PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran

3.1. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O(0,0)

P(x,y) searah pada 

OP

2=

OP'

² +

PP'

²

x² + y² = r²

Contoh :

Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari jari 5 adalah x² + y² = 25

3.2. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI (a,b)

2 2

2

PB AB

PA  

r² = (x – a)² + (y – b)²

3.3.PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

(x – a)² + (y – b)² = r² x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – r² = 0 x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – r²)= 0

Persamaan umum lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0 Karena :

A = - 2a



a = A

2

 1

B = - 2b



b = B

2

 1

C = a² + b² – r²



r² = a² + b² – C

O

P(x,y)

Sb. X Sb. Y

x y

r

Sb. Y

Sb. X r

x

y P(x,y)

M(a,b)

a b

Persamaan Lngkaran yang berpusat di O

Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a,b)

Maka :

Pusat lingkaran P ( A 2

1 , B

2

1 )

Jari-jari lingkaran r = a²b²C

r = A B C



 





 



 





2 2

2 1 2

1

r =

A

²

 B

²

 C 4

1 4

1

Beberapa kemungkinan untuk jari-jari r : 1. Jika A²



B²



C

4 1 4

1

> 0, maka lingkaran itu real

2. Jika A²



B²



C

4

1 4

1

= 0, maka lingkaran itu berupa titik

3. Jika A²



B²



C

4

1 4

1

< 0, maka lingkaran itu imajiner. artinya pusatnya ada dan nyata, tetapi

lingkaran itu hayal karena r² negatif sehingga tidak ada titik real

Peninjauan persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 :

1. Jika A = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x² + y² + By + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu Y atau P (0, - ½ B)

2. Jika B = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x² + y² + Ax + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu X atau P (- ½ A, 0)

3. Jika C = 0 maka persamaan lingkaran menjadi x² + y² + Ax + By = 0, sehingga lingkaran melalui (0, 0)

Contoh 7:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dengan r = 10 ! Penyelesaian :

(x – a)² + (y – b)² = r², pusat (1,2), r = 10



(x – 1)² + (y – 2)² = 10² x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 100 x² + y² – 2x – 4y – 5 – 100 = 0



Persamaan lingkaran



x² + y² – 2x – 4y – 5 – 100 = 0

Koordinat titik Pusat Lingkaran dengan persamaan

x² + y² + Ax + By + C = 0

Jarr-jari Lingkaran dengan persamaan

x² + y² + Ax + By + C = 0

3.4.PERSAMAAN PARAMETER LINGKARAN

1. Persamaan parameter lingkaran x² + y² = r²



= sudut yang dibetuk terhadap sumbu x OP = r = jari-jari lingkaran x² + y² = r²

 cos r 

x



x = r cos



sin r 

y



y = r sin





x = r cos



y = r sin



2. Persamaan Parameter Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²

PR = x – a QR = y – b x – a = r cos



y – b = r sin





x = a + r cos



y = b + r sin



3.5.HUBUNGAN GARIS DAN LINGKARAN

Kedudukan sebah garis lingkaran ada 3 kemungkinan :

1. Memotong, D > 0 2. Menyinggung, D = 0 3. Tidak memotong, D < 0

Persamaan umum garis lurus : y = mx + n ...(i) Persamaan Lingkaran : x² + y² = r² ...(ii)

Sb. Y

Sb. X r

P(-x,y)

y

P1 -x



Sb. Y

Sb. X Q(x,y)

T

P(a,b) y



x

r cos

r sin θ

D > 0

D = 0 D < 0

0

Persamaan Parameter lingkaran x² + y² = r²

Persamaan Parameter lingkaran

(x – a)² + (y – b)² = r²

Subs. (ii)



(i)

x² + (mx + n) 2

= r² x² + m²x² + 2mnx + n² - r² = 0 (1 + m²) x² +2mnx + (n² - r²)= 0 Sehingga : D = (2mn)² - 4 (1 + m) (n - r²) Syarat :

