KESTABILAN SISTEM
Gusmi Kholijah, S.Si., M.Si.
Meliana Pasaribu, M.Sc
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan definisi kestabilan
2. Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan serta menerapkan teorema kestabilan.
Teorema (Hartman and Groban) Jika ҧ𝑥 adalah titik kesetimbangan maka terdapat
persekitaran ҧ𝑥 dimana medan vector ሶ𝑥 = 𝐽𝑓( ҧ𝑥)(𝑥 − ҧ𝑥) mempunyai struktur kualitatif
yang sama dengan ሶ𝑥 = 𝑓(𝑥).
Definisi 4. Diberikan persamaan diferensial ሶ𝑥 = 𝑓 𝑥 yang memiliki solusi 𝑥(𝑡, 𝑥0) dengan solusi awal 𝑥 𝑡0 = 𝑥0.
(i) Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan stabil jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga untuk 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿, maka berlaku 𝑥(𝑡, 𝑥0) − 𝑥∗ < 𝜀 untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡0.
(ii) Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan stabil asimtotik jika 𝑥∗ stabil dan terdapat 𝛿1 > 0 sedemikian sehingga lim
𝑡→∞ 𝑥(𝑡, 𝑥0) − 𝑥∗ = 0 asalkan 𝑥0 − 𝑥∗ < 𝛿1
(iii) Titik ekuilibrium 𝑥∗ dikatakan tidak stabil jika tidak memenuhi (i).
Definisi 5 Titik ekuilibrium 𝑥∗ ∈ ℝ disebut titik ekuilibrium hiperbolik dari Sistem (2) jika semua bagian real dari matriks 𝐽 𝑓 𝑥∗ ≠ 0. Jika bagian real dari nilai eigen 𝐽 𝑓 𝑥∗ bernilai nol, maka titik ekuilibrium 𝒙∗ disebut nonhiperbolik.
Definisi 6. Misalkan 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. Nilai eigen dari matriks A adalah akar-akar karakteristik dari polynomial det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 atau ditulis dalam bentuk
𝛼𝑛𝜆𝑛 + 𝛼𝑛−1𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝛼1𝜆 + 𝛼0 = 0 Dengan 𝛼𝑛 = 1
Teorema 1 Diberikan sistem persamaan diferensial linear ሶ𝑥 = 𝐴𝑥, dengan 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛, mempunyai 𝑘 nilai eigen yang berbeda 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑘 dan 𝑘 ≤ 𝑛.
(i) Titik ekuilibrium 𝑥∗ = 0 stabil asimtotik jika dan hanya jika ℜ𝑒 𝜆𝑖 < 0, ∀𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘.
(ii) Titik ekuilibrium 𝑥∗ = 0 stabil jika dan hanya jika ℜ𝑒 𝜆𝑖 ≤ 0, ∀𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘 dan jika setiap nilai eigen 𝜆𝑖 imajiner dengan ℜ𝑒𝜆𝑖 = 0, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.
(iii) Titik ekuilibrium 𝑥∗ = 0 tidak stabil jika dan hanya jika ℜ𝑒 𝜆𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘 atau jika ada 𝜆𝑖 imajiner dengan ℜ𝑒𝜆𝑖 = 0, maka multiplisitas aljabar lebih dan multiplisitas geometri untuk nilai eigen tidak sama.
Nilai Eigen Jenis Titik Kritis/Ekuilibrium Sifat Kestabilan
𝜆1 > 𝜆2 > 0 Simpul Tidak Stabil
𝜆1 < 𝜆2 < 0 Simpul Stabil Asimtotik
𝜆1 < 0 < 𝜆2 Titik Saddle/Pelana Tidak Stabil
𝜆1 = 𝜆2 > 0 Simpul Sejati/Tidak Sejati Tidak Stabil
𝜆1 = 𝜆2 < 0 Simpul Sejati/Tidak Sejati Stabil Asimtotik
𝜆1, 𝜆2 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 Titik Spiral
𝑏 > 0 Tidak Stabil
𝑏 < 0 Stabil Asimtotik
𝜆1 = 𝑖𝑏, 𝜆2 = −𝑖𝑏 Pusat Stabil
Contoh: Diberikan system persamaan diferensial
ሶ𝑥1 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥1 ሶ𝑥2 = 𝑥12 + 𝑥2
Contoh: Diberikan system persamaan diferensial ሶ𝑥
1= 𝑥
1(3 − 𝑥
1− 2𝑥
2)
ሶ𝑥
2= 𝑥
2(2 − 𝑥
1− 𝑥
2)
KRITERIA ROUTH HURWITZ
GUSMANELY.Z, S.Pd., M.Si.
