trik belajar matematika
Senin, 17 Desember 2012
rumus matematika
MATEMATIKA
NAMA
:
JANGKUNG R
NO
: 14
KELAS
:
XI TKBB A
PROGRGAM KEAHLIAN : TEKNIK KONSTRUKSI BATU BETON
1.
Pengertian sudut
Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah ruas garis dan satu titik.
2.
Macam-macam satuan sudut
a. Satuan derajad (...0)
Satuan derajad disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu keliling lingkaran dibagi dengan 360 bagian yang sama. Dimana sudut satu keliling lingkaran adalah 3600 .
Ukuran sudut yang lebih kecil adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ). Hubungan antara derajat, menit dan detik adalah :
10 = 60’ atau 1’ = 1 0
60 1‘ = 60” atau 1” = 1 ‘
60 Maka untuk 10 = 60’ = 3600”
b. Satuan radian (rad)
Satuan radian ( ditulis : 1 rad ) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang berada diantara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu.
Busur ABC=¶.r= ¶ rad,maka <AOC = ¶ rad OA r
c. Stuan centisimal / gon / grade
Satuan gon ditulis 1g atau grad. (gradien)
Satuan gon menyatakan panjang busur lingkaran = 1 keliling lingkaran, maka : 400
1 gon = 1 2. ¶rad = 1 ¶rad 400 400
Sifat – sifat pada segitiga
1. Jumlah seluruh sudut pada bangunan segitiga adalah 1800
2. Teorema Phytagoras
Dalam segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras, yaitu “ Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi sikunya”.
Teorema pythagoras a2 + b2 = c2
3.
Segitiga istimewa
Suatu segitiga siku-siku sama kaki jika sisi siku nya adalah x satuan maka sisi miring nya adalah x√2 satuan.
Asal hitungan berdasarkan teorema phytagoras : C2 = a2 + b2 maka :
:
: : c =
4.
Rumus keliling dan luas bidang
a. Segitiga
K = a + b + c
L = ½. Alas. Tinggi
L =
Dengan s =
b. Persegi panjang
K = 2. ( P + 1 ) L = P . 1
c. Bujur sangkar
K = 4 . s L = s.s = s2
d. Jajaran genjang
e. Belah ketupat
K = 4 . S L = ½ . a . b
Dimana : a dan b diagonal
f. Layang-layang
K = 2. ( a + b ) L = ½ . p.q Dimana : Q = BD P = AC
g. Trapesium
K = a + b + c + d L = ½ . ( a + b ). T
h. Lingkaran
K = 2.
K =
L =
L =
i. Segi n beraturan
Jika sisi dari segi n beraturan = a, maka : Keliling (K) = n x a
Luas (L) =
5. Taksiran luas bidang tak beraturan
a. Aturan trapesoida
Luas total merupakan jumlah masing-masing pilah, maka luas total di rumuskan : Luas AETP = d.
b. Aturan Mid-Ordinat
Luas total di rumuskan
Luas AEKG = d. (m1 + m2 + m3 + m4)
c. Aturan simpson
Aturan Simpson ditulis dalam rumus : A = (F + L) + 4.E + 2R
Dengan :
A. : luas daerah L. : Ordinat terakhir
d. : Lebar Pilah E. : Jumlah ordinat bernomor genap
F. : Ordinat Pertama R. : Jumlah ordinat bernomor ganjil
1.
Jenis-jenis transformasi
a. Translasi ( penggeseran )
b. Refleksi ( pencerminan )
c. Rotasi ( perputaran )
d. Dilatasi ( perkalian )
1.
Tranlasi ( pergeseran )
Penggeseran atau translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.
Bila a,b,c ditranslasikan oleh T adalah: A1 B1 C1 ...=
2.
Refleksi ( pencerminan )
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi yang memindah setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan.
1. Terhadap sumbu y :
2. Terhadap sumbu x :
3. Terhadap sumbu y : x :
4. Terhadap sumbu y : -x :
5. Terhadap o ( o,o ) :
3.
Rotasi ( perputaran )
Rotasi atau perputaran dalam bidang datar ditentukan oleh :
a. Titik pusat rotasi
b. Besar sudut rotasi
c. Arah sudut rotasi
Bila A ( x,y ) di rotasikan dengan pusat o ( o,o ) sejauh π A =
Bila A ( x,y ) di rotasikan dengan pusat p ( a,b ) sejauh π
4.