D = 0, garis menyinggung lingkaran D > 0, garis memotong lingkaran D < 0, garis tidak memotong lingkaran

3.6.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

1. Persamaan Garis Singgung P(x1,y1) pada Lingkaran dengan Pusat O (x² + y² = r) Misal : garis g menyinggung  di titik P(x1,y1) OP



g

mOP = tg



mOP =

1 1

x

 y

y – y1 = mg ( x – x1 )

y – y1 =

1 1

y

 x

(x – x1 )

yy1 – y12

= – xx1 + x12

xx1 + yy1 = x12

+ y12

xx1 + yy1 = r²

2. Persamaan Garis Singgung di P(x1, y1) pada  Berpusat (a, b)

Misalkan g menyinggung  di titik P(x, y) OP



g

mOP =

a x

b y





1 1

mOP



g

1





 mg

mOP

mg =

b y

a x





1 1 P(x1y1)

Sb. Y

Sb. X y1

x1

g

P(x1,y1)

x1

y1

a b

(a,b) x1 - a y1 - b

Sb. X Sb. Y

Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) dengan pusat O

syarat mOP

 g 1





 mg

mOP

mg = - 1 1

y

x

y = mx  r ( 1  m

²

)

y – y1 =

b y

a x





1

1 (x –x1)

(y – y1) (y1 - b) = (x1 – a) (x – x1) dengan menguraikan sendiri akan diperoleh xx1 – ax + ax1 + a² + yy1 – by – by1 + b² = x12

- 2ax1 + a² + y12

– 2by1 + b² ( x - a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = (x1 – a)² + (y1 – b)²

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r² Persamaan garis singgung di P(x1, y1) pada  (x –a)² + (y - b)² = r²

Analog :

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0



x1x + y1y +₂¹ A(x + x1) +₂¹B(y + y1) + C = 0

3. Persamaan Gari Singgung dengan Gradien m

Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m y = mx + n ……….….(1)

x² + y² = r² ……….….(2) x² + y² = r²

x² + (mx + n)² = r² x² +m²x² +2mnx + n² = r²

(1+ m²)x² + 2mnx + ( n² – r²) = 0 ….….(3)

syarat menyinggung D = 0

b2 – 4ac = 0 (2mn)² – 4 (1 + m²) . (n² – r²) = 0 4m²n² – 4 (n² – r² + m²n² – m²r²) = 0 2m²n² – 4n² + 4r² – 4m²n² + 4m²n² = 0 -4n² + 4r² + 4m²r² = 0 : 4

- n² + r² + m²n² = 0 n² = r² + m²r² n² = r² (1 + m²)

n =

 r

²

.( 1  m

²

) 

m =



r

( 1  m

²

)

Sehingga :

Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran(x – a)² + (y – b)² = r² dengan gradien m adalah

y – b = m (x – a)



r (1m²)

Sb. X Sb. Y

Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² dengan gradien m

x

0

x + y

0

y = r

²

Contoh 8 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 di titik yang a) Ber-absis – 4

b) Ber-ordinat 4 Penyelesaian :

a) Ber-absis – 4

x = – 4 memenuhi x² + y² = 25



(– 4)² + y² = 25 16 + y² = 25

y =

 9

y =



3



Persamaan garis singgung pada  x² + y² = 25 adalah xx1 + yy1 = r² yaitu,



4x3y25 dan 4x3y25 b) Ber-ordinat 4

y = 4 memenuhi x² + y² = 25



x² + (4)² = 25 x² + 16 = 25 x² = 9

x =



3



Persamaan garis singgung pada  x² + y² = 25 adalah xx1 + yy1 = r² yaitu,



3x4y25 dan

 3

x

 4

y

 25

3.7. PERSAMAAN GARIS KUTUB (GARIS POLAR)

Jika titik P(xo , yo) di luar lingkaran x² + y² = 0 , maka dapat ditarik dua garis singgung melalui titik- titik S1 (x1 , y1) dan S2 (x2 , y2)

Kedua persamaan garis singgung itu adalah SPS₁: x1x + y1y = r²

SPS₁: x2x +y2y = r²

karena kedua garis singgung tersebut melalui titik P(x0, y0) maka berlaku bahwa

S PS₁ : x1x0 +y1y0 = r² dan S PS₂ : x2x0 + y2y0 = r²

Dari dua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik S1 dan S2 memenuhi persamaan :

Dan berarti juga bahwa persamaan garis itu melalui titik singgung S1 dan S2, hal itu biasa disebut tali busur singgung dari titik P.

