Bilangan Hiperbolik dan Aplikasinya dalam Teknik Elektro

(1)

UNIVERSITAS MURIA

KUDUS MATEMATIKA

TEKNIK II

TEKNIK ELEKTRO

SEMESTER 4

NAMA :

NIM :

2018 RIZKI SAPUTRA SEMBIRING

201652026

(2)

DAFTAR ISI

BAB I BILANGAN HIPERBOLIK ... 1

1.1 Pendahuluan ... 1

1.1.1 Deskripsi ... 1

1.1.2 Manfaat dan Relevansi ... 1

1.1.3 Standart Kompetensi ... 1

1.1.4 Kompetensi Dasar ... 1

1.2 Bilangan Hiperbolik ... 1

1.3 Hiperbolik dalam Grafik ... 2

1.4 Perhitungan Fungsi Hiperbolik ... 3

1.5 Invers Hiperbolik ... 3

1.6 Latihan Soal ... 4

1.7 Daftar Pustaka ... 5

BAB II APLIKASI BILANGAN HIPERBOLIK DALAM TEKNIK ELEKTRO ... 6

2.2 Identitas - identitas ... 7

2.3 Pers. Bil. Kompleks dan Hiperbolik ... 8

BAB III INTEGRAL LANJUT ... 10

3.2 Integral Baku ... 11

3.3 Pembahasan Integral Baku ... 12

3.4 Integral dalam Trigonometri ... 17

BAB IV TRANSFORMASI LAPLACE ... 21

4.2 Transformasi Laplace ... 22

4.3 Transformasi Laplace Invers ... 23

4.4 Transformasi Laplace Turunan ... 25

(3)

BAB I

BILANGAN HIPERBOLIK

1.1 Pendahuluan

Persamaan hiperbolik memiliki kemiripan dengan trigonometri, yang sifatnya merupakan fungsi sirkular. Lebih sederhana lagi merupakan fungsi lingkaran.

Letak perbedaan fungsi trigonometri bersifat periodik, selalu berubah-rubah dan membentuk pola yang sama.

1.1.1 Deskripsi

Pada materi bilangan hiperbolik ini akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan perhitungan teknik elektro, antara lain; dasar bilangan hiperbolik, hiperbolik dalam grafik fungsi, perhitungan fungsi hiperbolik, dan invers hiperbolik.

1.1.2 Manfaat dan Relevansi

Matematika teknik bukan sekedar belajar matematika saja, kemudian selesai tanpa bekas apa-apa. Matematika teknik merupakan sarana terpenting dalam membekali para mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan keteknikan yang berkaitan dengan bilangan hiperbolik.

1.1.3 Standart Kompetensi

Pemahaman yang mendalam mengenai teknik elektro tidak lepas dari konsep matematika. Jadi matematika merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk membuka cakrawala dalam memahami materi bilangan hiperbolik.

1.1.4 Dasar Kompetensi

1. Mahasiswa dapat mengenal bilangan hiperbolik

2. Mahasiswa mengenal fungsi grafik bilangan hiperbolik

3. Mahasiswa bisa mengunakan kalkulator mendapatkan bilangan hiperbolik 4. Mahasiswa dapat menghitung invers hiperbolik

1.2 Bilangan Hiperbolik

Exponensial merupakan bilangan dasar pembentukan fungsi hiperbolik, Apa itu exponensial ? Exponensial adalah bilangan berpangkat dengan bilangan dasar merupakan

(4)

hasil dari penjumlahan sebuah deret.

2 3

1 ...

2! 3!

x x x

e   x  

untuk pangkat 1 nilai dari e x = e ≅ 2, 718281828 . Jadi exponensial memiliki bilangan dasar 2,718281828……..

Bilangan hiperbolik dapat didefinisikan sebagai berikut;

sinh 2

x x

e e x

 



cosh 2

x x

e e x

 



Dari komponen dasar fungsi hiperbolik dapat diturunkan fungsi-fungsi turunan yang lain sepeti,

sinh cosh tgnh x x

 x

1.3 Hiperbolik dalam Grafik

Seperti yang dijelaskan diatas fungsi hiperbolik merupakan fungsi lingkaran, dengan membentuk kurva-kurva yang menyerupai lingkaran. Dapat dilakukan percobaan untuk membentuk grafik dari fungsi hiperbolik.

sinh 2

x x

e e x

 



apabila nilai x disusun berdasarkan beberapa nilai maka diperoleh nilai dari sinh x.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

e^x 0,05 0,135 0,36 1 2,7 7,4 20 e^-x 20 7,4 2,7 1 0,36 0,135 0,05 Sinh x -10 -3,63 -1,17 0 1,17 3,63 10

Lanjutkanlah hasil dari nilai x, untuk nilai selanjutnya diatas, dan buatkanlah garis bilangan dengan sumbu x dan y.

