( 0,- a ) Y = - xb

a Y = xb

a

– = 1 x²

16 y² 9

c

a 5

a² 4

c c

e²

. 5 . (1,25 )² b

a 3

4

37

(38)

- Grafik

Contoh 2

Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai panjang sumbu mayor 10 dan eksentrisitas e = 1,2

Jawab :

Diketahui sumbu mayor = 2a = 10, maka a = 5 dan e = ⇒ p = 1,2 . 5 = 6

b² = c² – a² = 36 – 25 = 1

Jadi persamaan hiperbola yang dibentuk adalah :

Latihan 1

1. Tentukan koordinat titik puncak, titik focus, eksentrisitas, persamaan garis direktris dan sketsa gragfik hiperbola dengan persamaan :

a. b. 4x² – 9y² = 36

2. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai syarat :

a. Titik focus F1 ( 4,0 ) dan F2 ( -4,0 ) dan titik puncak A1 ( 1,0 ) dan A2 ( -1,0 )

b. Titik focus F1 ( 0,5 ) dan F2 ( 0,-5 ) dan asimtot y = + x Y

X

X = -3,2 0

1- 2- 3- 4- 5-

-1- -2- -3- -4- -5-

1 2 3 4 5 6 7 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -7

X = 3,2 Y = - x3

4 Y = x3

4

c a

– = 1 x²

25 y² 11

– = 1 x²

144 y² 25

38

(39)

c. Panjang sumbu mayor b dan ekentrisitas e = 1,5

Persamaan hiperbola dengan pusat ( a,b )

Seperti irisan kerucut yang lain, pusat hiperbola dapat juga selain titik ( 0,0 ). Dengan teknik yang sama kita dapat menduga bentuk :

a. Persamaan hiperbola dengan pusat ( p,q )

Persamaan hiperbola denga psat ( p,q ) dan sumbu mayor mendatar ( sejajar sumbu y ) adalah :

Dengan ketentuan :

- Titik puncak A1 ( a+p,q ) dan A2 ( -a+p,q ) - Titik focus F1 ( c+p,q ) dan F2 ( -c+p,q ) - Eksentrisitas e =

- Garis direktris x = + + p

- Garis asimtot ( y – q ) = + ( x – p )

b. Persamaan hiperbola dengan pusat p,q ) dan sumbu mayor ( sejajar sumbu x ) adalah :

Dengan ketentuan :

- Titik puncak A1 ( p,a+q ) dan A2 ( p,-a+q ) - Titik focus F1 ( p,c+q ) dan F2 ( p,-c+q ) - Eksentrisitas e =

- Garis direktris x = + + q

- Garis asimtot ( y – q ) = + ( x – a )

– = 1 ( x - p )²

a² ( y – q )² b²

c a

a ²

c b

a

– = 1 ( y - q )²

a²

( x – p )² b²

c a

a ²

c

a b

Bentuk umum persamaan hiperbola : Ax² + By²+ Cx + Dy + E = 0

39

(40)

A, B, C, D dan E bilangan real, A dan B ≠ 0

Contoh 1

Tentukan pusat hiperbola, sumbu mayor, titik puncak, titik focus, persamaan garis asimtot dan sketsa grtafik dari persamaan hiperbola 9x²– 4y² – 36x – 8y = 4 !

Jawab :

Kita ubah persamaan dalam bentuk kuadrat umum : 9x²– 4y² – 36x – 8y = 4

9x² – 36x – 4y² – 8y = 4

9 ( x² – 4x) – 4 ( y² + 2y ) = 4

9 ( x² – 4x + 4 ) – 4 ( y² + 2y + 1 ) = 4 + 36 – 4 9 ( x – 2 ) – 4 ( y + 1 ) = 4

Jadi persamaan hiperbola menjadi :

a² = 4 maka a = 2 b² = 9 maka b = 3

- pusat hiperbola ( 2,-1 ) sumbu utamanya mendatar atau sejajar sumbu x panjangnya = 2a = 2 . 2 = 4

- titik puncak hiperbola

A1 ( a+p,q ) = A1 ( 2+2,-1 ) = A1 ( 4,-1 ) A2 ( -a+p,q ) = A2 ( -2+2,-1 ) = A2 ( 0,-1 )

- Dalam hal ini nilai a = 2 dan b = 3 maka c² = a² + b² = 4 + 9 = 13

Jadi titik focus hiperbola F ( 2+√3,-1 ) dan F’ ( 2-√3,-1 ) - Persamaan garis asimtot

y – q = + ( x – a ) y + 1 = + ( x – 2 ) - Sketsa grafik

– = 1 ( x - 2 )²

4

( y + 1 )

