GEOMETRI PADA RUANG
PENDAHULUAN
Sedangkan pada perhitungan multivariabel, grafik fungsi digambarkan dalam ruang tiga dimensi atau dalam kasus tertentu dalam ruang n dimensi. Bab ini membahas tentang konsep geometri dalam ruang yang terdiri dari koordinat kartesius, vektor, garis, kurva dan permukaan dalam ruang 3 dimensi, koordinat silinder, dan koordinat bola. Melakukan operasi pada vektor dalam ruang - Penentuan persamaan garis dan kurva dalam ruang - Penentuan persamaan permukaan dalam ruang.
KEGIATAN BELAJAR 1
- Uraian Materi
- Rangkuman
- Latihan
- Kunci Jawaban
KEGIATAN BELAJAR 2
KEGIATAN BELAJAR 3
TURUNAN PARSIAL
KEGIATAN BELAJAR 4
Jadi dapat dipahami bahwa fungsi dua variabel mempunyai domain berupa pasangan terurut (x,y) pada ℝ2 dan range berupa bilangan pada ℝ. Salah satu cara untuk memvisualisasikan suatu fungsi adalah melalui diagram panah seperti pada Gambar 2.1, dimana domain D mewakili subset pada bidang xy dan luasnya adalah himpunan bilangan real yang digambarkan pada garis yang menunjukkan sumbu z. Fungsi dua variabel adalah aturan yang memasangkan setiap pasangan bilangan real terurut (x,y) pada himpunan D dengan bilangan real tertentu yang dinotasikan f(x,y).
Ada beberapa cara untuk memvisualisasikan fungsi dua variabel, antara lain grafik, kurva ketinggian, dan peta kontur. Jika f merupakan fungsi dua variabel berdomain D, maka grafik f adalah himpunan semua titik (x, y, z) di ℝ3 sehingga z = f(x, y) dan (x, y) di D Untuk menggambar grafik fungsi dua variabel dalam bentuk permukaan kuadrat atau fungsi yang lebih rumit memerlukan program komputer.
Kurva tinggi fungsi f dua variabel merupakan kurva dengan persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, dimana k adalah konstanta dalam rentang f. Kurva elevasi yang mewakili suhu yang sama disebut kurva isotermal, seperti pada Gambar 2.13. Kurva iseismik merupakan kurva ketinggian yang berhubungan dengan gempa yang sama pada suatu daerah, misalnya pada Gambar 2.14.
Untuk 𝑘 > 0, kurva tingginya berupa bola yang berpusat di O dengan jari-jari k (seperti pada gambar 2.16). Kurva ketinggian untuk fungsi dua variabel f merupakan kurva dengan persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, dimana k adalah konstanta dalam rentang f.
KEGIATAN BELAJAR 5
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y, aturan yang dapat digunakan dirangkum di bawah ini. Kemiringan suatu garis pada kurva di titik P adalah garis pada bidang 𝑦 = 𝑦0 yang melalui P dengan kemiringan tersebut. Kemiringan suatu garis pada kurva di titik P adalah garis pada bidang 𝑥 = 𝑥0 yang melalui titik P dengan kemiringan tersebut.
Notasi turunan parsial fungsi dua variabel juga digunakan untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Jika f merupakan fungsi dua variabel yang mempunyai turunan parsial 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 yang juga merupakan fungsi dari dua variabel, maka kita dapat menghitung turunan parsial keduanya. Jika z = f(x, y), maka turunan parsial kedua dari f dilambangkan dengan z. 𝑦𝜕𝑥) artinya kita kurangi dulu terhadap x lalu turunkan lagi terhadap y.
Hal ini menunjukkan bahwa pada turunan parsial kedua, campuran 𝑓𝑥𝑦 dan 𝑓𝑦𝑥 mempunyai hasil yang sama untuk sebagian besar fungsi. Menerapkan teorema nilai rata-rata untuk 𝑓𝑥 kita mendapatkan bilangan d antara b dan b + h sedemikian rupa. Menerapkan teorema nilai rata-rata dua kali, kita mendapatkan bahwa kontinuitas pada (a,b) dinyatakan dengan.
Untuk menentukan 𝑓𝑦, asumsikan x adalah suatu konstanta dan bedakan f(x,y) terhadap y. 𝑦𝜕𝑥) artinya kita turunkan dulu terhadap x, lalu turunkan lagi terhadap x.
KEGIATAN BELAJAR 6
Jika C adalah kurva yang terletak pada permukaan S dan melalui titik P, maka garis singgung C di titik P juga terletak pada bidang singgung S. Kedua rumus ini menyatakan rata-rata perubahan z pada x dan y arah, masing-masing arah vektor satuan i dan J. Jika kita mengambil limit untuk ℎ → 0, kita mendapatkan rata-rata perubahan z (dengan jarak) pada arah u, yang disebut turunan arah f pada arah u .