Sumbu ini diolah dengan menentukan bahwa nilai x adalah nilai yang telah diketahui seperti pada tabel. Untuk sumbu y dibagi atas beberapa bagian yaitu,

x x

y e y e^



(5)

Tugas.

1). Dengan cara yang sama hitunglah fungsi cosh x, dan buatkanlah garis bilangan dengan sumbu x dan y.

2). Selanjutnya lakukan juga untuk fungsi turunan dibawah ini, dan buatkanlah garis bilangan dengan sumbu x dan y.

sinh cosh tgnh x x

 x

1.4 Perhitungan Fungsi Hiperbolik

Untuk menghitung nilai fungsi hiperbolik dapat dilakukan dengan berbagai cara : 1. Dengan menggunakan persamaan deret exponensial.

2. Dengan tabel hiperbolik.

3. Dengan kalkulator.

Cara termudah adalah dengan menggunakan kalkulator. Dengan cara kalkulator ada dua cara,

1. Dengan mengunakan rumus.

Contoh; hitunglah sinh 4.

Jawab.

4 4

sinh 4

2

4 ( 4 )

2 54, 6 0, 02

2 27, 29

x x

e e

shift e shift e

 



  

 



2. Dengan cara langsung.

Contoh; hitunglah sinh 4.

Jawab.

sinh 4 4 sin 27, 29

 hyp



1.5 Invers Hiperbolik

Invers hiperbolik adalah kebalikan nilai, pada saat mencari nilai fungsi hiperbolik berarti memperoleh nilai pada sumbu y. Invers berarti kebalikanya yaitu yang diketahui sumbu y , yang akan dicari adalah sumbu x.

(6)

Notasi invers hiperbolik,

1

sinh

sinh cosh

cosh x y

maka x y

y x

maka y x





Contoh.

1). Hitunglah sinh 2,111^¹ Jawab.

Dengan rumus,

 

1

2

sinh 2,111 sinh 2,111

2,111 2

4, 222 1 4, 222

1 4, 222.

4, 222. 1 0

x x

e e e e e e

e e





 

  

Dengan menggunakan rumus abc, maka;

4, 222 4, 2222 4.1. 1 2

4, 446 0, 224

x

x x

e

e atau e

  



  

Dari hasil diatas x positif pada kurva y positif pula, maka jawaban yang tepat adalah, 4, 446

ln 4, 446 1, 492 ex

x x



 Cara langsung,

2,111 sin 1, 492

x hyp shift 

1.6 Latihan Soal 1. Gunakan cara rumus,

a. sinh 3,12 g. sinh 12,34

(7)

c. tgh 0,123 i. Cosh 1 d. sinh -2,134 j. cosh 1000

e. cosh 3,123 k. tgh 5

f. tgh -0,432 l. tgh 0,99999 2. Gunakan cara langsung,

a. sinh 13,12 g. sinh 122,34 b. cosh 15,32 h. sinh -122,34 c. tgh 0,12334 i. Cosh 11 d. sinh -12,254 j. cosh 10001 e. cosh 13,1213 k. tgh 15 f. tgh -101,41132 l. tgh 0,99999 3. Gunakan cara rumus,

a. Sinh-1 3,12 g. sinh-1 12,34 b. cosh-1 5,32 h. sinh-1 -12,34

c. tgh-1 0,123 i. Cosh-1 -1 (sebutkan sebabnya) d. sinh-1 -2,134 j. cosh-1 1000

e. cosh-1 3,123 k. tgh-1 5 f. tgh-1 -0,432 l. tgh-1 0,99999 4. Gunakan cara langsung,

a. sinh-1 13,12 g. sinh-1 122,34 b. cosh-1 15,32 h. sinh-1 -122,34 c. tgh-1 0,12334 i. Cosh-1 11 d. sinh-1 -12,254 j. cosh-1 10001 e. cosh-1 13,1213 k. tgh-1 15 f. tgh-1 -101,41132 l. tgh-1 0,99999 1.7 Daftar Pustaka

K.A. Stroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, Edisi ketiga, Erlangga, Jakarta.

K.A. Stroud, D.J. Booth, Matematika Untuk Teknik, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.

(8)

BAB II

APLIKASI BILANGAN HIPERBOLIK PADA TEKNIK ELEKTRO

2.1 Pendahuluan

Pemanfaatan persamaan hiperbolik dibidang teknik elektro sangat banyak sekali, namun pada pertemuan ini diambil pada saluran panjang transmisi tenaga listrik.

