Diagonalisasi Definisi
Misalkan
A
nxn . Matriks A disebut dapat di diagonalisasi jika terdapat suatu matriks P yang dapat dibalik sedemikan sehinnga P−1AP merupakan Matriks Diagonal. Matriks P disebut mendiagonalisasi Matriks A.Teorema :
Jika A meupakan matriks nxn, maka pernyataan berikut ekuivalen a. A dapat didiagonalisasi
b. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier Prosedur untuk mendiagonalisasi suatu matriks.
Misalkan A matriks bujursangkar nxn 1. Tentukan nilai eigen matriks A
2. Tentukan vektor eigen dari nilai eigen yang terkait, misalkan
p ´
1 ,p ´
2, p ´
3, … , p ´
n 3. Bentuk matriks P, dengan p´1 , p´2,p´3, … ,p´n sebagai vektor – vektor kolomnyayaitu P =
[ p ´
1p ´
2p ´
3… p ´
n]
Latihan
1. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A dan tentukan matriks D yang mendiagonalisasi matriks A!
A =
[ 0 0 1 2 1 0 −2 1 3 ]
Jika telah diketahui vektor eigen terkait adalah
λ=1 dan λ=2
Vektor Eigenp
1= [ −1 0 1 ] p
2= [ 0 1 0 ]
p
3= [ −2 1 1 ]
Jawaban
Matriks D yang mendiagonalisasi matriks A
P= [ p
1p
2p
3] = [ −1 0 0 1 1 0 −2 1 1 ]
D=P−1AP
Mencari Invers dari P menggunakan OBE
[ −1 0 0 1 1 0 −2 1 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] B
1=(−1) B
1[ 1 0 2 0 1 1 1 0 1 | −1 0 0 0 0 1 0 0 1 ]
B
3= B
3+(−1) B
1[ 1 0 0 1 0 0 −1 2 1 | −1 0 0 0 1 1 0 0 1 ] B
2B =
3=(−1) B
2+(−1) B
3B
3[ 1 0 2 0 1 0 0 0 1 | −1 0 −1 0 1 1 −1 0 1 ]
B
1=B
1+(−2) B
3[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −1 0 1 1 0 1 −1 2 1 ]
Maka Invers dari P adalah
P
−1= [ −1 0 1 1 0 1 −1 2 1 ]
Sehinnga didapat
D= [ −1 0 1 1 0 1 −1 2 1 ][ 0 0 1 2 1 0 − 1 3 2 ][ −1 0 0 1 1 0 −2 1 1 ]
D= [ −1 0 2 2 0 2 −1 4 2 ][ −1 0 0 1 1 0 −2 1 1 ] = [ 2 0 2 0 2 0 0 0 1 ]
Matriks P mendiagonalisasi matriks A sehingga P−1AP merupakan matriks diagonal, dengan diagonal utama adalah nilai eigen dari matriks A
2. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A dan tentukan matriks D yang mendiagonalisasi matriks A!
A =
[ −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 ]
Jika telah diketahui nilai eigen dan vektor eigen terkait adalah
λ=0 dan λ=3
p
1= [ 1 1 1 ] p
2= [ −1 0 1 ]
p
3= [ −1 1 0 ]
P= [ p
1p
2p
3] = [ 1 1 1 −1 0 1 −1 1 0 ]
D=P−1AP
Mencari Invers dari P menggunakan OBE
[ 1 1 1 −1 0 1 −1 1 0 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] B
2=B
2+(−1) B
1[ 1 0 1 −1 1 1 −1 2 0 | −1 1 0 1 0 0 0 0 1 ]
B
3= B
3+(−1) B
1[ 1 0 0 −1 1 2 −1 2 1 | −1 1 0 −1 0 1 1 0 0 ]
B
3= B
3+(−2) B
2[ 1 0 0 −1 1 0 −1 −3 2 | −1 1 1 −2 1 0 1 0 0 ]
B
3= 1
−3 B
3[ 1 0 0 −1 1 0 −1 2 1 | −1 1 −1 1 3 0 2 3 −1 0 0 3 ]
B
2= B
2+ (−2) B
3[ 1 0 0 −1 1 0 −1 0 1 | −1 −1 1 3 3 −1 0 3 3 2 −1 0 2 3 3 ]
B
1=B
1−(−1 ) B
3[ 1 0 0 −1 0 1 0 0 1 | −1 −1 2 3 3 3 −1 2 3 3 2 3 −1 −1 3 2 3 3 ]
B
1=B
1−(−1 ) B
2[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −1 −1 1 3 3 3 −1 1 3 3 2 3 −1 1 3 2 3 3 ]
Maka Invers dari P adalah
P
−1=
[ −1 −1 1 3 3 3 −1 1 3 3 2 3 −1 1 3 2 3 3 ]
Sehinnga didapat
D= [ −1 −1 1 3 3 3 −1 1 3 3 2 3 −1 1 3 2 3 3 ] [ −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 ][ 1 1 1 −1 0 1 −1 1 0 ]
D= [ 0 0 0 0 3 0 0 0 3 ]
Matriks P mendiagonalisasi matriks A sehingga P−1AP merupakan matriks diagonal, dengan diagonal utama adalah nilai eigen dari matriks A
