Graf Pohon

GRAF POHON

ZAINUL MUJTAHID

Graf pohon

• Graf Pohon (Tree) merupakan graf sederhana dan terhubung yang tidak memiliki sirkel/sirkuit.

• Contoh

Hierarki administrasi organisasi OSIS suatu SMAN 1 Lhokseumawe

2

Pohon

pohon pohon bukan pohon bukan pohon

a b

c d

e f

a b

c d

e f

a b

c d

e f

a b

c d

e f

4

Manakah yang merupakan Graf Pohon ?

• Teorema 1

Jika G adalah suatu graf pohon, maka untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda di G terdapat tepat satu lintasan (path) yang menghubungkan kedua titik tersebut.

5

Teorema 2

Banyaknya titik dari sebuah graf pohon T

sama dengan banyaknya sisi ditambah satu atau Jika T pohon, maka

|𝑉 (𝑇)| = |𝐸 (𝑇)| + 1

Teorema 3

a. Bila suatu sisi dihapus dari pohon (dan titiknya

tetap), maka diperoleh graf yang tidak terhubung, dan mengakibatkan graf itu bukan pohon.

b. Bila sebuah sisi ditambahkan pada pohon (tanpa

menambah titik baru), diperoleh graf yang memiliki

sikel, dan karena itu graf tersebut bukan pohon.

Teorema 4

Pernyataan berikut ini ekuivalen untuk pohon T.

a. T adalah pohon.

b. T terhubung dan banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya.

c. T tidak memiliki sikel dan banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya.

d. Ada tepat satu lintasan (path) sederhana antara setiap dua titik di T.

e. T terhubung dan penghapusan sembarang sisi pada T menghasilkan graph yang tidak terhubung.

f. T tidak memiliki sikel dan penambahan sembarang sisi menghasilkan sikel pada graph itu.

Teorema 5

Jika 𝑃 = (𝑣⁰, 𝑣¹, 𝑣², … , 𝑣^𝑛) sebuah lintasan terpanjang di pohon T, maka 𝑑(𝑣⁰) = 𝑑(𝑣^𝑛) = 1.

Definisi

Hutan (forest) adalah

• kumpulan pohon yang saling lepas, atau

• graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.

Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

Definisi

Pohon berakar adalah graph berarah (digraph) T yang mempunyai dua syarat:

• Bila arah sisi-sisi pada T diabaikan, hasil graph tidak berarahnya merupakan sebuah pohon

• Ada titik tunggal R sedemikian hingga derajat masuk R

adalah 0 dan derajat masuk sembarang titik lainnya adalah

1. Titik R disebut akar dari pohon berakar itu.

Contoh

Diberikan graf berarah sebagai berikut;

Apabila arahnya diabaikan akan menjadi

Pohon berakar dengan akar A

Titik-titik D, H, E, dan B disebut titik terminal, yaitu titik dengan derajat keluar 0. Sedangkan titik-titik A, C, F, dan G disebut titik internal, yaitu titik yang memiliki derajat keluar yang tidak nol.

12

Terminologi pada Pohon Berakar

Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,

a adalah orangtua dari anak-anak itu

a

b

k g

j f

c d

m l

i e

h

13

2. Lintasan (path)

Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.

Panjang lintasan dari a ke j adalah 3.

3. Saudara kandung (sibling)

f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.

a

b

k g

j f

c d

m l

i e

h

Definisi

• Daun adalah titik di dalam Pohon yang berderajat 1.

• Titik dalam Pohon yang berderajat > 1 disebut Titik Cabang.

• Pohon Rentang (Spanning Tree) dari graf terhubung G adalah

subgraf G yang merupakan pohon dan memuat semua titik dalan G.

G T1 T2 T3 T4

Aplikasi Pohon Merentang

1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang

menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain.

2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.

(a) (b)

Router Subnetwork

(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast

Pohon Merentang Minimum

• Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang.

• Pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree ^).

a

b c

d

e

f

g h 55

5

40 25

45

30

20 50 15

35 10

a

b c

d

e

f

g h

5

40

25 30

20 15

10

17

Algoritma Prim

Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.

Langkah 2: pilih sisi (uv) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (uv) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (uv) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.

Contoh:

1 2

3 4

5

6

10 50

45 30

20 15

35

55 25

40

Langkah Sisi Bobot Pohon rentang

1 (1, 2) 10

1 10 2

2 (2, 6) 25

1 2

6 10

25

3 (3, 6) 15 1

3

6 10

15 25

4 (4, 6) 20 1 2

3 4

6 10

20 15

25

5 (3, 5) 35 1 2

3 4

5

6 10 45

20 15

35

55 25

Pohon merentang minimum yang dihasilkan:

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

1 2

3 4

5

6 10 45

20 15

35

55 25

21

Latihan:

Tentukan pohon merentang minimum dari graf atas

a b c d

e f g

h

i j k l

3

5

6

5 3 5 4

4 2

4 4

4 2

6 2 3

4

A

C B