Konsep dan Aplikasinya dalam Teknik Mesin

(1)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 1

BAB I TURUNAN

Tujuan Pembelajaran Umum:

1. Mahasiswa mampu memahami konsep turunan dan mampu menentukan turunan sebuah fungsi.

2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep turunan untuk menyelesaikan masalah teknik mesin.

Tujuan Pembelajaran Khusus:

1. Mahasiswa mampu menentukan turunan dari fungsi-fungsi dasar.

2. Mahasiswa mampu menentukan turunan fungsi komposisi, fungsi hasil kali, dan fungsi hasil bagi dari fungsi-fungsi dasar.

3. Mahasiswa mampu menentukan turunan fungsi implisit dan fungsi parametrik.

4. Mahasiswa mampu menentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada sebuah kurva di sebuah titik.

5. Mahasiswa mampu menentukan kecepatan sesaat pada gerak linier dan gerak putar (Alat Roda Piston).

6. Mahasiswa mampu menentukan nilai ekstrim pada masalah praktis.

7. Mahasiswa mampu menggambar grafik dengan menggunakan uji turunan.

8. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah laju yang berkaitan.

1.1 Pendahuluan

Topik turunan pada bab ini mencakup turunan fungsi-fungsi dasar, turunan fungsi komposisi, fungsi hasil kali, fungsi hasil bagi, fungsi implisit dan fungsi parametrik.

Topik selanjutnya adalah beberapa penerapan turunan dalam masalah teknik, yaitu persamaan garis singgung dan persamaan garis normal, kecepatan sesaat pada gerak linier dan gerak putar, nilai ekstrim pada masalah praktis, menggambar grafik dengan menggunakan uji turunan, dan masalah laju yang berkaitan.

Pembahasan turunan dilakukan pada penghitungan praktis bagi fungsi-fungsi yang dijumpai dalam bidang teknik. Oleh karena itu, pembahasan tidak meliputi persyaratan secara matematis apakah sebuah fungsi dapat diturunkan atau tidak di sebuah titik atau di sebuah interval, tetapi diasumsikan bahwa fungsi-fungsi ini dapat diturunkan di setiap titik. Untuk memudahkan pembaca, subbab berikut ini menyajikan tabel aturan turunan fungsi-fungsi dasar.

(2)

1.2 Turunan Fungsi Dasar

Fungsi Dasar adalah fungsi dengan satu peubah yang bukan merupakan fungsi komposisi, fungsi hasil kali, ataupun fungsi hasil bagi dari fungsi yang lain. Aturan turunan untuk setiap fungsi dasar tersebut terdapat perbedaan sebagaimana tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Aturan Turunan Fungsi Dasar

No. Fungsi Dasar Turunannya

1. Fungsi Polinom:

𝑦 = 𝑥 , 𝑛 ∈ ℝ

𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑛𝑥

2. Fungsi Pangkat:

𝑦 = 𝑎 , 𝑎 > 0, 𝑎 ∈ ℝ

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎 ln 𝑎

3. Fungsi Eksponen 𝑥:

𝑦 = 𝑒

𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑒

4. Fungsi Logaritma:

𝑦 = log 𝑥 𝑦 = log 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥=1

𝑥. log 𝑒

5. Fungsi Logaritma Natural:

𝑦 = log 𝑥 = ln 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥=1

𝑥

6. Fungsi Trigonometri:

𝑦 = sin 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= cos 𝑥

𝑦 = cos 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= − sin 𝑥

𝑦 = tan 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= sec 𝑥

𝑦 = cot 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= − cosec 𝑥

𝑦 = 1

cos 𝑥= sec 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= tan 𝑥 sec 𝑥

𝑦 = 1

sin 𝑥= cosec 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= − cot 𝑥 cosec 𝑥

(3)

Perhatikan bahwa fungsi dasar polinom, yaitu 𝑦 = 𝑥 . Bilangan n merupakan bilangan riil, yaitu bilangan yang berbentuk bulat, pecahan, maupun akar. Fungsi dasar pangkat 𝑦 = 𝑎 , bilangan a juga merupakan bilangan riil. Selanjutnya, fungsi eksponen 𝑦 = 𝑒 , bilangan = 2,71828 … , disebut sebagai bilangan Euler. Tiga contoh di bawah ini merupakan contoh turunan dari fungsi polinom, fungsi hasil tambah dari fungsi eksponen dan fungsi trigonometri, dan fungsi hasil tambah dari fungsi logaritma natural dan fungsi trigonometri. Namun, ketiganya bukan merupakan fungsi komposisi dari fungsi-fungsi dasar lainnya.

Contoh 1: Tentukan turunan dari 𝑦 = 2𝑥 − 4𝑥 + 1 terhadap x !

Dengan memperhatikan aturan turunan fungsi dasar polinom, maka diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2.2𝑥 − 4 + 0

= 4𝑥 − 4.

Contoh 2: Tentukan turunan dari 𝑦 = 5𝑒 + sin 𝑥 terhadap x !

Dengan memperhatikan aturan turunan fungsi dasar eksponen dan fungsi trigonmetri, maka diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 5.𝑑(𝑒 )

𝑑𝑥 +𝑑(sin 𝑥) 𝑑𝑥

= 5𝑒 + cos 𝑥

Contoh 3: Tentukan turunan dari 𝑦 = 7 tan 𝑥 + ln 𝑥 terhadap x !

Dengan memperhatikan aturan turunan fungsi dasar trigonometri dan fungsi dasar logaritma natural, maka diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 7.𝑑(tan 𝑥)

𝑑𝑥 +𝑑(ln 𝑥) 𝑑𝑥

= 7 sec 𝑥 +

(4)

1.3 Aturan Turunan

Terdapat tiga aturan turunan yaitu aturan rantai, aturan hasil kali, dan aturan hasil bagi.

Aturan rantai berlaku jika fungsi yang diturunkan merupakan fungsi komposisi. Aturan hasil bagi dikenakan pada fungsi yang merupakan hasil kali dua (atau lebih) fungsi, sedangkan aturan hasil bagi dikenakan pada fungsi yang merupakan hasil bagi dua fungsi.

a. Aturan Rantai.

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Dengan demikian, 𝑦 = 𝑓 𝑔(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥).

