ilovepdf merged (5) merged

(1)

68

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan dan saran untuk perkembangan penelitian dari penelitian skripsi yang telah dilakukan ditulis sebagai berikut:

5.1 KESIMPULAN

Terdapat empat kelas individu dalam model epidemik untuk penyebaran penyakit campak dengan mempertimbangkan vaksinasi, yaitu:

kelas individu yang rentan terkena penyakit (Susceptible), kelas individu yang terpapar penyakit (Exposed), kelas individu yang terinfeksi penyakit (Infected), dan kelas individu yang sembuh dari penyakit (Recovered).

Adapun kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini terdiri dari:

1. Model epidemik penyebaran penyakit campak adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆𝐼 + 𝛼𝑅 − 𝜇𝑆, 𝑑𝐸

𝑑𝑡 = 𝜎𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜀𝐸, 𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜀𝐸 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼, 𝑑𝑅

𝑑𝑡 = (1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛼𝑅.

2. Dari model diperoleh dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) dengan 𝐸₀(𝑆_𝑝, 𝐸_𝑝, 𝐼_𝑝, 𝑅_𝑝) = ( ^{Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼), 0, 0, ^Λ(1−𝜎)

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼)) dan titik ekuilibrium endemik (𝐸₁) dengan

(2)

69 𝑆^∗ = (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)

𝜀𝜎𝛽 ,

𝐸^∗ =𝜎𝛽𝑆^∗𝐼^∗ 𝜇 + 𝜀 ,

𝐼^∗= Λ − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆^∗+ 𝛼𝑅^∗

𝜎𝛽𝑆^∗ ,

𝑅^∗ = (1 − 𝜎)𝑆^∗+ 𝜃𝐼^∗ (𝜇 + 𝛼) .

3. Hasil analisis titik ekuilibrium menyimpulkan bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) stabil asimtotik jika 𝑅₀ < 1 dan bahwa titik ekuilibrium endemik (𝐸₁) stabil asimtotik jika 𝑅₀ > 1 dimana 𝑅₀ =

𝜀𝜎𝛽Λ(𝜇+𝛼)

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼)(𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌) yang dapat direpresentasikan dari simulasi numerik yang dilakukan menggunakan matlab. Jika titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) stabil asimtotik maka kasus penyakit campak akan berkurang pada populasi yang mana kelas terpapar dan terinfeksi lama- lama akan menuju nol individu. Jika titik ekuilibrium endemik (𝐸₁) stabil asimtotik maka kasus individu yang terkena campak akan tetap ada dalam populasi sehingga kelas individu yang terpapar dan terinfeksi akan mengalami peningkatan.

(3)

70 5.2 SARAN

Dalam penelitian skripsi ini membahas tentang model epidemik penyakit campak dengan mempertimbangkan vaksinasi hanya sampai menganalisis kestabilan lokal saja untuk penelitian selanjutnya disarankan menganalisis kestabilan global juga dan menggunakan model saturasi dengan faktor-faktor penghambat yang lebih spesifik yang dapat meminimalisir naiknya kasus penyakit ini.

(4)

71

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. (2004). Elementary Linear Algebra. In American College of Radiology Network (Ninth). https://doi.org/10.1109/IJCNN.2006.247060

Azis, A., & Ramadhani, N. R. (2019). Hubungan Status Imunisasi, Umur Dan Jenis Kelamin Terhadap Penyakit Campak Di Kota Tangerang Selatan.

Jurnal Ilmiah Kesehatan, 18(2), 37–41.

https://doi.org/10.33221/jikes.v18i2.228

Berhe, H. W., & Makinde, O. D. (2020). Computational modelling and optimal control of measles epidemic in human population. BioSystems, 190(July 2018). https://doi.org/10.1016/j.biosystems.2020.104102

Campbell, S. L., & Haberman, R. (2008). Introduction to differential equations with dynamical systems. In Princeton University Press (Vol. 46, Issue 04).

https://doi.org/10.5860/choice.46-2139

Hernadi,Julan.(2017).Teori dan Praktikum Metode Numerik 2.Ponorogo:UMPO Press

Hubu, A. F. D., Achmad, N., & Nurwan, N. (2020). Model matematika SMEIUR pada penyebaran penyakit campak dengan faktor pengobatan. Jambura Journal of Biomathematics (JJBM), 1(2), 71–80.

https://doi.org/10.34312/jjbm.v1i2.7970

Jardón-kojakhmetov, H., Kuehn, C., & Pugliese, A. (2021). Nonlinear Analysis : Real World Applications A geometric analysis of the SIR , SIRS and SIRWS epidemiological models. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 58, 103220. https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2020.103220

Kawamura, K., Wada, H., Nakasone, H., Akahoshi, Y., Kawamura, S., Takeshita, J., Yoshino, N., Misaki, Y., Yoshimura, K., Gomyo, A., Tamaki, M., Kusuda, M., Kameda, K., Sato, M., Tanihara, A., Kimura, S. ichi, Kako, S.,

& Kanda, Y. (2021). Immunity and Vaccination Against Measles, Mumps, and Rubella in Adult Allogeneic Hematopoietic Stem Cell Transplant Recipients. Transplantation and Cellular Therapy, 27(5), 436.e1–e436.e8.

https://doi.org/10.1016/j.jtct.2021.02.027

KEMENKES. (2020). Kemenkes. In Profil Kesehatan Indonesia 2020.

Listautin, L., & Nurzia, N. (2020). Strategi Komunikasi dan Pelayanan Kader Kesehatan terhadap Pencegahan Penyakit Menular pada Komunitas Suku Anak dalam di Kabupaten Batanghari Provinsi Jambi. Jurnal Ilmiah

Universitas Batanghari Jambi, 20(1), 21.

https://doi.org/10.33087/jiubj.v20i1.795

(5)

72

Mardisentosa, B., & Bidara, A. A. (2020). Sikap Dan Motivasi Ibu Terhadap Pelaksanaan Imunisasi Campak Dalam Pencegahan Campak. Jurnal Kesehatan, 9(1), 84–96. https://doi.org/10.37048/kesehatan.v9i1.122

Novianti, F., Aisyah Yasmin, Y. R., & Novitasari, D. C. R. (2022). Penerapan Algoritma Fuzzy C-Means (FCM) dalam Pengelompokan Provinsi di Indonesia berdasarkan Indikator Penyakit Menular Manusia. JUMANJI (Jurnal Masyarakat Informatika Unjani), 6(1), 23.

https://doi.org/10.26874/jumanji.v6i1.103

Olsder, G.J and Woude, J. . van der. (2003). Mathematical Systems Theory (Second).

Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (third). Springer- Verlag New York.

Prasad, T. (2021). Measles like syndrome after measles and rubella vaccination.