Kemampuan menyelesaikan persoalan saluran panjang, ditunjang oleh pemakaian bilangan kompleks pada persamaan hiperbolik. Bekal yang diberikan akan bermanfaat untuk penerapan- penerapan yang lain di bidang intra teknik elektro maupun antar bidang.

2.1.1 Deskripsi

Aplikasi bilangan hiperbolik pada teknik elektro ini akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan perhitungan teknik elektro, antara lain; identitas dengan menggunakan bentuk lain untuk mempermudah penyelesaian, persamaan bilangan kompleks dengan bilangan hiperbolik.

2.1.2 Manfaat dan Relevansi

Matematika teknik bukan sekedar belajar matematika saja, kemudian selesai tanpa bekas apa-apa. Matematika teknik merupakan sarana terpenting dalam membekali para mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan keteknikan yang berkaitan dengan aplikasi bilangan hiperbolik pada teknik elektro.

Pemahaman yang mendalam mengenai teknik elektro tidak lepas dari konsep matematika teknik. Sehingga matematika merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk membuka cakrawala dalam memahami materi aplikasi bilangan hiperbolik pada teknik elektro.

1. Mahasiswa dapat membedakan identitas hiperbolik dan trigonometri.

2. Mahasiswa menyelesaikan persoalan hiperbolik dengan bilangan kompleks.

(9)

2.2 Identitas-identitas

Identitas adalah persamaan dengan menggunakan bentuk bentuk lain atau boleh juga disebut dengan persamaan turunan. Gunaya adalah untuk mempermudah menyelesaikan atau menganalisa persamaan.

Bila diperhatikan identitas persamaan hiperbolik mirip dengan persamaan trigonometri. Ada beberapa kriteria yang sama dan ada yang berbeda, 1. bentuk-bentuk turunan dasar adalah sama.

contoh : cot 1

sec 1

cosh th x tgh x

h x x



2. Perbedaan tanda mutlak terjadi pada sinh2 x baik langsung ataupun tidak langsung.

Langsung Contoh :

Cosh ²x – sinh ²x = 1 pada trigonometri;

Cos ²x – sin ²x = 1 Tidak langsung,

Contoh:

2

2 2 1

tgh x tgh x

tgh x

 

pada trigonometri;

2

2 2 1 tg x tg x

 tg x

 Kenapa demikian ?

Karena;

2 2

2

sinh cosh tgh x x

x

  

Dengan mengunakan identitas penganalisaan akan lebih mudah.

Ada beberapa identitas yang dibutuhkan untuk pembahasan berikutnya, sinh(a + b) = sinh a.cosh b + cosh a.sinh b

sinh(a − b) = sinh a. cosh b − cosh a.sinh b cosh(a + b) = cosh a. cosh b + sinh a.sinh b

(10)

cosh(a - b) = cosh a. cosh b − sinh a.sinh b

2.3 Persamaan Bilangan Kompleks dan Hiperbolik

Bentuk terakhir dalam persamaan bilangan komplek adalah exponensial, yaitu;

. ^j . ^j

xr e^ atau xr e^^ Apa titik temu kedua persamaan ini adalah exponensial.

Persamaan bilangan kompleks;

cos sin ej^   j  atau

cos sin e^j^   j  Bila dijumlahkan;

2.cos

j j

e^ e^^   Maka;

cosh 2

j j

e e

j

 

 ^ ^ 2.cos cosh j 2  cosh jcos Sedangkan sinh j  jsin Misalkan θ = jx

cosθ = cosh jθ cos jx = cosh( j

2

x)

= cosh(− x) cos jx = cosh x j sin θ = sinh jθ j sin jx = sinh j( jx) j sin jx = sinh j

2

x j sin jx = sinh(− x) j ² sin jx = − j sinh x

− sin jx = − j sinh x sin jx = j sinh x

(11)

Dengan mengunakan identitas, persolan dibawah ini dapat diselesaikan, Contoh.

1). Selesaikanlah sinh (3+j3)…….!

Jawab.

 

sinh 3 3 sinh 3.cosh 3 cosh 3.sinh 3 10.cos 3 10. sin 3

10.0, 998 10. 0, 052 9, 998 0, 52

j j j

  

 

2). Selesaikanlah sin (4+j2)…….!

Jawab.

 

sin 4 2 sin 4.cos 2 cos 4.sin 2 0, 069.cosh 2 0, 997. sinh 2 0, 069.3, 762 0, 997. 3, 626 0, 259 3, 615

j j j

  

 

2.4 Latihan Soal 1. Selesaikanlah

a. sinh (3+j5) b. cosh (2,1-j4,2) c. sinh (-2-j3) d. cosh (-4,21-j1,11) 2. selesaikanlah

a. sin (1 - j2) b. cos (4 + j4) c. sin (2,22 + j3) d. cos (1,23 - j2) 2.5 Daftar Pustaka

(12)

BAB III

INTEGRAL LANJUT

3.1 Pendahuluan

Pemanfaatan integral lanjut dibidang teknik elektro sangat banyak sekali, namun pada pertemuan ini dari pembahasan kita tentang program integrasi/integral, kita ketahui bahwa penyebutnya dapat difaktorkan dan karena itu fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam pecahan parsialnya.

