KAJIAN METODE BAYESIAN BERHIERARKI PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PEUBAH PENYERTA YANG MENGANDUNG GALAT PENGUKURAN PDF

(1)

KAJIAN METODE BAYESIAN BERHIERARKI PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PEUBAH PENYERTA

YANG MENGANDUNG GALAT PENGUKURAN

LELI LATIFAH

PROGRAM STUDI STATISTIKA TERAPAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2023

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Kajian Metode Bayesian Berhierarki pada Pendugaan Area Kecil dengan Peubah Penyerta yang Mengandung Galat Pengukuran adalah karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, September 2023 Leli Latifah G152194014

(4)

RINGKASAN

LELI LATIFAH. Kajian Metode Bayesian Berhierarki pada Pendugaan Area Kecil dengan Peubah Penyerta yang Mengandung Galat Pengukuran. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan INDAHWATI.

Pendugaan area kecil (small area estimation/SAE), merupakan metode yang dilakukan dengan meminjam kekuatan dari informasi tambahan yang disebut peubah penyerta. Umumnya, peubah penyerta yang digunakan merupakan pendataan registrasi seperti sensus dan data administrasi. Hal ini dilakukan karena asumsi peubah penyerta tersedia untuk setiap area tanpa adanya galat pengukuran sehingga dapat memperkecil kuadrat tengah galat. Ketersediaan peubah penyerta yang terbatas seperti data sensus yang tidak tersedia setiap tahunnya dapat menjadi kendala dalam pendugaan dengan metode SAE. Informasi tambahan dari data survei dapat menjadi alternatif data dalam permasalahan tersebut. Akan tetapi, peubah penyerta yang berasal dari survei diasumsikan mengandung galat pengukuran. Oleh karena itu, diperlukan metode pendugaan area kecil yang dapat mengakomodir adanya kesalahan dalam pengukuran.

Model SAE with measurement error Ybarra-Lohr (SaeME Ybarra-Lohr) merupakan salah satu metode SAE yang dikembangkan dari metode SAE Empirical Best Linear Unbiased Prediction Fay Herrot (SAE EBLUP-FH) untuk mengakomodir permasalahan peubah penyerta yang mengandung galat pengukuran.

Pengembangan model yang lainnya adalah model SAE with measurement error Hierarchical Bayesian (SaeME HB), yang dilakukan dengan mengadopsi pendekatan Bayesian Berhiraki. Penelitian ini membandingkan tiga metode pendugaan area kecil SAE EBLUP-FH, SaeME Ybarra-Lohr dan SaeME HB. Ketiga metode diterapkan pada kajian simulasi dan kajian empiris yang peubah penyertanya mengandung galat pengukuran.

Terdapat dua kajian simulasi yang dilakukan. Pada simulasi pertama dibangkitkan skenario pada besaran galat pengukuran dan persentase area yang mengandung galat pengukuran. Hal tersebut bertujuan untuk melihat pendugaan pada kondisi galat pengukuran yang berbeda di setiap area. Simulasi kedua dibangkitkan dengan skenario yang berbeda pada peubah penyertanya. Tujuannya adalah untuk melihat kondisi saat dua peubah penyerta mengandung galat pengukuran dan kondisi saat salah satu peubah penyerta mengandung galat pengukuran. Pada kajian empiris dilakukan pendugaan indeks harga konsumen kelompok pengeluaran (IHK-KP) Januari 2019 di Provinsi Jawa Barat dengan menggunakan peubah penyerta yang berasal dari data survei, yaitu SUSENAS Maret 2019.

Hasil kajian simulasi menunjukkan bahwa semakin besar nilai ragam pengaruh acak dan semakin besar nilai galat pengukuran maka kuadrat tengah galat (KTG) yang dihasilkan semakin besar. Pada simulasi pertama, semakin besar persentase area yang mengandung galat pengukuran maka pendugaan dengan pendekatan model SaeME HB adalah lebih baik dibandingkan SAE EBLUP-FH dan SaeME Ybarra- Lohr. Hal ini ditunjukkan dengan KTG yang terkecil. Pada simulasi kedua, skenario dengan dua peubah penyerta yang mengandung galat pengukuran menghasilkan KTG yang lebih besar dibandingkan hanya salah satu peubah penyerta yang mengandung galat pengukuran. Pendekatan model SaeME HB juga memperoleh KTG yang lebih kecil dibandingkan kedua model lainnya. Pendugaan IHK-KP dalam

(5)

kajian empiris dengan pendekatan model SaeME Bayes Berhierarki juga menghasilkan rata-rata akar kuadrat tengah galat relatif (AKTGR) yang lebih kecil dibandingkan model EBLUP-FH dan SaeME Ybarra-Lohr. Statistik IHK-KP dan IHK Umum Provinsi Jawa Barat dengan pendekatan SaeME HB mampu menghasilkan statistik yang mendekati dengan Publikasi BPS

Kata Kunci: EBLUP-FH, galat pengukuran, indeks harga konsumen, SaeME Hierarchical Bayesian, SaeME Ybarra-Lohr

(6)

SUMMARY

LELI LATIFAH. Study of Hierarchical Bayesian Methods for Small Area Estimation with Auxiliary Variables Containing Measurement Error. Supervised by KUSMAN SADIK and INDAHWATI.

In small area estimation (SAE), the method is carried out by borrowing the strength of additional information (auxiliary variables). Commonly, the auxiliary variables used are registration data such as census and administrative data. This is because the assumption of the auxiliary variables is available for all area without any measurement errors so as to reduce the mean squared error (MSE). The availability of limited auxiliary variables such as census data which is not available every year can be an obstacle in estimating with the SAE method. Additional information from survey can be an alternative data for handling this problem. However, the auxiliary variables from the survey are assumed to contain measurement errors. Therefore, it is required small area estimation method that can accommodate measurement errors in auxiliary variables.

Ybarra-Lohr SAE model with measurement error (Ybarra-Lohr SaeME) is one of the SAE methods developed from Fay Herrot's SAE empirical best linear unbiased prediction method (EBLUP-FH) to accommodate auxiliary variables problems that contain measurement errors. Another model development is the hierarchical bayesian SAE model with measurement error (HB SaeME), which is carried out by adopting a hierarchical bayesian approach. This study compared three small area estimation models, including the EBLUP-FH, Ybarra-Lohr SaeME and HB SaeME. The three methods are applied to simulation studies and empirical studies where the auxiliary variables contain measurement errors.

There are two simulation studies conducted. In the first simulation, scenarios were generated the different of the measurement error and the percentage of areas containing measurement errors. It aims to see the estimation under different measurement error conditions in the area. The second simulation is based on a different scenario on the auxiliary variables. The aim is to analyze conditions when two auxiliary variables contain measurement errors and conditions when one of the auxiliary variables contains measurement errors. In an empirical study, an estimation of the January 2019 expenditure group consumer price index (CPI-EG) in West Java Province was conducted using auxiliary variables derived from The National Socioeconomic Survey (SUSENAS).

The results of the simulation study show that the greater the value of the random effect variances and the greater the measurement error, the greater the mean square error. In the first simulation, the greater the percentage of areas containing measurement errors, the better the estimation with the HB SaeME model approach compared to EBLUP-FH and Ybarra-Lohr SaeME. This is indicated by the smallest MSE. In the second simulation, a scenario with two auxiliary variables containing errors resulted in a larger MSE than only one auxiliary variable containing errors.

The HB SaeME model approach also obtains a smaller MSE than the other two models. CPI-EG estimation in an empirical study using the HB SaeME model approach also produces a smaller average relative root mean square error (ARRMSE) compared to the EBLUP-FH and Ybarra-Lohr SaeME models. Statistics of CPI-EG

(7)

and General CPI of West Java Province with the HB SaeME approach are able to produce statistics that are close to BPS publications

Keywords: consumer price index, EBLUP FH, HB SaeME, measurement error, Ybarra-Lohr SaeME

(8)

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2023 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB.

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

(9)

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pada

Program Studi Statistika Terapan

KAJIAN METODE BAYESIAN BERHIERARKI PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN PEUBAH PENYERTA

YANG MENGANDUNG GALAT PENGUKURAN

LELI LATIFAH

PROGRAM STUDI STATISTIKA TERAPAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2023

(10)

Tim Penguji pada Ujian Tesis:

Dr. Anang Kurnia, S.Si., M.Si.