International Journal of Contemporary Pediatrics, 8(7), 1275.

https://doi.org/10.18203/2349-3291.ijcp20212485

Putu Ari Utari, I. A. (2019). Kontrol Optimal Upaya Pengobatan Penyakit Campak Menggunakan Model Endemi SIR. Jurnal Matematika, 9(2), 94.

https://doi.org/10.24843/jmat.2019.v09.i02.p115

Satiti, E., Widyaningsih, P., & Setiyowati, R. (2022). MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED TREATMENT RECOVERED DENGAN PENGARUH SANITASI PADA PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR (KASUS CAMPAK DI INDONESIA). Jurnal Ilmiah Pendidikan

Matematika, 10(1), 45–56.

https://doi.org/http://dx.doi.org/10.31941/delta.v10i1.1524

Side, S., Sanusi, W., & Bohari, A. (2021). Pemodelan Matematika SEIR Penyebaran Penyakit Pneumonia pada Balita dengan Pengaruh Vaksinasi di Kota Makassar. JMathCos(Journal of Mathematics, Computations, and Statistics), 4(1), 1–12.

Suandi, D. (2018). Analisis Dinamik Pada Model Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksin Permanen. Kubik: Jurnal Publikasi Ilmiah Matematika, 2(2), 1–10. https://doi.org/10.15575/kubik.v2i2.1854

Supriyatno, Sp.A(K), P. D. D. B., Sjarif, Sp.A(K), D. D. D. R., & Gunardi, Sp.A(K), D. D. H. (2018). PEDIATRIC PRACTICE for MILLENNIAL for MILLENNIAL GENERATION (Issue Sit Xv). Ikatan Dokter Anak Indonesia.

Viriyapong, R., & Ridbamroong, W. (2019). Global stability analysis and optimal control of measles model with vaccination and treatment. Journal of Applied Mathematics and Computing, 62(1-2), 207–237.

https://doi.org/10.1007/s12190-019-01282-x

(6)

73

Zill, G.Dennis and Cullen, M. . (2009). DIFFERENTIAL EQUATIONS with Boundary-Value Problems. In Pure and Applied Mathematics (Seventh, Vol.

67, Issue C). https://doi.org/10.1016/S0079-8169(08)62168-6

(7)

74

LAMPIRAN

(8)

75 Mfile Runge-Kutta Orde Empat

function [t,w] = rk4_formodel(a0,a1,y0,N) n=length(y0);

h = (a1-a0)/N;

t = a0:h:a1;

w = zeros(n,N+1);

w(:,1) = y0;

for k=1:N

k1=feval('fun',t(k),w(:,k));

k2=feval('fun',t(k)+h/2,w(:,k)+h*k1/2);

k3=feval('fun',t(k)+h/2,w(:,k)+h*k2/2);

k4=feval('fun',t(k)+h,w(:,k)+h*k3);

w(:,k+1)=w(:,k)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);

end w=w';

function z = fun(t,y) n=4;

z=zeros(n,1);

z(1)=lambda-(1-sigma)*y(1)-

sigma*beta*y(1)*y(3)+alpha*y(4)-mu*y(1);

z(2)=sigma*beta*y(1)*y(3)-(mu+epsilon)*y(2);

z(3)=epsilon*y(2)-(theta+mu+rho)*y(3);

z(4)=(1-sigma)*y(1)+theta*y(3)-(mu+alpha)*y(4);

Grafik perubahan sub kelas inidividu untuk 𝑅₀ < 1 z(1)=100-(1-0.15)*y(1)-

0.15*0.09091*y(1)*y(3)+0.01*y(4)-0.25*y(1);

z(2)=0.15*0.09091*y(1)*y(3)-(0.25+0.1)*y(2);

z(3)=0.1*y(2)-(0.3+0.25+0.03)*y(3);

z(4)=(1-0.15)*y(1)+0.3*y(3)-(0.25+0.01)*y(4);

>> [t,w] = rk4_formodel(0,100,[200;100;130;175],200);

>> plot(t,w,’Linewidth’,1.5)

>> xlabel('t(Hari)')

>> ylabel('Banyaknya Individu')

>> legend('Rentan (S)', 'Terpapar (E)', 'Terinfeksi (I)', 'Sembuh (R)')

(9)

76

Potret fase untuk 𝑅₀ < 1 dengan nilai awal yang berbeda untuk setiap sub kelas individu

>> figure(1)

>> S=(100*(0.25+0.01))/(0.25*(1-0.15+0.25+0.01));

>> E=0;

>> I=0;

>> plot3(S,E,I,'*m','LineWidth',5);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,90,[150,85,110,130],200);

>> plot3(w(1,1),w(1,2),w(1,3),'*k','LineWidth',5);

>> hold on

>> plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3),'-b','LineWidth',2);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,90,[175,120,50,140],200);

>> hold on

>> plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3),'-r','LineWidth',2);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,90,[100,145,150,90],200);

>> hold on

>> plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3),'-g','LineWidth',2);

>> hold on

>> grid on

>> xlabel('Susceptible');

>> ylabel('Exposed');

>> zlabel('Infected');

>> legend('Titik Bebas Penyakit','Nilai Awal1', 'Potret Fase1', 'Nilai Awal2', 'Potret Fase1 ', 'Nilai Awal3', 'Potret Fase3');

Grafik perubahan sub kelas individu untuk 𝑅₀ > 1

z(1)=100-(1-0.35)*y(1)-0.35*0.119*y(1)*y(3)+0.1*y(4)- 0.15*y(1);

z(2)=0.35*0.119*y(1)*y(3)-(0.15+0.36)*y(2);

z(3)=0.36*y(2)-(0.012+0.15+0.135)*y(3);

z(4)=(1-0.35)*y(1)+0.012*y(3)-(0.15+0.1)*y(4);

(10)

77

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> plot(t,w,’Linewidth’,1.5)

>> ylabel('Banyaknya Individu')

>> legend('Rentan (S)', 'Terpapar (E)', 'Terinfeksi (I)', 'Sembuh (R)')

Potret fase untuk 𝑅₀ > 1 dengan nilai awal yang berbeda untuk setiap sub kelas individu

>> figure(1)

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200 50 100 150],1000);

>> plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3),'-m','LineWidth',2);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[130 80 50 150],1000);

>> plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3),'-g','LineWidth',2);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[100 90 140 150],1000);

>> plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3),'-b','LineWidth',2);

>> hold on

>> grid on

>> xlabel('Susceptible');

>> ylabel('Exposed');

>> zlabel('Infected');

>> legend('Titik Bebas Penyakit','Nilai Awal1', 'Potret Fase1', 'Nilai Awal2', 'Potret Fase1 ', 'Nilai Awal3', 'Potret Fase3');

Grafik perubahan sub kelas individu dengan proporsi orang tidak tervaksin yang bervariasi

(11)

78

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> subplot(1,2,1);plot(t,w(:,1))

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> ylabel('Banyaknya Individu Rentan (S)')

>> legend('Sigma1=0.25', 'Sigma2=0.3', 'Sigma3=0.35')

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> ylabel('Banyaknya Individu Terpapar (E)')

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> ylabel('Banyaknya Individu Terinfeksi (I)')

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> hold on

>> [t,w] = rk4_formodel(0,50,[200;100;130;175],200);

>> ylabel('Banyaknya Individu Sembuh (R)')

(12)

29

BAB III

METODE PENELITIAN

Dalam bab ini menjelaskan tentang tahapan-tahapan yang digunakan dalam penelitian meliputi penentuan masalah, studi pustaka, tahapan dalam analisis dan pemecahan masalah, dan sistematika penulisan.