Gunakan Gambar 2.24 untuk memperkirakan nilai penyimpangan arah fungsi suhu di wilayah Reno ke arah tenggara (atau menuju Las Vegas). Draf arah DuT dapat diperkirakan dengan menghitung rata-rata perubahan suhu antara titik-titik perpotongan garis dengan kurva ketinggian atau isoterm T = 50 dan T. Suhu di titik tenggara sungai Rhine adalah T = 60F dan suhu di titik barat laut sungai Rhine adalah T = 50F.
Jika f merupakan fungsi terdiferensiasi terhadap x dan y, maka f mempunyai turunan berarah searah dengan vektor satuan 𝐮 = 〈𝑎, 𝑏〉 dan. Turunan berarah suatu fungsi terdiferensiasi dapat ditulis sebagai perkalian titik dua buah vektor. Turunan terarah dan gradien fungsi dua variabel juga berlaku untuk fungsi tiga variabel atau lebih.
Tentukan gradien f, kemudian evaluasi gradien di titik P dan tentukan rata-rata perubahan f di titik P searah vektor satuan u. Nelayan yang berada di perahu keluar pada pukul (80, 60) dan bergerak menuju pelampung yang terletak di (0, 0).
KEGIATAN BELAJAR 7
Jika sebuah tabung vertikal dipanaskan, jari-jari r dan tinggi h bertambah, sehingga luas permukaan S juga bertambah. Jika F terdiferensiasi, maka kita dapat menggunakan aturan rantai untuk mendiferensiasikan kedua ruas persamaan 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 terhadap x, sehingga diperoleh. Jika z adalah fungsi implisit dari x dan y yang didefinisikan oleh persamaan 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, maka dengan mendiferensiasikan kedua ruas terhadap x kita peroleh.
Jika bagian ini bertambah ½ inci per tahun dan tingginya bertambah 8 inci per tahun, berapa cepat volumenya bertambah jika jari-jarinya 20 inci dan tingginya 200 inci. Pasir dituangkan ke dalam tumpukan berbentuk kerucut sehingga tingginya pada saat tertentu adalah 100 inci dan bertambah 3 inci per jam. menit; radius dasarnya adalah 40 inci dan bertambah 2 inci per menit.
PENERAPAN TURUNAN PARSIAL
KEGIATAN BELAJAR 8
Dalam fungsi satu variabel, teorema nilai ekstrem menyatakan bahwa jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mempunyai nilai maksimum global dan nilai minimum global. Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan berhingga D di ℝ2, maka f mempunyai maksimum global 𝑓(𝑥1, 𝑦1) di titik (𝑥1, 𝑦1) di D dan minimum global 𝑓(𝑥2, 𝑦2) di titik ( 𝑥2, 𝑦2) pada D. Nilai yang lebih besar dari langkah 1 dan 2 merupakan nilai maksimum global, nilai yang lebih kecil dari langkah 1 dan 2 merupakan nilai minimum global.
Artinya kita mencari nilai ekstrim f(x, y) ketika titik-titik (x, y) terbatas pada titik-titik yang terletak pada kurva g(x, y) = k. Misalkan fungsi f mempunyai nilai ekstrem di titik 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) pada permukaan S, dan misalkan C adalah kurva dengan persamaan vektor 𝐫(𝑡) = 〈𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) 〉 yang terletak di S dan melalui titik P. Misalnya, kita ingin mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan dua fungsi batasan 𝑔1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 dimana 𝑔1 dan 𝑔2 berbeda secara terhormat dan ∇𝑔1 dan ∇𝑔2 tidak sejajar.
Sepanjang kurva ini Anda dapat melihat titik-titik di mana f memiliki nilai maksimum dan minimum lokal dibandingkan dengan nilai lain pada kurva. Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan berhingga D di ℝ2, maka f mempunyai nilai maksimum global 𝑓(𝑥1, 𝑦1) di. Cara yang sama digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) yang tunduk pada dua fungsi batasan, yaitu dengan menyelesaikan persamaan ∇𝑓 = 𝜆∇𝑔1+ 𝜇∇𝑔2 secara bersamaan; 𝑔1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝑔2(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0.
Tunjukkan apakah setiap titik merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana. Tentukan nilai maksimum global dan minimum global f di S dan tunjukkan di mana nilai-nilai ini terjadi.
Aturan ini menggunakan penjumlahan Riemann untuk mendekati integral rangkap, dimana titik uji ( 𝑥𝑖∗, 𝑦𝑗∗) berada di setiap 𝑅𝑖𝑗. Dengan asumsi semua integral ganda ada, kita memperoleh sifat linearitas integral ganda, yaitu. Teorema berikut memberikan cara mudah untuk menentukan integral rangkap dengan menyatakan integral iterasi.
Pada integral ganda, kita tidak hanya mengintegrasikan fungsi f pada daerah persegi panjang, tetapi juga pada daerah D yang mempunyai bentuk lebih umum. Untuk menghitung integral rangkap ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 pada koordinat polar, kita membagi interval [ 𝑎) 𝑚⁄ , dan kita membagi interval [𝛼, 𝛽] menjadi n subinterval [𝜃𝑗−1, 𝜃𝑗] yang mempunyai lebarnya sama yaitu ∆𝑥. Rumus di atas menjadi lebih berguna ketika kita menulis integral lipat dalam koordinat kutub pada integral berulang.