(11)

(12)

PRAKATA

Alhamdulillahi Rabbil’ Alamin. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta’ala atas limpahan rahmat dan karunia-Nya dalam memberikan kelancaran pada proses penulisan karya ilmiah ini. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah Pendugaan Area Kecil, dengan judul “Kajian Metode Bayesian Berhierarki pada Pendugaan Area Kecil dengan Peubah Penyerta yang Mengandung Galat Pengukuran”.

Penulisan karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan, bimbingan, dan bantuan banyak pihak. Maka, dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Komisi pembimbing, Bapak Dr. Kusman Sadik, S.Si., M.Si. dan Ibu Dr.

Ir. Indahwati, M.Si. yang telah sabar memberikan bimbingan, masukan, dan arahan.

2. Bapak Dr. Anang Kurnia, S.Si., M.Si., selaku penguji luar komisi pembimbing yang memberikan masukan dan saran kepada penulis;

3. Ibu Dr. Mersi Kurniati, S.Si., M.Si., selaku dosen seminar, serta Bapak Dr. Agus M. Soleh, S.Si., M.T. selaku moderator kolokium dan moderator ujian tesis, yang memberikan masukan perbaikan pada penulis;

4. Badan Pusat Statistik (BPS) yang telah memberikan kesempatan dan beasiswa kepada penulis.

5. Seluruh Dosen pengajar di Departemen Statistika atas ilmu yang telah diberikan.

6. Staf Tata Usaha Departemen Statistika IPB yang selalu membantu segala proses administrasi.

7. Keluarga yang telah memberikan doa, semangat dan kasih sayang, suami, anak, kedua orang tua dan keluarga lainnya yang selalu menemani dan mendukung penulis.

8. Teman-teman Program Studi Statistika Terapan BPS 2019 dan teman- teman lainnya yang telah banyak membantu dan memberikan dukungan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkan dan bagi kemajuan ilmu pengetahuan.

Bogor, September 2023 Leli Latifah

(13)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL xii

DAFTAR GAMBAR xii

DAFTAR LAMPIRAN xiii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Tujuan 4

II TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Indeks Harga Konsumen 5

2.2 Metode Penghitungan IHK 7

2.3 Pendugaan Langsung 8

2.4 Pendugaan Area Kecil 9

2.5 Model Level Area pada SAE 10

2.6 EBLUP Model Level Area pada SAE 10

2.7 Pendugaan Area Kecil dengan Peubah Penyerta Mengandung Galat

Pengukuran 11

2.8 EBLUP Model Level Area pada SAEME 12

2.9 Model Bayesian pada Pendugaan Area Kecil 12

2.10 Metode Markov Chain Monte Carlo 14

2.11 The Gibss Sampler 15

2.12 Pemeriksaan Konvergensi Metode MCMC 15

2.13 Model Bayes Berhierarki dengan Galat Pengukuran 15 2.14 Evaluasi Pendugaan dengan Metode Jackknife 16

III METODE 18

3.1 Data 18

3.2 Model 19

3.2.1 Model Pendugaan IHK-KP Kabupaten/Kota 19 3.2.2 Model Pendugaan IHK-T Kabupaten/Kota 20

3.3 Metode 21

3.3.1 Tahapan Data Simulasi 21

3.3.2 Tahapan Data Riil 23

IV HASIL DAN PEMBAHASAN 25

4.1 Kajian Simulasi 25

4.1.1 Kajian Simulasi 1 25

4.1.2 Kajian Simulasi 2 29

4.2 Kajian Data Riil 31

4.2.1 Eksplorasi IHK Indonesia dan IHK Kota Contoh di Provinsi

Jawa Barat 31

4.2.2 Pemodelan Pendugaan Area Kecil IHK-KP Kota Contoh

di Provinsi Jawa Barat 35

4.2.3 Pendugaan Area Kecil IHK-KP Kota Contoh

di Provinsi Jawa Barat 36 4.2.4 Pendugaan IHK-KP Kota Nircontoh di Provinsi Jawa Barat 40 4.2.5 Pendugaan IHK-T Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Barat 41

(14)

V SIMPULAN DAN SARAN 43

5.1 Simpulan 43

5.2 Saran 43

DAFTAR PUSTAKA 44

LAMPIRAN 47

RIWAYAT HIDUP 67

(15)

DAFTAR TABEL

1 Kelompok komoditas barang dan jasa berdasarkan kelompok pengeluaran

(2012=100) 6

2 Peubah respons yang digunakan dalam penelitian 18

3 Peubah penyerta yang digunakan dalam penelitian 18

4 Tahapan kajian simulasi 21

5 Rata-rata bias pada kajian simulasi 1 dengan pengaruh acak area 𝜎_𝑢² =2 25 6 Rata-rata bias pada kajian simulasi 1 dengan pengaruh acak area 𝜎_𝑢² =4 26 7 Rata-rata kuadrat tengah galat pada kajian simulasi 1 dengan pengaruh acak

area 𝜎_𝑢² =2 27

8 Rata-rata kuadrat tengah galat pada kajian simulasi 1 dengan pengaruh acak

area σ_u² =4 28

9 Rata-rata bias pada kajian simulasi 2 dengan pengaruh acak area σ_u² =2 29 10 Rata-rata bias pada kajian simulasi 2 dengan pengaruh acak area σ_u² =4 29 11 Rata-rata kuadrat tengah galat pada kajian simulasi 2 dengan pengaruh acak

area σ_u² =2 30

12 Rata-rata kuadrat tengah galat pada kajian simulasi 2dengan pengaruh acak

area σ_u² =4 30

13 Korelasi antara peubah penyerta terpilih dengan IHK pada setiap kelompok

pengeluaran 36

14 Rata-rata AKTGR tiga metode IHK-KP Jawa Barat 39

15 AKTG pendugaan IHK-KP kota nircontoh di Provinsi Jawa Barat 40 16 Nilai dugaan IHK-KP dan IHK-T kota contoh Januari 2019 dengan

pendekatan model SaeME Bayes Berhierarki 41

17 Nilai dugaan IHK-KP dan IHK-T kota nircontoh Januari 2019 dengan

pendekatan model SaeME Bayes Berhierarki 41

DAFTAR GAMBAR

1 Bagan alir tahapan data simulasi 1 dan simulasi 2 22

2 Bagan alir tahapan data riil 24

3 Statistik IHK Indonesia Tahun 2019 31

4 (a) Grafik statistik IHK-T Indonesia dan kota contoh IHK Provinsi Jawa Barat Tahun 2019, (b) Boxplot IHK-T Indonesia dan kota contoh IHK

Provinsi Jawa Barat Tahun 2019 32

5 Statistik IHK-T kota contoh di Provinsi Jawa Barat pada Januari 2019 33 6 Statistik IHK-KP pada masing - masing kota contoh di Provinsi Jawa Barat

Januari 2019 34

7 Boxplot statistik IHK-KP dari tujuh kota contoh di Provinsi Jawa Barat

Januari 2019 35

8 Perbandingan nilai dugaan IHK-KP beberapa metode pada ketujuh kota contoh di Provinsi Jawa Barat. (1) Kota Bogor, (2) Kota Sukabumi, (3) Kota Bandung, (4) Kota Cirebon, (5) Kota Bekasi, (6) Kota Depok, (7)

Kota Tasikmalaya 37

(16)

9 Perbandingan KTG beberapa metode menurut kelompok pengeluaran pada ketujuh kota contoh di Provinsi Jawa Barat. (1) Kota Bogor, (2) Kota Sukabumi, (3) Kota Bandung, (4) Kota Cirebon, (5) Kota Bekasi, (6) Kota

Depok, (7) Kota Tasikmalaya 38

DAFTAR LAMPIRAN

1 Sebagian syntax R untuk analisis data 48

2 Trace plot parameter model Metode SaeME Bayes Berhierarki pada kajian

simulasi 1 dengan 𝜎² = 2 51

simulasi 1 dengan 𝜎² = 4 54

simulasi 2 skenario 1 dengan 𝜎_𝑢² =2 57

8 Statistik IHK-T 82 Kota dan Indonesia Januari – Desember 2019 61 9 Korelasi antara peubah penyerta dengan IHK-KP Januari 2019 pada setiap

kelompok 64

10 AKTGR berdasarkan model EBLUP FH, SaeME Ybarra-lohr dan SaeME HB pada KP 1 tujuh kota contoh di Provinsi Jawa Barat 64 11 AKTGR berdasarkan model EBLUP FH, SaeME Ybarra-lohr dan SaeME

HB pada KP 2 tujuh kota contoh di Provinsi Jawa Barat 65 12 AKTGR berdasarkan model EBLUP FH, SaeME Ybarra-lohr dan SaeME

HB pada KP 7 tujuh kota contoh di Provinsi Jawa Barat 66

(17)

1

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kebutuhan akan data terus mengalami peningkatan. Baik pemerintah, swasta, maupun individu memiliki kepentingan untuk menggunakan data sehingga tuntutan adanya ketersediaan data semakin besar. Berbagai kegiatan dilakukan untuk menghasilkan data, beberapa diantaranya yaitu sensus dan survei.