3.1.1 Deskripsi

Pada bab ini akan membahas integral lanjut dengan beberapa materi sebagai berikut; menghitung integral berbentuk 1/(Z² – A²), integral berbentuk 1/(Z² + A²), integral berbentuk 1 ₂ ₂

A Z , integral berbentuk 1 ₂ ₂

Z A , integral berbentuk

2 2

1

Z A , integral berbentuk A²Z², Z²A², Z² A² , integral berbentuk



² ²

  

1 , 1

sin cos

sin cos a b x c x

a b x c x  

3.1.2 Manfaat dan Relevansi

Matematika teknik bukan sekedar belajar matematika saja, kemudian selesai tanpa bekas apa-apa. Matematika teknik merupakan sarana terpenting dalam membekali para mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan keteknikan yang berkaitan dengan integrasi lanjut.

Pemahaman konsep dalam menghitung integral dari suatu integran beberapa bentuk dari matematika teknik merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk memahami manfaat integral di bidang teknik.

1. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1/(Z² – A²).

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan integral berbentuk 1/(Z² + A²).

(13)

3. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1 ₂ ₂ A Z . 4. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk 1 ₂ ₂

Z A . 5. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk

2 2

1

Z A 6. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk

2 2 2 2 2 2

, ,

A Z Z A Z A

7. Mahasiswa dapat menghitung integral berbentuk



² ²

  

1 , 1

sin cos

sin cos a b x c x

a b x c x  

3.2 Integral Baku

Inilah bentuk-bentuk baku dari integral lanjut yang diperoleh untuk masing-masing jenis dicantumkan perolehannya.

a. ₂ ₂ 1

2 ln

dZ Z A

Z A A Z A C

  

  

   



b. ₂ ₂ 1

2 ln

dZ A Z

A Z A A Z C

  

  

   



c. ₂ ₂ 1 ¹

dZ tan Z

Z A A A C

  

  

  



d. ¹

2 2 sin

( )

dZ Z

A C

A Z

  

  

  



e. ¹

2 2 sinh

( )

dZ Z

A C

Z A

  

  

  



f. ¹

2 2 cosh

( )

dZ Z

A C

Z A

  

  

  



g.



₂ ₂



² ₁



² ²



sin 2

2

Z A Z

A Z

A Z dZ C

A A



  

   

      



h.



₂ ₂



² ₁



² ²



sinh 2

2

Z Z A

A Z

Z A dZ C

A A



  

   

     

   

 



(14)

i.



₂ ₂



²



² ²



₁

2 cosh

2

Z Z A

A Z

Z A dZ C

A A



  

  

      



3.3 Pembahasan Integral Baku a. Pecahan parsial

2 2

1 ln 2

dZ Z A

Z A A Z A C

  

  

   



contoh.

1). Hitunglah ₂ 25 dZ Z 



Jawab.

2 2 2

1 5

25 5 10.ln 5

dZ dZ Z

Z Z Z C

  

   

    

 

2). Hitunglah ₂ 1

4 2dx x  x



Jawab.

   

²

2 2

1 1

4 2 2 2

1 2 2

2 2ln 2 2

dx dx

x x x

x C

x

    

   

 

  

   

 

 

b. Pecahan parsial

2 2

1 ln 2

dZ A Z

A Z A A Z C

  

  

   



contoh.

1). Hitunglah 1 ₂

5 dx

x



Jawab.

 

²

2 2

1 1

5 5

1 5

ln

2 5 5

dx dx

x x

x C

x

  

  

 

  

  

 

 

(15)

2). Hitunglah 1 ₂ 3 6x x



Jawab.

 

2 2 2

2

2 2

1 1

3 6 3 ( 6 3 ) 9

1 12 ( 3)

1 2 3 ( 3)

1 2 3 3

ln

4 3 2 3 3

dx dx

x x x x

x dx

dx x

x C

x

      

  

   

 

  

   

 

 



c. Substitusikan Z = A tan 

1

2 2

1 tan

dZ Z

Z A A A C

  

  

  



contoh.

1). Hitunglah ₂1 16dx x 



Jawab.

2 2 2

1

1 1

16 4

1tan

4 4

dx dx

x x

x C



  

   

 

 

2). Hitunglah ₂ 1

10 30 dx x  x



Jawab.