Turunan fungsi y terhadap x adalah

Contoh 4 berikut ini merupakan turunan fungsi komposisi dari fungsi polinom dan fungsi pangkat, sedangkan Contoh 5 merupakan turunan fungsi komposisi dari fungsi trigonometri dan fungsi polinom.

Contoh 4: Tentukan turunan dari 𝑦 = (2𝑥 − 4𝑥 + 1) terhadap x ! Misalkan 𝑢 = 2𝑥 − 4𝑥 + 1, maka 𝑦 = 𝑢 . Jadi,

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 8𝑢 . (4𝑥 − 4)

= 8(2𝑥 − 4𝑥 + 1) . (4𝑥 − 4) = 32(2𝑥 − 4𝑥 + 1) (𝑥 − 1)

Contoh 5: Tentukan turunan dari 𝑦 = cos(5𝑥 − 7) terhadap x ! Misalkan 𝑢 = 5𝑥 − 7, maka 𝑦 = cos 𝑢. Jadi,

𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥 = − sin 𝑢 . (5 − 0)

= −5 sin 𝑢

= −5 sin(5𝑥 − 7) 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑔(𝑥).𝑑𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢 𝑑𝑥

(5)

Aturan Rantai untuk turunan fungsi eksponen, fungsi logaritma, dan fungsi trigonometri dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini.

Tabel 2. Aturan Rantai pada Turunan Fungsi

No. Fungsi Turunannya

1. Fungsi Eksponen 𝑓(𝑥):

𝑦 = 𝑒 ^{( )}

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 (𝑥). 𝑒 ^{( )}

2. Fungsi Pangkat:

𝑦 = 𝑎 ^{( )}

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎 ^{( )}𝑓′(𝑥) ln 𝑎

3. Fungsi Logaritma natural:

𝑦 = ln 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′(𝑥) 1 𝑓(𝑥)

𝑦 = sin 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎 cos 𝑎𝑥

𝑦 = cos 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑎 sin 𝑎𝑥

𝑦 = tan 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎 sec 𝑎𝑥

𝑦 = cot 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑎 cosec 𝑎𝑥

𝑦 = 1

cos 𝑎𝑥= sec 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎 tan 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥

𝑦 = 1

sin 𝑎𝑥= cosec 𝑎𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑎 cot 𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥

Contoh 6: Tentukan turunan dari 𝑦 = 5𝑒 + 𝑒 terhadap x !

Dengan memperhatikan turunan fungsi dasar eksponen dan fungsi trigonmetri, maka diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 5.𝑑(2𝑥)

𝑑𝑥 𝑒 +𝑑(sin 𝑥) 𝑑𝑥 . 𝑒

(6)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 6 = 5.2𝑒 + cos 𝑥 . 𝑒 = 10𝑒 + 𝑒 cos 𝑥

Contoh 7: Tentukan turunan dari 𝑦 = 7 tan 2𝑥 + ln 3𝑥 terhadap x !

Dengan memperhatikan turunan fungsi dasar trigonometri dan fungsi dasar logaritma natural, maka diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 7.𝑑(tan 2𝑥)

𝑑𝑥 .𝑑(2𝑥)

𝑑𝑥 +𝑑(ln 3𝑥)

𝑑𝑥 .𝑑(3𝑥) 𝑑𝑥

= 7. sec 2𝑥 . 2 + . 3 = 14 sec 2𝑥 +

b. Aturan Hasil Kali.

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥). Turunan fungsi y terhadap x adalah

Contoh 8: Tentukan turunan dari 𝑦 = (2𝑥 − 4𝑥)(𝑥 + 5) terhadap x ! Misalkan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 5, maka

𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑑𝑓

𝑑𝑥. 𝑔 + 𝑓𝑑𝑔 𝑑𝑥

= (4𝑥 − 4). (𝑥 + 5) + (2𝑥 − 4𝑥). (3𝑥 + 0) = 4(𝑥 − 1)(𝑥 + 5) + 2𝑥(𝑥 − 2)3𝑥

= 4(𝑥 − 1)(𝑥 + 5) + 6𝑥 (𝑥 − 2) c. Aturan Hasil Bagi.

Misalkan 𝑦 = ^{( )}

( ). Turunan fungsi y terhadap x adalah 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑓 (𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) 𝑔 (𝑥)

(7)

Contoh 9: Tentukan turunan dari 𝑦 = terhadap x ! Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑒 dan 𝑔(𝑥) = cos 𝜋𝑥, maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑓 (𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) 𝑔 (𝑥)

=−4𝑒 . cos 𝜋𝑥 − 𝑒 (−𝜋. sin 𝜋𝑥) cos 𝜋𝑥

=−4𝑒 cos 𝜋𝑥 + 𝜋𝑒 sin 𝜋𝑥 cos 𝜋𝑥

Latihan 1.

Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙, jika

1. 𝑦 = (8𝑥 + 9) 6. 𝑦 = 𝑒

2. 𝑦 =

√ − + 12 7. 𝑦 = sin 𝑥 + sec 3𝑥

3. 𝑦 = 𝑒 + ln 3𝑥 8. 𝑦 = ln cos 4𝑥 4. 𝑦 = cos 𝑥 + sin 7𝑥 9. 𝑦 = cos 9𝑥 5. 𝑦 = ln(3 − 4 cos 𝑥) 10. 𝑦 = tan(5𝑥 − 4)

Latihan 2.

Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙, jika

1. 𝑦 = 𝑒 sin 4𝑥 4. 𝑦 =

2. 𝑦 = 5. 𝑦 = √sin 𝑥 + cos 𝑥

3. 𝑦 = 𝑒 ln 5𝑥 6. 𝑦 =

√

(8)

1.4 Turunan Fungsi Implisit

Tidak semua persamaan yang mengandung peubah x dan y dapat ditulis dalam bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥). Sebagai contoh persamaan 𝑦 + 7𝑦 = 𝑥 . Secara umum persamaan ini ditulis sebagai

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, (1.1) dengan c konstanta. Dalam persamaan (1.1), dikatakan y sebagai fungsi implisit dari x.

Bentuk umum persamaan 𝑦 + 7𝑦 = 𝑥 adalah 𝑦 + 7𝑦 − 𝑥 = 0. Bagaimana cara menentukan turunan dari persamaan dengan bentuk fungsi implisit ini? Perhatikan beberapa contoh berikut ini!