Pada sensus dilakukan pengumpulan data yang mencakup hingga wilayah terkecil dan hasil kegiatan sensus pun dapat dijadikan kerangka sampel. Akan tetapi, sensus memiliki beberapa kelemahan seperti waktu yang lama serta biaya yang besar. Oleh karena itu, survei menjadi kegiatan yang sering dilakukan dibandingkan sensus. Dengan survei maka biaya yang digunakan akan menjadi lebih hemat, penyajian hasil survei juga akan lebih cepat serta cakupan survei bisa lebih rinci dibandingkan sensus.

Dalam survei dikenal adanya dua kesalahan yaitu kesalahan karena pengambilan sampel (sampling error) dan kesalahan bukan karena pengambilan sampel (non-sampling error). Kesalahan bukan karena pengambilan sampel umumnya terjadi karena human error seperti kesalahan pencatatan. Kesalahan karena pengambilan sampel disebabkan ketidaktepatan hasil sampling.

Pengambilan sampel yang tidak tepat menjadi salah satu kelemahan dari survei.

Kecukupan ukuran sampel menjadi penting agar hasil pendugaan populasi yang diperoleh memiliki tingkat akurasi yang tinggi. akan tetapi penyajian sampai wilayah kecil (seperti kecamatan) dengan sampel yang terbatas tidak akan dapat dipenuhi. Untuk mengatasi hal tersebut perlu dilakukan penambahan ukuran sampel yang pasti akan berpengaruh terhadap biaya serta tenaga kerja yang lebih besar. Oleh karena itu, dibutuhkan metode pendugaan yang mampu mengatasi permasalahan ukuran sampel, yaitu metode pendugaan area kecil (small area estimation).

Pendugaan area kecil merupakan teknik statistika untuk menduga parameter-parameter sub populasi yang ukuran sampelnya kecil. Rao dan Molina et al. (2015) mendefinisikan area kecil untuk menunjukkan domain apa pun yang tidak dapat menghasilkan estimasi langsung dengan presisi yang memadai. Area kecil tersebut dapat berupa kota, kabupaten, kecamatan, desa/kelurahan, maupun kelompok suku. Untuk memperoleh tingkat presisi yang memadai dalam pendugaan tidak langsung dengan pendugaan area kecil ini diperlukan adanya informasi tambahan atau dikenal dengan istilah peubah penyerta (auxiliary variable). Metode ini memiliki sifat “meminjam kekuatan” informasi tambahan dari hubungan peubah respons dengan peubah penyerta yang digunakan.

Umumnya, informasi tambahan dalam pendugaan area kecil diperoleh dari hasil penghitungan sensus maupun catatan administrasi untuk mengurangi nilai kuadrat Tengah galat (mean square error/MSE). Peubah penyerta diasumsikan tidak mengandung galat pengukuran. Akan tetapi, saat informasi tambahan diperoleh dari hasil penghitungan survei maka diasumsikan bahwa peubah penyerta akan mengandung galat pengukuran. Dalam Carrol et al. (2006) disebutkan bahwa terdapat tiga efek galat pengukuran. Efek pertama yaitu menyebabkan bias dalam pendugaan parameter. Efek kedua menyebabkan hilangnya kekuatan untuk mendeteksi hubungan antar peubah dan menutupi fitur

(18)

2

data. Efek ketiga membuat analisis model grafis menjadi sulit. Oleh karena itu, estimasi parameter dalam pendugaan area kecil dengan variabel tambahan yang mengandung error juga akan menjadi penduga yang bias, dan kuadrat tengah galat (KTG) dari prediktor dapat ditingkatkan (Singh et al. 2015). Oleh karena itu, diperlukan suatu metode pendugaan area kecil untuk mengakomodir adanya galat pengukuran. Pengembangan model pendugaan area kecil dengan peubah penyerta yang mengandung galat pengukuran, secara umum telah dibahas oleh Hariyanto et al. (2018) dan Tanur (2020). Pada level unit, Ghosh et al. (2006) mengembangkan pertama kali pendugaan area kecil dengan peubah penyerta mengandung galat.

Penduga Empirical Bayes (EB) dan Hierarchical Bayes (HB) dikembangkan untuk pendugaan simultan ketika peubah penyerta mengandung galat pengukuran struktural. Pendugaan area kecil tingkat unit dengan peubah penyerta mengandung galat pengukuran lainnya dilakukan oleh Ghosh & Sinha (2007). Penelitian tersebut mengusulkan model regresi linear kesalahan bersarang level unit untuk pendugaan area kecil ketika peubah penyerta mengandung galat pengukuran fungsional. Datta et al. (2010), dengan metode Pseudo Bayes Empiric (PEB), menggunakan nilai peubah respons dan peubah penyerta untuk memperkirakan nilai peubah penyerta yang sebenarnya. Torabi (2011) mengusulkan penduga PEB yang bergantung pada bobot survei dan memenuhi properti konsistensi desain.

Pendugaan area kecil dengan galat pengukuran pada level unit juga dilakukan oleh Arima et al. (2012), Goo dan Kim (2012) serta Torkasvand (2016).

Pendugaan area kecil level area dengan mempertimbangkan peubah penyerta mengandung galat pengukuran dilakukan oleh Ybarra dan lohr (2008).

Model yang digunakan adalah model level area modifikasi Fay dan Herriot dengan peubah penyerta mengandung galat. Zhu dan Zou (2014) menggunakan metode EBLUP, yang mengakomodasi galat pengukuran struktural. Arima et al.

(2016) dalam Pratesi (2016) serta Polettini dan Arima (2017) juga menduga area kecil dengan adanya galat pengukuran pada area level. Di Indonesia, beberapa penelitian terkait pendugaan area kecil dengan galat pengukuran di lakukan oleh Komalasari (2019) menggunakan data SUSENAS untuk memperkirakan rata-rata lama sekolah per kecamatan di Kabupaten Kampar. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model estimasi Ybarra-Lohr SaeME dapat memprediksi nilai MSE yang lebih kecil daripada estimasi langsung. Aziz dan Ubaidillah (2021) menggunakan dua model SAE yaitu model SAE EBLUP Fay-Herriot dengan peubah penyerta yang berasal dari data PODES dan SAE dengan galat pengukuran yang menggunakan peubah penyerta dari Big Data yaitu Twitter. Hasil kajian tersebut diperoleh bahwa estimasi dengan metode SAE lebih baik dibandingkan dengan estimasi langsung. Beberapa penelitian pendugaan area kecil lainnya yang mengakomodir galat pengukuran juga dilakukan oleh Hariyanto (2020), Novkaniza et al. (2023), serta Tanur dan Kurnia (2022).

