Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga

(1)

MINGGU KE-2-3 DASAR-DASAR MEH

Dosen :

Mustafa, ST., MT Prodi S1 Teknik Mesin Universitas Tadulako-Palu 2023

[email protected]

Metode eleMen hingga

F07202085

TUJUAN INSTRUKSIONAL

UMUM (TIU) :

Mahasiswa dapat memahami konsep Dasar MEH

TUJUAN INSTRUKSIONAL

KHUSUS (TIK) :

(2)

Pengertian MEH



MEH



suatu bentuk metode yang digunakan sebagai salah satu solusi pendekatan untuk memecahkan berbagai permasalahan fisik, berupa analisa numerik teknik.



Perkembangan dunia komputer telah begitu cepatnya mempengaruhi bidang-bidang penelitian dan industri, sehingga impian para ahli dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan industri telah menjadi kenyataan

Dasar-Dasar MEH Mustafa, ST., MT

Pengertian MEH



MEH banyak memberikan andil dalam melahirkan penemuan-penemuan bidang riset dan industri. Penyebabnya karena MEH dapat berperan sebagai research tool pada eksperimen numerik.



Aplikasinya : pada rekayasa struktur, heat

transfer, fluid flow, electrical potential

problem, dan aplikasi pada bidang medical

(3)

Matriks Kekakuan Lokal Elemen Sederhana

 Perhatikan sebuah pegas linier yang dapat menerima gaya dan mengalami perpindahan dalam satu arah (yaitu arah sumbu pegas) pada kedua ujungnya (titik nodal).

 Tahapan dalam menentukan hubungan antara perpindahan (u) dan gaya (F) pada kedua ujung pegas.

1. Menganggap u₂= 0 (titik 2 dijepit/ditahan).

 Pegas berdefleksi u₁akibat F_1a. dimana : F = k.u

(4)

2. Menganggap u₁= 0 (titik 1 dijepit/ditahan).

 Pegas berdefleksi u₂akibat F_2b. dimana : F_2b= k.u₂

 Keseimbangan gaya horizontal : F_1b+ F_2b= 0 F_1b= -F_2b

 F_1b= -F_2b= -k.u₂

3. Superposisikan kedua tahap di atas.

 Gaya total pada titik nodal 1 dan 2 adalah :

F₁= F_1a+ F_1b= k.u₁- k.u₂

F₂= F_2a+ F_2b= -k.u₁+ k.u₂

 Jika ditulis dalam bentuk matriks :

Vektor

gaya Vektor

perpindahan Matriks kekakuan

(5)

 Matriks kekakuan dari satu elemen dinamakan matriks kekakuan lokal (local stiffness matrix), dimana :

 Matriks kekakuan lokal adalah simetrik

 Besar matriks kekakuan lokal adalah jumlah titik nodal elemen dikalikan dengan derajat kebebasan (degree of freedom), dalam hal ini dua titik nodal, masing-masing dengan satu derajat kebebasan, sehingga 2 x 1 = 2, dan besar matriks adalah 2 x 2

Matriks Kekakuan Global Elemen Sederhana

 Perhatikan sistem dua elemen pegas berikut :

(6)

 Tahapan dalam menentukan hub. antara perpindahan (u) & gaya (F) pada ujung pegas.

1. Menganggap u₂ = u₃ = 0 (titik 2 & 3 dijepit/ditahan).

 Pegas 1 berdefleksi u₁akibat F_1a.

dimana : F_1a= k₁.u₁

 Keseimbangan gaya horizontal : F_1a+ F_2a= 0 F_2a= -F_1a= - k₁.u₁

 Pada pegas 2 tidak ada gaya karena u₂=u₃=0, shg : F_3a= 0

2. Menganggap u₁ = u₃ = 0 (titik 1 & 3 dijepit/ditahan).

 Gaya F_2b mendefleksi pegas 1 dan pegas 2.

F_2b= F_2b(1) + F_2b(2) F_2b= k₁.u₂+ k₂.u₂ F_2b= (k₁+ k₂)u₂

 Keseimbangan gaya horizontal pada pegas 1 : F_1b+ F_2b(1) = 0

F_1b= - F_2b(1) = - k₁.u₂

 Keseimbangan gaya horizontal pada pegas 2 :

F_3b+ F_2b(2) = 0

F_3b= - F_2b(2) = - k₂.u₂

(7)

3. Menganggap u₁ = u₂ = 0 (titik 1 & 2 dijepit/ditahan).

 Pada pegas 1, tidak ada gaya karena u₁= u₂= 0 F_1c= 0

 Pegas 2 berdefleksi u₃akibat F_3c.