Contoh 10: Tentukan , jika diberikan persamaan 𝑦 + 7𝑦 − 𝑥 = 0 ! Terdapat dua cara penurunan fungsi implisit sebagai berikut.

Cara 1. Bubuhkan operator turunan terhadap x pada dua ruas, kanan dan kiri sebagai berikut.

𝑑(𝑦 + 7𝑦 − 𝑥 )

𝑑𝑥 =𝑑(0)

𝑑𝑥 maka diperoleh 3𝑦 + 7 − 3𝑥 = 0. Jadi,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥 3𝑦 + 7 . Cara 2. Misalkan 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 7𝑦 − 𝑥 = 0.

Diferensial total dari z(x,y) adalah 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑧

𝜕𝑦𝑑𝑦 = 0,

dengan dan berturut-turut adalah turunan parsial 𝑧 terhadap x dan turunan parsial 𝑧 terhadap y. Ketika menentukan turunan parsial 𝑧 terhadap x, berarti peubah y dianggap sebagai konstanta, demikian sebaliknya, ketika menentukan turunan parsial 𝑧 terhadap y, berarti peubah x dianggap sebagai konstanta. Jadi,

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 0 + 0 − 3𝑥 ; 𝜕𝑧

𝜕𝑦 = 3𝑦 + 7 − 0 . Diferensial total dari 𝑧 untuk contoh ini adalah

𝑑𝑧 = −3𝑥 𝑑𝑥 + (3𝑦 + 7) 𝑑𝑦 = 0,

(9)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 9 sehingga diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥 3𝑦 + 7 .

Contoh 11: Tentukan dan di 𝑥 = −1, 𝑦 = 1, jika diberikan persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 5, yaitu 𝑥 + 𝑦 = 25!

Cara 1. Bubuhkan operator turunan terhadap x pada dua ruas, kanan dan kiri sebagai berikut.

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 𝑦 ) = 𝑑 𝑑𝑥(25) maka diperoleh 2𝑥 + 2𝑦 = 0. Jadi,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑥 𝑦. Cara 2. Misalnya 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 25 = 0.

Diferensial total dari z(x,y) adalah 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑧

𝜕𝑦𝑑𝑦 = 0,

dengan dan berturut-turut adalah turunan parsial 𝑧 terhadap x dan turunan parsial 𝑧 terhadap y. Diferensial total dari 𝑧 untuk contoh ini adalah

𝑑𝑧 = 2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0, sehingga diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑥 𝑦 .

Sekarang, akan ditentukan turunan kedua yaitu 𝑑 𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥

−𝑥

𝑦 =−1. 𝑦 − (−𝑥).

𝑦 = − 𝑦

𝑦 +

𝑦 = −1 𝑦−𝑥

𝑦

Jadi, nilai turunan pertama di titik (𝑥, 𝑦) = (−1, 1) yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥 _{( , ) (} _{, )} = 𝑑𝑦

𝑑𝑥(−1,1) = 𝑦′(−1,1) = −−1 1 = 1

(10)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 10 dan nilai turunan kedua di titik (𝑥, 𝑦) = (−1, 1) yaitu

𝑑 𝑦

𝑑𝑥 _{( , ) (}

, )

= 𝑑 𝑦

𝑑𝑥 (−1,1) = 𝑦"(−1, 1) = −1

1−(−1)

1 = −1 − 1 = −2

Contoh 12: Tentukan dari fungsi implisit 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0 ! Cara 1: Bubuhkan operator turunan terhadap x pada dua ruas sebagai berikut:

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 − 4) = 𝑑 𝑑𝑥(0) maka diperoleh 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑥 + 6𝑦 = 0. Jadi,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 3𝑦.

Cara 2. Misalnya 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0 maka diferensial total dari 𝑧 yaitu

𝑑𝑧 = (2𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑦 = 0, sehingga diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 3𝑦.

Latihan 3.

1. Jika 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙 dan ^𝒅^𝟐^𝒚

𝒅𝒙^𝟐 di 𝑥 = 3, 𝑦 = 2 ! 2. Jika 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦 − 25 = 0. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙^𝟐 di 𝑥 = −2, 𝑦 = 3 ! 3. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙 jika 𝑥 + 𝑦 + 3𝑥𝑦 − 8 = 0.

4. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙 jika 𝑥 sin 𝑥𝑦 = 𝑥 + 1.

𝒅𝒙 jika 3𝑥 𝑦 − 7𝑥𝑦 = 4 − 8𝑦.

(11)

1. 5 Turunan Fungsi Parametrik

Persamaan parametrik adalah persamaan yang mengandung sebuah parameter. Misalnya persamaan yang mengandung peubah x dan y yang masing-masing tergantung pada parameter t, yaitu

𝑦 = 𝑦(𝑡); 𝑥 = 𝑥(𝑡).

Dalam menentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙, tentu saja dibutuhkan ^𝒅𝒚

𝒅𝒕 dan ^𝒅𝒙

𝒅𝒕. Dengan menggunakan aturan rantai

𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑑𝑦

𝑑𝑡.𝑑𝑡 𝑑𝑥 ,

maka diperoleh turunan pertama dari y terhadap x. Perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 13: Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙^𝟐 pada 𝑡 = jika 𝑦 = cos 2t ; 𝑥 = sin t ! Penyelesaian:

Karena fungsi x dan y masing-masing memiliki peubah bebas t, berlaku 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = −2 sin 2t ; 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = cos t.

Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh turunan pertama 𝑑𝑦

𝑑𝑥 =𝑑𝑦 𝑑𝑡.𝑑𝑡

𝑑𝑥= −2 sin 2𝑡 . 1

cos 𝑡 = −2. 2sin 𝑡 cos 𝑡 . 1

cos 𝑡 = −4 sin 𝑡 Turunan keduanya adalah

𝑑 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥(−4 sin 𝑡) = 𝑑

𝑑𝑡(−4 sin 𝑡).𝑑𝑡

𝑑𝑥= −4 cos 𝑡 . 1

cos 𝑡 = −4.