Salah satu pendekatan Bayesian untuk melakukan pendugaan area kecil pada level area mempertimbangkan peubah penyerta yang mengandung galat pengukuran dilakukan oleh Arima et al. (2015). Kajian tersebut melakukan pengembangan metode dari metode SaeME Ybarra-Lohr dengan mengusulkan pendugaan alternatif yang dihasilkan dari model galat pengukuran Bayes Berhierarki. Pendugaan dalam kajian simulasi dilakukan dengan beberapa skenario yang mengkondisikan adanya galat pengukuran yang berbeda pada area yang dibangkitkan. Simulasi membandingkan beberapa metode SAE, yaitu

(19)

3 pendugaan langsung, EBLUP-FH, EBLUP Bayesian, SaeME Ybarra-Lohr, dan Hierarchical Bayesian SaeME. Hasil kajian simulasi menunjukkan bahwa pendugaan dengan Hierarchical Bayesian lebih stabil dan memiliki nilai KTG yang lebih kecil dibandingkan dengan pendugaan SaeME Ybarra–Lohr dan pendugaan lainnya.

Arima et al. (2015) hanya menggunakan satu ragam pengaruh acak dan satu peubah penyerta yang mengandung kesalahan dalam kajian simulasinya.

Berdasarkan hal tersebut, dalam penelitian ini dilakukan adaptasi simulasi yang dilakukan oleh Arima et al. (2015) dengan menambahkan skenario pada pengaruh acak area dan skenario pada peubah penyerta yang digunakan. Ada dua simulasi yang dilakukan dalam penelitian ini. Simulasi pertama dilakukan untuk melihat kondisi galat pengukuran yang berbeda pada area yang dibangkitkan. Simulasi kedua dilakukan dengan membuat skenario pada peubah penyerta. Tujuannya adalah untuk melihat kondisi ketika peubah penyerta yang digunakan adalah dua peubah penyerta, yang salah satu peubah penyerta mengandung galat pengukuran dan kondisi ketika kedua peubah penyerta yang digunakan mengandung galat pengukuran. Simulasi ini dilakukan dengan menerapkan tiga metode pendugaan area kecil ketika peubah penyerta mengandung galat pengukuran, antara lain metode SAE EBLUP-FH, metode SaeME Ybarra-Lohr, dan metode Hierarchical Bayesian SaeME.

Selanjutnya, ketiga metode pendugaan tersebut juga diterapkan pada kajian empiris. Bertujuan untuk memperoleh pendugaan Indeks Harga Konsumen Kelompok Pengeluaran (IHK-KP) dengan lokus penelitian di Provinsi Jawa Barat.

Indeks harga konsumen merupakan salah satu indikator ekonomi yang digunakan untuk mengetahui perkembangan harga barang/jasa yang dikonsumsi masyarakat.

Perubahan IHK dari waktu ke waktu menggambarkan tingkat kenaikan (inflasi) atau tingkat penurunan (deflasi) yang mencerminkan kemampuan daya beli masyarakat. Semakin tinggi inflasi maka semakin rendah nilai uang dan semakin rendah daya belinya. IHK merupakan penentu kebijakan ekonomi, baik bagi pemerintah pusat maupun daerah. Sebagai salah satu indikator ekonomi, IHK yang ada saat ini hanya mencakup beberapa kota di Indonesia. Kebutuhan akan statistik IHK ini menjadi kebutuhan di semua wilayah sebagai informasi dalam pengendalian inflasi. Akan tetapi, untuk memperoleh ukuran sampel di semua kabupaten/kota masih belum bisa terpenuhi. Oleh karena itu, pendugaan IHK Kabupaten/Kota perlu dilakukan. Metode pendugaan area kecil dapat menjadi solusi dalam melakukan pendugaan tersebut.

Beberapa kajian dilakukan untuk menduga data IHK dengan metode pendugaan area kecil. Wurz et al. (2017) menggunakan metode pendugaan area kecil untuk menghasilkan keranjang komoditas dengan akurasi yang lebih tinggi.

Dawber et al. (2019) menggunakan Metode SAE model Fay-Herriot untuk meningkatkan estimasi regional memanfaatkan penggunaan SAE untuk mengestimasi bobot pengeluaran daerah dalam IHK regional. Fengki (2020) mengestimasi IHK Kelompok Pengeluaran di Provinsi Jawa Barat dan Provinsi Maluku dengan menggunakan peubah penyerta yang berasal dari data PODES.

Pusponegoro (2022) menyusun IHK Kelompok Pengeluaran seluruh Kabupaten/Kota di Indonesia dengan menggunakan Penalti Norml1. Peubah penyerta yang digunakan juga berasal dari data PODES.

(20)

4

Berdasarkan penelitian yang telah ada, pendugaan IHK dilakukan dengan menggunakan peubah penyerta yang berasal dari data registrasi (Potensi Desa/PODES). Data PODES merupakan satu-satunya sumber data tematik berbasis wilayah yang mampu menggambarkan potensi yang dimiliki oleh suatu wilayah setingkat desa di seluruh Indonesia. Selain PODES, terdapat data survei lain yang memiliki ukuran sampel besar, salah satunya adalah SUSENAS. Akan tetapi, karena merupakan data survei, SUSENAS memungkinkan adanya galat pengukuran. Oleh karena itu, pada kajian empiris peneliti tertarik untuk menerapkan metode SAE EBLUP-FH, SaeME Ybarra Lohr dan SaeME Bayes Berhierarki dalam pendugaan IHK di Provinsi Jawa Barat dengan menggunakan peubah penyerta yang berasal dari SUSENAS yang memungkinkan adanya galat pengukuran. Pendekatan model bayes berhierarki menjadi ketertarikan peneliti pada pendugaan area kecil dengan peubah penyerta mengandung galat untuk memperoleh pendugaan yang lebih stabil.

1.2 Tujuan

Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengkaji model pendugaan area kecil EBLUP-FH, SaeME Ybarra Lohr dan SaeME Bayes Berhierarki pada data simulasi dengan skenario pada aspek ragam pengaruh acak dan skenario pada peubah penyerta.

2. Menerapkan model pendugaan area kecil EBLUP-FH, SaeME Ybarra Lohr dan SaeME Bayes Berhierarki pada data IHK Januari 2019 Provinsi Jawa Barat.

(21)

5

II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Indeks Harga Konsumen

Indeks harga adalah ukuran proporsi atau persentase, perubahan harga dari waktu ke waktu. Indeks harga konsumen (IHK) mengukur perubahan dari waktu ke waktu pada tingkat umum harga barang dan jasa yang diperoleh rumah tangga untuk tujuan konsumsi (UN 2009). Indeks harga konsumen digunakan untuk mengukur perbedaan tingkat harga antara berbagai kota, wilayah, atau negara pada titik waktu yang sama. Pada awalnya IHK diperkenalkan untuk memberikan ukuran perubahan biaya hidup pekerja, sehingga kenaikan upah dapat dikaitkan dengan harga. Seiring waktu, IHK telah memperluas cakupannya, dan saat ini digunakan sebagai indikator makroekonomi, sebagai alat oleh pemerintah dan bank sentral untuk menghitung inflasi dan untuk memantau stabilitas harga, dan sebagai deflator di neraca nasional.

Terdapat tiga kegunaan utama IHK dalam UN (2009). Pertama sebagai indeksasi upah kelompok tertentu yang mewakili cakupan kelompok yang bersangkutan. Contohnya penggunaan bobot IHK yang digunakan untuk indeksasi pensiunan yang mencakup hanya pengeluaran populasi pensiun. IHK yang digunakan untuk mengindeks pensiun dapat menggunakan bobot yang berkaitan dengan rumah tangga pensiunan dan mengecualikan barang yang dianggap tidak relevan. Contoh lain, IHK digunakan untuk mengindeks pembayaran lain, seperti pembayaran bunga atau sewa, atau harga obligasi. Kegunaan kedua adalah sebagai deflator neraca nasional. Dalam penggunaannya dibutuhkan konsistensi antara data harga yang digunakan untuk IHK dan data pengeluaran yang digunakan dalam neraca nasional. Keduanya harus mencakup kumpulan barang dan jasa yang sama dan menggunakan konsep yang sama serta klasifikasi yang sama, untuk perhitungan nasional adalah Classification of Individual Consumption According to Purpose (COICOP). Kegunaan yang ketiga adalah untuk memperoleh tingkat inflasi/deflasi.

