Lingkaran
Langsung ke: navigasi, cari
Elemen-elemen suatu lingkaran.
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
Elemen lingkaran
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:
Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu : 1. Titik pusat (P)
merupakan sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk
menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
Dll…….
Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus :
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R1 dan jari-jari luar R2.
Penjumlahan elemen juring
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
di mana untuk R1 = 0 rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
di mana digunakan
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
Pi atau π
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
Simbol Pi, π. π adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf π adalah aksara Yunani yang dibaca pi dan pi juga bisa dipakai dalam penulisan.
Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.
Rumus dengan π
Bentuk Rumus
Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
Volume bola dengan jari-jari r
Luas permukaan bola dengan jari-jari r
Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r
Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r
Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r
Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r
Asal -usul Rumus keliling Lingkaran
Sudut 1 rad: Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur sepanjang juga 1 meter. Atau dalam gambar di atas r = b = 1 meter.
Dari gambar di atas di dapatkan data sebagai berikut: r = 1 meter, K = 1 meter, Ɵ = 1 radian
Dengan,
r = jari- jari lingkaran, K = panjang busur lingkaran / keliling lingkaran
Ɵ = sudut ( satuan = radian / rad )
Jadi, panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telah dalam satuan radian.
Bukti : ( Dengan data yang diambil dari gambar di atas) K= Ɵ. r = 1 rad . 1 meter
K= 1 meter
Dengan 1 rad = 57,2957795131º 1 lingkaran = 360º
Dapat disimpulkan bahwa,
1 lingkaran = 360º/57,3 =6,283185308 rad≈ 6,3 rad Sedangkan 6,3 rad= 2 π
Berarti sudut 1 lingkaran = 2 π Jadi,
Dengan data yang sudah ada yaitu sudut 1 lingkaran =2 π, dan berdasarkan kesimpulan pertama yang didapat, yaitu
panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran,
maka, K= θ. r
K= 2π . r
Tahukah Anda, bagaimana bangun datar berupa lingkaran terbentuk pada awalnya? Terdapat dua teori berbeda yang mencoba menjelaskannya. Yang pertama adalah teori evolusi bujur sangkar. Teori ini mengatakan, lingkaran terbentuk akibat perubahan sedikit demi sedikit yang dialami oleh bujur sangkar dalam rentang waktu yang sangat lama. Dengan kata lain, bujur sangkar merupakan bentuk awal dari lingkaran. Suhu dan tekanan udara yang tinggi di masa bumi purba, gas-gas penyusun atmosfernya, serta pengaruh hujan dan petir yang sangat sering terjadi kala itu, menyebabkan keempat sudut bujur sangkar menjadi semakin tumpul dan semakin melingkar. Tingkat ketumpulan ini semakin lama semakin membesar dan melebar seiring dengan perjalanan waktu yang lamanya mencapai puluhan, bahkan ratusan juta tahun. Di akhir proses perubahan sedikit demi sedikit dan bertahap ini, lingkaran yang sempurna pun dihasilkan dari bentuk induk atau nenek moyangnya, yakni bujur sangkar. Singkatnya, lingkaran adalah hasil proses evolusi dari bujur sangkar.
Teori kedua menyatakan bahwa lingkaran adalah bentuk bangun datar yang memang
sedari awal sudah ada, dan sudah berbentuk lingkaran sempurna. Dengan kata lain,
terdapat suatu kecerdasan tertentu di luar kekuatan alam yang telah dengan sengaja
membuat lingkaran dengan ukuran diameter tertentu, sebagaimana beragam bentuk
bidang datar lainnya, termasuk bujur sangkar. Kekuatan alam semata tidak mungkin
mampu memunculkan atau membuat bujur sangkar dan lingkaran. Keduanya ada karena
sengaja dibuat secara terpisah dan sempurna. Bujur sangkar bukanlah nenek moyang dari
lingkaran, atau sebaliknya, yang berubah selama puluhan atau ratusan juta tahun akibat
peristiwa alamiah belaka. Terdapat kekuatan dan kehendak di luar alam yang secara
sengaja memunculkan kedua bentuk bidang datar ini secara terpisah.
Teori evolusi bujur sangkar menjadi lingkaran
Lucu, menggelikan dan sungguh tidak masuk akal. Demikianlah tanggapan yang akan muncul jika Anda mengisahkan secara serius teori pertama tentang asal usul lingkaran kepada orang lain, sebagaimana dipaparkan di atas. Kalau tidak percaya, Anda boleh mencobanya, sembari menggambar proses tersebut dengan ilustrasi sederhana, sebagaimana di bawah ini.
Namun teori evolusi jauh lebih tidak masuk akal dari dongeng di atas, sebab yang menjadi bahasan evolusi bukanlah sekedar bentuk sesederhana lingkaran dan bujur sangkar. Evolusi malah menganggap bahwa makhluk hidup yang merupakan bentuk tiga dimensi dengan struktur dan fungsi yang jauh lebih rumit dan sempurna, mengalami proses serupa sebagaimana dongeng di atas. Yang jauh lebih menarik lagi adalah bagaimana teori ini dapat dipercaya oleh jutaan manusia di seluruh dunia, padahal tidak terdapat bukti yang mendukungnya sebagai fakta ilmiah. Lalu ‘bukti’ apakah yang menjadikan dongeng ini mudah diterima masyarakat luas?