O

S

1

S

₂

Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya sama dengan persamaan garis singgung, jika titik P sebagai titik singgungnya. Tanpa memperhatikan letak titik P, di dalam, di luar, atau pada lingkaran, maka persamaan x0x+ y0y = r² dinamakan persamaan garis kutub di P(x0, y0) terhadap lingkaran x² + y² =r²

Analog (dengan cara yang mirip / sama), maka kita dapat menentukan persamaan garis kutub (garis polar) titik P(x0 ,y0) terhadap lingkaran (x – a)² (y – b)² = r²

Yaitu : (x0 – a) ( x - a) + (y0 – b) (y – b) = r²

Sedangkan persamaan garis kutub di titik P(x0, y0) terhadap lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 yaitu: x0x + y0y +

2

1A(x + x0) + 2

1B(y + y0) + C = 0

Dari penyelesaian dengan menggunakan rumus-rumus di atas, dapat disimpulkan bahwa : 1. Jika titik P diluar , maka garis kutubnya berupa tali busur singgung

2. Jika titik P pada , maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran 3. Jika titik P dalam , maka garis kutubnya tidak memotong

Contoh 9 :

1) Buatlah persamaan garis singgung dari titik (–1,–3) pada lingkaran

x

²

 y

²

 4 x  8 y  20

! Penyelesaian:

Dari 

x

²

 y

²

 4 x  8 y  20

, diperoleh pusatnya



 



  





 



  ( 8)

2 , 1 24 1 2

, 1 2 1A B

) 4 , 2 (

 dan

Jari-jari  :l r = ₄¹A²₄¹B²C

= ₄¹16¹₄6420 40

Kita periksa dulu apakah titik (–1,–3) di luar, di dalam, atau pada lingkaran

 

3 4

 

1 8

 

3 20 1²  ²    

0 10 20 24 4 9

1     

 , berarti titik (–1,–3) diluar lingkaran, ini berakibat ada dua garis singgung yang dapat ditaksir dari titik (–1,–3) segingga menyinggung lingkaran tersebut.

Persamaan garis kutub dari titik (–1,–3) 40 ) 4 3 )(

4 ( ) 2 1 )(

2

(        

 x y

(x – 2) 1 + (y – 4) (-7) = 40 x + 2 – 7y + 28 – 40 = 0

x – 7y – 10 = 0 atau x = 7y + 10 x = 7y + 10 memotong pada lingkaran x²y²4x8y20



7y10



²y²4(7y10)8y200 y² + 49y² + 140y + 100 + 28y + 40 – 8y – 20 = 0

50y² + 160y + 120 = 0

5y² + 16y + 12 = 0 (5y + 6) (y + 2) = 0

y = 5

6 atau y = – 2

untuk y =

5

 6 

x = 7y + 10

= 7





 



  5 6

+ 10

=

5

 42

+ 10

=

5

8





S1





 5 8

,





  5 6

Untuk y = – 2



x = 7y + 10

= 7 (-2) + 10

= -14 + 10

= -4





S2

  4  , 2 

Jadi persamaan garis singgung yang melalui S1



 5 8, 



  5

6 adalah



(x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r²

   

^{4 40}

5 4 6 5 2

2 8 



 



 







 



 



 x y



40 0

5 104 5

26 5 36 5

18x  y  



19x – 26y + 36 + 104 – 200 = 0 9x – 13y – 30 = 0 Persamaan garis singgung yang melalui S2