Tingkat kenaikan (inflasi) atau tingkat penurunan (deflasi) dihitung sebagai persentase perubahan IHK dan merupakan indikator ekonomi yang kualitas datanya perlu ditingkatkan dari waktu ke waktu. Perubahan IHK dari waktu ke waktu menggambarkan tingkat inflasi/deflasi dari barang/jasa kebutuhan rumah tangga sehari-hari. Kenaikan atau penurunan harga barang/jasa mempunyai kaitan yang erat sekali dengan kemampuan daya beli dari uang yang dimiliki masyarakat.

Tingkat perubahan IHK yang terjadi, dengan sendirinya mencerminkan daya beli dari uang yang dipakai masyarakat untuk memenuhi kebutuhan sehari-hari.

Semakin tinggi inflasi maka semakin rendah nilai uang dan semakin rendah daya belinya (BPS 2013). Dalam menghitung inflasi, cakupan komoditas IHK dapat disesuaikan untuk menunjukkan berapa tingkat inflasi di sektor tertentu sehingga dapat dijelaskan apakah ada pengaruh perubahan pajak atau perubahan harga yang diatur pemerintah terhadap tingkat inflasi baik daerah maupun Nasional. Dan tingkat inflasi bisa berbeda-beda di tiap daerah, sehingga langkah yang diambil selanjutnya dapat melihat inflasi di masing-masing wilayah.

IHK memiliki dua cakupan wilayah, yaitu IHK Nasional dan IHK daerah yang dalam hal ini adalah Kabupaten/Kota. IHK Nasional mencakup pengeluaran dan harga secara Nasional. Data yang dikumpulkan adalah data deret waktu harga

(22)

6

di berbagai daerah selama periode waktu tertentu. Setiap daerah perlu memiliki sampel sehingga sampel yang ada representatif untuk menggambarkan IHK Nasional. Hasil pengumpulan data harga untuk masing-masing daerah akan mungkin berbeda. Daerah yang memiliki perbedaan harga yang berbeda dan memiliki pengaruh yang signifikan terhadap IHK Nasional harus tercakup dalam IHK sehingga dapat meningkatkan keterwakilan. Dan akan menjadi tidak efisien bila mengumpulkan data harga pada daerah dengan penduduk yang sedikit jika hanya akan berdampak kecil terhadap IHK Nasional. Dalam melakukan pembobotan daerah, jika IHK daerah digunakan untuk menghitung IHK Nasional, bobot daerah perlu didasarkan oleh pengeluaran daerah dibandingkan oleh jumlah penduduk daerah.

IHK biasanya dipublikasikan setiap bulan dan terkadang setiap triwulan.

IHK menyediakan informasi yang tepat waktu, biasanya sekitar dua minggu setelah akhir bulan atau kuartal. Di Indonesia, Statistik IHK dikeluarkan oleh BPS, dengan definisi sebagai indeks yang mengukur rata-rata perubahan harga antarwaktu dari suatu paket jenis barang dan jasa yang dikonsumsi oleh penduduk/rumah tangga di daerah perkotaan dengan dasar suatu periode tertentu.

IHK dikeluarkan oleh BPS setiap bulan dan dipublikasikan setiap awal bulan.

Penghitungan IHK dibangun dari sekumpulan harga dan nilai konsumsi barang/jasa. Pemilihan jenis barang/jasa (komoditas) untuk tiap kota di Indonesia dilakukan berdasarkan dari hasil Survei Biaya Hidup (SBH). Paket komoditas tetap digunakan dalam mengolah IHK sehingga komoditas yang ada dalam paket komoditas tidak dapat diganti atau dihilangkan sampai dilaksanakannya kembali SBH berikutnya. SBH pertama kali dilakukan pada tahun 1977/1978. Dilanjutkan pada tahun 1988/1989, 1996, 2002, 2007, 2012 dan 2018. Perubahan pola konsumsi maupun biaya hidup masyarakat menjadikan paket komoditas dan diagram timbang hasil SBH yang ada sudah tidak sesuai untuk menggambarkan keadaan terkini. Oleh karena itu, perlu dilakukan SBH yang lebih terbaru.

Tabel 1 Kelompok komoditas barang dan jasa berdasarkan kelompok pengeluaran (2012=100)

No Kelompok Pengeluaran Jumlah

Subkelompok

1 Bahan makanan 11

2 Makanan jadi, minuman, rokok dan tembakau 3

3 Perumahan, air, listrik, gas dan bahan bakar 4

4 Sandang 4

5 Kesehatan 4

6 Pendidikan, rekreasi dan olahraga 5

7 Transpor, komunikasi dan jasa keuangan 4

Total 35

SBH 2012 dilakukan di 82 Kota IHK dan terdapat total 859 komoditas, setiap kota IHK memiliki 224-461 komoditas. Komoditas-komoditas tersebut terbagi dalam 7 kelompok dan 35 sub kelompok pengeluaran konsumsi (Tabel 1).

Paket komoditas dan diagram timbang hasil SBH 2012 digunakan untuk mengolah IHK tahun 2014 hingga tahun 2019. Maka statistik IHK yang dikeluarkan BPS tahun 2014 hingga tahun 2019 pada tingkat nasional dan

(23)

7 kabupaten/kota, masing-masingnya meliputi IHK total, IHK 7 kelompok pengeluaran dan IHK 35 subkelompok pengeluaran.

Kelompok pengeluaran pada IHK (2018=100) antara lain adalah kelompok makanan, minuman, dan tembakau; kelompok pakaian dan alas kaki, kelompok perumahan, air, listrik, gas dan bahan bakar lainnya; kelompok perlengkapan, peralatan, dan pemeliharaan rutin rumah tangga; kelompok kesehatan; kelompok transportasi; kelompok informasi, komunikasi dan jasa keuangan; kelompok rekreasi, olahraga, dan budaya; kelompok pendidikan; kelompok penyediaan makanan dan minuman restoran; serta kelompok perawatan pribadi dan jasa lainnya. IHK yang diolah dengan tahun dasar 2018 (2018=100) ini dipublikasikan pertama kali pada IHK Januari 2020.

Pada prinsipnya, seluruh wilayah harus tercakup dalam IHK Nasional termasuk wilayah perkotaan dan pedesaan. Akan tetapi, statistik IHK yang digunakan di Indonesia adalah IHK Perkotaan. Pemilihan sampel kota IHK berdasarkan tingkat pembangunan di bidang perekonomian yaitu Produk Domestik Regional Bruto (PDRB), pengeluaran per kapita, letak geografis, serta mempertimbangkan usulan dari BPS provinsi, BPS kabupaten/kota dan walikota/bupati setempat. Di masing–masing kota kemudian akan dilakukan pengumpulan data IHK. Pencacahan dilakukan di pasar tradisional, modern/swalayan, dan outlet terpilih (BPS 2013). Dan yang menjadi responden dalam survei IHK adalah pedagang eceran yang menjual barang/jasa kebutuhan rumah tangga secara eceran yang umumnya berlokasi di pasar tradisiomal.

Sebagian responden tidak berlokasi di pasar, seperti di toko: bahan bangunan, emas, rumah makan, dan lainnya. Selain pedangang eceran, responden data HK juga di peroleh dari tempat–tempat yang memberikan pelayanan jasa seperti tempat praktek dokter, salon, rumah sakit, sekolah/perguruan tinggi, permbantu rumah tangga dan sebagainya.

Jenis barang/jasa yang dipilih adalah berdasarkan paket komoditas hasil SBH. Kualitas/merk dari barang/jasa yang akan diamati harganya merupakan kualitas/merk yang banyak digemari atau banyak dikonsumsi masyarakat.

Kualitas/merk yang dipilih pun dapat terus diamati harganya setiap waktu, apabila kualitas/merk tertentu sudah tidak beredar di pasaran maka digantikan dengan kualitas/merk lain dari jenis barang/jasa yang sama.

