BAB XI. LINGKARAN
Pengertian :
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titik-titik yang berjarak sama itu disebut jari-jari (r).
r
0 A
Persamaan lingkaran:
1. Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r
( x – 0)2
+ ( y – 0 )2
= r2
⇒ x2
+ y2
= r2
Suatu titik A (a,b) dikatakan terletak :
a. pada lingkaran x2 + y2 = r2 ⇔a2 + b2= r2
b. di dalam lingkaran x2
+ y2
= r2 ⇔
a2
+ b2
< r2
c. di luar lingkaran x2 + y2 = r2 ⇔a2 + b2> r2
2. Berpusat di A(a,b) dan berjari-jari r
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
jika lingkaran berpusat di (a,b) :
a. Menyinggung sumbu X, maka r = |b| b. Menyinggung sumbu Y, maka r = |a| c. menyinggung garis Ax + By + C, maka
r =
2 2
B A
C Bb Aa
+ + +
3. 2 titik ujung diameternya diketahui (x1,y1) dan
(x2,y2), maka persamaannya adalah :
(x- x1) (x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0
Contoh soal:
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari 2 adalah ….
jawab:
( x – 0)2
+ ( y – 0 )2
= r2
⇒ x2
+ y2
= r2
x2 + y2 = 22 ⇔ x2 + y2 = 4
Persamaan lingkarannya adalah:
x2 + y2 = 4
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan berjari-jari 4 adalah….
jawab:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x – 5)2 + (y – 2)2 = 42
⇔ x2 - 10x + 25 + y2 - 4y + 4 = 16 ⇔ x2+ y2 - 10x - 4y + 25 + 4- 16 = 0 ⇔ x2+ y2 - 10x - 4y + 13 = 0
Jadi persamaan lingkarannya adalah: x2
+ y2
- 10x - 4y + 13 = 0
3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,4) dan melalui titik (6,8) adalah….
jawab:
Diketahui a = 3 dan b = 4
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= r2
11. SOAL-SOAL LINGKARAN
EBTANAS1999
1. Diketahui lingkaran x2+ y2+ 2px +10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x. Pusat lingkaran tersebut adalah…
A. (-5,-3) C.(6,-5) E. ((3,-5) B. (-5,3) D. (-6,-5)
jawab:
Persamaan lingkaran: x2
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x-4y – 2 = 0 adalah…
Persamaan lingkaran :
(x – 1)2 + (y – 4)2 = 32
Jawabannya adalah D
UAN2002
3. Jarak antara titik pusat lingkaran
UMPTN1998
4. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2
+ y2
+ 2x -5y -21 = 0, maka nilai k adalah..
A. -1 atau -2 C. -1 atau 6 E. 1 atau 6 B. 2 atau 4 D. 0 atau 3
Jawab:
masukkan nilai (-5, k) ke dalam persamaan lingkaran:
(-5)2
+ k2
+ 2.(-5) – 5.k – 21 = 0 25 + k2
- 10 – 5.k -21 = 0 k2- 5 k – 6 = 0
(k + 1) (k – 6) = 0 k = -1 atau k = 6
jawabannya adalah C
EBTANAS1991
5. Lingkaran dengan persamaan
x2+ y2- 4x + 2y + c = 0 melalui titik (0,-1), Jari-jarinya ….
A. 1 B.2 C. 5 D. 10 E. 5
jawab:
Masukkan nilai (0,-1) ke dalam persamaan:
0 + (-1)2
- 0 + 2(-1) + c = 0 1 – 2 + c = 0
c = 2 – 1 = 1 , sehingga persamaan lingkarannya
menjadi x2+ y2- 4x + 2y +1 = 0
didapat A = -4 : B = 2 dan C = 1
r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
= (2) 1
4 1 ) 4 ( 4
1 − 2 + 2 −
= 4+1−1 = 4
= 2
Jawabannya adalah B
UN2005
6. Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
+10x -12y +20 = 0 yang melalui titik (-9,1) adalah.