Meliana Pasaribu, M.Sc
Konstruksi Model ሶ𝑥 = 𝑓(𝑥)
Titik ekuilibrium 𝑓 𝑥∗ = 0
Linearisasi system PD ሶ𝑥 = 𝐽 𝑓 𝑥∗ 𝑥
Polinom Karakteristik
Akar Karakteristik dari Persamaan
Karakteristik
TUJUAN PEMBELAJARAN
Mahasiswa mampu mengetahui kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria Routh
Hurwitz
Diberikan polinom karakteristik nilai eigen dari matriks 𝐴
𝑛×𝑛sebagai berikut.
𝑃(𝜆) = 𝑎
𝑜𝜆
𝑛+ 𝑎
1𝜆
𝑛−1+ 𝑎
2𝜆
𝑛−2+ ⋯ + 𝑎
𝑛−1𝜆 + 𝑎
𝑛dengan 𝑎
𝑖; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑎
𝑜≠ 0 merupakan koefisien dari persamaan karakteristik matriks A.
Tabel Routh-Hurwitz merupakan table yang disusun berdasarkan pengurutan koefisien-koefisien dari matriks A. Berikut diberikan table Routh-Hurwitz
𝜆
𝑛𝑎
𝑜𝑎
2𝑎
4⋯
𝜆
𝑛−1𝑎
1𝑎
3𝑎
5⋯
𝜆
𝑛−2𝑏
1𝑏
2𝑏
3⋯
𝜆
𝑛−3𝑐
1𝑐
2𝑐
3⋯
𝜆
0ℎ
1Dengan 𝑏
𝑖, 𝑐
𝑖, 𝑖 = 1,2, … . , 𝑛 didefinisikan sebagai berikut 𝑏
1= −1
𝑎
1𝑎
0𝑎
2𝑎
1𝑎
3; 𝑏
2= −1 𝑎
1𝑎
0𝑎
4𝑎
1𝑎
5; … ; 𝑏
𝑛= −1 𝑎
1𝑎
0𝑎
2𝑛𝑎
1𝑎
2𝑛+1𝑐
1= −1
𝑏
1𝑎
1𝑎
3𝑏
1𝑏
2; 𝑐
2= −1 𝑏
1𝑎
1𝑎
5𝑏
1𝑏
3; … ; 𝑐
𝑛= −1 𝑏
1𝑎
1𝑎
2𝑛+1𝑏
1𝑏
𝑛+1Definisi 7. Diberikan polynomial
𝑃 𝜆 = 𝑎
𝑜𝜆
𝑛+ 𝑎
1𝜆
𝑛−1+ 𝑎
2𝜆
𝑛−2+ ⋯ + 𝑎
𝑛−1𝜆 + 𝑎
𝑛… (6)
Dengan 𝑎
0≠ 0, akar akar polynomial (6) memiliki bagian real negative jika dan hanya jika Tabel Routh-Huwitz terdiri dari n+1 baris dan setiap elemen di kolom pertama pada table tidak mengalami perubahan tanda, setiap elemen pada kolom pertama dapat bertanda positif atau negative.
Suatu sistem dikatakan stabil menurut Teorema 1 apabila mempunyai nilai eigen
dengan bagian real negative yang ditunjukkan dengan tidak adanya perubahan pada
setiap elemen di kolom pertama table Routh – Hurwitz.
Contoh: Berikan analasis kestabilan pada sistem dengan polinom karakteristik orde 4 a. 𝜆
4+ 8𝜆
3+ 18𝜆
2+ 16𝜆 + 5
b. 3𝜆
4+ 10𝜆
3+ 5𝜆
2+ 5𝜆 + 2
𝜆
Contoh: Identifikasi kriteria yang harus dipenuhi agar sistem berikut stabil P 𝜆 = 𝜆
4+ 3𝜆
3+ 3𝜆
2+ 2𝜆 + 𝐾
𝜆
1. Berikan analasis kestabilan pada sistem dengan persamaan karakteristik a. P 𝜆 = 𝜆
4+ 2𝜆
3+ 3𝜆
2+ 4𝜆 + 5
𝑏. P 𝜆 = 𝜆
5+ 2𝜆
4+ 24𝜆
3+ 48𝜆
2− 25𝜆 − 50
𝑐. P 𝜆 = 𝜆
6+ 2𝜆
5+ 8𝜆
4+ 12𝜆
3+ 20𝜆
2+ 16𝜆 + 16
2. Identifikasi kriteria yang harus dipenuhi agar sistem berikut stabil
P 𝜆 = 𝑎
𝑜𝜆
3+ 𝑎
1𝜆
2+ 𝑎
2𝜆 + 𝑎
𝑛POTRET FASE
GUSMANELY.Z, S.Pd., M.Si.