2.2 Metode Penghitungan IHK

Dalam menghitung IHK diperlukan data harga, yaitu dari kualitas/merek barang/jasa yang diperoleh dari hasil pencacahan survei HK. Berbagai rumus dapat dipakai untuk menghitung IHK, tetapi BPS menggunakan rumus Laspeyres yang dimodifikasi. Penghitungan IHK menggunakan rumus Laspeyres yang dimodifikasi (Modified Laspeyres Index) adalah sebagai berikut:

𝐼_𝑛 =

∑ ^𝑃𝑛𝑖

𝑃(𝑛−1)𝑖𝑃_{(𝑛−1)𝑖}𝑄_0𝑖 𝑘𝑖=1

∑𝑘 𝑃0𝑖𝑄0𝑖 𝑖=1

× 100 (2.1)

dengan:

𝐼_𝑛 = Indeks periode ke-n

𝑃_𝑛𝑖 = Harga jenis barang i, periode ke-n

(24)

8

𝑃_{(𝑛−1)𝑖} = Harga jenis barang i, periode ke-(n-1)

𝑃_{(𝑛−1)𝑖}𝑄_0𝑖 = Nilai konsumsi jenis barang i, periode ke-(n-1) 𝑃_0𝑖𝑄_0𝑖 = Nilai konsumsi jenis barang i pada tahun dasar 𝑘 = Jumlah jenis barang paket komoditas

𝑃_0𝑖𝑄_0𝑖 adalah nilai konsumsi jenis barang 𝑖 pada tahun dasar atau dapat dituliskan sebagai 𝑁𝐾_0𝑖 . Dari formula diatas dapat disederhanakan bahwa

𝑃_{(𝑛−1)𝑖}

𝑃_{(𝑛−1)𝑖} = 1 sehingga diperoleh 𝑃_𝑛𝑖 𝑄_0𝑖 sebagai nilai konsumsi jenis barang 𝑖 pada periode ke-n (𝑁𝐾_𝑛𝑖), sehingga rumus untuk memperoleh indeks harga konsumen dapat dituliskan sebagai berikut:

𝐼_𝑛 =^∑^𝑘^𝑖=1^𝑁𝐾^𝑛𝑖

∑^𝑘_𝑖=1𝑁𝐾_0𝑖× 100 (2.2)

2.3 Pendugaan Langsung

Survei sampel umumnya digunakan untuk mendapatkan perkiraan jumlah, nilai tengah, dan parameter lain, tidak hanya untuk total populasi tetapi juga subpopulasi (domain). Pendugaan langsung dari subpopulasi didasarkan pada data sampel subpopulasi. Pendugaan langsung umumnya berdasarkan penarikan sampel (Rao dan Molina 2015). Teknik pengambilan sampel dalam pendugaan langsung berbasis desain dikembangkan oleh Cohcran (1977). Pendugaan langsung yang didasarkan oleh model juga telah dikembangkan oleh Valliant et al.

(2001). Domain dikatakan besar jika ukuran sampel domain cukup besar untuk menghasilkan pendugaan langsung dengan presisi yang memadai. Untuk mendapatkan pendugaan langsung dengan presisi yang memadai diperlukan ukuran sampel yang juga besar.

Jika suatu area i diamati suatu data amatan ke-j (𝑦_𝑖𝑗) dengan penduganya (𝑦̂_𝑖𝑗) dan galat (𝑒_𝑖𝑗), maka persamaan linearnya dapat dituliskan sebagai berikut.

𝑦̂_𝑖𝑗 = 𝑦_𝑖𝑗+ 𝑒_𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, … 𝑘, 𝑖 = 1,2, … 𝑁_𝑖 (2.3) dengan 𝑁_𝑖 adalah ukuran populasi di area i dan ukuran populasi seluruhnya adalah 𝑁 = ∑ 𝑁_𝑖. Dalam survei dikenal dua jenis galat atau error. Galat pada persamaan di atas dimaksudkan pada galat yang disebabkan karena kesalahan pengambilan sampel. Galat jenis kedua, galat yang bukan disebabkan pengambilan diasumsikan nol.

Pada pendugaan yang didasarkan desain sampel, maka bobot survei memiliki peranan penting dalam menduga 𝑦̂_𝑖𝑗 bagi 𝑦_𝑖𝑗. Pendugaan langsung desain sampel nilai tengah area ke-i dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:

𝑦̅̂_𝑖 = ¹

∑𝑛𝑖 𝑤𝑖𝑗 𝑗=1

∑^𝑛_𝑗=1^𝑖 𝑤_𝑖𝑗𝑦_𝑖𝑗 (2.4) Pembobot ini tergantung pada 𝑛_𝑖 dan elemen j. Jika peluang pengambilan sampel data amatan ke-j di area i adalah 𝜋_𝑖𝑗 = 𝑝(𝑛_𝑖) maka pembobot (𝑤_𝑖𝑗) adalah 1/𝜋_𝑖𝑗. Peluang pemilihan sampel bergantung pada desain surveinya. Pembobot (𝑤_𝑖𝑗)

(25)

9 juga akan bergantung pada desain surveinya. Terdapat berbagai macam desain pengambilan sampel. Salah satu desain pengambilan sampel yang sederhana adalah simple random sampling (SRS), yaitu mengambil sampel acak sederhana berukuran n dari nomor acak 1 hingga N. Dan dalam SRS, bobot pendugaan langsung akan sama karena peluang pengambilan sampel diperoleh dari rasio banyaknya sampel dibandingkan total populasi sehingga diperoleh peluang 𝜋_𝑖𝑗 = 𝑛_𝑖/𝑁_𝑖 . Maka nilai pembobot menjadi 𝑤_𝑖𝑗 = 𝑁_𝑖/𝑛_𝑖 , dengan 𝑤_𝑖𝑗 > 0 dan

∑^𝑛_𝑗=1^𝑖 𝑤_𝑖𝑗 = 𝑁.

Penduga nilai tengah area ke-i dengan metode SRS dapat diperoleh dengan mengganti pembobot 𝑤_𝑖𝑗 menjadi 𝑁_𝑖/𝑛_𝑖 dan ∑^𝑛_𝑗=1^𝑖 𝑤_𝑖𝑗 = 𝑁 , sehingga dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut

𝑦̅̂_𝑖 = ¹

𝑛𝑖∑^𝑛_𝑗=1^𝑖 𝑦_𝑖𝑗 (2.5) Penduga nilai tengah area i (𝑦̅̂_𝑖) yang dihasilkan merupakan penduga yang tak bias sehingga kuadrat tengah galat (KTG) yang dihasilkan adalah 𝐾𝑇𝐺(𝑦̅̂_𝑖) = 𝑉𝑎𝑟(𝑦̅̂_𝑖) + (𝐵𝑖𝑎𝑠(𝑦̅̂_𝑖))², ketika bias = 0, maka 𝐾𝑇𝐺(𝑦̅̂_𝑖) = 𝑉𝑎𝑟(𝑦̅̂_𝑖)

𝐾𝑇𝐺(𝑦̅̂_𝑖) =^𝑠^𝑖²

𝑛𝑖 [^𝑁^𝑖^−𝑛^𝑖

𝑁𝑖 ] (2.6) Dengan 𝑠_𝑖² = ^{∑ (𝑦}^𝑖𝑗^−𝑦^{̅ )}^𝑖

𝑛𝑖 2 𝑗

𝑛𝑖−1 dan jika 𝑛_𝑖 berukuran sangat kecil dibandingkan 𝑁_𝑖, maka KTG penduga langsung SRS adalah sebagai berikut:

𝐾𝑇𝐺(𝑦̅̂_𝑖) =^𝑠^𝑖²

𝑛_𝑖 (2.7) 2.4 Pendugaan Area Kecil

Area kecil didefinisikan sebagi domain berukuran kecil (subpopulasi) yang tidak dapat menghasilkan pendugaan langsung dengan presisi yang memadai.

Biasanya, ukuran sampel domain cenderung meningkat seiring dengan ukuran populasi domain, tetapi hal ini tidak selalu terjadi. Pendugaan area kecil dilakukan untuk menduga parameter secara tidak langsung di suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei (Sadik dan Notodiputro 2006). Pendugaan langsung (direct estimation) pada subpopulasi tidak memiliki presisi yang memadai karena kecilnya jumlah sampel yang digunakan untuk memperoleh dugaan tersebut.

