soal olimpiade.doc 3161KB Apr 25 2011 02:14:28 AM

Soal dan Pembahasan

Bab Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

1. Diketahui lingkaran O dan tali busur AB.P pada keliling lingkaran. Dari P ditarik garis PQ tegak lurus AB.PR dan PS adalah garis – garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada A dan garis singgung pada B.

Buktikan bahwa PQ = !

Jawab :

PRAQ dan PQBS adalah segiempat tali busur. Segiempat PRAQ adalah segiempat tali busur

sebab PRQ = < PAQ. Segiempat PQBS adalah segiempat tali busur sebab <PQS = <PBS.

Perhatikan PRQ = PQS <PAQ = <PBS < PRQ = < PQS Jadi PRQ PQS

=

PQ2 _{= PR x PS PQ =}

2. ABCD segiempat tali busur.AC┴BD dan berpotongan di P. dari P ditarik garis – garis PX,PY,PZ dan PW yang berturut – turut tegak lurus pada AB,BC,CD dan AD. Buktikan X,Y,Z dan W kolinear.

Jawab :

Z W

D

A Q

O R

P

AXPW, BYPX,CZPY dan DWPZ adalah segiempat – segiempat tali busur. <WAP = <WXP

<PXY = <PBY <YZP = <YCP <PZW = <PDW

∆ APD siku – siku <PAD + < PDA = 900

∆ BPC siku – siku < PBC + <PCB = 900

Maka : < WXY + <WYX = <WXP + <PXY + <YZP + <PZW = <WAP + <PBY + <YCP + <PDW = WAP + <PDW + <PBY + <YCP = <PAD + <PDA + <PBC + <PCB = 900 _{+ 90}0

= 180o

3. Diketahui B dan C adalah titik – titik ujung setengah lingkaran O. A pertengahan busur BC dan M pada AC. Dari A dan C ditarik garis – garis tegak lurus BM.

Buktikan BP =PQ + QC.

Jawab :

Perpanjangan AM dan MR sehingga ABCQ adalah segiempat talibusur. < AQC = 1800 _{- <B}

= 1800 _{– 45}0 _{= 135}0

< AQR = 3600 _{– 135}0 _{– 90}0 _{= 135}0

Perhatikan ∆ AQC dan ∆AQR kongruen AR = AC Sedangkan AC = AB

Jadi AR = AC = AB

A X

B YA

C

A

B O C

R Q

Perhatikan ∆ ABR sama kaki AP BR BP = PR BP = PQ + QR

BP = PQ + QC

4. ABCD persegi panjang dan lingkaran luarnya berpusat di O. P terletak pada tepi lingkaran. X,Y,Z dan W adalah proyeksi P ke garis AB,BC,CD dan AD. Buktikan bahwa salah satu titik dari X,Y,Z dan W merupakan titik tinggi dari segitiga yang dibentuk oleh ketiga titik lainnya.

Jawab :

WPZD persegi panjang <W1 = < D1

PYBX persegi panjang <Y1 = <B1

<Y1 + <W1 = <B1 + <D1

= AP + PC

= AC

= x 1800 _{= 90}0

Perhatikan WYN

< WNY = 1800 _{– (<W}

1 + <Y1)

= 1800 _{– 90}0 _{= 90}0

Jadi WYZ

YN garis tinggi

ZP garis tinggi X adalah titik tinggi

A

W D

P

N X

Z

Y B

5. ABC lancip T didalam ABC sehingga < ATB = <BTC = <CTA. Proyeksi T ke garis

BC, CA, dan AB berturut – turut adalah titik M, N, dan P. lingkaran luar MNP

memotong BC,CA dan AB berturut – turut di M’, N’, dan P’. buktikan M’N’P’ sama sisi.

Jawab :

PN’ NP’ segiempat talibusur <AN’P’ = <APN

APTN segiempat talibusur <APN = <ATN

Maka : <AN’P’ = <APN = <ATN

Dengan cara yang sama <CN’M’ = <CMN = < CTN

< AN’P’ + <CN’M’ = <ATN + <CTN = <ATC

= 1200

<P’N’M’ = 1800 _{– 120}0 _{= 60}0

Dengan cara yang sama < N’M’P’ = 600

< N’P’M’ = 600

Jadi M’N’P’ sama sisi.

6. Diketahui setengah lingkaran berdiameter AB. Titik C terletak pada busur AB dan D pertengahan busur AAC. E adalah proyeksi titik D ke BC. AE memotong busur AB di F. perpanjangan BF memotong DE di M. buktikan DM = ME.