 ^{ 4  , 2} 



(x – a) ( x1 - a) + (y – b) (y1 – b) = r²



(x + 2) (- 4 + 2) + (y – 4) (-2 – 4) = 40



(x + 2) (-2) + (y – 4) (-6) = 40 - 2x – 4 – 6y + 24 – 40 = 0

- 2x – 6y – 20 = 0 x (-1/2)

x + 3y + 10 = 0

2) Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 yang melalui titik (5,1) ! Penyelesaian :

Kita periksa dulu apakah titik (5,1) di luar, di dalam atau pada lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0



5² + 1² – 4 (5) + 6 (1) – 12 = 25 + 1 – 20 + 6 – 12

= 0, berarti titik (5,1) pada  Jadi, garis kutub = garis singgung lingkaran itu sendiri, yaitu ;

x1x + y1y +

2

1

A(x + x1) +

2

1

B(y + y1) + C = 0

5x + y +

2

1

(-4)(x+5) +

2

1

(6) (y +1) – 12 = 0



5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0 3x + 4y – 19 = 0

3) Tentukan persamaan garis kutub titik P(–1,3) terhadap lingkaran

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong

!

Penyelesaian:

Persamaan garis kutubnya :

    ⁰

2 1 2

1

0 0

0

0x



y y



A x



x



B y



y



C



x

0 20 ) 3 )(

6 2 ( ) 1 1 )(

2 2 ( 3 1

1         



x y x y

0 20 9 1 ) 3 ( 3 ) 1 (

1        

 x x y y

0 28 2  

 x

0 14 



x

Untuk menyelidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memoyong , cukup dengan

P(–1,3),

    1

²

   3

²

 2    1

²

 6 ( 3 )  20 0 26 20 18 2 9

1       





Titik P(–1,3)  di dalam lingkaran, berati garis kutub tidak memotong lingkaran itu

4) Jika diketahui garis kutubnya terhadap lingkaran x² + y² – 4x + 6y + 5 = 0 adalah

x  y 2  12  0

. Tentukan titik kutubnya!

Penyelesaian :

Misalkan titik kutubnya

 x

1

, y

1



, maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah :

    0

2 1 2

1

1 1

1

1x



y y



A x



x



B y



y



C



x

 2 

₁

 3 

₁

 5 0

1

1

x  y y   x  x  y  y  

x

 x ,  2  x   y

₁

 3  y  2 x

₁

 3 y

₁

 5  0

Garis yang diperoleh ini berhimpit dengan garis

x  y 2  12  0

, sehingga

12 5 3 2 2

3 1

1 1 1

1

  

 



y x y

x atau

 



















5 3 2 24 12

3 4

2

1 1 1

1 1

y x x

y x

29 3

14

7 2

1 1

1 1







 y x

y x

1 3





29 3

12

21 3

6

1 1

1 1









y x

y x

1 8

8 x

₁

   x

₁



7

2 x

₁

 y

₁

  2 ( 1 )  y

₁

 7

1

  5 y



Titik kutub yang di cari adalah

(  1 , 5 )

* KUASA DAN PANJANG GARIS SINGGUNG

Harga hasil kali yang tetap disebut kuasa titik P terhadap  M,

Yaitu :

2

PA =

2

PM –

2

AM

= (x1 – a)² + (y1 – b )² – r²

PA

2 = K



K = (x1 – a)² + (y1 – b)² - r²

Jadi panjang

PA

=

K

, atau jika persamaan lingkarannya x² + y² +Ax + By + C = 0, maka kuasa titik P(x1, y1) terhadap  itu adalah hasil yang tetap yaitu ;

2

PA =

PC

₁ .