Sebagai alternatif, pendugaan tidak langsung (indirect estimation) dalam menduga area kecil dilakukan dengan meminjam kekuatan peubah lain yang terkait sehingga dapat meningkatkan kefektifan ukuran sampel. Ketersediaan informasi tambahan dan penentuan model yang baik dan sesuai adalah penting dalam mendapatkan pendugaan tidak langsung khususnya pada area kecil (Rao dan Molina 2015)

Model pendugaan area kecil dibagi menjadi dua jenis menurut ketersediaan peubah penyerta, yaitu model tingkat area dan model tingkat unit. Model tingkat area merupakan model yang digunakan apabila peubah penyerta hanya tersedia pada tingkat area. Model tingkat unit adalah model yang digunakan apabila peubah penyerta tersedia sampai tingkat unit. Model tingkat area lebih sering digunakan karena tidak memerlukan ketersediaan peubah penyerta sampai tingkat unit.

Dalam Sadik dan Notodiputro (2006), terdapat dua ide utama yang digunakan untuk mengembangkan model pendugaan parameter area kecil yaitu

(26)

10

(1) asumsi bahwa keragaman didalam area kecil peubah respons dapat diterangkan seluruhnya oleh hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi tambahan, kemudian disebut model pengaruh tetap (fixed effect models), dan (2) asumsi keragaman spesifik area kecil tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan dan merupakan pengaruh acak area kecil (random effect).

Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model pengaruh campuran (mixed models). Fay dan Herriot (1979) menggunakan model pengaruh campuran dengan pengaruh acak yang hanya mengandung intersep, dengan kata lain model hanya meliputi pengaruh acak area, untuk menduga rata-rata pendapatan sub populasi dengan menggunakan data sensus 1970 di Amerika Serikat.

Terdapat dua pendugaan parameter dalam model pengaruh campuran yaitu antara lain best linear unbiased prediction (BLUP) dan empirical best linear unbiased prediction (EBLUP). Kedua metode ini meminimumkan kuadrat tengah galat di antara penduga tidak bias linier dan tidak bergantung pada normalitas efek acak. Tetapi mereka bergantung pada varians (dan mungkin kovarian) dari efek acak, yang disebut komponen varians. Metode BLUP mengasumsikan ragam peubah acak dalam model campuran (komponen ragam) diketahui. Metode EBLUP adalah metode yang mengasumsikan komponen ragam yang tidak diketahui disubtitusi oleh penduganya (Kurnia 2009).

2.5 Model Level Area pada SAE

Pada model tingkat area, peubah penyerta 𝒙_𝒊= (𝑥_𝑖1, … 𝑥_𝑖𝐾)^𝑇 tersedia sampai level kecil dan peubah yang diamati diasumsikan merupakan fungsi dari rata-rata peubah respons 𝜃_𝑖 = 𝑔(𝑌̅_𝑖) untuk 𝑔(. ). Dengan 𝑧_𝑖 adalah konstanta bernilai positif yang diketahui dan 𝜷 = (𝛽_𝑖, … , 𝛽_𝐾)^𝑇 adalah koefisien regresi, 𝑢_𝑖 adalah pengaruh acak kecil (sering diasumsikan normal), maka model linear untuk area kecil adalah sebagai berikut:

𝜃_𝑖 = 𝒙_𝒊^𝑻𝜷 + 𝑧_𝑖𝑢_𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑚 (area kecil) (2.8)

Penduga rata-rata area kecil dengan penduga langsung 𝑌̅̂_𝑖 diketahui yaitu:

𝑦_𝑖 = 𝑔(𝑌̅̂) = 𝜃_𝑖 _𝑖 + 𝑒_𝑖 (2.9) Dengan 𝑢_𝑖 dan 𝑒_𝑖 adalah saling bebas, 𝑒_𝑖 adalah galat pengambilan sampel (sampling error), 𝑒_𝑖~𝑁(0, 𝜎_𝑒²), sehingga model tingkat area (model bentuk campuran linear atau dikenal sebagai model Fay-Herriot) dapat dituliskan pada persamaan sebagai berikut:

𝑦_𝑖 = 𝒙_𝒊^𝑻𝜷 + 𝑧_𝑖𝑢_𝑖 + 𝑒_𝑖 (2.10) 2.6 EBLUP Model Level Area pada SAE

Terdapat dua pendugaan parameter dalam model pengaruh campuran yaitu antara lain best linear unbiased prediction (BLUP) merupakan pendugaan parameter dalam model pengaruh campuran, yang meminimumkan kuadrat tengah galat yang dihasilkan dengan asumsi komponen varian diketahui. Penduga BLUP untuk 𝜃_𝑖 dirumuskan sebagai berikut:

𝜃̃_𝑖^{𝐹𝐻 (𝐵𝐿𝑈𝑃)} = 𝒙_𝑖^𝑻𝜷̃ + 𝛾_𝑖(𝑦_𝑖 − 𝒙_𝑖^𝑻𝜷̃)

= 𝛾_𝑖𝑦_𝑖+ (1 − 𝛾_𝑖) 𝒙_𝑖^𝑻𝜷̃ (2.11)

(27)

11 Diketahui 𝑖 = 1, … , 𝑚 dan 𝛾_𝑖 = 𝜎_𝑢²𝑧_𝑖²/(𝜎_𝑢²𝑧_𝑖²+ 𝜎_𝑒²_𝑖) serta 𝜷̃ adalah penduga BLUE untuk 𝜷 𝜷̃ = 𝜷̃(𝜎_𝑢²) = [∑^𝑚_𝑖=1𝒙_𝑖𝒙_𝑖^𝑻/(𝜎_𝑢²𝑧_𝑖²+ 𝜎_𝑒²_𝑖)]⁻¹[∑^𝑚_𝑖=1𝒙_𝑖𝜃̂_𝑖^𝐷/ (𝜎_𝑢²𝑧_𝑖²+ 𝜎_𝑒²_𝑖)]. Pada penduga BLUP nilai 𝜎_𝑢² diasumsikan diketahui. Akan tetapi, dalam praktiknya, ragam pengaruh acak (𝜎_𝑢²) tidak diketahui, sehingga harus diduga terlebih dahulu. Pendugaan ragam pengaruh acak ini dapat digunakan dengan metode momen dan juga metode Maximum Likelihood (ML). Hasil pendugaan 𝜎_𝑢² kemudian akan digantikan oleh 𝜎̂_𝑢² ke dalam penduga BLUP. Maka akan diperoleh penduga baru yang dikenal sebagai penduga EBLUP, yang merupakan nilai rata-rata tertimbang (dengan penimbang 𝛾̂_𝑖 ) dari penduga langsung (𝑦_𝑖) dan model sintesisnya (𝒙_𝑖^𝑻𝜷̂) :

𝜃̂_𝑖^{𝐹𝐻 (𝐸𝐵𝐿𝑈𝑃)} = 𝛾̂_𝑖𝑦_𝑖 + (1 − 𝛾̂_𝑖) 𝒙_𝑖^𝑻𝜷̂ (2.12) Dengan 𝛾̂_𝑖 = 𝜎̂_𝑢²𝑧_𝑖²/(𝜎̂_𝑢²𝑧_𝑖² + 𝜎_𝑒²_𝑖)dan nilai 𝜷̂ merupakan nilai 𝜷̃ pada persamaan (2.13) ketika 𝜎_𝑢² digantikan oleh 𝜎̂_𝑢². Untuk mengukur kebaikan penduga EBLUP, maka dapat dilakukan dengan menghitung nilai kuadrat tengah galat (KTG) dengan rumus sebagai berikut:

KTG(𝜃̂_𝑖^{𝐹𝐻 (𝐸𝐵𝐿𝑈𝑃)}) = 𝑔_1𝑖(𝜎̂_𝑢²) + 𝑔_2𝑖(𝜎̂_𝑢²) + 𝑔_3𝑖(𝜎̂_𝑢²) (2.13) dengan

𝑔_1𝑖(𝜎̂_𝑢²) = 𝛾̂_𝑖𝜎_𝑒²_𝑖 (2.14)

𝑔_2𝑖(𝜎̂_𝑢²) = (1 − 𝛾̂_𝑖)²𝒙_𝑖^𝑻[∑^𝑚_𝑖=1𝒙_𝑖𝒙_𝑖^𝑻/(𝜎_𝑢²𝑧_𝑖²+ 𝜎_𝑒²_𝑖)]⁻¹𝒙_𝑖 (2.15) 𝑔_3𝑖(𝜎̂_𝑢²) = 𝐸(𝜃̂_𝑖^{𝐹𝐻 (𝐸𝐵𝐿𝑈𝑃)}− 𝜃̃_𝑖^{𝐹𝐻 (𝐵𝐿𝑈𝑃)})² = 𝜎_𝑒⁴_𝑖𝑧_𝑖⁴(𝜎̂_𝑢²𝑧_𝑖²+ 𝜎_𝑒²_𝑖)⁻³𝑉̅(𝜎̂_𝑢²) (2.16)

yang 𝑉̅(𝜎̂_𝑢²) = 2[∑^𝑚_𝑖=1𝑧_𝑖⁴/(𝜎̂_𝑢²𝑧_𝑖²+ 𝜎_𝑒²_𝑖)]⁻¹ adalah ragam asimptotik untuk 𝜎̂_𝑢².