A. 4x – 5y + 31 = 0 D. 4x + 5y + 31 = 0 B. 4x – 5y + 41 = 0 E. 4x + 5y + 42 = 0 C. 4x – 5y - 31 = 0
jawab:
x . x1 + y. y1 + 2 1
A (x + x1) + 2 1
B ( y + y1) + C =0
x1 = -9 ; y1 = 1: A = 10: B = -12 ; C = 20
x. -9 + y.1 + 2 1
. 10 (x -9) + 2 1
.(-12) (y+1) + 20 = 0
-9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0 -4x – 5y -31 = 0 ⇔ 4x + 5y + 31 = 0
jawabannya adalah D
UN2006
7. Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dan menyinggung garis 3x +4y + 7 = 0 adalah…
A. x2
+ y2
- 6x - 2y + 6 = 0 B. x2+ y2- 6x - 2y + 9 = 0 C. x2
+ y2
- 6x - 2y - 6 = 0 D. x2
+ y2
+ 6x - 2y -9 = 0 E. x2+ y2+ 6x + 2y + 6 = 0
jawab:
persamaan lingkaran dengan pusat (3,1) :
(x-3)2
+ (y-1)2
= r2
a = 3 ; b = 1
menyinggung garis : 3x +4y + 7 = 0 identik dengan Ax + By + C = 0
A = 3; B = 4 dan C = 7
r =
2 2
B A
C Bb Aa
+ + +
=
2 2
4 3
7 1 . 4 3 . 3
+ + +
= 25 20
= 5 20
= 4
sehingga persamaan lingkarannya:
(x-3)2 + (y-1)2 = r2
x2 - 6x + 9 + y2- 2y + 1 = 42 x2
+ y2
- 6x - 2y + 9 + 1- 16 = 0 x2+ y2 - 6x - 2y - 6 = 0
UN2007
8. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2 )2
+ (y + 1 )2
= 13 di titik yang berabsis -1 adalah…
A. 3x – 2y – 3 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0 B. 3x – 2y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0 C. 3x + 2y – 9 = 0
jawab:
Titik berabsis -1 berarti x = -1 masukkan ke dalam persamaan:
(-1 – 2)2
+ (y+1)2
= 13 (-3)2 + (y+1)2 = 13 9 + (y+1)2
= 13 (y+1)2
= 13 – 9 (y+1)2 = 4 y + 1 = 4
y + 1 = ± 2 y = -1 ± 2 y = 1 atau y =-3
jadi titiknya adalah (-1,1 ) dan (-1, -3)
Persamaan garis singgung melalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x1-a) + (y-b)(y1-b) = r
2
a = 2 ; b = -1 ;
melalui titik (-1,1) Æ x1= -1 dan y1= 1:
(x – 2) (-1-2) + (y+1) (1 + 1) = 13 -3x + 6 + 2y + 2 - 13 = 0
- 3x + 2y – 5 = 0 Æ di jawaban tidak ada
melalui titik (-1,-3) Æ x1= -1 dan y1= -3
(x – 2) (-1-2) + (y+1) (-3 + 1) = 13 -3x + 6 -2y -2 - 13 = 0
- 3x -2y – 9 = 0 ⇔3x +2y + 9 = 0
jawabannya adalah D
UN2004
9. Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
-2x -6y +1 = 0 yang tegak lurus garis 3x-y = 0 adalah…
A. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 10 B. y – 3 = -3 (x-1) ± 10
C. y – 3 = -3 1
(x-1) ± 10
D. y – 3 = -3 1
(x-1) ± 3 10
E y – 3 = -3 1
(x-1) ± 9 10
jawab:
y – b = m( x – a ) ± r 2
1+m
x2+ y2-2x -6y +1 = 0 A = -2; B = -6 ; C = 1
Pusat (- 2 1
A, - 2 1
B) dan r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
Pusat = (- 2 1
.-2, - 2 1
.-6) ) = (1, 3) Æ a = 1; b= 3
r = .( 6) 1
4 1 ) 2 .( 4
1 − 2 + − 2 −
= 1+9−1 = 9
persamaan garis 3x-y = 0 Æ y = 3x Æ m = 3
misal m ini adalah ma
misal mb = gradient garis singgung
karena tegak lurus maka :
ma. mb = -1
3. mb = -1 Æ mb = -
3 1
Maka persamaan garis singgung lingkarannya adalah: y – b = m( x – a ) ± r 1+m2
y – 3 = - 3 1
(x -1) ± 9 2
) 3 1 ( 1+ −
y – 3 = - 3 1
(x - 1) ± 9
9 1 1+
y – 3 = - 3 1
(x - 1) ± 9
9 10
y – 3 = - 3 1
(x - 1) ±
9 90
y – 3 = - 3 1
(x - 1) ± 10
jawabannya adalah C
EBTANAS2000
10. Garis singgung dititik (12,-5) pada lingkaran x2+ y2=169 menyinggung lingkaran
(x-5)2
+ (y-12)2
= p. Nilai p=….
