7 | P a g e
BILANGAN BULAT POSITIF
A. Definisi Bilangan Bulat Positif
Coba kalian sebutkan anggota bilangan bulat positif?
Himpunan bilangan bulat positif = Perhatikan berikut:
Ambil
Bagaimana perbandingan nilai dan ? Bagaimana nilai dari Ambil
Bagaimana perbandingan nilai dan ? Bagaimana nilai dari ? Ambil
Bagaimana perbandingan nilai dan ? Bagaimana nilai dari ( ) ? Kesimpulan
Ambil sebarang ,
Jika , bagaimana nilai , apakah termasuk bilangan bulat negatif atau nol ataukah positif ?
Definisi
Untuk bilangan bulat ,jika bilangan bulat positif, maka atau bisa dituliskan
B. Sifat-sifat pada Bilangan Bulat Positif Ambil
Bagaimana dengan hasil , apakah juga merupakan anggota bilangan bulat positif?
Bagaimana dengan penjumlahan dua bilangan bulat positif lainnya, apakah hasilnya juga merupakan anggota bilangan bulat positif?
Closure for the positive integers
Untuk bilangan bulat positif, dan bilangan bulat positif
Materi Perkuliahan II
Pada akhir perkuliahan, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Memahami definisi, dan sifat-sifat dalam operasi bilangan bulat positif
2. Memahami teorema-teorema dalam bilangan bilangan bulat positif 3. Menggunakan definisi, sifat-sifat dan teorema dalam membuktikan
sebuah teorema baru.
8 | P a g e Trichotomy law
Untuk bilangan bulat, maka ada 3 kemungkinan yaitu (i) , (ii) dan (iii) atau
C. Teorema-teorema dalam Bilangan Bulat Positif Contoh Pembuktian Teorema 1
Misal dan bilangan bulat jika dan maka tunjukkan bahwa !
Bukti:
No Pernyataan Alasan
1 2 3 4 5 6
( )
Premis
Definisi Bilangan Bulat Positif Sifat tertutup
Sifat distributif
Definisi Bilangan Bulat Positif Manipulasi
Contoh Pembuktian Teorema 2
Untuk sebarang , maka Bukti:
Pernyataan Alasan
1 2 3 4 5 6
atau
Untuk ,
Untuk , ( ) ( ) dan ( ) ( )
Premis Sifat trikotomi
Sifat tertutup pada perkalian Sifat tertutup pada perkalian Pada pembuktian sebelumnya
3 dan 4
D. Latihan Soal
1. Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat positif, buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat dengan dan , maka berlaku:
(a) (b)
9 | P a g e (c)
2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat dengan dan , maka berlaku
3. Buktikan pernyataan berikut dengan menggunakan sifat-sifat bilangan bulat dengan bilangan bulat:
(a) Jika dan , maka (b) Jika dan , maka (c) Jika , maka
(d) Jika , dan , maka (e) Jika , dan , maka
(f) Jika , maka
(g) jika hanya jika
4. Buktikan bahwa untuk untuk setiap bilangan bulat dengan , maka berlaku atau !
5. Diketahui dan bilangan bulat, dan tidak keduanya nol, maka !
E. The Well Ordering Property
Setiap himpunan tak kosong dari bilangan bulat positif yang mempunyai anggota terkecil
Bagaimana dengan bilangan bulat, bilangan bulat negatif, apakah termasuk
“The Well Ordering Property”?
F. The Greatest Integer Definisi
The Greatest Integer dari sebuah bilangan real dinotasikan [ ] adalah bilangan bulat kurang dari atau sama dengan
[ ] [ ] Contoh:
[ ] [ ] [ ] [ ]
10 | P a g e Soal
1. Tentukan nilai dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut!
a. [ ⁄ ] c. [ ⁄ ] b. [ ⁄ ] d. [ ]
2. Buatlah grafik yang merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar pada Diagram Cartesius!
G. Bilangan Rasional dan Irrasional Bilangan Rasional
Meminta mahasiswa menyebutkan salah satu contoh bilangan rasional dan bilangan pecahan.
Bertanya kepada mahasiswa mengenai perbedaan bilangan rasional dengan bilangan pecahan
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan daam bentuk , dan . Sedangkan bilangan pecahan adalah bilangan yang
dinyatakan dalam bentuk , dan .
Contoh bilangan rasional, yaitu dan lain sebagainya. Contoh bilangan pecahan adalah dan lain sebagainya.
Bertanya kepada mahasiswa, “mengapa bilangan dan merupakan bilangan rasional? Serta jelaskan!”.
Jawaban:
a.
Misalkan (1)
Kedua ruas dikalikan dengan (karena dua angka berulang), sehingga diperoleh (2)
Persamaan (2) dikurangi persamaan (1), diperoleh Sehingga diperoleh
Jadi,
b.
Misalkan (3)
11 | P a g e Kedua ruas dikalikan dengan (karena tiga angka berulang), sehingga diperoleh (4)
Persamaan (4) dikurangi persamaan (3), diperoleh Sehingga diperoleh
Jadi,
Kesimpulan : Bilangan rasional belum tentu bilangan pecahan, sedangkan bilangan pecahan pasti merupakan bilangan rasional.
Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak rasional. Contoh bilangan irrasional adalah √ dan lain sebagainya.
H. Latihan Soal
1. Apakah termasuk bilangan rasional? Jika iya, nyatakan bilangan tersebut ke dalam bentuk , dan !
2. Apakah termasuk bilangan rasional? Jika iya, nyatakan bilangan tersebut ke dalam bentuk , dan !
3. Apakah termasuk bilangan rasional? Jika iya, nyatakan bilangan tersebut ke dalam bentuk , dan !
4. Apakah termasuk bilangan rasional? Jika iya, nyatakan bilangan tersebut ke dalam bentuk , dan !