dimana : F_3c= k₂.u₃

 Keseimbangan gaya horizontal pada pegas 2 : F_2c+ F_3c= 0

F_2c= - F_3c= - k₂.u₃

4. Superposisikan ketiga tahap di atas.

 Gaya total pada titik nodal 1, 2 dan 3 adalah :

F₁= F_1a+ F_1b+ F_1c= k₁.u₁- k₁.u₂+ 0

F₂= F_2a+ F_2b+ F_2c= - k₁.u₁+ (k₁+ k₂)u₂ - k₂.u₃

F₃= F_3a+ F_3b+ F_3c= 0 – k₂.u₂ + k₂.u₃

 Jika ditulis dalam bentuk matriks :

(8)

 Jadi matriks kekakuan [k] :

Matriks kekakuan global, yaitu matriks kekakuan untuk seluruh sistem pegas, dalam hal ini terdiri dari pegas 1 dan pegas 2.

(9)

 Hal-hal yang berkaitan dengan matriks kekakuan global (global stiffness matrix), dimana :

 Matriks kekakuan global adalah simetrik

 Besar matriks kekakuan global adalah jumlah titik nodal elemen dikalikan dengan derajat kebebasan (degree of freedom), dalam hal ini tiga titik nodal, masing-masing dengan satu derajat kebebasan, sehingga 3 x 1 = 3, dan besar matriks adalah 3 x 3

 Matriks kekakuan global adalah superposisi dari matriks kekakuan lokal

Hubungan [k]{u}={F} Sbg Sistem Pers.Linier dan Syarat Batas (Boundary Condition)

 Hub. [k]{u}={F} untuk sistem 2 pegas

dianggap sebagai tiga pers. Linier

dengan tiga variabel yang belum

diketahui, yaitu u

₁

, u

₂

, u

₃

dan F

₁

, F

₂

, dan F

₃

(10)

 Tetapi matriks K adalah singular, yaitu determinannya = 0, atau inversnya tidak ada, sehingga pers. tersebut tidak bisa diselesaikan.

 Untuk menyelesaikannya, maka perlu ditentukan syarat batas (boundary condition), misalnya, u

₁

, = 0

Pemecahan Sistem Pers. Linier dengan Metode Eliminasi Gauss

 Eliminasi Gauss merupakan cara untuk memecahkan sistem pers. linier dengan proses eliminasi bersistem.

 Metode ini pada dasarnya adalah mereduksi menjadi “bentuk segitiga”, kemudian menyelesaikannya dengan “subsitusi langkah mundur”

(11)

Contoh Soal

 Tentukan nilai x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

, dari persamaan berikut:

Penyelesaian

 Tentukan koefisien persamaan.

-1 -1 4 -2 -24

4 1 -6 4 59

1 7 1 2 8

1 -2 -19 2 57

(12)

 Eliminasi x₂dari baris ketiga

 Eliminasi x₃dari baris keempat

 Persamaan terakhir dibentuk menjadi persamaan matriks sbb :

 Menentukan x₄, x₃, x₂, x₁ secara berturut-turut dari persamaan (4).

(13)

Menghitung Gaya dan Tegangan Elemen (Pemecahan Global ke Lokal)

 Misalkan tinjau elemen (pegas) 1 tersendiri, maka besaran-besaran lokal yang muncul.

 Dengan mengetahui gaya-gaya yang bekerja pada elemen 1, maka dapat dihitung tegangan-tegangan yang terjadi.

Langkah-Langkah

Penyelesaian Soal Sistem Pegas

 Bentuk matriks kekakuan setiap elemen atau matriks kekakuan lokal.

 Bentuk matriks kekakuan global.

 Masukkan syarat batas.

 Pecahkan persamaan untuk memperoleh nilai

(14)

Contoh Soal

 Selesaikan sistem tiga pegas yang menerima gaya F

₂

= 10 kN dan F

₃

= 20 kN, sedangkan syarat batasnya adalah u

₁

= u

₄

= 0

Penyelesaian

 Matriks kekakuan lokal

 Elemen 1

 Elemen 2

 Elemen 3

(15)

 Matriks kekakuan global

 Sistem persamaan

 Syarat Batas : u₁= u₄= 0

Dimana : F₂= 10 kN dan F₃= 20 kN.

(16)

 Global ke lokal :

 Elemen 1

 Elemen 2

 Elemen 3

Tugas Latihan 1

 Selesaikan sistem tiga pegas yang

menerima gaya F

₂

= 15 kN dan F

₃

= 25

kN, sedangkan syarat batasnya adalah

u

₁

= u

₄

= 0

(17)

TERIMA KASIH ATAS

PERHATIANNYA