A

C B

N P

Berdasarkan titik kuasa M terhadap lingkaran MD2 _{= MF x MB ………. I}

Perhatikan BEM siku – siku di E

EF BM EM2 _{= MF x MB ……….. II}

Dari I dan II EM2 _{= MD}2

EM = MD

7. Diketahui lingkaran O. AB adalah diameter dan ABCD segiempat tali busur. AC dan BD berpotongan di E sedangkan AD dan BC berpotongan di F. EF memotong busur AB. Buktikan E titik tengan GH jika dan hanya jika G titik tengan FH.

Jawab : F

Perhatikan ABF AC BC maka AC BF, BD AF. AC dan BD adalah garis tinggi

HEB R HAF akibatnya =

HE x HF = HA x HB ………. I

Perhatikan ABG AH x HB = HG2 _{………. II}

dari I dan II HE x HF = HG2

Berarti FG = GH G pertengahan FH dan E pertengahan GH.

8. Diketahui titik P di dalam lingkaran. Jika tiga buah tali busur yang melalui P yaitu AB, CD, dan EF sama panjang, buktikan bahwa P adalah titik pusat lingkaran tersebut.

A

H

C E D

Jawab :

Berdasarkan kuasa P terhadap lingkaran ab = cd = ef sedangkan a + b = c + d = e + f berdasarkan pasangan berurut {a,b} = {c,d} = {e,f}

a = c = e P pusat lingkaran

b = d = f P pusat lingkaran

P adalah pusat lingkaran tersebut.

9. Pada lingkaran berikut, AB adalah diameter lingkaran. garis CD dan EF tegak lurus terhadap garis AB. jika panjang AP, PQ, dan QB berturut – turut adalah 5, 7 dan 9. berapakah jumlah panjang CP dan EQ?

jawab:

CP dan PD akibatnya : AP.PB = CP.PD

A

B

C D

E F

a

e d

P b f

c

A B

C

D _F

E

P Q

5.16 =CP2 _{CP = = 4}

EQ = QD akibatnya : AQ.QB = EQ.QD

12.9 = EQ2 _{EQ = = 6}

jadi, panjang CP + EQ =4 + 6

10. Pada gambar berikut, tiga buah lingkaran X,Y, dan Z bersinggungan di titik O. titik pusat Y terletak di Z dan titik pusat X terletak di Y. jika jari – jari Z adalah r, maka luas daerah yang tidak diarsir adalah…

Jawab :

Karena pusat lingkaran Y terletak di Z maka jari-jari lingkaran Y sama dengan diameter

lingkaran Z. jadi, luas lingkaran Y = (2r)2 _{π = 4πr}2

luas daerah yang diarsir adalah 4πr2 _{– πr}2 _{= 3πr}2_.

kemudian, jari-jari lingkaran X adalah diameter lingkaran Y yaitu 2(2r) = 4r. jadi, luas daerah yang tidak diarsir adalah π (4r)2 _{- 3πr}2 _{= 16 πr}2 _{- 3πr}2 _{= 13πr}2

11. Sebuah lingkaran berjari-jari r. AB dan CD adalah diameter lingkaran tersebut yang saling tegak lurus dengan CM = 0,2. jika MN // AB dan NG // CD, panjang MG adalah…

Jawab :

X Y Z O

A _B

D C

O G

Jelas karena MG = ON = jari jari lingkaran = r

12. Sebuah lingkaran berjari jari 4 berada dalam segitiga sama sisi. jika luas daerah di luar

lingkaran dan di dalam segitiga adalah – πy . nilai x + y adalah…

Jawab :

misalkan panjang sisi segitiga sama sisi adalah α satuan panjang.

R (dalam) =

4 = / α



4. .α =



α = 8

13. Dua buah lingkaran sepusat berjari – jari R1 dan R (R1 > R). ABCD adalah segiempat tali

busur pada lingkaran kecil. Perpanjang rusuk AB, BC, CD, DA memotong lingkaran besar

di C1,D1, A1 dan B1. Buktikan ≥

Kuasa titik A1, B1,C 1,D 1 terhadap lingkaran kecil

X (x + d) = y(y + a) = z(z + b) =w(w + c) = R12 – R2

Luas AB1C1 = (a + y) x sin A1

= (a + y) x sin ( 1800 _{– A} 2)

Misalkan

AB = a A1D = w

BC = b B1A = x

CD = c C1B = y

= (a + y)x sin A2

Luas ABCD = (ad + bc) sin A2

=

Dengan cara yang sama

=

=

=

= 1 + +

= 1 + + + +

= 1 + (R12 – R2)[ + + + ]

= 1 +

Menurut AM – GM

2 (ad +bc) (ab +cd)

≤ (a+b+c+d)2

8R2

Kedua ruas dibagi 2

4R2

≥1 +

≥

≥

≥

14. Lingkaran O mempunyai diameter 10 cm dan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi. Berapa pendekatan luas daerah yang terdekat?