Jadi, nilai turunan pertama dan nilai turunan kedua pada 𝑡 = yaitu 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑡 =𝜋

3 = −4 sin𝜋

3= −4.1

2√3 = −2√3

𝑑 𝑦

𝑑𝑥 =𝑑 𝑦

𝑑𝑥 𝑡 =𝜋

3 = −4

(12)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 12 Contoh 14: Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙^𝟐 pada 𝜃 = jika

𝑦 = 𝑎(sin θ − θ cos θ) ; 𝑥 = 𝑎(cos θ + θ sin θ)

Karena fungsi x dan y masing-masing memiliki variabel bebas 𝜃, berlaku 𝑑𝑦

𝑑𝜃 = 𝑎[cos 𝜃 − (1. cos θ + θ. (− sin θ))] = 𝑎[cos θ − cos θ + θ sin θ] = 𝑎θ sin θ 𝑑𝑥

𝑑𝜃= 𝑎[−𝑠𝑖𝑛 θ + 1. sin θ + θ cos θ] = 𝑎𝜃 cos θ

maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝜃 .𝑑𝜃

𝑑𝑥 = 𝑎𝜃 sin 𝜃 . 1

𝑎𝜃 cos 𝜃 = tan 𝜃 Turunan keduanya adalah

𝑑 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥(tan 𝜃) = 𝑑

𝑑𝜃(tan θ)𝑑𝜃

𝑑𝑥 = sec θ .𝑑𝜃

𝑑𝑥 = sec θ 1

𝑎𝜃 cos 𝜃 =sec θ 𝑎𝜃 Jadi, nilai turunan pertama dan nilai turunan kedua pada 𝑡 = yaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑡 =𝜋

4 = tan𝜋 4 = 1

𝑑 𝑦

𝑑𝑥 =𝑑 𝑦

𝑑𝑥 𝑡 =𝜋

4 =sec

𝑎. =4 √2

𝜋𝑎 =8√2 𝜋𝑎

Latihan 4.

𝒅𝒙^𝟐 pada 𝜃 = jika 𝑦 = 3 sin θ − sin θ ; 𝑥 = cos θ ! 2. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙^𝟐 pada t = 2 jika 𝑦 = ; 𝑥 = ! 3. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙^𝟐 pada 𝜃 = jika 𝑦 = 3(θ − sin θ) ; 𝑥 = 3(1 − cos θ) ! 4. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙 di titik ( √7, 2) jika 𝑦 = √4𝑡 ; 𝑥 = 𝑡√2𝑡 + 5 5. Tentukan ^𝒅𝒚

𝒅𝒙 pada 𝜃 = jika 𝑦 = 3 sin θ ; 𝑥 = cos θ

(13)

1. 6 Penerapan Turunan

Terdapat lima jenis penerapan turunan pada subbab ini, yaitu persamaan garis singgung dan garis normal, kecepatan sesaat, maksimum-minimum masalah praktis, menggambar grafik dengan uji turunan, dan laju yang berkaitan. Dalam pembahasannya digunakan contoh-contoh.

1.6.1 Persamaan Garis Singgung dan Persamaan Garis Normal

Penerapan turunan dengan topik persamaan garis singgung dan garis normal telah dipelajari sejak di sekolah menengah tingkat atas, sehingga topik ini dikembangkan pada jenis kurva dengan persamaan implisit ataupun persamaan parametrik. Adapun teknik untuk memperoleh persamaan garisnya tidak berbeda dari yang dipelajari sebelumnya.

Contoh 15: Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑦 = 3𝑥 − 6𝑥 + 3𝑥 + 2 = 0 di titik (0, 2)!

Penyelesaian:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 9𝑥 − 12𝑥 + 3

Misalkan 𝑚 adalah gradien atau kemiringan garis singgung, maka 𝑚 =

( , ) ( , )= 0 − 0 + 3 = 3.

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui (0, 2) adalah

𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 0) atau 𝑦 = 3𝑥 + 2.

Kemiringan garis normal, misalnya 𝑚 = − = − . Jadi, persamaan garis normal yang melalui (0, 2) adalah

𝑦 = − 𝑥 + 2.

Gambar 1.1 Visualisasi geometris soal di Contoh 15

Contoh 16: Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑥 + 𝑦 + 3𝑥𝑦 − 11 = 0 di titik 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 !

Penyelesaian:

Kurva ini memiliki persamaan implisit. Dengan cara 1 atau cara 2, diperoleh 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −2𝑥 + 3𝑦 2𝑦 + 3𝑥.

Gradien garis singgung = 𝑚 =^𝒅𝒚

𝒅𝒙 , = − .

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (1, 2) adalah

(14)

𝑦 − 2 = − (𝑥 − 1) atau 7𝑦 + 8𝑥 = 22.

Kemiringan garis normal = 𝑚 = − = .

Jadi, persamaan garis normal yang melalui titik (1, 2) adalah 8𝑦 − 7𝑥 = 9.

Contoh 17: Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑥 = ; 𝑦 = pada 𝑡 = 2 !

Penyelesaian:

Karena fungsi x dan y masing-masing memiliki peubah bebas t, berlaku 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2𝑡(1 + 𝑡) − 𝑡

(1 + 𝑡) = 𝑡 + 2𝑡 (1 + 𝑡) 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 3(1 + 𝑡) − 3𝑡

(1 + 𝑡) = 3

(1 + 𝑡) Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh turunan pertama

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑡.𝑑𝑡

𝑑𝑥= 𝑡 + 2𝑡 3 Kemiringan garis singgung = 𝑚 =^𝒅𝒚

𝒅𝒙 = .

Garis singgung melalui titik (𝑥 , 𝑦 ). Titik ini ditentukan dengan cara:

𝑥 = 𝑥(𝑡 = 2) = 2 dan 𝑦 = 𝑦(𝑡 = 2) = .

Jadi, garis singgung ini melalui titik (2, ). Dengan menggunakan cara seperti contoh sebelumnya, diperoleh pgs adalah 3𝑦 − 8𝑥 = −12. Untuk menentukan pgn, tentukan dulu gradien garis normal, yaitu 𝑚 = − = − .

Jadi, persamaan garis normal yang melalui (2, ) adalah 24𝑦 + 9𝑥 = 50.

Latihan 5.

1. Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦 − 7 = 0 di titik 𝑥 = 2, 𝑦 = 3 !

2. Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑦 = 11 − di titik 𝑥 = 6, 𝑦 = 4 !

(15)

3. Tentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑦 = cos 2𝑡 ; 𝑥 = sin 𝑡 di t = !

4. Tentukan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑦 = 2 sin θ ; 𝑥 = 2 cos θ di 𝜃 = !

5. Tentukan persamaan garis normal pada kurva dengan persamaan 𝑦 = 1 + cos θ + cos 2θ ; 𝑥 = 1 + sin 2θ di 𝜃 = !

1.6.2 Kecepatan Sesaat

Kajian kecepatan sesaat dapat dilakukan pada berbagai sistem yang mengalami gerakan.

Dalam bidang teknik mesin, kajian ini difokuskan pada sistem alat roda piston.

Contoh 18:

Gambar 1.2

Sebuah roda berpusat di titik asal dan berjari-jari 10 cm berputar berlawanan arah perputaran jarum jam, dengan laju 4 put/detik. Sebuah titik P pada pelek berada pada koordinat (10, 0) saat t = 0. Tentukan: a. Koordinat P saat t = 2 detik, b. Laju P naik (atau turun) saat t = 1 detik.

Penyelesaian:

Diketahui:

r = jari-jari roda = 10 cm

𝜔 = kecepatan sudut = 4 put/detik = 4 × 2𝜋 = 8𝜋 radian/detik

𝜃 = besar sudut antara jari-jari roda dan sumbu x = 𝜔𝑡 = 8𝜋𝑡 radian

Gambar 1.3

Ditanyakan: a. 𝑃 , 𝑃 b.

a. Dari Gambar 1.3 diperoleh 𝑃 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑃 = 𝑟 sin 𝜃, sehingga 𝑃 , 𝑃 = (10 cos 8𝜋𝑡 , 10 sin 8𝜋𝑡)

(16)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 16 Koordinat P pada saat t = 2 detik adalah

𝑃 , 𝑃 = (10 cos 16𝜋 , 10 sin 16𝜋) = (10, 0)

b. Laju P pada saat t detik yaitu = 80𝜋 cos 8𝜋𝑡

Maka laju P pada saat t = 1 detik adalah = 80𝜋 cos 8𝜋 = 80𝜋 cm/detik.

Contoh 19: Sebuah alat roda piston memiliki jari-jari 1 kaki dan berputar berlawanan arah perputaran jarum jam pada 2 radian/detik. Batang penghubung (tuas) panjangnya 5 kaki. Titik P berada di (1, 0) pada t = 0.

Tentukan:

a. Koordinat P pada saat 𝑡 = 5𝜋 detik, b. Koordinat Q pada saat 𝑡 = 𝜋 detik, c. Kecepatan Q pada saat 𝑡 = detik.

Gambar 1.4 Alat Roda Piston

Penyelesaian:

Diketahui:

r = jari-jari roda = 1 kaki

𝜔 = kecepatan sudut = 2 rad/detik 𝜃 = 2𝑡 radian

tuas = 5 kaki

Gambar 1.5 Sistem Alat Roda Piston secara Horizontal

Ditanyakan: a. 𝑃 , 𝑃 =?

b. 𝑄 , 𝑄 =? (Gerakan Q ke atas/bawah saja, sehingga 𝑄 = 0).

c. =?

a. Seperti contoh sebelumnya diperoleh 𝑃 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑃 = 𝑟 sin 𝜃, sehingga koordinat P pada saat t adalah

𝑃 , 𝑃 = (cos 2𝑡 , sin 2𝑡) Koordinat P pada saat 𝑡 = 5𝜋 adalah

(17)

𝑃 , 𝑃 = (cos 10𝜋 , sin 10𝜋) = (1, 0)

b. Gerakan 𝑄 hanya naik turun, maka 𝑄 = 0, sehingga yang dihitung hanya 𝑄 Dari Gambar 1.5 diperoleh

𝑄 = 𝑃 + 𝑠 = 𝑃 + 25 − 𝑃 = sin 2𝑡 + 25 − cos 2𝑡

Jadi koordinat Q pada saat t adalah

𝑄 , 𝑄 = 0 , sin 2𝑡 + 25 − cos 2𝑡

Koordinat Q pada saat 𝑡 = 𝜋 adalah

𝑄 , 𝑄 = 0 , sin 2𝜋 + 25 − cos 2𝜋 = 0, 2√6

c. Laju Q pada saat t detik yaitu 𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 2 cos 2𝑡 +1 2

2.2 cos 2𝑡 sin 2𝑡

√25 − cos 2𝑡 = 2 cos 2𝑡 + sin 4𝑡

√25 − cos 2𝑡 Jadi, laju Q pada saat t = detik yaitu

𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 2 cos 𝜋 + sin 2𝜋

√25 − cos 𝜋= −2 𝑘𝑎𝑘𝑖/𝑑𝑒𝑡

Perhatikan bahwa satuan dari angka di depan fungsi cosinus dan sinus harus dikonversi dulu ke derajat dalam perhitungan dengan kalkulator (𝜋 radian = 180°).

Latihan 6.

1. Jawablah pertanyaan pada Contoh 17.

a. Koordinat P saat t = 2𝜋 detik

b. Laju P naik (atau turun) saat t = 𝜋 detik,

jika diketahui jari-jari roda 15 cm dan kecepatan sudutnya 5 radian/detik!

2. Jawablah pertanyaan pada Contoh 18.

a. Koordinat P pada saat 𝑡 = 5 detik

b. Koordinat Q pada saat 𝑡 = 1 (koordinat x selalu nol) detik c. Kecepatan Q pada saat 𝑡 = detik,

jika jari-jari roda 1,5 kaki dan kecepatan sudutnya 5 putaran/detik!

(18)

1.6.3 Maksimum Minimum Masalah Praktis

Permasalahan praktis yang ditemui sehari-hari sering menuntut kita untuk mengetahui kapan atau bagaimana kondisi yang dapat memaksimalkan atau meminimalkan sesuatu yang dipengaruhi beberapa peubah. Misalnya, kekuatan balok kayu dipengaruhi oleh ukuran penampangnya, yaitu dua peubah (lebar dan tebal). Bagaimana menentukan ukuran balok jika diinginkan kekuatan balok yang maksimal?