Dilatasi ( perkalian )
Perkalian atau dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran ( memperbesar atau memperkecil ) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk ukuran.
1.
Macam-macam bangun ruang
a.
Kubus
Kubus adalah bangunan ruang yang dibatasi enam buah sisi persegi berbentuk bujursangkar yang kongruen
Ciri-ciri kubus
- 12 rusuk yang sama panjang
- 8 titik sudut
- 6 buah sisi yang berbentuk persegi
- Tiap sisi luasnya = s2 satuan luas
- Total luas permukaan kubus = 6.s2
- Diagonal sisi = s
- Diagonal ruang = s
b. Balok
Balok adalah bangunan ruang yang dibatasi enam buah sisi yang berbentuk persegi panjang. Balok mempunyai :
12 rusuk ( AB, CD, EF, GH, BC, FG, dll )
8 titik sudut ( titik, A, B, C, D ,E, F, G, H )
Enam buah sisi yang berbentuk persegi panjang
Dua sisi yang salaing berhadapan adalah sejajar dan kongruen
c. Prisma
Prisma adalah bangunan ruang yang dibatasi oleh dua bidang segi nyang sejajar ( bidang alas dan bidang atas ) dan beberapa bidang lain ( bidang sisi tegak )yang potong memotong menurut garis-garis sejajar.
Jenis-jenis Prisma
Jenis-jenis prisma dapat ditinjau dari dua sudut pandang yang berbeda yaitu berdasarkan :
Bentuk bidang alasnya
Dari sudut pandang dari bidang alas nya prisma dinamakan prisma segi-n jika bidang alasnya berbentuk segi – n
1. Prisma segitiga, jika bidang alasnya berbentuk segitiga.
2. Prisma segiempat, jika bidang alasnya berbntuk segi empat.
3. Prisma segi lima, jika bidang alasnya berbentuk segi lima, dan seterusnya.
Kedudukan rusuk sisi pada bidang alas
Dari kedudukan rusuk sisi terhadap bidang alas, ada dua jenis prisma
1. Prisma tegak, jika rusuk-rusuk sisinya tegak lurus terhadap bidang alas.
2. Prisma miring atau prisma condong atau prisma sebarang , jika rusuk-rusuk sisinya tidak
tegak lurus ( miring atau condong ) terhadap bidang alas.
Tabung adalah prisma tegak beraturan yang bidang alasnya berupa segi n beraturan dengan n tak terhingga ( berupa lingkaran ).
e. Limas
Limas adalah bangunan ruang yang dibatasi oleh segi n ( bidang alas ) dan bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga sama kaki yang alasnya sisi-sisi n, sedangkan puncaknya berimpit
f. Kerucut
Kerucut adalah limas beraturan yang bidang alasnya segi n beraturan dengan n tak terhingga ( berbentuk lingkaran )
g. Bola
Bola adalah bangunan ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung saja, yang terjadi jika bangunan setengah lingkaran diputar pada garis tengahnya
2.
Jaring-jaring bangun ruang
Jika suatu benda dalam ruang yang dibuka dan direbahkan pada suatu bidang datar, maka hasil yang terletak pada bidang datar itu disebut jaring-jaring.
1. Kubus
Luas sisi ( permukaan kubus ) = 6 x a x a = 6.a2
2. Balok
Luas permukaan balok yang memiliki panjang P, lebar 1 dan tinggi t adalah :
L = 2p1 + 2pt + 21t Atau L = 2 ( p1 + pt + 1t )
3. Prisma ( tegak )
Luas permukaan prisma adalah :
L = luas atas + luas atas + luas selimut prisma L = 2. La + K.t
Dengan La = luas alas ( p x 1 ) K = keliling atas 2. ( p + 1 ) T = tinggi prisma
4. Tabung
Luas permukaan tabung adalah : L = 2πr2 + 2πr.t = 2πr ( r + t )
L = 2π( ½ d )2 + 2π ( ½ d ). ( ½ d + t )
L = ½ πd ( d + 2t )
Luas permukaan limas segi empat beraturan T. ABCD adalah terdiri dari 4 buah sisi tegak dan sebuah sisi alas.
Apabila panjang rusuk alas a dan tinggi limas t maka luas permukaan limas segi empat beraturan adalah : L =( a x a ) + ( 4 x ½ a x s )
L = a2 + 2as = a ( a + 2s )
Dimana : s =
6.