 

2 2

1

1 1

10 30 5 5

1

( 5) 5

1 5

tan

5 5

dx dx

x x x

dx x

x C



    

  



 

  

 

 



(16)

d. Substitusikan Z = A sin 

1

2 2 sin

( )

dZ Z

A C

A Z

  

  

  



contoh.

1). Hitunglah



²⁵¹^^x²



^dx



Jawab.



²

 

² ²



1

1 1

25 5

sin 5

dx dx

x x

x C



  

   

 

 

2). Hitunglah



²



1 3 2

dx x x

 



Jawab.

   

 

2 2

1

1 1

3 2 4 1

1

2 1

sin 1 2

dx dx

x x x

dx x

x C



    

  

  

  

 

 



e. Substitusikan Z = A sinh 

1

2 2 sinh

( )

dZ Z

A C

Z A

  

  

  



contoh.

1). Hitunglah



²



1 4

dx x 



Jawab.



²

 

² ²



1

1 1

4 2

sinh 2

dx dx

x x

x C



  

   

 

 

(17)

2). Hitunglah



^x²^¹⁵^x^¹²



^dx



Jawab.



²



²

2 2

1

1 1

5 12 5 23

2 4

1

5 23

2 2

5 sinh 2

23 2 sinh 5

23

dx dx

x x

x

dx x

x

C

x C



      



 

     

 

   

 

  

 

  

 

 



 

  

 

 



f. Substitusikan Z = A cosh 

1

2 2 cosh

( )

dZ Z

A C

Z A

  

  

  



contoh.

1). Hitunglah



²



1 9

dx x 



Jawab.



²

 

² ²



1

1 1

9 3

cosh 3

dx dx

x x

x C



  

   

 

 

2). Hitunglah



²



1 6 13

dx x  x



Jawab.

(18)

   

2 2

1

1 1

6 5 3 4

1

3 2

cosh 3 2

dx dx

x x x

dx x

x C



    

  

  

  

 

 



g. Substitusikan Z = A sin 



₂ ₂



² ₁



² ²



sin 2

2

Z A Z

A Z

A Z dZ C

A A



  

   

     

   

 



contoh.

1). Hitunglah

 

^{3 2}^ ^x^^x²



Jawab.

2 2

1

(3 2 ) 4 ( 1)

2 ( 1)

1 2 ( 1)

4 1

2 sin 2 4

x x dx x dx

x dx

x x

x C



    

  

     

   

    

 



h. Substitusikan Z = A sinh 



₂ ₂



² ₁



² ²



sinh 2

2

Z Z A

A Z

Z A dZ C

A A



  

   

     

   

 



contoh.

1). Hitunglah

 

^x² ^⁵^x^¹²



^dx

(19)



²



²

2 2

1

2 2

1

5 23

5 12

2 4

5 23

2 2

5 5 23

23 5 2 2 2

4 sinh 2

2 23 23 4

2

5 23

10 2 2

23 5

2 sinh 23 23

x x dx x dx

x dx

x x

x

C

x x

x



 

      

 

      

     

          

    

     

    

 

 

     

        

      

   

    

 





 



C





i. Substitusikan Z = A cosh 



₂ ₂



²



² ²



₁

2 cosh

2

Z Z A

A Z

Z A dZ C

A A



  

  

     

  

 



contoh.

1). Hitunglah

 

^x² ^⁶^x^¹³



^dx

Jawab.

   

2 2

1

6 13 3 4

3 2

3 3 2

4 3

2 4 cosh 2

x x dx x dx

x dx

x x x

 C

    

  

     

  

    

 



3.4 Integral dalam Trigonometri

Integral dalam bentuk ini berbeda dari semua integral yang telah kita bahas sebelumnya. Jelas integral ini tidak termasuk kedalam salah satu bentuk baku yang sudah kita kenal. Kunci untuk bentuk ini adalah mensubstitusikan t = tan x ke dalam integralnya, kita segera dapat mencari pernyataan untuk sin x dan cos x.

(20)

a. Integral dalam bentuk ₂1 ₂

sin cos dx

a b x c x



1t² t

x

1 Dari gambar di dapat;

sin 2

1 x t

t

  ²

1 1 dx dt  t



2

cos 1

1 x

t

  1 ²

dx dt

 t



2 2 2

2 2

tan , sec 1 tan 1

1

1 1

x t maka dt x x t

dx

dx dt

sehingga dx

dt t t

     

  

 

contoh.

1). Hitunglah 1 ₂

3 cos dx

 x



Jawab.