Meliana Pasaribu, M.Sc
Diberikan sistem autonomous Linear
ሶ𝑥 = 𝐴𝑥 … (6.1)
Misalkan det 𝐴 ≠ 0, maka 𝜆 adalah nilai eigen dari matriks 𝐴, yaitu 𝜆 merupakan akar persamaan karakteristik dari
𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 … (6.2)
Potret fase (Phase Potrait) merupakan gambar semua trajektori dari sistem (6.1) yang
bergantung pada nilai nilai eigennya.
Nilai Eigen Jenis Titik Kritis/Ekuilibrium Sifat Kestabilan
𝜆1 > 𝜆2 > 0 Simpul Tidak Stabil
𝜆1 < 𝜆2 < 0 Simpul Stabil Asimtotik
𝜆1 < 0 < 𝜆2 Titik Saddle/Pelana Tidak Stabil
𝜆1 = 𝜆2 > 0 Simpul Sejati/Tidak Sejati Tidak Stabil
𝜆1 = 𝜆2 < 0 Simpul Sejati/Tidak Sejati Stabil Asimtotik
𝜆1, 𝜆2 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 Titik Spiral
𝑎 > 0 Tidak Stabil
𝑎 < 0 Stabil Asimtotik
𝜆1 = 𝑖𝑏, 𝜆2 = −𝑖𝑏 Pusat Stabil
Kasus 1. Jika nilai eigennya riil tak sama dan bertanda sama (𝜆
1> 𝜆
2> 0 atau 𝜆
1< 𝜆
2< 0) Dalam kasus ini solusi dapat dinyatakan sebagai
𝑥 = 𝑐
1𝑣
(1)𝑒
𝜆1𝑡+ 𝑐
2𝑣
(2)𝑒
𝜆2𝑡Dimana diasumsikan bahwa 𝜆
1dan 𝜆
2berbeda dan riil.
Gambar 1 Gambar 2
Perilaku solusi dari kasus ini dapat dilihat pada Gambar 1 dan Gambar 2
Dalam Gambar 2, diasumsikan bahwa 𝜆
1> 𝜆
2> 0 , sehingga sehingga semua trayektori
bergerak menjauhi titik ekulibrium. Titik ekuilibrium pada kasus ini disebut titik simpul tidak
stabil (unstable node point).
Kasus Kedua Jika nilai-nilai eigennya real dan berbeda tanda 𝜆2 < 0 < 𝜆1 atau 𝜆1 < 0 < 𝜆2.
Gambar 3
Titik ekuilibrium pada kasus ini disebut titik pelana tidak stabil (unstable saddle point) Dalam kasus solusi dapat dinyatakan sebagai
𝑥 = 𝑐1𝑣(1)𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝑣(2)𝑒𝜆2𝑡 Dimana diasumsikan bahwa 𝜆1 dan 𝜆2 berbeda dan riil.
Perilaku solusi dari kasus ini dapat dilihat pada Gambar 3
Kasus Ketiga Jika nilai-nilai eigennya real dan sama 𝜆
2= 𝜆
1.
Gambar 4 (a)
Dalam kasus akar kembar, kemungkinan pertama apabila dapat ditemukan dua vector yang saling bebas linear, solusinya akan berbentuk
𝑥 = 𝑒
𝜆𝑡𝑐
1𝑣
(1)+ 𝑐
2𝑣
(2)𝑡 Perilaku solusi dari kasus ini dapat dilihat pada Gambar 4
Gambar 4 (b)
Kemungkinan kedua apabila hanya menemukan satu vector solusi, solusinya akan berbentuk 𝑥 = 𝑐
1𝑣
(1)𝑒
𝜆1𝑡+ 𝑐
2(𝑣
1𝑡𝑒
𝜆1𝑡+ 𝜂𝑒
𝜆1𝑡)
Gambar 5a
Perilaku solusi dari kasus ini dapat dilihat pada Gambar 5
Gambar 5b