Contoh 20: Sebuah balok dipotong dari sebuah kayu gelondongan berpenampang lingkaran dengan diameter 20√3 cm. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar dan kuadrat tebalnya, tentukan ukuran penampang balok agar kekuatan balok maksimum!

Gambar 1.6

Penyelesaian:

Diketahui: l = lebar balok t = tebal balok

S = kekuatan balok ~𝑙𝑡 ⟺ 𝑆 = 𝑘𝑙𝑡 , dengan 𝑘 > 0 𝑘 = konstanta kesebandingan

Ditanyakan: ukuran l dan t agar S maksimum

Dari Gambar 1.6 diperoleh bahwa diameter lingkaran adalah sisi miring pada segitiga siku-siku ABC, sehingga 𝑡 + 𝑙 = 1200.

Maka fungsi S dapat ditulis sebagai 𝑆 = 𝑘𝑙𝑡 = 𝑘𝑙(1200 − 𝑙 ) atau 𝑆(𝑙) = 1200𝑘𝑙 − 𝑘𝑙 .

Nilai maksimum S ditentukan oleh nilai l dari persamaan S’( l ) = 0, yaitu 𝑆 (𝑙) = 1200𝑘 − 3𝑘𝑙 = 0

𝑙 = 400 ⇒ 𝑙 = 20 𝑐𝑚 dan 𝑡 = 20√2 𝑐𝑚.

Apakah fungsi S maksimum jika 𝑙 = 20? Periksa nilai S dengan cara sebagai berikut.

Diagram Uji Turunan Pertama:

Gambar 1.7

Di 𝑙 < 20, nilai 𝑆 positif, maka fungsi S naik.

Di 𝑙 > 20, nilai 𝑆 negatif, maka fungsi S turun.

Jadi, di 𝑙 = 20 fungsi S maksimum.

Dengan demikian, agar kekuatan balok maksimum ukuran penampang baloknya 𝑙 = 20 𝑐𝑚 dan 𝑡 = 20√2 𝑐𝑚.

(19)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 19 Contoh 21: Sebuah talang air seperti pada Gambar 1.8 mempunyai sisi penampang masing-masing 3 inci.

Tentukan 𝜃 agar kapasitas talang tersebut maksimum!

Catatan: 0 < 𝜃 < . Gambar 1.8

Penyelesaian:

Diketahui penampang talang sebagai berikut:

Gambar 1.9

Ditanyakan: Besar sudut 𝜃 =?

agar kapasitas talang maksimum.

Dari Gambar 1.9 diperoleh bahwa 𝑡 = √9 − 𝑥 , sin 𝜃 = dan cos 𝜃 = . Misalnya L = luas penampang.

Maka 𝐿 = 𝑡 = (3 + 𝑥)√9 − 𝑥 = 𝐿(𝑥).

Jika ditulis dalam 𝜃, maka

𝐿(𝜃) = (3 + 3 cos 𝜃)3 sin 𝜃

Nilai maksimum L ditentukan oleh nilai 𝜃 dari persamaan 𝐿 (𝜃) = 0, yaitu

𝐿 (𝜃) = 9 cos 𝜃 + 9 cos 2𝜃 = 0,

yang ekivalen dengan persamaan kuadrat 2 cos 𝜃 + cos 𝜃 − 1 = 0, sehingga diperoleh cos 𝜃 = ⇒ 𝜃 = 60° atau

cos 𝜃 = −1 ⇒ 𝜃 = 180° .

Karena 0 < 𝜃 < maka dipilih 𝜃 = 60°.

Jadi, agar kapasitas talang maksimum, dipilih 𝜃 = 60°.

Latihan 7.

1. Jawablah pertanyaan pada Contoh 19, jika kayu gelondongan berpenampang ellips dengan persamaan 9𝑥 + 8𝑦 = 72! (Catatan: diameter pada Contoh 19 tidak digunakan).

2. Jawablah pertanyaan pada Contoh 20, jika sisi miring penampang talang masing- masing 10 cm dan alasnya 6 cm!

3. Sebuah pulau kecil berjarak 2 mil dari titik terdekat P di garis pantai lurus sebuah kota. Jika seorang pria di pulau itu dapat mendayung perahu 3 mil per jam dan dapat

berjalan 4 mil per jam, di mana perahu harus mendarat Gambar 1.8

Catatan: Kapasitas talang maksimum, jika luas penampangnya maksimum.

(20)

agar tiba di kota yang jaraknya 10 mil dari P dalam waktu paling singkat?

4. Lorong selebar 6 kaki membuat belokan sudut kanan.

Berapa panjang batang terpanjang yang dapat dibawa melewati tikungan dengan asumsi batang tersebut tidak dapat memiringkan?

Gambar 1.9

1.6.4 Menggambar Grafik dengan Uji Turunan

Teknik yang paling sederhana untuk menggambar grafik atau kurva dari sebuah persamaan 𝑦 = 𝑦(𝑥) adalah dengan cara menghubungkan beberapa titik (𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan tersebut. Jika persamaannya linier atau kurvanya berbentuk garis lurus, maka hanya dibutuhkan dua titik saja. Namun untuk persamaan non linier atau kurva berupa garis melengkung, maka titik-titik yang dibutuhkan lebih banyak. Semakin banyak, semakin mulus kurva yang dihasilkan. Dengan teknik uji turunan, kemulusan kurva dari persamaan non linier akan lebih mudah diperoleh.

Contoh 22: Sketsa kurva persamaan 𝑦 = −3𝑥 + 4𝑥 dengan menggunakan uji turunan pertama dan turunan kedua!

Turunan pertama: 𝑦 (𝑥) = −12𝑥 + 12𝑥 .

Untuk memperoleh titik-titik kritis digunakan persamaan 𝑦 (𝑥) = 0, sehingga diperoleh

−12𝑥 + 12𝑥 = 𝑥 (−𝑥 + 1) = 0.

Diperoleh akar-akar 𝑥 = 0, 𝑥 = 0, dan 𝑥 = 1.

Jadi, titik-titik kritisnya adalah (0, 0) dan(1, 1).

Uji turunan pertama:

Gambar 1.10

Perhatikan gambar di samping ini! Misalkan 𝑎 < 0.