A. 207 B. 169 C. 117 D. 19 E. 13
jawab:
Persamaan garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2
+ y2
=169 adalah:
x . x1 + y. y1 = r 2
x1 = 12 ; y1 = -5
12x - 5 y = 169
⇔ 12x – 5 y – 169 = 0
Ax + By + C Æ A = 12 ; B = -5 dan C = -169
lingkaran (x-5)2
+ (y-12)2
= p a = 5; b = 12
jika lingkaran berpusat di (a,b) menyinggung garis Ax + By + C, maka
r =
2 2
B A
C Bb Aa
+ + +
p = r2
r =
2 2
) 5 ( 12
169 12 ). 5 ( 5 . 12
− +
− − +
= 169
169
−
= 13 169
= 13
p = r2 = 132 = 169
Jawabannya adalah B
EBTANAS2001
11. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x2+ y2= 4 adalah..
A. y = x + 4 C. y = -x + 4 E. y = -x 2+ 4 B. y = 2x + 4 D. y = -x 3 + 4
Jawab:
titik (0,4) berada di luar lingkaran : karena 02 + 42 > 4
persamaan garis singgung melalui titik (0,4): y = mx +c
x1 = 0; y1 = 4
y - y1 = m ( x - x1) ;
y – 4 = m(x-0)
y = mx+4 Æ maka c = 4
cari nilai m
y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r
2 1+m
c = r 1+m2 ⇔ c2 = r2(1 + m2)
16 = 4 (1+ m2) 16 = 4 + 4m2
12 = 4m2 m2 = 3 m = ± 3
masukkan ke dalam persamaan y = mx+4.
jika m= 3Æ y = 3 x +4
jika m = - 3Æ y = - 3 x + 4
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= r2
(6 – 3)2 + (8 – 4)2 = r2 32
+ (-4)2
= r2
9 + 16 = r2
25 = r2 r = 25 = 5
r diketahui maka persamaan lingkarannya:
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= r2 ⇔ (x – 3)2 + (y – 4)2 = 52
⇔ x2 - 6x + 9 + y2- 8y + 16 = 25
⇔ x2+ y2 - 6x - 8y + 9 + 16 = 25
⇔ x2+ y2 - 6x - 8y + 25 - 25 = 0
⇔ x2+ y2 - 6x - 8y = 0
Jadi persamaan lingkarannya adalah: x2
+ y2
- 6x - 8y = 0
4. Persamaan lingkaran berpusat di (3,5) dan menyinggung sumbu x adalah….
jawab:
diketahui a = 3 dan b= 5
Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
⇔ (x – 3)2
+ (y – 5)2
= 52
⇔ x2
- 6x + 9 + y2
- 10y + 25 = 25 ⇔ x2
+ y2
- 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0 ⇔ x2
+ y2
- 6x - 10y + 9 = 0
maka persamaan lingkarannya adalah:
x2
+ y2
- 6x - 10y + 9 = 0
Persamaan Umum Lingkaran :
Lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
apabila dijabarkan diperoleh :
⇔ x2 - 2ax + a2+ y2- 2by + b2= r2
⇔ x2
+ y2
- 2ax - 2by + a2
+ b2
- r2
= 0
persamaan terakhir dapat disempurnakan menjadi persamaan berikut:
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
dengan A = -2a Æ a = - 2 1
A
B = -2b Æ b = - 2 1
B
C = a2
+ b2
- r2 Æ
r2
= a2
+ b2
- C
Æ r = a2 +b2 −C
= A2 + B2 −C 4
1 4
1
Persamaan umum lingkaran adalah: Pusat (a,b) dan jari-jari r atau
Pusat (- 2 1
A, - 2 1
B) dan r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
contoh soal:
1. Pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 + 4x - 6y + 13 = 0 adalah…..
jawab:
Pusat (- 2 1
A, - 2 1
B) dan r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0 → persamaan umum
lingkaran
x2
+ y2
+ 4x - 6y + 13 = 0 → persamaan lingkaran soal
maka diketahui A = 4, B = -6 dan C = 13
sehingga,
pusat = (- 2 1
A, - 2 1
B) = (- 2 1
.4, - 2 1
r = A2 + B2 −C 4
1 4
1
= ( 6) 13
4 1 4 . 4
1 2 + − 2 −
= 4+9−13 = 0
Perpotongan Garis dan Lingkaran:
persamaan umum lingkaran:
x2+ y2+ Ax + By + C = 0
garis g dengan persamaan:
y = mx + n
jika persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh:
x2+ (mx + n)2 + Ax + B (mx + n) + C = 0
⇔x2+ m2x2+ 2mnx + n2+ Ax + Bmx + Bn + C = 0
⇔(1 + m2) x2+ (2mn +A+Bm)x + n2+Bn +C = 0
Diskriminan:
D = b2 - 4ac
Dimana b = 2mn +A+Bm a = 1 + m2
c = n2+Bn +C
Ada 3 kemungkinan perpotongan garis g dengan lingkaran:
1. Apabila D>0
garis g memotong lingkaran
garis g
2. Apabila D=0
Garis g menyinggung lingkaran
garis g
3. Apabila D<0
Garis g tidak memotong dan menyinggung lingkaran
garis g
contoh soal:
Diketahui sebuah lingkaran x2
+ y2
= 25 akan menyinggung garis y = x + p apabila nilai p = ….
jawab:
cara 1:
Persamaan lingkaran x2
+ y2
= 25 …(1) Persamaan garis y = x + p …(2)
substitusi (2) ke (1) : x2
+ (x+p)2
= 25
⇔x2
+ x2
+ 2xp + p2
= 25
⇔ 2x2
+ 2xp + p2
-25 = 0 ….(3)
garis akan menyinggung lingkaran apabila diskriminan (D) persamaan (3)= 0
D = b2 - 4ac = 0 = (2p)2
- 4.2. (p2
-25) = 0 4 p2
- 8 p2
+ 200 = 0
- 4 p2
+ 200 = 0 4 p2= 200
p2 = 50 p = 50 = ± 5 2
Garis y = x + p akan menyingung lingkaran apabila p = ± 5 2
Cara 2 :
garis Ax + By + C akan menyinggung lingkaran maka
r =
2 2
B A
C Bb Aa
+ + +
persamaan lingkaran x2+ y2 = 25
( x – 0)2 + ( y – 0 )2 = 52 a = 0, b= 0 dan r =5
persamaan garis y = x + p
Æ x - y + p = 0
A = 1 ; B= -1 dan C = p
r =
2 2
B A
C Bb Aa
+ + +
5 =
2 2
) 1 ( 1
0 ). 1 ( 0 . 1
− +
+ −
+ p
5 = 2
p
;
karena nilai p adalah nilai mutlak maka ada 2 nilai :
5 = 2
p −
Æ p = - 5 2 atau 5 = 2
p
Æ p = 5 2
maka nilai yang memenuhi adalah:
p = ± 5 2
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik yang diketahui pada lingkaran
a. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada
lingkaran x2 + y2 = r2 adalah :
x . x1 + y. y1 = r 2
b. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2
+ (y – b)2
= r2
adalah :
( x- a) ( x1-a) + (y-b)(y1-b) = r 2
c. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada
lingkaran x2+ y2+ Ax + By + C = 0 adalah:
x . x1 + y. y1 +
2 1
A (x + x1) +
2 1
B ( y + y1) + C =0
dari mana 2 1
A dan 2 1
B ?
-awal dari persamaan lingkaran adalah Ax dan By - karena ada tambahan menjadi x + x1 sehinga menjadi
2 kali maka A nya menjadi 2 1
A demikian juga
dengan B
contoh soal:
1. Persamaan garis singgung di titik (3,2) pada lingkaran x2
+ y2
= 13 adalah…..
jawab:
x . x1 + y. y1 = r 2
. x1 = 3 ; y1 = 2 ; r 2
= 13
maka persamaan garis singgungnya adalah :
2. Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran x2
+ y2
- 4x + 6y -12 = 0 adalah….