3.1 Penentuan Masalah

Pada tahap ini dilakukan identifikasi masalah dengan mencari sumber referensi baik di buku, paper, dan artikel kemudian memilih permasalahan yang akan dikaji. Penulis memilih bahasan tentang analisis model matematika penyebaran pada penyakit campak dengan mempertimbangkan vaksinasi.

3.2 Studi Pustaka

Mencari kajian sumber-sumber pustaka kemudian mengumpulkan informasi dan materi yang berkaitan dengan analisis model penyebaran penyakit campak yang mencakup titik ekuilibrium dan analisis kestabilan dari titik kesetimbangan.

3.3 Tahapan Analisis dan Pemecahan Masalah

Setelah melakukan studi pustaka diperoleh tahapan dalam menganalisis dan pemecahan masalah pada penelitian ini. Tahapan penelitiannya sebagai berikut:

1. Membuat model matematika penyebaran penyakit campak dan menentukan asumsi-asumsi,

(13)

30

2. menentukan titik kesetimbangan bebas endemik dan endemik model matematika penyebaran penyakit campak,

3. mencari bilangan reproduksi dasar model matematika penyebaran penyakit campak menggunakan Next Generation Matrix (NGM),

4. menganalisis kestabilan titik kesetimbangan model matematika penyebaran penyakit campak,

5. melakukan simulasi numerik untuk model menggunakan Metode Runge- Kutta Orde Empat dan melakukan pengolahan data menggunakan software Matlab dengan nilai-nilai parameternya diperoleh dari paper maupun asumsi kemudian menganalisis hasil.

Diagram alur penelitian adalah sebagai berikut:

(14)

31

Gambar 2. Diagram alur tahapan penelitian.

3.4 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam penelitian ini terdiri dari:

1. Bagian awal meliputi judul, halaman persetujuan, pengesahan, pernyataan, motto, kata pengantar, abstrak, daftar isi, daftar tabel, dan daftar gambar.

2. Bagian isi meliputi:

a. Bab I untuk pendahuluan berisi latar belakang, identifikasi masalah, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat penelitian.

Membuat model dan asumsi

Mencari titik kesetimbangan

Mencari bilangan reproduksi

Menganalisis kestabilan

Simulasi hasil

(15)

32

b. Bab II untuk tinjauan pustaka dan landasan teori berisi penelitian- penelitian terdahulu yang berkaitan dengan penelitian dan teori- teori yang digunakan dalam tahapan melakukan peneltian.

c. Bab III untuk metode penelitian berisi tahapan-tahapan dalam melakukan penelitian.

d. Bab IV untuk hasil dan pembahasan berisi pembentukan model matematika, mencari titik ekuilibrium dari model, bilangan reproduksi dasar, menganalisis kestabilan pada titik ekuilibrium, dan hasil dari simulasi numerik.

e. Bab V untuk kesimpulan dan saran berisi hasil dari penelitian setelah melakukan tahapan-tahapan penelitian serta saran untuk penelitian ini kedepannya.

3. Bagian akhir berisi daftar pustaka dan lampiran-lampiran.

(16)

33

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Fakta-Fakta tentang Penyakit Campak

Fakta-fakta dari penyakit campak yang dituliskan sebagai berikut:

1. Sekitar 30 juta anak per tahun terinfeksi penyakit campak dan kasus kematian sekitar 1 juta setiap tahunnya. Selain itu, 15.000 – 60.000 anak setiap tahunnya mengalami kebutaan akibat campak di negara berpendapatan rendah (Supriyatno, Sp.A(K) et al., 2018).

2. Kelompok yang rentan tertular penyakit campak adalah anak yang menginjak usia pra sekolah dan usia SD (KEMENKES, 2020).

3. Vaksin MR merupakan vaksin untuk penyakit campak yang diberikan pada anak usia 9 bulan sampai dengan <15 tahun (Supriyatno, Sp.A(K) et al., 2018).

4. Sebesar 84% (rentang interquartile, 72–95%) tingkat efektifitas vaksin campak (measles) bila diberikan pada usia 9-11 bulan (Supriyatno, Sp.A(K) et al., 2018).

5. Terdapat penelitian pada anak-anak dan dewasa yang telah melakukan vaksinasi campak kemudian menggunakan terapi allo-HCT menghasilkan kesimpulan dalam jangka waktu 2 tahun dapat terjadi pelemahan keefektifan vaksin (Kawamura et al., 2021).

(17)

34

4.2 Membentuk Model Matematika SEIRS

Dalam bagian ini akan disajikan model SEIRS untuk penyakit campak.

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut:

1. Rekruitmen individu dalam penelitian ini pada kelompok usia <15 tahun.

2. Terjadi kematian alami dan kematian akibat penyakit.

3. Tidak semua individu tervaksinasi.

4. Populasi yang sembuh bisa menjadi rentan kembali akibat dari menurunnya kekebalan imun.

Menggunakan asumsi-asumsi di atas, maka dapat dibentuk diagram kompartemen untuk penyebaran penyakit campak yang dapat dilihat dalam gambar (3),

(18)

35

(1 − 𝜎)𝑆

Λ 𝜎𝛽𝑆𝐼 𝜀𝐸 𝜃𝐼

𝜇𝑆 𝜇𝐸 𝜇𝐼 𝜌𝐼 𝜇𝑅 𝛼𝑅

Gambar 3. Diagram kompartemen model SEIRS penyakit campak.

sehingga dari gambar (3) diperoleh model matematika untuk penyebaran penyakit campak dengan keterangan sebagai berikut:

a) Perubahan banyaknya individu rentan (Susceptible) terhadap waktu (t) Bertambahnya individu yang rentan (Susceptible) terinfeksi penyakit dipengaruhi oleh adanya laju recruitment sebesar Λ dan individu yang sembuh (Recovery) yang diasumsikan dapat menjadi rentan kembali sebesar 𝛼. Laju kematian alami sebesar 𝜇 dan proporsi individu yang telah tervaksin sebesar (1 − 𝜎) dapat menyebabkan berkurangnya individu pada kelas Susceptible. Proporsi individu yang tidak tervaksin sebesar 𝜎 ketika berinteraksi dengan individu yang terinfeksi (Infected) dengan laju penularan sebesar 𝛽 dapat menyebabkan individu yang rentan (Susceptible) menjadi terpapar (Exposed) sehingga berkurangnya individu pada kelas Susceptible. Model matematikanya dapat ditulis dengan

R I

S E

(19)

36 𝑑𝑆

𝑑𝑡 = Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆𝐼 + 𝛼𝑅 − 𝜇𝑆.

b) Perubahan banyaknya individu terpapar (Exposed) terhadap waktu (t) Bertambahnya individu yang terpapar (Exposed) dapat dipengaruhi oleh adanya interaksi antara proporsi individu yang tidak melakukan vaksinasi sebesar 𝜎 sehingga tetap rentan dengan individu yang telah terinfeksi (Infected) dengan laju penularan sebesar 𝛽. Kemudian adanya laju kematian alami sebesar 𝜇 dan perubahan individu yang terpapar menjadi terinfeksi sebesar 𝜀 menyebabkan berkurangnya individu pada kelas Exposed. Model matematikanya dapat ditulis dengan

𝑑𝐸

𝑑𝑡 = 𝜎𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜀𝐸.

c) Perubahan banyaknya individu terinfeksi (Infected) terhadap waktu (t) Bertambahnya individu yang telah terinfeksi (Infected) dipengaruhi oleh laju perubahan dari individu yang terpapar (Exposed) menjadi terinfeksi (Infected) sebesar 𝜀 kemudian laju pengobatan, kematian alami dan kematian akibat campak yang masing-masing sebesar 𝜃, 𝜇, 𝜌 menyebabkan berkurangnya individu yang terinfeksi (Infected). Model matematikanya dapat ditulis dengan

𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜀𝐸 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼.