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

1

1 3 3 1 4 3

3 cos 3

1 1 1

1 1

3 cos 4 3 1

1 4 3

1 1

3 4 3 1 3

. tan 3 2 2

3

3 3

6 tan 2

t t

x t t t

t dt

Jadi dx

x t t

t dt dt t

t C



  

    

  

 

  

 





 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 



(21)

2). Hitunglah ₂ 1 ₂ 2sin 4 cos dx

x x



Jawab.

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2

1

2 4 4 2

2 sin 4 cos

1 1 1

1 1

2 sin 4 cos 4 2 1

1 4 2

1 1

2 2

1 1

. tan

2 2 2

1 tan

2 2 2

t t

x x

t t t

t dt

Jadi dx

x x t t

t dt t dt

t C



    

  

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 



b. Integral dalam bentuk 1

sin cos dx

a b x c x



1t² t

x/2

1

Dari gambar di dapat; ₂

2 2

sin 2sin cos 2. . 2

2 2 1 1 1

x x t t t

x t t t

  

  

2 2

2 2 2

1 1

cos cos sin

2 2 1 1 1

x x t t

x t t t

     

  

2

2 2

1 1 1

tan , sec 1 tan

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1

x dt x x t

t maka dx

dx dt

sehingga dx

dt t t

  

     

  

 

contoh.

1). Hitunglah 1

5 4 cos dx

 x



Jawab.

(22)

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

1

1 5 5 4 4 9

5 4 cos 5 4

1 1 1

1 1 2

3 cos 9 1

2 1 9 2tan

3 3

t t t t

x t t t

t dt

Jadi dx

x t t

t dt

t C



    

    

  

 

  

 

    

 



3.5 Latihan Soal

Tentukanlah integral-integral berikut;

1. ₂

12 15

dx x  x



^2.



_x²_^dx₆_x_₄

3. ₂

8 12 dx

x x

 



^4.



_{9 4}_ ^dx_x__x²

5. ₂

4 16

dx x  x



^6.



₂_x²_₁₂^dx_x_₃₂

7.



^{5 4}^ ¹^x^^x²



^dx



^8.

 

²^x²^¹⁸^x^¹⁵



^dx

9.



^x²^¹⁶^x^¹



^dx



^10.

 

⁵^x²^²^x^⁴



3.6 Daftar Pustaka

(23)

BAB IV

TRANSFORMASI LAPLACE

4.1 Pendahuluan

Transformasi laplace adalah suatu pernyataan dalam variabel s yang dinotasikan dengan F(s). Dikatakan bahwa f(x) dan F(s) = L{f(x)} membentuk suatu pasangan transformasi (transform pair). Ini berarti bahwa jika F(s) adalah transformasi laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi laplace invers dari F(s). Kemampuan untuk mencari transformasi laplace dari suatu pernyataan dan kemudian menginverskannya inilah yang membuat transformasi laplace sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

4.1.1 Deskripsi

Transformasi laplace pada teknik elektro ini akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan perhitungan matematika teknik yang berkaitan dengan teknik elektro, antara lain;

menentukan transformasi laplace invers dengan bantuan tabel transformasi laplace, mencari transformasi laplace dari suatu turunan fungsi, menggunakan transformasi laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

4.1.2 Manfaat dan Relevansi

Matematika teknik merupakan sarana terpenting dalam membekali para mahasiswa dalam memahami persoalan-persoalan keteknikan yang berkaitan antara materi yang satu dengan yang lainnya, sehingga dalam penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara yang lain.

Pemahaman yang mendalam mengenai teknik elektro tidak lepas dari konsep matematika teknik. Sehingga matematika merupakan langkah awal atau dasar pijakan untuk membuka cakrawala dalam memahami materi transformasi laplace.

1. Mahasiswa dapat mencari transformasi laplace dari suatu pernyataan dengan menggunakan definisi integral.

2. Mahasiswa mampu menentukan transformasi laplace invers dengan bantuan tabel transformasi laplace.

(24)

3. Mahasiswa dapat mencari transformasi laplace dari suatu turunan fungsi.

4. Mahasiswa dapat menggunakan transformasi laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

4.2 Transformasi Laplace

Metodenya bergantung dari apa yang kita sebut sebagai transformasi laplace (laplace transform). Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk x  0, maka transformasi laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, didefinisikan sebagai;



^{( )}



_x ₀ ^sx ^{( )}

L f x ^ e^ f x dx







di mana x adalah suatu variable yang nilai-nilainya dipilih sedemikian rupa agar integral semi-infinitnya selalu konvergen. Sekarang apa yang akan anda katakana tentang transformasi laplace dari f(x) = 2 untuk x  0 ?