Kerucut
Sebuah kerucut mempunyai dimensi jari-jari alasnya r, tinggi kerucut t, dan panjang garis optema s. luas permukaan kerucut adalah luas selimut kerucut ditambah dengan luas alasnya. Luas permukaan kerucut = luas alas + luas selimut
Luas permukaan kerucut :
L = π r2 + π rs = π r ( r + s ) ( dimensi r )
L = π ( ½ d )2 + π ( ½ d )s = ¼ π d ( d + 2s ) ( dimensi d )
7.
Bola
Sebuah bola mempunyai jari-jari r , maka luas permukaan bola adalah : Luas = 4πr2 ( dalam dimensi r )
Luas = πd2 ( dalam dimensi d )
1.
Kubus
V = a x a x a = a2
Dimana :
V = volume kubus A = panjang rusuk kubus
2.
Balok
V = p x l x t Dimana :
V = volume balok P = panjang balok L = lebar balok T = tinggi balok
3.
Prisma tegak
V = La x t Dimana :
V = volume prisma La = luas alas T = tinggi prisma
4.
Limas beraturan
V = La x t
Dimana :
t = tinggi limas
5.
Kerucut
V = La x t
Dengan La = π r2
La = π d2
Dimana :
V = volume kerucut La = luas alas T = tinggi kerucut
6.
Tabung
V = La x t Dengan La = π r2
La = π d2
Dimana :
V = volume tabung La = luas alas T = tinggi tabung
7.
Bola
V = π r3 atau = π d3
Dimana :
r. = jari-jari bola d. = 2r = diameter bola
1.
Pengertian titik garis dan bidang
a. Titik
Sebuah titik hanya bisa ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran ( dikatakan tidak berdimensi ).
Garis adalah himpunan titik-titik yang hanya mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai lebar sehingga dikatakan garis berdimensi dua.
c. Bidang
Bidang adalah himpunan titik-titik mempunyai dua ukuran yaitu panjang dan lebar.
2.
Aksioma garis dan bidang
a. Aksioma 1
Melalui dua buah titik sebrang hanya dapat dibuat garis lurus (gb a )
b. Aksioma 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang ( gb a )
c. Aksioma 3
Melalui tiga buah titik sebrang hanya dapat dibuat sebuah bidang ( gb c )
3.
Kedudukan / proyeksi garis pada bidang
Jika ada sebuah garis dan sebuah bidang maka akan diperoleh tiga kemungkinan yaitu :
a. Garis terletak pada bidang, jika semua titik pada garis itu terletak pada bidang tersebut.
b. Garis sejajar bidang, jika antara garis dan bidang tidak mempunyai satupun titik persekutuan.
c. Garis memotong bidang, jika antara garis dan bidang hanya mempunyai satu titik
perpotongan.
4.
Kedudukan / proyeksi bidang pada bidang lain.
a. Dua bidang berimpit
b. Dua bidang sejajar
c. Dua bidang berpotongan
5.
Kedudukan / proyeksi titik pada bidang
a. Titik terletak pada bidang
b. Titik diluar bidang
6.
Sudut
a. Besar sudut antara garis dan bidang
b. Besar sudut antara dua bidang
c. Besar sudut antara dua garis yang bersilang
7. Sudut antara dua bidang
3.
PERSAMAAN LINGKARANMacam-macam satuan
sudut
d. Satuan radian (rad)
e. Stuan centisimal / gon / grade
Sifat – sifat pada segitiga
6.
Segitiga istimewa
7.
Rumus keliling dan luas bidang
8.
Taksiran luas bidang tak beraturan
2.
Jenis-jenis transformasi
5. Tranlasi ( pergeseran )
6.
Refleksi ( pencerminan )
7.
Rotasi ( perputaran )
8.
Dilatasi ( perkalian )
3.
Macam-macam bangun ruang
4.
Jaring-jaring bangun ruang
8.
Kubus
9.
Prisma ( tegak )
10.
Tabung
11.
Limas
Kerucu
8.
Balok
9.
Kubus
10.
Prisma tegak
11.
Limas beraturan
12.Kerucut
13.
Tabung
14.
Bola
8.
Pengertian titik garis dan bidang
9.
Aksioma garis dan bidang
10.