jawab:
Cara 1:
Diketahui x1 = 5 ; y1 = 1; A = -4 ; B=6; C = -12
x . x1 + y. y1 +
2 1
A (x + x1) +
2 1
B ( y + y1) + C =0
5.x + y + 2 1
. (-4) (x + 5) + 2 1
.6 (y+1) – 12 = 0
5x + y -2x -10 + 3y + 3 – 12 = 0 3x + 4y -19 = 0
Persamaan garis singgungnya adalah = 3x + 4y -19 = 0
Cara 2 :
x2+ y2- 4x + 6y -12 = 0
cari pusat dan r: (x-2)2
- 4 + (y+3)2
- 9 – 12 = 0 (x-2)2 + (y+3)2- 25 = 0
(x-2)2
+ (y+3)2
= 25
atau :
Pusat (- 2 1
A, - 2 1
B) dan r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
A = -4; B = 6 ; C = -12
Pusat (- 2 1
.-4, - 2 1
.6) = (2, -3) Æ a = 2; b = -3
r = (6) ( 12)
4 1 ) 4 ( 4
1 − 2 + 2 − −
= 4+9+12
r = 25 ⇒ r2 = 25
persamaan garis singgung:
( x- a) ( x1-a) + (y-b)(y1-b) = r 2
diketahui a = 2 ; b = -3 ; r2= 25 ; x1=5; y1= 1
( x- 2) ( 5 - 2) + (y + 3)(1+3) = 25 ( x- 2) .3 + (y + 3)(4) = 25
3x – 6 +4y +12 -25 = 0 3x + 4y -19 = 0
2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui
a. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x2
+ y2
= r2
maka persamaan garis singgungnya adalah :
Lingkaran adalah berpusat di (0,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
y – 0 = m (x – 0) ± r 2 1+m
⇔ y = mx ± r 1+m2
b. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
, maka persamaan garis singgungnya adalah:
y – b = m( x – a ) ± r 2 1+m
Contoh soal :
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
- 6x + 4y + 8 = 0 dan sejajar garis 4x – 2y + 11 =0 adalah….
Jawab:
y – b = m( x – a ) ± r 2 1+m
persamaan lingkaran : x2
+ y2
- 6x + 4y + 8 = 0 A = -6; B= 4 ; C = 8
Pusat (- 2 1
A, - 2 1
B) dan r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
Pusat (- 2 1
.-6, - 2 1
.4 )= (3,-2) Æ a = 3; b=-2
r = A2 + B2 −C
4 1 4
1
= (4) 8
4 1 ) 6 ( 4
1 − 2 + 2 −
Persamaan garis 4x – 2y + 11 =0
4x + 11 = 2y ⇔ 2y = 4x+11 ⇔y = 2x + 2 11
misal garis tersebut adalah a, maka didapat Gradient garis a = ma = 2,
Misal gradient garis singgung pada lingkaran = mb
Karena sejajar maka ma= mb
catatan : ma. mb = -1 Æ tegak lurus
y – b = m( x – a ) ± r 2 1+m
y – (-2) = 2 (x-3) ± 5 1+22 y + 2 = 2x – 6 ± 5 . 5
y = 2x – 6 -2 ± 5 y = 2x – 8 ± 5
maka persamaan garis singgung pada lingkarannya adalah :
y = 2x – 8 + 5 = 2x – 3 dan y = 2x – 8 - 5 = 2x – 13
3. Garis singgung melalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran.
misal: nilai koordinat titik tersebut adalah (x1, y1)
dan menyinggung lingkaran ( x – a)2 + (y – b)2 = r2 , maka persamaan garis singgungnya adalah:
y - y1 = m ( x - x1)
nilai m dan c didapat dari :
y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r
2 1+m
r
0 (x1, y1)
r
Contoh soal:
Persamaan garis singgung melalu titik ( 0,5) pada lingkaran x2
+ y2
= 20 adalah…
jawab:
titik (0,5) berada di luar lingkaran : karena 02 + 52 > 20
persamaan garis singgung melalui titik (0,5): y = mx +c
x1 = 0; y1 = 5
y - y1 = m ( x - x1) ;
y – 5 = m(x-0)
y = mx+5 Æ maka c = 5
cari nilai m
y1 - b = m (x1 - a) + c ; dimana c = r
2 1+m
c = r 1+m2 ⇔ c2 = r2(1 + m2)
25 = 20 (1+ m2) 25 = 20 + 20m2
5 = 20m2
m2
= 4 1
m = ± 2 1
masukkan ke dalam persamaan y = mx+5.
jika m= 2 1
Æ y = 2 1
x + 5 ⇔ 2y = x + 10⇔x – 2y = -10
jika m = - 2 1
Æ y = - 2 1
x + 5⇔2y =- x + 10⇔x + 2y = 10