(20)

37

d) Perubahan banyaknya individu sembuh (Recovery) terhadap waktu (t) Bertambahnya individu yang telah sembuh (Recovery) dipengaruhi oleh proporsi individu rentan (Susceptible) yang melakukan vaksinasi sebesar (1 − 𝜎) dan individu terinfeksi yang melakukan pengobatan dengan laju pengobatan sebesar 𝜃. Adanya laju kematian alami sebesar 𝜇 dan individu yang dapat menjadi rentan kembali setelah sembuh sebesar 𝛼 dapar menyebabkan berkurangnya individu pada kelas Recovery. Model matematikanya dapat ditulis dengan

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = (1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛼𝑅.

Sehingga model matematika untuk penyebaran penyakit campak adalah sebagai berikut:

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆𝐼 + 𝛼𝑅 − 𝜇𝑆, 𝑑𝐸

𝑑𝑡 = 𝜎𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜀𝐸, 𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝜀𝐸 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼, (4.1) 𝑑𝑅

𝑑𝑡 = (1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛼𝑅, dengan

N = S + E + I + R.

(21)

38

Keterangan untuk variabel dan parameter dari model dirangkum dalam tabel berikut:

Tabel 1. Variabel dan parameter yang digunakan

Variabel dan

Parameter Keterangan Syarat

S(t) Banyaknya individu rentan terinfeksi penyakit pada waktu t

𝑆(𝑡) ≥ 0

E(t) Banyaknya populasi individu terpapar penyakit pada waktu t

𝐸(𝑡) ≥ 0

I(t) Banyaknya individu terinfeksi penyakit pada waktu t

𝐼(𝑡) ≥ 0

R(t) Banyaknya individu yang sembuh dari infeksi penyakit pada waktu t

𝑅(𝑡) ≥ 0

Λ Laju recruitment populasi Λ > 0

1 − 𝜎 Proporsi individu yang tervaksin 0 ≤ 𝜎 ≤ 1 𝜎 Proporsi individu yang tidak tervaksin 0 ≤ 𝜎 ≤ 1

𝛽 Laju penularan 𝛽 > 0

𝜀 Laju perpindahan dari terpapar ke infeksi 𝜀 > 0

𝜃 Laju pengobatan 𝜃 > 0

𝜇 Laju kematian alami 𝜇 > 0

𝜌 Laju kematian akibat campak 𝜌 > 0

𝛼 Laju perpindahan individu menjadi rentan lagi 𝛼 > 0

(22)

39

4.3 Mencari Titik Ekuilibrium Model

Titik ekuilibrium model didapatkan dengan menuliskan model (4.1) menjadi bentuk persamaan sama dengan nol sebagai berikut:

Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆𝐼 + 𝛼𝑅 − 𝜇𝑆 = 0, (4.2) 𝜎𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜀𝐸 = 0, (4.3) 𝜀𝐸 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼 = 0, (4.4) (1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛼𝑅 = 0. (4.5)

Dari persamaan (4.3) dapat diperoleh

𝜎𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜀𝐸 = 0,

⇔ 𝜎𝛽𝑆𝐼 = (𝜇 + 𝜀)𝐸,

⇔ 𝐸 = ^{𝜎𝛽𝑆𝐼}

𝜇+𝜀, (4.6)

substitusikan persamaan (4.6) ke dalam persamaan (4.4), 𝜀𝐸 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼 = 0,

⇔ 𝜀 (𝜎𝛽𝑆𝐼

𝜇 + 𝜀) − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼 = 0,

⇔ (𝜀𝜎𝛽𝑆

𝜇 + 𝜀− (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)) 𝐼 = 0,

diperoleh

(23)

40

𝐼 = 0, (4.7)

yang berarti bahwa jumlah individu yang terinfeksi tidak ada.

atau

𝜀𝜎𝛽𝑆

𝜇 + 𝜀− (𝜃 + 𝜇 + 𝜌) = 0.

⇔ 𝜀𝜎𝛽𝑆 = (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀),

⇔ 𝑆 =(𝜃+𝜇+𝜌)(𝜇+𝜀)

𝜀𝜎𝛽 , (4.8)

yang berarti bahwa ada individu yang rentan dan tidak bernilai nol.

4.3.1 Titik Ekuilibrium Bebas Endemik Ketika 𝐼 = 0,

substitusikan 𝐼 = 0 ke persamaan (4.6) menjadi

𝐸 = 𝜎𝛽𝑆𝐼 𝜇 + 𝜀,

=𝜎𝛽𝑆(0) 𝜇 + 𝜀 ,

= 0, (4.9) sehingga didapatkan 𝐸 = 0.

Dari persamaan (4.5) dapat diperoleh

(1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛼𝑅 = 0,

(24)

41

⇔ (1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃(0) = (𝜇 + 𝛼)𝑅,

⇔ 𝑅 =^{(1−𝜎)𝑆}

𝜇+𝛼 , (4.10)

substitusikan persamaan (4.10) ke dalam persamaan (4.2), Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆𝐼 + 𝛼𝑅 − 𝜇𝑆 = 0,

⇔ Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆(0) + 𝛼 ((1 − 𝜎)𝑆

𝜇 + 𝛼 ) − 𝜇𝑆 = 0,

⇔ Λ = (1 − 𝜎)𝑆 − 𝛼 ((1 − 𝜎)𝑆

𝜇 + 𝛼 ) + 𝜇𝑆,

⇔ Λ = ((1 − 𝜎) − 𝛼 ((1 − 𝜎)

𝜇 + 𝛼 ) + 𝜇) 𝑆,

⇔ S = Λ

(1 − 𝜎) −𝛼(1 − 𝜎) 𝜇 + 𝛼 + 𝜇

,

⇔ S = Λ(𝜇 + 𝛼)

𝜇 − 𝜇𝜎 + 𝛼 − 𝛼𝜎 − 𝛼 + 𝛼𝜎 + 𝜇²+ 𝜇𝛼 ,

⇔ S = Λ(𝜇 + 𝛼)

𝜇 − 𝜇𝜎 + 𝜇²+ 𝜇𝛼,

⇔ S = ^{Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼). (4.11)

Persamaan untuk R dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (4.11), maka

(25)

42 𝑅 =(1 − 𝜎)𝑆

𝜇 + 𝛼 ,

= (1 − 𝜎). Λ(𝜇 + 𝛼)

𝜇(1 − 𝜎 + 𝜇 + 𝛼). 1 𝜇 + 𝛼, 𝑅 = ^Λ(1−𝜎)

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼), (4.12)

sehingga diperoleh titik ekulibrium pertama atau titik ekulibrium bebas penyakit, yaitu:

𝐸₀(𝑆_𝑝, 𝐸_𝑝, 𝐼_𝑝, 𝑅_𝑝) = ( ^{Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼), 0,0, ^Λ(1−𝜎)

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼)). (4.13) 4.3.2 Titik Ekuilibrium Endemik

Untuk 𝑆 =(𝜃+𝜇+𝜌)(𝜇+𝜀) 𝜀𝜎𝛽 , substitusikan 𝑆 =(𝜃+𝜇+𝜌)(𝜇+𝜀)

𝜀𝜎𝛽 dengan memisalkan 𝑆 sebagai 𝑆^∗ ke persamaan (4.5),

(1 − 𝜎)𝑆 + 𝜃𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛼𝑅 = 0,

⇔ (1 − 𝜎)𝑆_𝑘+ 𝜃𝐼 = (𝜇 + 𝛼)𝑅,

⇔ 𝑅 =^{(1−𝜎)𝑆}^𝑘^+𝜃𝐼

(𝜇+𝛼) , (4.14)

diperoleh persamaan R dan dimisalkan 𝑅 sebagai 𝑅^∗. Selanjutnya substitusikan 𝑆^∗ dan 𝑅^∗ ke persamaan (4.2),

(26)

43

Λ − (1 − 𝜎)𝑆 − 𝜎𝛽𝑆𝐼 + 𝛼𝑅 − 𝜇𝑆 = 0,

⇔ Λ − (1 − 𝜎)𝑆^∗ − 𝜎𝛽𝑆^∗𝐼 + 𝛼𝑅_𝑘− 𝜇𝑆^∗ = 0,

⇔ 𝜎𝛽𝑆^∗𝐼 = Λ − (1 − 𝜎)𝑆^∗+ 𝛼𝑅^∗− 𝜇𝑆^∗,

⇔ 𝜎𝛽𝑆^∗𝐼 = Λ − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆^∗+ 𝛼𝑅^∗,

⇔ 𝐼 =Λ−((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗+𝛼𝑅^∗

𝜎𝛽𝑆^∗ , (4.15)

diperoleh persamaan I dan dimisalkan 𝐼 sebagai 𝐼^∗.

Setelah itu dapat diperoleh persamaan (4.14) dengan mensubstitusikan 𝐼^∗,

𝑅 = (1 − 𝜎)𝑆^∗ + 𝜃𝐼 (𝜇 + 𝛼) ,

=^{(1−𝜎)𝑆}^∗^+𝜃𝐼^∗

(𝜇+𝛼) . (4.16)

dan persamaan (4.9) dapat diperoleh

𝐸 = 𝜎𝛽𝑆𝐼 𝜇 + 𝜀, =^𝜎𝛽𝑆^∗^𝐼^∗

𝜇+𝜀 , (4.17)

diperoleh persamaan E dan dimisalkan 𝐸 sebagai 𝐸^∗.

Sehingga didapatkan titik ekuilibrium kedua atau titik ekuilibrium endemik, yaitu 𝐸₁ dengan

(27)

44 𝑆^∗ = (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)

𝜀𝜎𝛽 ,

𝐸^∗ =𝜎𝛽𝑆^∗𝐼^∗ 𝜇 + 𝜀 ,

𝐼^∗ = Λ−((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗+𝛼𝑅^∗

𝜎𝛽𝑆^∗ , (4.18)

𝑅^∗ = (1 − 𝜎)𝑆^∗+ 𝜃𝐼^∗ (𝜇 + 𝛼) .

4.4 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) adalah bilangan yang menyatakan rata-rata banyaknya individu yang terinfeksi akibat tertular dari individu lain. Selain itu, memberitahukan keberadaan suatu penyakit dalam sebuah populasi, yaitu apakah akan terus bertambah, menetap atau hilang. Next Generation Matrix (NGM) merupakan metode yang digunakan untuk mencari bilang reproduksi dasar. Dari sistem model (4.1) dapat dibentuk matriks ℱ dan 𝒱, dengan ℱ adalah matriks yang menyatakan bertambahnya individu baru dan 𝒱 adalah matriks yang menyatakan individu yang terinfeksi adalah sebagai berikut:

ℱ = [𝜎𝛽𝑆𝐼

0 ], (4.19)

𝒱 = [ 𝜇𝐸 + 𝜀𝐸

−𝜀𝐸 + (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)𝐼], (4.20) substitusikan titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) maka matriks jacobian dari persamaan (4.19) dan (4.20) adalah

(28)

45 𝐹(𝐸₀) = [0 𝜎𝛽𝑆_𝑝

0 0 ], (4.21)

𝑉(𝐸₀) = [𝜇 + 𝜀 0

−𝜀 𝜃 + 𝜇 + 𝜌], (4.22)

dan

𝑉⁻¹ = 1

(𝜇 + 𝜀)(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)[𝜃 + 𝜇 + 𝜌 0 𝜀 𝜇 + 𝜀],

= [

1

(𝜇+𝜀) 0

𝜀 (𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌)

1 (𝜃+𝜇+𝜌)

]. (4.23)

Diperoleh Next Generation Matrix adalah sebagai berikut:

𝐹𝑉⁻¹ = [0 𝜎𝛽𝑆

0 0 ]

[

1

(𝜇 + 𝜀) 0

𝜀

(𝜇 + 𝜀)(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)

1 (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)]

,

= [

𝜀𝜎𝛽𝑆𝑝 (𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌)

𝜎𝛽𝑆𝑝 (𝜃+𝜇+𝜌)

0 0

]. (4.24)

Kemudian mencari nilai eigen untuk persamaan (4.24) dengan membentuk persamaan karakteristik yang diperoleh dari

det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑉⁻¹) = 0,

⇔ |𝜆 [1 0 0 1] − [

𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝 (𝜇 + 𝜀)(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)

𝜎𝛽𝑆_𝑝 (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)

0 0

]| = 0,

(29)

46

⇔ |[𝜆 0 0 𝜆] − [

0 0

]| = 0,

⇔ |𝜆 −

0 𝜆

| = 0,

⇔ (𝜆 − 𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

(𝜇 + 𝜀)(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)) 𝜆 = 0, diperoleh nilai eigennya

𝜆₁ = ^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

(𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌) atau 𝜆₂ = 0.

Persamaan 𝜆₁ disebut sebagai bilangan reproduksi dasar dari matriks 𝐹𝑉⁻¹ sehingga

𝑅₀ = ^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

(𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌) (4.25)

atau

𝑅₀ = ^{𝜀𝜎𝛽Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼)(𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌) (4.26)

dengan 𝑆_𝑝 = ^{Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼).