2.7 Pendugaan Area Kecil dengan Peubah Penyerta Mengandung Galat Pengukuran

Pendugaan area kecil yang dikembangkan oleh Fay dan Herriot (1979) menggunakan informasi tambahan yang bersumber dari data administratif untuk mengurangi kuadrat tengah galat dari penduga area kecil, diasumsikan bahwa informasi tambahan tersebut tersedia untuk semua area dan diukur tanpa kesalahan. Kemudian pendugaan area kecil ini dikembangkan oleh Ybarra dan Lohr (2008), menduga karakteristik kesehatan yang diukur dalam the National Health and Nutrition Examination Survey dengan peubah penyerta diperoleh dari the U.S National Health Interview Survey. Karena dalam survei memiliki kesalahan baik kesalahan akibat pengambilan sampel dan kesalahan bukan akibat pengambilan sampel, sehingga informasi tambahan atau peubah penyerta yang digunakan mengandung kesalahan. Oleh karena itu pengembangan ini dikenal sebagai Small Area Estimation with Error (SAEME) atau pendugaan area kecil dengan peubah penyerta yang mengandung galat.

Dalam pendugaan area kecil, 𝒙_𝒊 merupakan nilai dari peubah penyerta area ke-i. Jika semua komponen 𝒙_𝒊 diketahui, kita menggunakan model 2.10, akan tetapi ketika 𝒙_𝒊 adalah peubah penyerta yang diukur dengan adanya galat, maka

(28)

12

model dengan pengukuran yang mengandung galat menjadi sebagai berikut (Ybarra dan Lohr, 2008):

𝑦_𝑖 = 𝒙̂_𝒊^𝑻𝜷 + 𝑟_𝑖(𝒙̂_𝒊, 𝒙_𝒊) + 𝑒_𝑖 (2.17) Penduga 𝒙̂_𝒊 menggantikan nilai untuk 𝒙_𝒊 , dengan 𝑟_𝑖(𝒙̂_𝒊, 𝒙_𝒊) = 𝑢_𝑖 + (𝒙_𝒊− 𝒙̂_𝒊)^𝑇𝛽. Diasumsikan bahwa penduga untuk 𝒙_𝒊 tersedia untuk seluruh area i.

Jika beberapa komponen 𝒙_𝒊 tidak terukur, kita dapat melakukan imputasi atau mengestimasinya. Dalam model ini diasumsikan 𝑢_𝑖 dan 𝑒_𝑖 adalah saling bebas.

2.8 EBLUP Model Level Area pada SAEME

Jika parameter diketahui maka penduga BLUP untuk 𝜃_𝑖 pada model penduga area kecil dengan peubah penyerta yang mengandung galat dirumuskan sebagai berikut:

𝜃_𝑖^{𝐹𝐻 (𝐵𝐿𝑈𝑃)} = 𝛾_𝑖𝑦_𝑖 + (1 − 𝛾_𝑖) 𝒙_𝑖^𝑻𝜷 (2.18)

dengan 𝛾_𝑖 = 𝜎_𝑢²/(𝜎_𝑢²+ 𝜎_𝑒²) . Akan tetapi dalam praktiknya, nilai 𝜷 dan 𝜎_𝑢² tidak diketahui sehingga parameter ini perlu diestimasi. Misalkan

penduga 𝒙̂_𝒊 dengan MSE (𝒙̂_𝒊) = 𝐶_𝑖. Karena 𝒙_𝒊 dapat diukur dengan kesalahan, maka mengganti penduga 𝒙̂_𝒊 untuk 𝒙_𝒊, sehingga diperoleh

𝑦_𝑖 = 𝒙̂_𝒊^𝑻𝜷 + (𝒙_𝒊− 𝒙̂_𝒊)𝜷 + 𝑢_𝑖 + 𝑒_𝑖 (2.19) maka model Ybarra dan Lohr (2008) dinotasikan 𝜃_𝑖^𝑀𝐸 = 𝛾_𝑖𝑦_𝑖 + (1 − 𝛾_𝑖) 𝒙̂_𝒊^𝑻𝜷 dengan 𝛾_𝑖 = 𝜎_𝑢²+ 𝛽^𝑇𝐶_𝑖𝛽/(𝜎_𝑢² + 𝛽^𝑇𝐶_𝑖𝛽 + 𝜎_𝑒²) . Misalkan 𝑤₁, … , 𝑤_𝑚 adalah himpunan dari bobot terbatas yang dibatasi dari 0. Parameter regresi yang

diestimasi didefinisikan 𝜷̂_𝒘 = (∑^𝑚_𝑖=1𝑤_𝑖(𝒙̂_𝑖𝒙̂_𝑖^𝑻− 𝐶_𝑖))⁻¹∑^𝑚_𝑖=1𝑤_𝑖𝒙̂_𝑖𝑦_𝑖 dengan 𝑤_𝑖 = 1/(𝜎_𝑢²+ 𝛽^𝑇𝐶_𝑖𝛽 + 𝜎_𝑒²) untuk 𝑖 = 1, … , 𝑚. Dan untuk mengestimasi

penduga 𝜎_𝑢² dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

𝜎̂_𝑢² = (𝑚 − 𝑝)⁻¹∑^𝑚_𝑖=1{(𝑦_𝑖 − 𝒙_𝑖^𝑻𝜷̂_𝒘)²− 𝜎_𝑒²− 𝜷̂_𝒘^𝑻𝐶_𝑖𝜷̂_𝒘} (2.20) Ketika 𝜷 dan 𝜎_𝑢² digantikan dengan pendugaannya yaitu 𝜷̂ dan 𝜎̂_𝑢², maka pendugaan area kecil dengan galat pengukuran dapat dilakukan dengan persamaan sebagai berikut:

𝜃̂_𝑖^𝑀𝐸 = 𝛾̂_𝑖𝑦_𝑖+ (1 − 𝛾̂_𝑖) 𝒙̂_𝒊^𝑻𝜷 (2.21) dengan 𝛾̂_𝑖 = 𝜎̂_𝑢²+ 𝛽̂^𝑇𝐶_𝑖𝛽̂/(𝜎̂_𝑢²+ 𝛽̂^𝑇𝐶_𝑖𝛽̂ + 𝜎_𝑒²). Hasil pendugaan 𝜷 yang dari model Ybarra dan Lohr adalah penduga yang konsisten dan memiliki sebaran normal asimptotik. 𝜎̂_𝑢² yang dihasilkan juga merupakan penduga yang konsisten dalam kondisi keteraturan tertentu. Akan tetapi permasalahan yang ditemui dari hasil pendugaan dengan Ybarra-Lohr adalah penduga yang tidak efisien. Penduga 𝜎̂_𝑢² yang terlibat dalam 𝜃̂_𝑖^𝑀𝐸, memiliki ragam yang jauh lebih besar. Hal ini mengakibatkan kuadrat tengah galat yang dihasilkan relatif tinggi dan tidak stabil.

Maka kemudian, Arima et al. (2015) mengkaji model bayesian berhierarki dengan galat pengukuran. Hasil menunjukkan bahwa ketidakpastian pengukuran ragam posterior dari penduga bayesian adalah lebih stabil dari pada KTG EBLUP yang diusulkan Ybarra-Lohr (2008).

2.9 Model Bayesian pada Pendugaan Area Kecil

Teori statistik klasik mengasumsikan parameter sebagai kuantitas tetap, hanya data yang acak, dan sebaran peluang hanya dapat digunakan untuk