 

² ² ⁰

L asalkan s

 s 

Karena:



^{( )}



_x ₀ ^sx ^{( )}

L f x ^ e^ f x dx







Maka:

 

 

0

2 2

2

2 0 ( 1/ ) 2

sx x

sx

x

L e dx

e s

s s

 



 



 

   

  





Perhatikan bahwa s > 0 disyaratkan karena jika s < 0 maka e^^sx  ketika x  dan jika s = 0 maka L (2) tidak terdefinisi (pada kedua kasus ini integralnya divergen), sehingga;

 

² ² ⁰

L asalkan s

 s 

Dengan alasan yang sama, jika k adalah sembarang konstanta maka,

 

^k ⁰

L k asalkan s

 s 

(25)

berikut;

 

^kx ¹

L e asalkan s k

s k

   

 Karena;

 

₀

( )

0

( )

0

2

( )

1 min

0 0

int ln lim

( )

1 0,

( )

kx sx

x

s k x x

s k x

x

L e e dx

e dx

e s k

harus dipenuhi untuk menja s k

egra ya konvergen dikedua it s k

asalkan s k yaitu asalkan s k s k

  



  



  



 

   

  

     

    





4.3 Transformasi Laplace Invers

Jika F(s) adalah transformasi laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi laplace invers dari F(s), sehingga;

( ) 1{ ( )}

f x L^ F s

Tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers jadi anda harus mencarinya dengan cara bekerja dari belakang ke depan.

Contoh.

Jika f(x) = 4 maka transformasi laplacenya 4 { ( )} ( ) L f x f s

  s Jadi

Jika f(s) = 4

s maka transformasi laplace inversnya L^¹{ ( )}f s  f x( )4 Untuk transformasi laplace invers dari 1

( ) 1

F s  s

 , adalah;

1{ ( )} ( ) ^x L^ f s  f x e Karena,

 

^kx ¹

L e s k

 

 anda dapat mengatakan bahwa ¹ 1 kx

L e

s k

     

Maka ketika ¹ 1 ^{( 1)}

1, 1

x x

k L e e

s

    

     

Untuk mempermudah pencarian bentuk-bentuk transformasi laplace beserta inversnya

(26)

yaitu dengan membaca tabel dari kiri ke kanan akan didapatkan transformasi laplace dan dengan membaca tabel dari kanan ke kiri akan di dapatkan transformasi laplace invers, dan tabelnya adalah sebagai berikut ini;

 

( ) 1 ( )

f x L^ F s ^{F s}^{( )}^^{L f x}



^{( )}



k k 0

s s

e^kx 1

s k

s k  



xe^kx 2

1

( ) s k

s k  



Contoh.

1. Tentukan transformasi laplace dari soal berikut untuk x  0;

a. ( )f x  3

Karena 3

( ) k 0, ( 3) 0.

L k asalkan s L asalkan s

s s

     

b. ( )f x e

Karena ( ) k 0, ( ) e 0.

L k asalkan s L e asalkan s

s s

   

c. f x( )e²^x

Karena 1 ² 1

( ) , ( ) 2.

2

kx x

L e asalkan s k L e asalkan s

s k s

     

 

d. f x( ) 5e^³^x

 

3 3 3 3

0 0

( 5 ^x) ^sx( 5 ^x) 5 ^sx ^x 5 ^x

x x

L e^ ^ e^ e^ dx ^ e^ e^ dx L e^

 

 



  



 



⁵ ³



⁵ ³

3

L e x asalkan s

s

     

 e. f x( )2e⁷^x^²

 

7 2 7 2 2 7 2 7

0 0

(2 ^x ) ^sx(2 ^x ) 2 ^sx ^x 2 ^x

x x

L e ^ ^ e^ e ^ dx e^ ^ e^ e dx e L e^

 













² ⁷ ²



² ² ⁷

7

x e

L e asalkan s

s

   



2. Tentukan transformasi laplace invers dari soal berikut;

(27)

a. 1 ( ) F s  s

Karena ¹ ¹ 1 ¹ 1

, 1

L k k L L

s s s

            

     

b. 1

( ) 5

F s  s



Karena ¹ 1 ¹ 1 ^{( 5)} ⁵

, 5

kx x x

L e L e e

s k s

           

c. 3

( ) 2

F s  s



Karena ¹ ¹ ²

 

³ ² ³

 

² ³

2 2

x x x

L e dan L e L e maka

s s

          

3 2

2 3

L e x

s

   

  

 

d. 3

( ) 4

F s   s

 

1 1

3 34 3 3 4

( ) 3 4

4 4

F s sehingga L L

s s s s

 

    

       

   

e. 1

( ) 2 3

F s  x



5 1 32

1 1

1 2 1 2 1

( ) ( )

3 3

2 3 2 3 2

2 2

F s sehingga f x L L e x

x s s s

     

          