4.5 Menganalisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Kestabilan dari titik ekuilibrium dapat diperoleh dengan mencari matriks jacobiannya menggunakan rumus yang ditulis sebagai berikut:

(30)

47 𝐽 =

[

𝜕(^𝑑𝑆_𝑑𝑡)

𝜕𝑆

𝜕𝐸

𝜕𝐼

𝜕𝑅

𝜕(^𝑑𝐸_𝑑𝑡)

𝜕𝑆

𝜕𝐸

𝜕𝐼

𝜕𝑅

𝜕(^𝑑𝐼

𝑑𝑡)

𝜕𝑆

𝜕(^𝑑𝐼

𝑑𝑡)

𝜕𝐸

𝜕(^𝑑𝐼

𝑑𝑡)

𝜕𝐼

𝜕(^𝑑𝐼

𝑑𝑡)

𝜕𝑅

𝜕(^𝑑𝑅_𝑑𝑡)

𝜕𝑆

𝜕𝐸

𝜕𝐼

𝜕𝑅 ]

, (4.27)

sehingga matriks jacobian dari persamaan (4.1) adalah

𝐽 = [

−(1 − 𝜎) − 𝜎𝛽𝐼 − 𝜇 𝜎𝛽𝐼

0 1 − 𝜎

0

−(𝜇 + 𝜀) 𝜀 0

−𝜎𝛽𝑆 𝜎𝛽𝑆

−(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 𝜃

𝛼 0 0

−(𝜇 + 𝛼)

]. (4.28)

4.5.1 Bebas Endemik

Teorema 1.(Kestabilan Lokal pada E₀)

Diketahui 𝑅₀ = ^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

(𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌) dengan 𝑆_𝑝 = ^{Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼), jika 𝑅₀ < 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) stabil asimtotik dan jika 𝑅₀ > 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) tidak stabil.

Bukti.

Dari persamaan (4.13), dibentuk matriks jacobian untuk titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) diperoleh sebagai berikut:

𝐽(𝐸₀) = [

−(1 − 𝜎 + 𝜇) 0 0 1 − 𝜎

0

−(𝜇 + 𝜀) 𝜀 0

−𝜎𝛽𝑆_𝑝 𝜎𝛽𝑆_𝑝

−(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 𝜃

𝛼 0 0

−(𝜇 + 𝛼)

]. (4.29)

Nilai eigen dari persamaan (4.29) dapat dicari menggunakan

(31)

48

det(𝐽(𝐸₀) − 𝜆𝐼) = 0,

⇔ |[

−(1 − 𝜎 + 𝜇) 0 0 1 − 𝜎

0

−(𝜇 + 𝜀) 𝜀 0

−(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 𝜃

𝛼 0 0

−(𝜇 + 𝛼) ] − 𝜆 [

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

]| = 0,

⇔ |[

−(1 − 𝜎 + 𝜇) 0 0 1 − 𝜎

0

−(𝜇 + 𝜀) 𝜀 0

−(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 𝜃

𝛼 0 0

−(𝜇 + 𝛼) ] − [

𝜆 0 0 0

0 𝜆 0 0

0 0 𝜆 0

0 0 0 𝜆

]| = 0,

⇔ |

−1 + 𝜎 − 𝜇 − 𝜆 0 0 1 − 𝜎

0

−𝜇 − 𝜀 − 𝜆 𝜀 0

−𝜃 − 𝜇 − 𝜌 − 𝜆 𝜃

𝛼 0 0

−𝜇 − 𝛼 − 𝜆

| = 0,

⇔ (−1 + 𝜎 − 𝜇 − 𝜆) |

−𝜇 − 𝜀 − 𝜆 𝜎𝛽𝑆_𝑝 0

𝜀 −𝜃 − 𝜇 − 𝜌 − 𝜆 0

0 𝜃 −𝜇 − 𝛼 − 𝜆

|

− 0 |

0 𝜎𝛽𝑆_𝑝 0

0 −𝜃 − 𝜇 − 𝜌 − 𝜆 0

1 − 𝜎 𝜃 −𝜇 − 𝛼 − 𝜆

|

− 𝜎𝛽𝑆_𝑝|

0 −𝜇 − 𝜀 − 𝜆 0

0 𝜀 0

1 − 𝜎 0 −𝜇 − 𝛼 − 𝜆

|

− 𝛼 |

0 −𝜇 − 𝜀 − 𝜆 𝜎𝛽𝑆_𝑝

0 𝜀 −𝜃 − 𝜇 − 𝜌 − 𝜆

1 − 𝜎 0 𝜃

|

= 0,

dari det(𝐽(𝐸₀) − 𝜆𝐼) = 0 diperoleh persamaan karakteristiknya adalah sebagai berikut:

(32)

49

⇔ 𝜆⁴ + (4𝜇 + 𝛼 + 𝜃 + 𝜌 + 𝜀 + 1 − 𝜎)𝜆³

+ (−𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝+ 3𝛼𝜇 + 𝛼𝜌 + 𝛼𝜃 + 𝛼𝜀 + 6𝜇² + 3𝜌𝜇 − 3𝜇𝜎 + 3𝜃𝜇 + 3𝜇𝜀 − 𝜌𝜎 + 𝜌𝜀 − 𝜃𝜎 − 𝜀𝜎 + 𝜃𝜀 + 3𝜇 + 𝜌 + 𝜃 + 𝜀)𝜆²

+ (−𝑆_𝑝𝛼𝛽𝜎𝜀 − 2𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝𝜇 + 𝜀𝜎²𝛽𝑆_𝑝− 𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝+ 3𝛼𝜇² + 2𝛼𝜇𝜌 + 2𝛼𝜇𝜃 + 2𝛼𝜇𝜀 + 𝛼𝜌𝜀 + 𝛼𝜃𝜀 + 4𝜇³+ 3𝜇²𝜌

− 3𝜇²𝜎 + 3𝜇²𝜃 + 3𝜇²𝜀 − 2𝜇𝜌𝜎 + 2𝜇𝜌𝜀 − 2𝜇𝜎𝜃 − 2𝜇𝜎𝜀 + 2𝜇𝜃𝜀 − 𝜌𝜎𝜀 − 𝜎𝜃𝜀 + 3𝜇² + 2𝜌𝜇 + 2𝜃𝜇 + 2𝜇𝜀 + 𝜌𝜀 + 𝜃𝜀)𝜆 − 𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝𝜇 − 𝑆_𝑝𝛽𝜇²𝜎𝜀 + 𝑆_𝑝𝛽𝜇𝜎²𝜀 − 𝑆_𝑝𝛼𝛽𝜇𝜎𝜀 + 𝜇𝜌𝜀 + 𝜇𝜃𝜀 + 𝛼𝜇²𝜌 + 𝛼𝜇²𝜃 + 𝛼𝜇²𝜀 − 𝜇²𝜌𝜎 + 𝜇²𝜌𝜀

− 𝜇²𝜎𝜃 − 𝜇²𝜎𝜀 + 𝜇²𝜃𝜀 + 𝛼𝜇𝜌𝜀 + 𝛼𝜇𝜃𝜀 − 𝜇𝜎𝜃𝜀 + 𝜇²𝜌 + 𝜇²𝜃 + 𝜇²𝜀 + 𝛼𝜇³+ 𝜇³𝜌 − 𝜇³𝜎 + 𝜇³𝜃 + 𝜇³𝜀 + 𝜇³ + 𝜇⁴