Kedudukan / proyeksi garis pada bidang
11.
Kedudukan / proyeksi bidang pada bidang lain.
12.Kedudukan / proyeksi titik pada bidang
LINGKARAN
1.Lingkaran adalah himpunan (kumpulan ) titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran
2.
BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
Bentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan lingkaran yang berpusat tidak pada (0,0) berikut :
( x – a )2 + ( y – b )2 = r2
X2 – 2ax + a2 + y2 – b2 = r2
X2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Misalkan : A = - 2a atau a = - ½ A B = - 2b atau b = - ½ B C = ( a2 + b2 – r2 )
Untuk mencari nilai r ( jari-jari lingkaran ) dari persamaan diatas
X2+ y2+ Ax + By + C = 0
Bentuk umum persamaan lingkaran :
Unsur penting dalam lingkaran adalah titik pusat dan jari-jari
a. Ubah dulu setiap soal kebentuk umum : X2 + y2 + Ax + By + C = 0
b. Titik pusat ( x,y ) = ( a,b ) diperoleh dengan cara membagi koefisien x dan y dengan bilangan
( -2) atau (a,b) =
c. Jika diketahui titik-titik di ujung garis diameter lingkaran maka titik pusat adalah titik tengah
kedua titik : (a,b) =
Menemukan r = jari-jari
a. Jika diketahui bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C=0, untuk mencari r, terlebih dahulu
mencari titik pusat (a,b) maka r =
b. Jika diketahui titik pusat dan garis singgung lingkaran , jari-jari = jarak titik dengan garis, r
=
3.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik.
Jadi persamaan garis singgungnya adalah :y = mx + r
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m
Adalah y = mx + r
b. Persamaan garis singgung dengan gradien m dan berpusat di (a,b)
Dengan menurunkan rumus seperti cara diatas , diperoleh
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r dengan gradien : m
Adalah : y – b = m(x – a) + r
c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di
Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1 , y1) pada lingkaran
X2 + y2 = r2 adalah y
1 y + x1 x = r2
1. Garis singgung persekutuan luar
AB adalah garis singgung persekutuan luar
AB =
2. Garis singgung persekutuan dalam
AB adalah garis singgung persekutuan dalam
AB =
PARABOLA
Parabola adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik , disebut fokus dan suatu garis disebut direktris.
1.
Persamaan Parabola
a. Persamaan para bola dengan puncak (0,0)
Y2 = -4px
Jika titik fokus terletak disebelah kiri garis direktris Y2 = 4px
Jika titik fokus terletak pada sumbu y dan berada diatas garis direktris X2 = 4py
Jika titik fokus terletak pada sumbu y dan berada dibawah garis direktris X2 = -4py
b. Persamaan para bola dengan puncak (a,b)
Persamaan parabola dengan puncak (a,b) adalah : ( y – b )2 = 4p (x – a )
Dengan
Koordinat fokus F ( a+p,b) Persamaan direktris x = - p + a
Persamaan direktris x = p + a, maka persamaan parabolanya adalah : ( y – b )2 = - 4 (x – a )
Persamaan sumbu simetri x = 0, maka persamaan parabolanya adalah : (x – a )2 = 4p ( y – b )
Persamaan garis direktris y = p + b, maka persamaan parabolanya adalah : (x – a)2 = - 4p (y – b)
Catatan :
1. Dalam parabola yang penting diperhatikan adalah titik puncak dan nilai p. dimana nilai p
adalah jarak fokus dari nilai puncak atau jarak titik puncak dengan garis direktris. 2. Untuk parabola dengan persamaan y2 = 4px :
Apabila p > 0 grafik ( parabola ) terbuka kekanan
Apabila p < 0 grafik ( parabola ) terbuka kekiri
3. Untuk parabola dengan persamaan y2 = 4py
Apabila p > 0 grafik ( parabola ) terbuka keatas
Apabila p < 0 grafik ( parabola ) terbuka kebawah
Persamaan garis singgung parabola
Garis singgung parabola adalah suatu garis yang memotong para bola tepat pada suatu titik a. Persamaan garis singgung melalui titik(x1 , y1) pada parabola
Y1y = 2p (x1 + x) x1x = 2p (y1 + y)
(y1 – b) (y – b) = 2p (x1 – a) (x – a) (x1 – a) (x – a) = 2p (y1 – b) (y – b)
b. Persamaan garis singgung ditarik dari titik (x1 , y1) diluar parabola
Langkah-langkah menentukan garis singgung :
Tentukan titik potong persamaan garis
Polar dengan persamaan parabola
Gunakan rumus mencari garis yang melalui
Dua titik untuk menentukan persamaan garis singgungnya : G1: melalui titik T (x1 , y1) dan titik A
G2: melalui titik T (x1 , y1) dan titik B
G1 dan g2 adalah garis singgung parabola yang ditarik melalui titik T diluar parabola.