4.4 Transformasi Laplace dari Suatu Turunan

Jika diketahui bahwa suatu pernyataan f x( ) memiliki transformasi laplace



^{( )}



^{( )}

L f x F s , transformasi laplace dari turunannya f x^'( ) adalah;



^{'( )}



_x ₀ ^sx ^{'( )}

L f x ^ e^ f x dx







Ini dapat diselesaikan dengan integrasi per bagian;

 

 

0

0 0

'( ) '( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sx x

x

x x

L f x e f x dx

u x dv x

u x v x v x du x

 







 

 



 



dimana u(x) = e^-sx maka d u(x) = -se^-sxdx dan dimana dv(x) = f¹(x) dx maka v(x) = f(x),

(28)

sehingga akan menghasilkan;



^'^{( )}



^{( )} ⁽⁰⁾

L f x s F s  f

Jadi transformasi laplace untuk turunan dari f(x) diberikan dalam bentuk transformasi laplace dari f(x) itu sendiri dan nilai dari f(x) untuk x = 0.

Untuk mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan adalah;

'( ) ( ) 1 dim (0) 0 f x  f x  ana f 

Pernyataan transformasi laplacenya F(s) adalah sebagai berikut;



¹



( ) 1

F s  s s



Transformasi laplace dari ( )f x dan turunannya f x^'( ), ini akan menghasilkan;

 

   

1 ( ) (0) 1 (0) 0,

1 1

1 ( ) , ( )

1

S F s f dengan syarat f maka

s

S F s sehingga F s

s s s

   

  

 Misalkan;



¹ ¹



¹ ^{, 1} ⁽ ¹⁾ ^;

1 1

1 1 ( )

1

A B

maka A s Bs sehingga didapat

s s s S

A dan B sehingga F s

s s

    

 

    



Transformasi laplace inversnya dari persamaan diferensial adalah sebagai berikut;

( ) 1 ^x f x  e^ Karena,

 

1

1 1

( ) ( )

1 1

1

1 1

1

1 ^x

f x L F s

L s s

L L

s s

e



 





 

    

   

      

 

Contoh.

Selesaikan setiap persamaan diferensial berikut ini;

a). f x^'( ) f x( )2 dimana f(0)0

mencari transformasi laplace dari kedua sisi persamaan;

(29)

 

2 2 2 2

( ) (0) ( ) ( )

1 1

sF s f F s sehingga F s

s s s s s

      

 

Transformasi laplace inversnya menghasilkan penyelesaian;

 

( ) 2 2 ^x 2 ^x 1

f x    e  e 

b). f x^'( ) f x( )e^^x dimana f(0)0

 

²

1 1

( ) (0) ( ) ( )

1 1

sF s f F s sehingga F s

s s

   

 

( ) ^x

f x xe^

c). f x^'( ) f x( )3 dimana f(0) 2

 

3 2 3 3 2 3 5

( ) (0) ( ) ( )

1 1 ( 1) 1

sF s f F s sehingga F s s

s s s s s s s s

         

   

( ) 3 5 ^x f x   e^

d). f x^'( ) f x( )e²^x dimana f(0) 1

 

  

1 1

( ) (0) ( ) 1 ( ) 1

2 2

1 3 1

( ) 1 1 2 2

sF s f F s atau s F s

s s

sehingga F s

s s s s

     

 

  

   

( ) 2^x

f x e

e). 3 ( ) 2 ( )f x^'  f x 4e^^x2 dimana f(0)0

    

  

4 2 6 2

3 ( ) 0 2 ( )

1 1

6 2 27 1 1 4 1

( ) 1 3 2 5 3 2 5 1

27 1 1 4 1

15 2 5 1

3 s F s f F s s

s s s s

sehingga F s s

s s s s s s

s s

s

 

      

    

          

   

 

       

(30)

2 / 3

9 4

( ) 1

5 5

x x

f x  e  e^ 

4.5 Latihan Soal

1. Hitunglah transformasi laplace dari fungsi-fungsi berikut;

a. ( )f x 8 b. f x( )e⁵^x c. f x( ) 4e²^x^³

2. Gunakan tabel transformasi laplace untuk mencari dari fungsi-fungsi berikut;

a.

 

²

( ) 5

2 F s

s

  

b.

3 3

( ) 2e F s  s

c. ₂3

( ) 9

F s  s



d. 2₂ 5

( ) 3

F s s s

  



3. Gunakan transformasi laplace untuk mencari dari persamaan berikut;

a. f x^'( )2 ( )f x x dimana f(0)0 b. f x^'( ) f x( )e^^x dimana f(0) 1 c. 4f x^'( )4 ( )f x e^²^x dimana f(0)0

4.6 Daftar Pustaka