= 0

Kemudian dilakukan penyederhanaan lagi menjadi bentuk persamaan

⇔ (𝜇 + 𝜆)(𝛼 + 𝜇 − 𝜎 + 1 + 𝜆)(−(−𝜆²+ (2𝜇 − 𝜌 − 𝜃 − 𝜀)𝜆 − 𝜇²

+(−𝜌 − 𝜃 − 𝜀)𝜇 + 𝜀(𝜎𝛽𝑆_𝑝− 𝜌 − 𝜃))) = 0

⇔ (𝜆 + 𝜇)(𝜆 + 𝛼 + 𝜇 − 𝜎 + 1)(𝜆²− (2𝜇 − 𝜌 − 𝜃 − 𝜀)𝜆 + 𝜇²

−(−𝜌 − 𝜃 − 𝜀)𝜇 − 𝜀(𝜎𝛽𝑆_𝑝− 𝜌 − 𝜃)) = 0, sehingga dapat diperoleh

𝜆₁ = −𝜇 𝑑𝑎𝑛 𝜆₂ = −𝛼 − 𝜇 + (𝜎 − 1),

(33)

50

jelas 𝜆₁ < 0 dan 0 < 𝜎 < 1 sehingga 𝜆₂ < 0 selanjutnya untuk akar-akar lainnya dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan berikut:

𝜆² + (𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)𝜆 + 𝜇²− (−𝜌 − 𝜃 − 𝜀)𝜇 − 𝜀(𝜎𝛽𝑆_𝑝− 𝜌 − 𝜃) = 0, 𝜆²+ (𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)𝜆 + (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)[1 − 𝑅₀] = 0, (4.30) dari persamaan (4.30) diperoleh

𝜆₃=−(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇) − √(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)²− 4(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)[1 − 𝑅₀] 2

= −1

2((𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇) + √(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)²− 4(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)[1 − 𝑅0] ),

𝜆₄=−(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇) + √(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)²− 4(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)[1 − 𝑅₀] 2

= −1

2((𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇) − √(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)²− 4(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)[1 − 𝑅₀] ),

𝜆₃ selalu bernilai negatif dan 𝜆₄ < 0 sehingga berakibat

√(𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇)²− 4(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)[1 − 𝑅₀] < (𝜌 + 𝜃 + 𝜀 − 2𝜇) jika 𝑅₀ < 1. Dengan demikian, 𝜆₁, 𝜆₂, 𝜆₃, 𝜆₄ < 0 sehingga terbukti bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸₀) bersifat stabil asimtotik lokal jika 𝑅₀ < 1 dan tidak stabil jika 𝑅₀ > 1.

4.5.2 Endemik

Teorema 2. (Kestabilan Lokal 𝐸₁) Diketahui 𝑅₀ = ^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

(𝜇+𝜀)(𝜃+𝜇+𝜌) dengan 𝑆_𝑝 = ^{Λ(𝜇+𝛼)}

𝜇(1−𝜎+𝜇+𝛼), jika

(34)

51

𝑅₀ > 1, (a)

Λ−𝛼𝑅^∗

((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗> 1, (b)

Λ−((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗+𝛼𝑅^∗

𝑆^∗2𝜀𝜎𝛽(1−𝜎) > 1, (c)

𝜃 (^{(1−𝜎)𝑆}^∗+Λ−((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗+𝛼𝑅^∗+𝑆^∗𝜇

(1−𝜎)𝜀𝜎𝛽𝑆^∗2 ) > 1 (d)

(𝜇+𝛼)((1−𝜎)𝑆^∗+𝛬−((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗+𝛼𝑅^∗+𝜇𝑆^∗)

𝛼(1−𝜎)𝑆^∗ > 1, (e)

dengan syarat (a)-(e) terpenuhi maka titik ekuilibrium tak bebas penyakit (𝐸₁) stabil asimtotik.

Bukti.

Dari bilangan 𝑅₀ dapat diperoleh

𝑅₀ = 𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

(𝜇 + 𝜀)(𝜃 + 𝜇 + 𝜌),

=𝑆_𝑝 𝑆^∗,

maka titik ekuilibrium 𝐸₁ = (𝑆^∗, 𝐸^∗, 𝐼^∗, 𝑅^∗) dapat disederhanakan menjadi untuk titik ekuilibrium pada 𝑆^∗ diperoleh

𝑆^∗ =(𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)

𝜀𝜎𝛽 ,

𝑆_𝑝

𝑅₀ = (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)

𝜀𝜎𝛽 ,

(35)

52 (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀) =𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

𝑅₀ ,

kemudian untuk titik ekuilibrium pada 𝐸^∗ diperoleh

𝐸^∗ =𝜎𝛽𝑆^∗𝐼^∗ 𝜇 + 𝜀 ,

=

𝜎𝛽 ((𝜃 + 𝜇 + 𝜌)(𝜇 + 𝜀)

𝜀𝜎𝛽 ) 𝐼^∗

𝜇 + 𝜀 ,

=

𝜎𝛽 (𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝 𝜀𝜎𝛽𝑅₀) 𝐼^∗ 𝜇 + 𝜀 ,

= 𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝𝐼^∗ 𝑅₀(𝜇 + 𝜀),

untuk titik ekuilibrium pada 𝐼^∗ diperoleh

𝐼^∗= Λ − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆^∗+ 𝛼𝑅^∗

𝜎𝛽𝑆^∗ ,

=

Λ − ((1 − 𝜎) + 𝜇) (𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

𝜀𝜎𝛽𝑅₀) + 𝛼𝑅^∗ 𝜎𝛽 (𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

𝜀𝜎𝛽𝑅₀)

,

= Λ𝑅₀ − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆_𝑝+ 𝛼𝑅^∗𝑅₀

𝜎𝛽𝑆_𝑝 ,

dan untuk titik ekuilibrium pada 𝑅^∗ diperoleh

(36)

53 𝑅^∗ =

(1 − 𝜎)𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝 𝜀𝜎𝛽𝑅₀+ 𝜃𝐼^∗ (𝜇 + 𝛼) ,

= (1 − 𝜎)𝑆_𝑝

𝑅₀(𝜇 + 𝛼)+ 𝜃𝐼^∗ (𝜇 + 𝛼).

Selanjutnya dapat diperoleh matriks jacobian untuk titik ekuilibrium 𝐸₁, yaitu:

𝐽(𝐸₁) =

[

− ((1 − 𝜎) +^Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆_𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅₀

𝑆_𝑝 + 𝜇) 0 −^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅₀ 𝛼

Λ𝑅₀−((1−𝜎)+𝜇)𝑆_𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅₀

𝑆_𝑝 −(𝜇 + 𝜀) ^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅₀ 0

0 0 −(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 0

1 − 𝜎 0 𝜃 −(𝜇 + 𝛼)]

, (4.31)

agar memudahkan dalam menentukan nilai eigennya, digunakan metode Operasi Baris Elementer (OBE) pada persamaan (4.31) untuk membentuk matriks segitiga atas.