PC

₂

=

 ^{PM  r )}  ^{PM  r )}

Sb. Y

Sb. Y A

P(x1,y1)

M(a,b) B2

C2

D2

D1

C1

B1

O

P

A

=

2

PM - r²

= (x1 – a)² + (y1 – b)² - r²

Ingat : a = -

2 1

A

b = -

2

1

B

2

PA



K = (x1 +

2

1

A)² + (y1 +

2 1

B)² – r²

= x12

+ y12

+ Ax1 + By1 + C

Jadi kuasa titik P(x1, y1) pada  x² + y² +Ax + By + C = 0 adalah x12

+ y12

+ Ax1 + By1 + C dan panjang garis singgungnya

PA

=

K

Catatan :

1. Jika titik P di luar lingkaran, maka harga K positif (K > 0) 2. Jika titik P pada lingkaran, maka K = 0

3. Jika P di dalam lingkaran, maka K < 0 (K negatif)

Contoh 10 :

1) Tentukan garis kuasa dan panjang dari titik P(2,1) pada lingkaran:

x² + y² – 2x + 4y + 1= 0 penyelesaian

K = x² + y² – 2x + 4y + 1

= 2² + 1² – 2 (2) + 4 (1)+ 1

= 5 – 4 +5

=6

Panjangnya P =

6

2) Tentukan kuasa dan panjangnya dari titik A(–1,4) pada lingkaran yang berpusat (2,–1) dan jari-jari 5!

Penyelesaian

Kuasa titik P(–1,4) terhadap 



^x

^{ 2} 

²

^ 

^y

^{ 1} 

²

^{ 5}

^{2 adalah}

K =



^x

^{ 2} 

²

^ 

^y

^{ 1} 

²

^{ 25}

=

  1  2 

²

  4  1 

²

 25

= 9 + 25 – 25

= 9



panjangnya =

3

r

²

= 4 1 A

²

+

4

1

B

²

– C

Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² +Ax + By + C = 0

* GARIS KUASA

Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik yang berkuasa sama terhadap dua lingkaran. Dengan demikian ada beberapa kemungkinan :

1. Jika kedua lingkaran itu berpotongan, maka garis kuasanya ialah garis yang melalui kedua titik potong lingkaran itu

MN

= garis sentral

K = garis kuasa terhadap  M dan  N

MN

selalu



terhadap garis kuasa K

Definisi :

a) Sudut antara dua lingkaran yang di apit oleh garis-garis pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu. Jika

  90 

atau kedua lingkaran saling



, maka berlaku



MNA siku-siku di A, sehingga

2

MN =

r

_M² +

r

_N²

b) Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lain sedemikian hingga menjadi dua busur yang sama,  M membagi dua  N, maka



MNA siku-siku di N, sehingga berlaku

2

MN = r_²_M-r_²_N

2. Jika lingkaran itu bersinggungan maka garis kuasanya adalah garis singgung persekutuan antara dua lingkaran itu.

a)

MN

=

R

_M+

R

_N

MN

= Garis sentral

Garis kuasa M dan N adalah garis singgung persekutuan dua lingkaran M dan lingkaran N

N M

A

K



K

M N 45

o A

K

N M

K

r

R

b)

MN

=

R

_M-

r

_N

MN

= Garis sentral

Contoh 11

1 Tentukan nilai K, agar  x² + y² – 4x + 6y – k = 0 membagi dua sama besar 

x

²

 y (  1 )

²

 4 !

Penyelesaian :

 x² + y² – 4x + 6y – k = 0, berpusat di M(2,-3) dengan r_M

 13 

k



x

²

 y (  1 )

²

 4

, berpusat di N(0,1), dengan jari-jari

r

_N = 2 Sehingga berlaku

MN

²

 r

_M²

 r

_N²

(2 – 0)² + (– 3 – 1) ² =

 ^{13  k} 

^{2 - 22}

4 + 16 = 13 + k – 4 K = - 13 + 4 + 20

= 11

2. Tentukanlah nilai K agar  x² + y² – 2x + 4y – k = 0 agar saling tegak lurus dengan 



^x

^{ 2} 

²

^

^y2

^{ 9}

dan tentukan pula persamaan garis kedua lingkaran itu ! Penyelesaian :

x² + y² – 2x + 4y – k = 0, berpusat di M(1,–2)



r_m

 5 

K



x

 2 

²



y²

 9

, berpuast di N(2,0), r = 3

Karena

  90

⁰ atau kedua  itu saling



, maka

MN

²

 r

_M²

 r

_N²

 