Jawab :

2 (Luas juring – Luas segitiga sama sisi)

= 2( 52 _{- )}

= 25( - )

= 4,5…

A

C B

15. Diberikan dua buah lingkaran yang saling bertumpukan seperti pada gambar di bawah. Luas daerah yang diarsir adalah …

Jawab :

Luas daerah yang diarsir = 4 (luas tembereng)

= 4( .12_{. - )}

= ( - )

=

16. Di dalam lingkaran berjari-jari 4, terdapat dua buh lingkaran lain berjari-jari 2 yang tidak saling berpotongan dan pusatnya terletak pada diameter lingkaran besar. Di atas kedua lingkaran, terdapat pula sebuah lingkaran seperti pada gambar di bawah. Berapakah jari-jari lingkaran kecil?

jawab:

Perhatikan segitiga ABC di atas.

Karena segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku di C maka berlaku: (2 + x)2 _{= 2}2 _{+ (4 - x)}2

4 + 4x + x2 _{= 4+16 - 8x + x}2

12x = 16

x = =

1

A C

B rr r

2 2 2

17. Gambar kedua busur berikut merupakan seperempat lingkaran. Jika jari-jari setiap ligkaran 4. Berapakah luas daerah tersebut?

Jawab :

Luas daerah tersebut adalah luas tembereng + luas seperempat lingkaran = (luas segiempat – luas seperempat lingkaran) + luas seperempat lingkaran = luas segiempat

= 4 x 4 = 16 ]

18. Dua buah lingkaran dengan pusat di O1 dan O2 dengan jari-jari masing-masing 30 dan 10. Kemudian dibentuk garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran tersebut. Hitunglah luas daerah yang dibentuk kedua lingkaran dan garis lurus!

Jawab :

Pada ilustrasi di atas, dapat dilihat bahwa terbentuk segitiga siku-siku. dari sini dapat diperoleh jarak titik singgung kedua lingkaran tersebut yaitu :

=

=

=20

Dari sini diperoleh perbandingan panjang sisi segitiga sebagai berikut:

30

O1

10 O2

O1 30

30

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah: = luas trapesium - luas juring1 - luas juring 2

= (30+10) 20 -

= 400

= 400

19. Ketiga lingkaran di bawah ini mempunyai ukuran yang sama dengan pusat O1, O2, dan O3. Titik potong atas A, B, dan C membentuk garis lurus. Hitunglah perbandingan sudut CO3W dengan sudut CO1W!

Jawab :

Misalkan sudut BCO3 adalah x (dalam derajat) dan sudut CO3W adalah y (dalam derajat).

Karena BCO3 segitiga sama kaki maka sudut yang dibentuk oleh CBO3 juga sama dengan x.

Akibatnya sudut BCO3 = - 2x.

Dari sini diperoleh sudut BO301 = 1800_-(1802_-2x)-y=2x-y.

Perhatikan kembali bahwa segitiga 02BO3 merupaka segitiga sama kaki sehingga sudut BO203 = sudut BO301 = 2x-y.

20. Pada lingkaran yang ditunjukkan berikut, taki busur AB dan CD berpotongan di titik P dan saling tegak lurus. Jika AP = 4, PB = 6 dan PC = 2, berapakah luas lingkaran?

40 ₂₀

300

600 1 2

01 02 03

A B C

W

A

G P D

jawab:

Dengan garis pertolongan di atas, diperoleh segitiga dalam lingkaran dengan panjang AD dan DB berturut-turut adalah :

AD=

DB=

Dari sini diperoleh:

Rluar=

=

=

Jadi, luas lingkaran adalah

21. Tiga buah lingkaran, masing-masing dengan jari-jari 10 cm saling bersinggungan dengan yang lain sehingga pusat dari tiga lingkaran tersebut semuanya berada pada satu garis yang lain. Lingkaran-lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam dari persegi panjang, sedangkan persegi panjang tersebut berada pada lingkaran besar seperti pada gambar. Berapakah luas dari lingkaran besar?

jawab:

A

G P D

B 12

4 6

2

Karena jari-jari lingkaran kecil 10 cm, maka persegi panjang tersebut mempunyai panjang 60 cm dan lebar 20 cm sehingga jari-jari lingkaran dapat dicari denggan menggunakan rumus phytagoras :

r2 _{= 30}2_-102 _{= 900-100}

= 800

Jadi, luas lingkaran besarnya adalah

22. Lingkaran dengan pusat A berjari-jari 3 cm dan lingkaran dengan pusat B berjari-jari 1 cm seperti terlihat pada gambar. Jarak dari O ke D adalah…

Jawab :

Pandang segitiga AIB sebangun dengan segitiga AEC, diperoleh :

AI

Berdasarkan sifat tali busur laying-layang, diperoleh :

ACH

Segitiga siku-siku ACE dilukiskan seperti gambar di atas _{ ACE 30}0_.