c. Persamaan garis singgung dengan gradien = m
Y = mx + y = mx – m2p
(y – b) = m(x – a) + (y – b) = m(x – a) – m2p
ELLIPS
Ellips adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tetap yang disebut fokus selalu sama.
1.
Persamaan ellips
a. Jika pusatnya di titik O (0 , 0)
X
2 + y 2 =1
A2 b2
Jika pusatnya di (0,0) dan sumbu panjang ellips berimpit dengan sumbu y, X
2 + y 2 =1
b2 a2
b. Jika pusatnya di titik (p,q)
(x – p)2 + (y – q )2 = 1
a2 b2
Jika pusat ellips (p,q) dimana sumbu panjang ellips sejajar sumbu b y (x – p)2 + (y – q )2 = 1
a2 b2
ketentuan pada persamaan ellips yaitu :
Eksentrisitasi e =
Ellips Kedudukan sumbu panjang ellips Garis direktris
(0,0) Berimpit sumbu x a
2
C c
(0,0) Berimpit sumbu y a
2
C c
(p,q) Sejajar sumbu x a
2
C c
(p,q) Sejajar sumbu y a
2
C c
2.
Persamaan garis singgung pada ellips
a. Persamaan garis singgung pada ellips X 2 + y 2 =1 dititik (x1,y1)
a2 b2
X1x + y1y =1
a2 b2
b. Persamaan garis singgung pada ellips (x-p)2 + (y-q)2 = 1 dititik (x1,y1)
a2 b2
Adalah (x1-p)(x-p) + (y1-q)(y-q) = 1
a2 b2
c. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada ellips x 2 + y 2 = 1
a2 b2
adalah y =mx +
3.
Laktus Rektum
Yang dirumuskan sebagai
LR = b 2
Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.
Persamaan hiperbola
a. Persamaan hiperbola yang berpusat di (0,0)1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x (horizontal), persamaan hiperbolanya adalah :
b2x2 – a2y2 = a2b2 atau x 2 – y 2 = 1
a2 b2
dengan :
Pusat (0,0)
Titik fokus F1(-c ,0) dan F2 (c,0)
Titik puncak (-a,0) dan (a,0)
Panjang sumbu mayor = 2a
Panjang sumbu minor = 2b
Persamaan asimptot : y = + b x
a
Persamaan direktris : x = + a 2
c
Eksentrisitas : e = c
a
Panjang lactus rectum = 2b 2
a
C2 = a2 + b2
2.
Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y
(vertikal), persamaan hiperbolanya adalah
: b2y2 – a2x2 = a2b2 atau y 2 – x 2 = 1a2 b2
dengan :
Pusat (0,0)
Titik fokus F1(0 ,-c) dan F2 (0,c)
Titik puncak (0,-a) dan (0,a)
Panjang sumbu mayor = 2a
Panjang sumbu minor = 2b
Persamaan asimptot : y = + b x
a
Persamaan direktris : y = + a 2
C
3.
Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu
utama dan sejajar sumbu y , persamaan hiper
bolanya adalah :
(y – β ) 2 – (x – a)2 = 1
dengan :
Pusat (a,β)
Titik fokus F1( ,β-c) dan F2 (a,β,c)
Titik puncak (a,β,-a) dan (a,β+a)
Panjang sumbu mayor = 2a
Panjang sumbu minor = 2b
Persamaan asimptot : y -β + a (x – a)
b
Persamaan direktris : y = β + a 2
C
4.
Persamaan garis singgung hiperbola
a. X1x - y1y =1
a2 b2
b. Pada hiperbola (x-a)2 – (y – β ) 2 = 1 di titik P ( x1,y1)
a2 b2
(x1 – a)(x – a) – (y1 – β )(y – β ) = 1
a2 b2
c. Pada hiperbola x2 - y2 = 1dengan koefisien arah m