^{2 2}

2

2

( 2 0 ) 5 3

) 2 1

(       K 

1 + 4 = 5 + K + 9 K = 5 – 14

= –9 Persamaan garis sentral

1 1

2 1

2 1

x x

x x y y

y MN y



 



 

4 2 



 y x

M r

R N

K

3.8. PERSAMAAN GARIS KUASA

Ambil persamaan M



x² + y² + A1x + B1y + C1 = 0

N



x² + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 misal P(x1, y1) pada garis kuasa, kuasa P terhadap : Lingkaran M



k1



x12

+ y12

+ A1x1 + B1y1 + C1

Lingkaran N



k2



x22

+ y22

+ A2x2 + B2y2 + C2



P pada garis kuasa (berkuasa sama pada lingkaran M dan N) K1 = K2

K1 – K2 = 0

x12

+ A1x1 + B1y1 + C1 – x22

+ y22

+ A2x2 + B2y2 + C2 = 0 (A1 – A2)x1 + (B1 – B2)y1 + (C1 – C2) = 0 atau (A2 - A1)x + (B2 – B1)y + (C2 – C1) = 0

Secara simbolik lingkaran M kita misalkan L1 = 0, lingkaran N misalkan L2 = 0, maka persamaan garis kuasa itu : L1 – L2 = 0

Sifat garis kuasa : Garis kuasa tegak lurus terhadap sentral dari dua lingkaran itu.

Contoh 12

Tentukan garis kuasa kedua lingkaran x² + y² = 25 dan x² + y² – 6x – 8y – 11 = 0 Penyelesaian:

L1 – L2 = 0



L1 = L2

x² + y² – 25 = x² + y² – 6x – 8y – 11 6x + 8y – 14 = 0

3x + 4y – 7 = 0

TITIK KUASA

Titik kuasa adalah titik yang berkuasa sama besar terhadap 3 buah lingkaran, jadi titik kuasa dari 3 buah lingkaran adalah titik potong dari garis-garis kuasa pada pasang-pasangan lingkaran itu.

Cara melukis garis kuasa antara dua lingkaran yang terletak diluar sesamanya :

 Ambil sembarang lingkaran P memotong lingkaran M dititik A dan B dan

memotong lingkaran N dititik C dan D

 Tarik garis K1 = lingkaran M dan lingkaran P

 Tarik garis K3 = lingkaran N dan lingkaran P

K2 dan K3 berpotongsn dititik K( yaitu titik kuasa ) yang berarti titik K terletak pada garis kuasa lingkaran M dan N. Garis K1 yang melalui K dan tegak lurus

MN

adalah garis kuasa lingkaran N.

k

₃

k

1

k

2 M N

P

B D

A C

3.9.BERKAS LINGKARAN

Seperti halnya garis :

g1 +



g2 = 0



berkas lingkaran berlaku demikian,

Misal : L1



x² + y² + A1x + B1y + C1 = 0 …...(i) L2



x² + y² + A2x + B2y + C2 = 0 .…...(ii) Misal kita ambil sembarang harga



L1 +



L2 = 0

x² + y² + A1x + B1y + C1+



( x² + y² + A2x + B2y + C2) = 0 L3 = (1 + )x² + (A1 + A2) x + (B1 + B2)y + C1 + C2 = 0

x2 + y2 +

0

1 1

1

2 1 2

1 2

1





 



 











C y C

B x B

A

A ………..(iii)

L3



^{x2 + y2 + A3x + B3y + C3} = 0 ……...………....………...…(iv)