[

𝐴 0 −𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

𝑅₀ 𝛼

𝐸 −(𝜇 + 𝜀) 𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

𝑅₀ 0

0 𝜀 −(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 0

1 − 𝜎 0 𝜃 −(𝜇 + 𝛼)]

− 𝐸

(1 − 𝜎)𝐵4 + 𝐵2,

dengan

𝐴 = − ((1 − 𝜎) +^Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆_𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅₀

𝑆𝑝 + 𝜇),

𝐸 =^Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0

𝑆𝑝 ,

diperoleh

(37)

54

⟺ [

𝐴 0 −^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅0 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) 𝐺 𝐻

0 𝜀 −(𝜃 + 𝜇 + 𝜌) 0

1 − 𝜎 0 𝜃 −(𝜇 + 𝛼)]

𝜀

𝜇+𝜀𝐵2 + 𝐵3,

dengan

𝐺 = −^(Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0)𝜃

𝑆𝑝(1−𝜎) +^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅0 , 𝐻 = −^Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0

𝑆𝑝 (−^(𝜇+𝛼)

(1−𝜎)), diperoleh

⟺ [

𝑅₀ 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) 𝐺 𝐻

0 0 𝐾 𝐿

1 − 𝜎 0 𝜃 −(𝜇 + 𝛼)]

−(1 − 𝜎)

𝐴 𝐵1 + 𝐵4,

dengan 𝐾 = ^𝜀

𝜇+𝜀(−^(Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0)𝜃

𝑆_𝑝(1−𝜎) +^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅₀ ) − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌),

𝐿 = ^𝜀

𝜇+𝜀(−^Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0

𝑆𝑝 (^{−(𝜇+𝛼)}

(1−𝜎))), diperoleh

⟺ [

𝑅₀ 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) 𝐺 𝐻

0 0 𝐾 𝐿

0 0 𝑃 𝑄]

−𝑃

𝐾 𝐵3 + 𝐵4,

(38)

55 dengan

𝑃 = − ((1 − 𝜎) (𝑃 − ^𝑆^𝑝

(1−𝜎)𝑆𝑝+Λ𝑅₀−((1−𝜎)+𝜇)𝑆_𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅₀+𝜇𝑆_𝑝) (−^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅₀ )) + 𝜃,

𝑄 = − (𝛼(1 − 𝜎) (−_{(1−𝜎)𝑆} ^𝑆^𝑝

𝑝+Λ𝑅0−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0+𝜇𝑆𝑝)) − (𝜇 + 𝛼), diperoleh

⟺ [

𝐴 0 −^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅0 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) 𝐺 𝐻

0 0 𝐾 𝐿

0 0 0 𝑅]

, (4.32)

dengan 𝑅 =^−𝑃

𝐾 𝐿 + 𝑄,

maka matriks (4.32) adalah matriks 𝐽(𝐸₁) yang baru setelah dilakukan OBE, kemudian nilai eigen dari persamaan (4.32) dapat dicari menggunakan

det(𝐽(𝐸₁) − 𝜆𝐼) = 0,

⟺ |

| [

𝑅₀ 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) 𝐺 𝐻

0 0 𝐾 𝐿

0 0 0 𝑅]

− 𝜆 [ 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

]|

|= 0,

(39)

56

⟺|

| [

𝑅₀ 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) 𝐺 𝐻

0 0 𝐾 𝐿

0 0 0 𝑅]

− [ 𝜆 0 0 0

0 𝜆 0 0

0 0 𝜆 0

0 0 0 𝜆

]|

|= 0,

⟺ |

|

𝐴 − 𝜆 0 −𝜀𝜎𝛽𝑆_𝑝

𝑅₀ 𝛼

0 −(𝜇 + 𝜀) − 𝜆 𝐺 𝐻

0 0 𝐾 − 𝜆 𝐿

0 0 0 𝑅 − 𝜆

|

|= 0,

⟺ (𝐴 − 𝜆)(−(𝜇 + 𝜀) − 𝜆)(𝐾 − 𝜆)(𝑅 − 𝜆) = 0, sehingga

untuk 𝜆₁ = 𝐴,

= − ((1 − 𝜎) +^Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0

𝑆𝑝 + 𝜇),

dengan 0 < 𝜎 < 1 sehingga 𝜆₁ < 0 jika 𝑅₀ > 1 dan Λ𝑅₀− ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆_𝑝+ 𝛼𝑅^∗𝑅₀> 0,

⟺ Λ𝑅₀ > ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆_𝑝+ 𝛼𝑅^∗𝑅₀,

⟺ 𝑅₀(Λ − 𝛼𝑅^∗) > ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆_𝑝,

⟺𝑆_𝑝

𝑆^∗^{(Λ − 𝛼}𝑅^∗) > ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆_𝑝,

⟺ ^Λ−𝛼^𝑅

∗

((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗> 1,

sehingga diperoleh syarat tambahan bahwa ^Λ−𝛼^𝑅

∗

((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗> 1.

Untuk 𝜆₂ = −(𝜇 + 𝜀),

𝜆₂ < 0 karena semua nilai parameter positif.

Untuk 𝜆₃ = 𝐾,

(40)

57 = ^𝜀

𝜇+𝜀(−^(Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0)𝜃

𝑆_𝑝(1−𝜎) +^{𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

𝑅₀ ) − (𝜃 + 𝜇 + 𝜌), = − ((^(Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅0)𝜀𝜃

𝑆𝑝(1−𝜎)(𝜇+𝜀) − ^𝜀²^𝜎𝛽𝑆^𝑝

𝑅0(𝜇+𝜀)) + (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)), = − ((^(Λ𝑅⁰−((1−𝜎)+𝜇)𝑆_𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅₀)𝜀𝜃𝑅₀(𝜇+𝜀)−𝜀²𝜎𝛽𝑆_𝑝²(1−𝜎)(𝜇+𝜀)

𝑆_𝑝(1−𝜎)(𝜇+𝜀)²𝑅₀ ) + (𝜃 + 𝜇 + 𝜌)),

dengan 0 < 𝜎 < 1 jika 𝑅₀ > 1 dan

(Λ𝑅₀− ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆𝑝+ 𝛼𝑅^∗𝑅0)𝜀𝜃𝑅₀(𝜇 + 𝜀) > 𝜀²𝜎𝛽𝑆𝑝2(1 − 𝜎)(𝜇 + 𝜀),

⟺ 𝑅₀²Λ𝜀𝜃(𝜇 + 𝜀) − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆_𝑝𝜀𝜃𝑅₀(𝜇 + 𝜀) + 𝑅₀²𝛼𝑅^∗𝜀𝜃(𝜇 + 𝜀) > 𝜀²𝜎𝛽𝑆_𝑝²(1 − 𝜎)(𝜇 + 𝜀),

⟺ 𝑆_𝑝²𝜀𝜃(𝜇 + 𝜀) (Λ − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆^∗+ 𝛼𝑅^∗

𝑆^∗2 ) > 𝜀²𝜎𝛽𝑆_𝑝²(1 − 𝜎)(𝜇 + 𝜀),

⟺Λ − ((1 − 𝜎) + 𝜇)𝑆^∗+ 𝛼𝑅^∗ 𝑆^∗2𝜀𝜎𝛽(1 − 𝜎) > 1,

sehingga diperoleh syarat tambahan apabila 𝑅₀ > 1 dan

Λ−((1−𝜎)+𝜇)𝑆^∗+𝛼𝑅^∗

𝑆^∗2𝜀𝜎𝛽(1−𝜎) > 1 maka𝜆₃ < 0.

Untuk 𝜆₄ = 𝑅,

=−𝑃

𝐾 𝐿 + 𝑄,

= (( ^{(1−𝜎)𝜀𝜎𝛽𝑆}^𝑝

2

𝑅₀((1−𝜎)𝑆_𝑝+Λ𝑅₀−((1−𝜎)+𝜇)𝑆_𝑝+𝛼𝑅^∗𝑅₀+𝜇𝑆_𝑝)) − 𝜃)