Jika 𝑦 (𝑎) < 0, maka di sebelah kiri nol kurva turun (dari kiri ke kanan). Tetapi jika 𝑦 (𝑎) > 0, maka kurva naik di sebelah kiri nol. Karena 𝑦 (−1) > 0 dan 𝑦 > 0 maka kurva naik di sebelah kiri satu.

Karena 𝑦 (2) < 0 maka kurva turun di sebelah kanan satu.

(21)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 21 Turunan kedua: 𝑦′′(𝑥) = −36𝑥 + 24𝑥

Untuk memperoleh calon titik-titik balik digunakan persamaan 𝑦′′(𝑥) = 0, sehingga diperoleh −36𝑥 + 24𝑥 = 12𝑥(−3𝑥 + 2) = 0

Jadi, calon titik-titik baliknya adalah (0, 0) dan , .

Dikatakan calon titik-titik balik, karena belum tentu titik-titik yang dihasilkan pada proses ini merupakan titik-titik balik. Setelah melalui proses uji turunan kedua maka dapat disimpulkan bahwa titik-titik ini merupakan titik-titik balik atau bukan.

Uji turunan kedua:

Gambar 1.11

Perhatikan gambar di samping ini! Misalkan 𝑏 < 0. Jika 𝑦 (𝑏) < 0, maka di sebelah kiri nol kurva cekung ke bawah. Tetapi jika 𝑦 (𝑏) > 0, maka di sebelah kiri nol kurva cekung ke atas. Karena 𝑦 (−1) < 0, maka di sebelah kiri nol kurva cekung ke bawah.

Lakukan hal yang sama untuk range antara nol dan 2/3, antara 2/3 dan 1, kemudian di sebelah kanan 1!

Karena pada 𝑥 = 0 dan 𝑥 = terjadi perubahan kecekungan maka titik (0, 0) dan , merupakan titik-titik balik.

Dari uji turunan pertama dan uji turunan kedua diperoleh informasi bahwa di sebelah kiri nol, kurva naik dan cekung ke bawah, antara 0 dan 2/3 kurva naik dan cekung ke atas, antara 2/3 dan 1 naik dan cekung ke bawah, di sebelah kanan 1 kurva turun dan cekung ke bawah. Maka sketsa kurvanya adalah:

(22)

Tiga titik penting:

(0, 0), (1, 1), dan 2 3,16

27 .

Gambar 1.12

Titik (0, 0) dan , merupakan titik-titik balik, sedangkan titik (1, 1) merupakan titik maksimum global. Titik maksimum global diperoleh jika untuk nilai x berapapun tidak ditemukan nilai y yang lebih besar dari titik ini. Sebaliknya, titik minimum global diperoleh jika untuk nilai x berapapun tidak ditemukan nilai y yang lebih kecil dari titik ini.Titik maksimum lokal diperoleh jika untuk nilai x di sekitar titik ini tidak ditemukan nilai y yang lebih besar. Sebaliknya, titik minimum lokal diperoleh jika untuk nilai x di sekitar titik ini tidak ditemukan nilai y yang lebih kecil. Pada contoh ini, tidak ditemukan titik maksimum maupun minimum lokal. Pada sebuah kurva tidak mungkin terdapat titik maksimum global sekaligus titik minimum global.

Contoh 23: Sketsa kurva persamaan 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 dengan menggunakan uji turunan pertama dan turunan kedua!

Penyelesaian:

Turunan pertama: 𝑦 (𝑥) = 4𝑥 − 6𝑥 .

Titik-titik kritis diperoleh dari persamaan 𝑦 (𝑥) = 0, sehingga diperoleh 4𝑥 − 6𝑥 = 2𝑥 (2𝑥 − 3) = 0.

Jadi, titik-titik kritisnya adalah (0, 0) dan , − .

(23)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 23 Uji turunan pertama:

Gambar 1.13

Dari gambar di samping ini diperoleh bahwa di sebelah kiri 3/2 kurva turun karena 𝑦 (−1) < 0 dan 𝑦 (1) < 0 . Karena 𝑦 (2) > 0 maka di sebelah kanan 3/2 kurva naik.

Turunan kedua: 𝑦"(𝑥) = 12𝑥 − 12𝑥

Calon titik-titik balik diperoleh dari persamaan 𝑦′′(𝑥) = 0, sehingga diperoleh 12𝑥 − 12𝑥 = 12𝑥(𝑥 − 1) = 0

Maka calon titik-titik baliknya adalah (0, 0) dan(1, −1).

Uji turunan kedua:

Gambar 1.14

Perhatikan gambar di samping ini! Karena 𝑦 (−1) > 0 maka di sebelah kiri nol, kurva cekung ke atas. Lakukan hal yang sama untuk range antara 0 dan 1, dan di sebelah kanan 1!

Karena pada 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1 terjadi perubahan kecekungan maka titik (0, 0) dan (1, −1) merupakan titik-titik balik.

Dari uji turunan pertama dan uji turunan kedua, diperoleh informasibahwa di sebelah kiri nol, kurva turun dan cekung ke atas, antara 0 dan 1 kurva turun dan cekung ke bawah, antara 1 dan 3/2 kurva turun dan cekung ke atas, di sebelah kanan 3/2 kurva naik dan cekung ke atas. Maka sketsa kurvanya sebagai berikut:

(24)

Matematika Terapan IIB - D4 Teknik Mesin 24 Gambar 1.15

Titik (0, 0) dan(1, −1) merupakan titik-titik balik, sedangkan titik , − merupakan titik minimum global.

Latihan 8.

Sketsa kurva dari persamaan-persamaan di bawah ini dengan menggunakan uji turunan pertama dan turunan kedua!

1. 𝑦 = 2𝑥 − 5𝑥 + 7 4. 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥

2. 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 5. 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 3

3. 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 6. 𝑦 = −2𝑥 + 3𝑥 + 12𝑥 + 1

     













x y

(25)

1.6.5 Laju yang Berkaitan

Sebuah fungsi dengan satuan panjang, luas, volume, dan sebagainya, dapat dipengaruhi oleh beberapa peubah. Oleh karena itu, laju (kecepatan) perubahan sebuah fungsi ataupun sebuah peubah dapat terjadi secara berkaitan antar satu peubah dengan peubah lainnya.

