Prinsip dan Aplikasinya dalam Pasar

Fungis kuadrat

Fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.

 Fungsi kuadrat dalam X mempunyai bentuk umum: , f(x) = ax² + bx + c , a ¹ 0 dengan suatu bilangan real Contoh: f(x) = 3x² + 5x + 7

a = 3 ; b = 5 ; c = 7

grafik parabola

Hubungan “a” dan “D”

Rumus abc

Diskriminan

Koordinat Puncak

x

₁₂

= − b± √ ^b

²

^{− 4 ac}

2 a

aplikasi fungsi kuadrat

 fungi permintaan / demand  fungsi penawaran / supply

Contoh mencari market equibrium (keseimbangan pasar) carilah keseimbangan pasar dari grafik berikut :

S = D Ps = Pd

Q² + 2Q + 4 = 24 – 3Q² 4Q² + 2Q – 20 = 0 --- : 2 2Q² + Q – 10 = 0

(2Q + 5).(Q – 2)

 2Q + 5 = 0 à Q = (-) tdk terpakai

 Q – 2 = 0 à Q = 2 (dipakai)

 P = 24 – 3(2)² = 12

 MEo = (2 , 12) x₁₂=−b±

√

^b2−4ac

2a

Bep , profit dan rugi

 BEPterjadi apabila TC = TR

Keterangan C = TC R = TR TPP = BEP

TR = -aQ

²

+ bQ TR = (-aQ + b).Q (-aQ + b) à pers.

harga per unit

TC = aQ

²

+ bQ + c TC = (aQ + b).Q + c

(aQ + b) à pers. biaya per unit

c à biaya tetap

TR = TC

-4Q² + 520Q = Q² + 20Q + 3500 5Q² - 500Q + 3500 = 0

--- : 5 Q² – 100Q + 700 = 0

Analisis profit

TR > TC

Profit (p) = TR – TC

p = -4Q² + 520Q – ( Q² + 20Q + 3500)

p = -5Q² + 500Q - 3500

Diferensial

Tingkat perubahan suatu fungsi atas adanya perubahan variabel bebas dari fungsi tersebut

Kaidah diferensial

y' = f ' ( x )= dy

dx = Δy

Δx

Diferensial tingkat n

• Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya).

• Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.

Contoh

Uji tanda

• Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti

x yang ditemukan datanya berstatus sebagai titik ekstrim / titik optimum

• Bagaimana sifat optimumnya (max / min)

 Jika f’’(x) > 0 maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.

 Jika f’’(x) < 0 maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.

Marginal cost MC = TC’

Jika TC = Q²+20Q+3500

Maka MC = 2Q + 20 (menggunakan kadiah diferensial)

Marginal revenue MR = TR’

Jika TR = -4Q²+520Q

Maka MR = -8Q + 520 (menggunakan kadiah diferensial) TRmax = ?

TR’ = MR = 0 = -8Q + 520 à Q = 65 (nilai optimum)

 

TR’’ = MR’ = -8 < 0 à sifat nilai optimum maksimum Maka Trmax = -4(65)² +520(65) = 16.900

Laba maksimum Profit (p) = TR – TC

TR > TC

Profit (p) = TR – TC

p = -4Q² + 520Q – ( Q² + 20Q + 3500)

p = -5Q² + 500Q - 3500

Diferensial parsial

Contoh soal

Z=3x²-8xy-6y²

Pendekatan Uji Tanda

p’ = -10Q + 500 = 0 à Q = 50 (nilai optimum) p’’ = -10 < 0 à sifat optimum maks

Jadi p_mak= -5(50) + 500(50) – 3500 = 9.000

Pendekatan Marginal MR = MC

-8Q + 520 = 2Q + 20 10Q = 500 à Q = 50

Syarat max : MR’ < MC’

-8 < 2 à memenuhi

Jadi p_mak= -5(50) + 500(50) – 3500 = 9.000

Z = f(x,y)

∂ Z

∂ X = 6X – 8Y ∂ Z

∂Y = -12Y – 8X

∂²Z

∂ X² = 6 ∂²Z

∂Y² = -12

∂²Z

∂ X ∂Y = ∂²Z

∂Y ∂ X = -8

Permintaan Marginal dan

Elastisitas Permintaan Marginal

Dua jenis barang (A dan B) mempunyai hubungan dalam pemakaiannya.

Tingkat harga (P) masing-masing sangat berpengaruh pada tingkat permintaan (Q) dari masing-masing barang

Qa=f(Pa,Pb) dan Qb=f(Pa,Pb)

|E| > 1 àElastis : Jika ada perubahan harga sebesar x % maka permintaan barang

tersebut akan bernilai (100- x)% > prosentase perubahan harganya.

|E| = 1 àUnitary Elastic : Jika ada perubahan harga sebesar x % maka tidak ada dampak perubahan prosentase permintaan barang.

|E| < 1 àInelastik : Jika ada perubahan harga sebesar x % maka permintaan barang

tersebut akan bernilai (100- x)% < prosentase perubahan harganya.

Analisa elastisitas

Eab<0 dan Eba<0 à Komplementer / Melengkapi

Pa¯à Qa dan Qb Eab>0 dan Eba>0 à

Kompetitif/Substitutif/Menggantikan Pa¯ à Qa dan Qb¯

Nilai ekstrim persamaan parsial

Z=f(x,y)

Syarat 1 / Perlu:

Syarat 2 / Cukup:

Maksimum

Minimum

Biaya produksi gabungan

Perusahaan yang menghasilkan 2 macam produk, maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi keduanya dinamakan Biaya Produksi Gabungan (joint product cost).

Perhitungan laba maksimum yang diperoleh dilakukan dengan pendekatan diferensial parsial.

Elastisitas harga pemintaan

Elastisitas silang permintaan

Ea=∂Qa

∂Pa .Pa Qa Eb=∂Qb

∂Pb.Pb Qb Eab=∂Qa

∂Pb.Pb Qa Eba=∂Qb

∂Pa .Pa Qb

∂Z

∂X=∂Z

∂Y=0

∂²Z

∂X²<0 dan ∂²Z

∂Y²<0

∂²Z

∂X²>0 dan ∂²Z

∂Y²>0

TCgab = f(Qa,Qb) TRa=Qa . Pa TRb=Qb . Pb π = (TRa + TRb) – TC

Syarat 1 / Perlu:

Syarat 2 / Cukup:

Derivatif Total dari Persamaan Parsial Bersyarat

Pengganda lagrange

Penghitungan nilai ekstrem dari sebuah fungsi yang menghadapi kendala dari fungsi lain dapat diselesaikan dengan Metode Lagrange yaitu dengan cara membentuk fungsi baru disebut Fungsi Lagrange.

Fungsi z=f(x,y) akan dioptimumkan, terkendala fungsi U= g(x,y) Maka Fungsi Lagrange yang bisa terbentuk adalah

F(x,y,l) = f(x,y) ± lg(x,y)

l = Pengganda Lagrange = variabel tertentu yang bersifat sebagai pembantu saja

∂π

∂Qa=0 dan ∂π

∂Qb=0 MR_a=MC_a MR_b=MC_b

∂²π

∂Q²a<0dan ∂²π

∂Q²b<0 MR '_a<MC '_a MR'_b<MC '_b

Nilai ekstrem fungsi bersyarat

Syarat Perlu / Necessary condition

Fx(x,y,l) = fx ± lgx = 0 dan Fx(x,y,l) = fy ± lgy = 0 Syarat Cukup / Sufficient condition

Maksimum jika Fxy < 0 dan Fxy < 0 Minimum jika Fxy > 0 dan Fxy > 0