Perubahan Koordinat Kutub pada Integral Ganda Jika f kontinu pada persegi panjang kutub yang diberikan oleh 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽, dimana 0 ≤ 𝛽 − 𝛼 ≤ − 2, maka. Gunakan integral ganda untuk mencari luas area yang ditutupi oleh empat kelopak bunga mawar 𝑟 = cos 2𝜃. Analog dengan definisi integral rangkap, kita dapat mendefinisikan integral rangkap tiga berdasarkan batas jumlah rangkap tiga Riemann.
Definisi yang sama dengan integral rangkap pada luas tak persegi panjang, kita memperoleh definisi integral rangkap tiga pada luas umum terbatas (bukan kotak persegi panjang). Menentukan Integral Rangkap Tiga pada Koordinat Silinder Asumsikan E adalah domain tipe 1 yang mempunyai proyeksi D pada bidang xy yang dapat dengan mudah dijelaskan dalam koordinat polar (seperti pada Gambar 4.34).
INTEGRAL LIPAT
KEGIATAN BELAJAR 9
Untuk 𝑓(𝑥) ≥ 0, maka jumlah Riemann dapat diartikan sebagai penjumlahan luas persegi panjang (seperti pada Gambar 4.1) dan ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑎𝑏 adalah luas di bawah kurva 𝑓( = ) hingga b. bahwa S adalah benda tetap yang terletak di atas R dan di bawah grafik f (seperti pada gambar 4.2), yaitu. Pertama, kita membagi persegi panjang R menjadi sub-persegi panjang, yang kemudian dibagi menjadi interval [𝑎, 𝑏], menjadi m subinterval [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖] dengan panjang (𝑏 − 𝑎)/𝑚 dan dibagi menjadi interval [𝑐 , 𝑑 ] menjadi m subinterval [𝑦𝑗−1,𝑦𝑗] dengan panjang (𝑑 − 𝑐)/𝑛.
Dengan menggambar garis sejajar sumbu koordinat dengan titik ujung sub-interval, diperoleh sub-persegi panjang. Jika kita memilih titik sampel (𝑥𝑖∗, 𝑦𝑗∗) pada setiap 𝑅𝑖𝑗 dengan membuat balok ramping dengan alas 𝑅𝑖𝑗 dan tinggi 𝑓(𝑥𝑖∗, 𝑥𝑖∗) Gambar 4.4. Bagilah R menjadi empat bagian persegi dan pilih titik sampel di pojok kanan atas setiap persegi 𝑅𝑖𝑗.
Artinya, pertama-tama kita integrasikan y untuk y dari c ke d, lalu integrasikan lagi pada x untuk x dari a ke b.
KEGIATAN BELAJAR 10
Tentukan volume benda padat yang terletak di bawah paraboloid 𝑧 = 𝑥2+ 𝑦2 dan di atas luas D pada bidang xy yang dibatasi oleh garis 𝑦 = 2𝑥 dan parabola 𝑦 = 𝑥2. Dalam hal ini, lebih sulit menggambarkan wilayah R dalam koordinat Kartesius, tetapi mudah dalam koordinat kutub. Jadi lingkaran 𝑟 = 𝑟𝑖 dan sinar 𝜃 = 𝜃𝑗 membagi persegi panjang kutub R menjadi banyak persegi panjang kutub, seperti pada Gambar 4.17.
KEGIATAN BELAJAR 11
Seperti halnya integral rangkap tiga, cara mengevaluasi integral rangkap tiga adalah dengan menyatakannya dalam bentuk integral berulang. Misalkan E adalah suatu benda padat tipe 1 yang merupakan daerah antara grafik dua fungsi yang kontinu terhadap x dan y yang dinyatakan. Perlu diperhatikan bahwa batas atas benda padat E merupakan permukaan dengan persamaan 𝑧 = 𝑢2(𝑥, 𝑦) dan batas bawahnya adalah 𝑧 = 𝑢1(𝑥, 𝑦).
Benda padat E ditunjukkan pada gambar 4.30, dimana diketahui E merupakan daerah tipe 1, sehingga diperlukan proyeksinya pada bidang xy yaitu D1 yang merupakan daerah parabola pada gambar 4.31. Misalkan ada kasus khusus dimana 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 untuk semua titik di D, maka integral rangkap tiga direpresentasikan sebagai volume D.
KEGIATAN BELAJAR 12
KEGIATAN BELAJAR 13
Dalam koordinat bola, bentuk yang setara dengan kotak persegi panjang adalah irisan bola, yaitu Untuk menentukan integral rangkap tiga, kita membagi E menjadi beberapa irisan bola kecil 𝐸𝑖𝑗𝑘 dengan bola 𝜌 = 𝜌𝑖, setengah bidang 𝜃 = 𝜃𝑗 dan setengah kerucut yang berjarak sama 𝜙 = . Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengubah koordinat bola menjadi koordinat kartesius menggunakan persamaan tersebut.
PENERAPAN INTEGRAL LIPAT
KEGIATAN BELAJAR 14