Hal ini berarti _{OCD 60}0_{. Berdasarkan perbandingan segitiga siku-siku diperoleh :}

Karena OC(33 3)a

maka ODa 3

(33 3). 3

3 39

Jadi, jarak dari O ke D adalah (3 39)cm.

23. Pada gambar disamping terdapat sebuah seperempat lingkaran besar, di dalamnya ada dua buah setengah lingkaran sedang dan kecil. Jika panjang jari-jari seperempat lingkaran 12 cm, hitunglah jari-jari setengah lingkaran terkecil.

jawab:

Misalkan jari-jari setengah lingkaran terkecil



r

.

Dengan membuat seketsa segitiga seperti disamping, diperoleh hubungan sisi menurut teorema Pythagoras sebagai berikut :

2

2 _{12r 36 36 144 24r r}

r      

36r 144

r 4

Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil = 4 cm.

24. Pada gambar di samping, luas arsiran daerah

9 8 

A bagian A, sedangkan luas arsiran

daerah

15 11 

B bagian B. Hitunglah perbandingan luas daerah A terhadap luas daerah B.

Jawab :

Daerah A dan B beririsan berupa daerah yang tidak diarsir.

Luas daerah tidak diarsir A luas daerah tidak diarsir B.

B

Jadi perbandingan luas daerah A terhadap luas daerah B adalah

Luas A : Luas B36:1512:5

25. Diketahui segiempat tali busur ABCD. Pusat lingkaran luarnya adalah O dan diameternya

25. Ditarik garis OPAD dan OQCD. Tentukan panjang sisi AB, BC, CD, DA, OP,

dan OQ dalam bentuk bilangan asli! Jawab :

Perhatikan segitiga OPD

_OD2 _OP2_PD2

Perhatikan segitiga OQD

252 4OQ2CD2

Beberapa kemungkinan OP = 12 dan AD = 7

Perhatikan segitiga ADC 49 225 126 400

5

dengan mempergunakan rumus persamaan kuadrat:

Jadi panjang sisi ABCD adalah 5, 15, 20, 24

26. Misalkan a dan b menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah. Kelima lingkaran kecil berjari-jari r. Titik-titik pusat lingkaran kecil yang menyinggung lingkaran

besar merupakan titik-titik sudut persegi. Jika a 10cm2_{, maka b ...}

jawab:

Misalkan r adalah jari-jari lingkaran kecil-kecil. Dari yang diketahui, _r2_{ }10

Di lain pihak, jari-jari lingkaran besar adalah 3r

Luas daerah b yang diarsir adalah:

 

2 2 2

27. Pada gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r. Jika panjang

ruas garis ED juga sama dengan r, buktikan bahwa  DEC  AOB

3 1

!

Jawab :

Gunakan garis bantuan OD yang panjangnya r (jari-jari lingkaran).

28. Diketahui sebuah lingkaran berdiameter AB. Titik C, D, dan E terletak pada busur AB dan sepihak terhadap AB. Titik F terletak pada bagian busur AB lainnya,

0

20     

AC CD BE dan _{BF 60}0_{. M adalah titik potong BD dan CE. Buktikan}

FE

FM  .

jawab:

segitiga BOF sama sisi OF BF OB

BECD OM garis bagi DOB

0

80  MOB

0

80   OBE

maka trapesium MOBE sama kaki.

EB MOB 

_{MOF 80}0_600 _1400

EBF

Jadi, OMFBEF  FM FE

29. Luas daerah yang diasir setengah dari luas yang tidak diasir. panjang AB dibagi panjang AC adalah…..

jawab:

luas yang diasir = luas daerah yang tidak diasir

A B

C D

E M

O

π r2 _{= ( π (R}2 - _r2₎₎

2 π2 _{= R}2 _-r2

3 r2 _{= R}2 _-r2

=

=

=

30. Dari gambar berikut ini diketahui bahwa jari – jari lingkaran yang kecil adalah 3 cm dan jari – jari lingkaran yang besar adalah 5 cm. panjang CD adalah….. cm

jawab

A B

C D

A B

C D

E

F =

=

5 CD + 15 = 3 CD + 33

DAFTAR PUSTAKA

Kurniawan. 2007. Siap Juara Olimpiade Matematika SMP. Jakarta: Erlangga.

Binatari Nikenasih. 2009. Super Jenius Olimpiade Matematika SMP. Jakarta : Pustaka

Widyatama.

Sukino. 2009. Maestro Olimpiade Matematika SMP. Jakarta : Erlangga.