Contoh 24: Sebuah balon dilepas pada jarak 150 kaki dari seorang pengamat yang tingginya diabaikan. Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8 kaki/detik, seberapa cepatkah pertambahan jarak antara pengamat dan balon ketika tinggi balon 50 kaki?

Secara geometris soal cerita ini dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1.16

Penyelesaian:

Diketahui: h = tinggi balon pada saat t = laju balon naik ke atas = 8 kaki/detik s = jarak antara pengamat dan balon saat t Ditanyakan:

Dari gambar di atas diperoleh hubungan antara s dan h dengan hukum Phytagoras yaitu:

𝑠 = ℎ + (150) Persamaan ini diturunkan terhadap t, diperoleh

2𝑠𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 2ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡+ 0,

sehingga 𝑑𝑠 𝑑𝑡 =ℎ

𝑠 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 8ℎ

𝑠 .

Pada saat h = 50 , 𝑠 = √2500 + 22500 = 50√10.

Jadi,

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 8 50

50√10=4

5√10 𝑘𝑎𝑘𝑖/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

Jadi pertambahan jarak antara pengamat dan balon ketika ketinggian balon 50 kaki adalah

√10 𝑘𝑎𝑘𝑖/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘.

(26)

Contoh 25: Sebuah cakram baja memuai selama dipanaskan. Jika jari-jarinya bertambah panjang dengan laju 0,02 cm/det, berapa kecepatan memuainya luas cakram pada saat jari-jarinya 8,1 cm?

Gambar 1.15

Penyelesaian:

Diketahui: r = r (t) = jari-jari cakram pada saat t = laju pertambahan jari-jari = 0,02 cm/detik L = L(t) = luas cakram pada saat t

Ditanyakan:

,

𝐿 = 𝜋𝑟 𝑑𝐿

𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟

𝑑𝑡= 2𝜋𝑟 (0,02) = 0,04𝜋𝑟

Jadi, 𝑑𝐿

𝑑𝑡 _, = 0,04𝜋 (8,1) = 0,324𝜋 = 1,017876 𝑐𝑚 /𝑑𝑒𝑡

Jadi, kecepatan memuainya cakram pada saat 𝑟 = 8,1 𝑐𝑚 adalah 1,017876 𝑐𝑚 /𝑑𝑒𝑡.

Contoh 26: Air dituangkan ke dalam bak berbentuk kerucut tegak, dengan laju 8 liter/menit. Jika tinggi bak 12 dm dan jari-jari permukaan atas 6 dm, seberapa cepatkah permukaan air naik ketika tinggi permukaan air 4 dm?

Gambar 1.16

Penyelesaian:

Diketahui: h = tinggi air pada saat t r = jari-jari permukaan air pada saat t V = volume air

= laju perubahan volume air (konstan) = 8 liter/menit = laju perubahan tinggi air

Ditanyakan:

Penampang vertikal kerucut menggambarkan dua segitiga sebangun sebagai berikut:

(27)

Gambar 1.16

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEC, sehingga diperoleh perbandingan sisi-sisi yaitu:

𝑟 ℎ= 6

12=1 Jadi, 2

𝑟 =1

2ℎ ⟹ 𝑟 =1 4ℎ

Volume air yang berbentuk kerucut dengan tinggi h dan jari-jari permukaan r adalah 𝑉 =𝜋

3𝑟 ℎ = 𝜋 12ℎ Persamaan ini diturunkan terhadap t, diperoleh = 3ℎ

Karena laju volume air 8 liter/menit, diperoleh 8 = 3ℎ atau 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 8. 12

3𝜋ℎ = 32 𝜋ℎ Jadi,

𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2

𝜋 𝑑𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

Jadi laju perubahan tinggi air adalah 𝑑𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 pada saat tinggi air 4 dm.

Latihan 9.

Selesaikan soal cerita di bawah ini!

1. Sebuah partikel P bergerak sepanjang kurva 𝑦 = 𝑥 − 4, 𝑥 ≥ 2, sedemikian sehingga koordinat x pada titik P tersebut bertambah dengan laju 5 cm/det. Berapa kecepatan koordinat y pada titik P bertambah pada saat x = 3?

2. Minyak dari kapal tangki yang pecah menyebar dengan pola melingkar. Jika jari-jari lingkaran bertambah dengan laju 1,5 dm/det. Berapa kecepatan meluasnya minyak setelah 2 jam? (Petunjuk: jari-jari lingkaran minyak nol sebelum tangki pecah).

3. Rusuk kubus diukur dengan panjang 11,4 cm dengan kesalahan ±0,05 cm. Hitunglah volume kubus dengan taksiran kesalahannya!

(28)

4. Air keluar dari bawah bak berbentuk kerucut tegak seperti pada Gambar 4.12, dengan laju 30 cm³/detik. Jika tinggi bak 1 m dan garis tengah permukaan bak 60 cm, seberapa cepatkah menurunnya permukaan air ketika tinggi permukaan air 50 cm?

5. Air keluar dari bawah tangki berbentuk setengah bola yang jari-jarinya 8 dm, dengan laju 2 liter/jam. Seberapa cepatkah menurunnya permukaan air ketika tinggi permukaan air 3 dm? Catatan: volume segmen bola dengan jari-jari r dan tinggi h adalah 𝜋ℎ 𝑟 − .

(29)

DAFTAR PUSTAKA

L., Boas, Marry. 1983. Mathematical Methods in the Physical Sciences: John Wiley &

Sons.

Purcell, E.J. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1. Alih Bahasa Drs. I Nyoman Susila: Erlangga.

Purcell, E.J. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 2. Alih Bahasa Drs. I Nyoman Susila: Erlangga.

Sachrap, M, dkk. 1995. Matematika I Rekayasa. Bandung : Politeknik ITB.

Schmidt, Philip A. 2002. Schaum’s Easy Outlines Geometry. United States of America:

Mc Graw-Hill.

Spiegel, Murray R. 1983. Matematika Lanjutan untuk Para Insinyur dan Ilmuwan.

Alih Bahasa Drs. Koko Sumartono: Erlangga.

Stroud, K.A. 1995. Matematika untuk Tenik. Alih Bahasa Erwin Sucipto: Erlangga.