Pada persamaan (iii) setiap harga diperoleh satu harga yang dapat dimisalkan A3, B3, C3 sehingga diperoleh persamaan (iv). Persamaan (iv) merupakan hasil perpotongan antara L1 (A) = 0, L2(A) = 0 atau L1(B) = 0, L2(B) = 0. Dengan kata lain, semua lingkaran yang diperoleh bersama-bersama dengan L1 = 0 dan L2 = 0 membentuk berkas lingkaran dengan rumus :

Catatan :

Kemungkinan-kemungkinan untuk titik-titik dasar :

1. Jika titik dasar itu nyata maka semua anggota berkas berpotongan di titik itu. Anggota-berkas yang terkecil adalah lingkaran yang berdiameter garis hubung kedua titik dasar.

2. Jika kedua titik dasar berimpit tentulah semua anggota dari berkas juga melalui dua titik yang berimpit itu dengan kata lain semua anggota berkas yang bersinggung di titik dasar berimpit itu 3. Jika titik dasarnya khayal (lingkaran L1 dan L2 tidak bersinggungan) tentu semua anggota berkas

itu tidak berpotongan.

Sifat berkas lingkaran : Semua anggota berkas selalu melalui titik dasar membentuk pusat dari anggota- anggota berkas terletak pada sentral.

Contoh 13 :

Tentukan persamaan sebuah berkas lingkaran dengan L1



x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0 dan L2



x² + y² – 16 = 0, yang melalui titik (3,1) !

Penyelesaian :

x² + y² +

0

1 1

1

2 1 2

1 2

1





 



 











C y C

B x B

A A

L

1

+ L

2

= 0

x² + y² +

0 1

) 16 4 ( 1

0 4 1

0

2 





 



 













^{x y}

x² + y²

0

1 ) 16 4 ( 1

4 1

2 



 

 

 







^{x y}

Karena melalui (3,1), maka :

(3)² + (2)²

0

1 ) 16 4 1 ( 1 3 4 1

2 



 

 

 







10



+ 10 – 6 + 4 – (4 + 16) = 0 10



- 14 – 16 = 0 10



- 12 = 0

10

 12



5

 6



L3



x² + y²

5

 6

x +

5 12

y

5

 44

= 0

L3



5x² + 5y²

 6

x +

12

y

 44

= 0

3.10. LATIHAN III

1. Tentukan persamaan lingkaran yang memenuhi syarat berikut : a) Berpusat di titik A(-2,3) dan jari-jari 2 !

b) Melalui titik-titik P(1,3) dan Q(3,1) dan berpusat pada garis 3x – y = 2 ! 2. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0 !

3. Tentukan persamaan lingkaran melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, dengan a) A(4,5), B(1,-4), dan C(3,-2) !

b) A(1,1), B(2,0), dan C(1,-1) !

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di M(1,6) mempunyai persamaan garis singgung x - y = 1!

5. Tentukan harga m agar garis y = mx dan lingkaran x² + y² – 10x + 16 = 0 a) Berpotongan di dua titik

b) Bersinggungan c) Tidak berpotongan 6. Tentukan :

a) Kuasa titik A(1,3) terhadap lingkaran x² + y² – x = 0 ! b) Letak titik A(1,3) terhadap lingkaran x² + y² = x !

7. Tentukan sudut antara dua lingkaran x² + y² – 6x – 2y + 2 = 0 dan x² + y² – 4x + 4y + 6 = 0 !

8. Tentukan persamaan sebuah garis yang melalui perpotongan lingkaran L1



x² + y² – 2x – 4y – 11 = 0, dan

L2



x² + y² - 4x – 2y - 11 = 0 serta : a) Melalui titik (0,1)

b) Sejajar dengan garis x + 3y + 2 = 0 ! c) Tegak lurus dengan garis y = m – 1 ! d) Berpusat pada garis x + y = 0 !

9. Diketahui A(2,3), B(0,-1), dan C(3,0). Tentukanlah : a) Persamaan lingkaran luar



ABC itu !

b) Titik pusat lingkaran luar



ABC itu ! c) Jari-jari lingkaran tersebut !