2

9

3

2 Y

0 X

-1- 4

F₂ F₁

2

40

(41)

Latihan 2

1. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus, nilai eksentrisitas, persamaan garis direktris, persamaan asimtot dan sketsa grafik hiperbola dengan persamaan :

a. x² – y² – 2x + 4y – 4 = o b. 4y² – 9x² – 18x – 8y – 41 = 0

2. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi syarat :

a. Titik pusat ( 2,2 ) sumbu mayor panjangnya 6 dan eksentrisitas e = 2

b. Titik pusat ( -1,3 ) titik puncak ( -4,3 ) dan ( 2,3 ) titik fokus ( -6,3 ) dan ( 4,3 )

41

(42)

EVALUASI

Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar !

1. Pada gambar disamping besar sudut β = 300° maka besar sudut α adalah ….

a. 100° d. 30°

b. 60° e. 25°

c. 50°

2. Jika ∠ AOB = 144° dan panjang AO = 10 cm maka luas juring AOB adalah ….

a. 40 π cm² d. 10 π cm² b. 30 π cm² e. 5 π cm² c. 20 π cm²

3. Sebuah pipa mendatar berisi air engan diameter 50 cm. Apabila lebar permukan air yaitu AB = 14 cm, maka tinggi permukaan air tepat ditengahnya (yang terdalam) adalah …

a. 18 cm d. 1,5 cm b. 12 cm e. 1,0 cm c. 10 cm

4. Hubungan tiga roda gigi seperti pada gambar. Jika diketahui RA = 12 cm. RB = RC = 24 cm, maka tinggi tumpukan tiga roda gigi tersebut ( h ) adalah ….

a. 62,83 cm d. 52,83 cm b. 61,83 cm e. 50,83 cm c. 60,83 cm

5. Suatu pulley seperti gambar di bawah, jarak kedua pusat pulley : 25 cm, jika diameter pulley I : 6 cm dan diameter pulley II : 20 cm. Maka panjang sabuk AB yang menghubungkan pulley I dan pulley II adalah

a. 24 cm d. 21 cm

b. 23 cm e. 20 cm

c. 22 cm

β α

A

B O 144°

A B

A

B C

h

A B

I

II

42

(43)

6. Persamaan lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan melalui titik ( 2,3 ) adalah

a. x² + y² = 15 d. x² + y² = 5

b. x² + y² = 1 e. tidak ada yang benar c. x² + y² = 10

7. Titik berikut yang berada dalam lingkaran x² + y² = 256 adalah … a. ( 15,6 ) d. ( -5,16 )

b. ( 10,-12 ) e. tidak ada yang benar c. ( -5,16 )

8. Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 3,-2 ) dan melalui titik ( 3,1 ) adalah ….

a. x² + y² + 3x – 2y – 7 = 0 d. x² + y² – 6x + 4y – 16 = 0 b. x² + y² – 3x + 2y – 13 = 0e. tidak ada yang benar c. x² + y² + 6x – 4y – 4 = 0

9. Persamaan lingkaran dengan garis AB sebagai garis tengah, titik A ( 3,-2 ) dan B ( 5,4 ) adalah ….

a. x² + y² – 8x – 4y + 15 = 0 d. x² + y² + 8y + 4y +65 = 0 b. x² + y² – 8x – 4y – 15 = 0 e. tidak ada yang benar

c. x² + y² + 8x + 4y – 65 = 0

10.Pusat lingkaran dengan persamaan 2x² + 2y² – 8y + 2y – 1 = 0 adalah

a. ( 4,-6 ) c. ( -4,-6 ) e. ( 2,- ½ ) b. ( -4,6 ) d. ( -2, ½ )

11.Titik fokus parabola y² = 12 x adalah ….

a. ( 4,0 ) c. ( 3,0 ) e. ( -2,0 ) b. ( -4,0 ) d. ( -3,0 )

12.Suatu pelat empat persegi panjang yang tipis dilengkungkan sehingga berbentuk parabola seperti gambar disamping. Puncak pelat menyinggung lantai sebagai sumbu x dan sumbu y sebagai sumbu simetri, dengan persamaan direktris y = -2½, maka persamaan pelat yang berbentuk parabola tersebut adalah

a. x² = 10y b. x² = -10y c. x² = 8y d. x² = -8y

e. tidak ada yang benar

13.Titik puncak parabola ( y + 3 )² = 16 ( x – 5 ) adalah ….

y

y = -2 -

F O

x

43