Kelompok 4-Mekanika Klasik

TUGAS KELOMPOK MEKANIKA KLASIK

Dosen Pengampu : Qidir Maulana Binu Soesanto, S.Si., M.Sc., Ph.D.

ANGGOTA : 1. SITI NUR KHALISHA (24040124410009) 2. DEKA ANDINI (24040124410013)

3. ANISA PUTRI (24040124410014) 4. YUNIAR SAVITRI (24040124410022)

5. FITRIYANI MUS MULYADI (24040124410023)

Soal-soal

1. Sebuah silinder pejal ditempeli massa tambahan pada jari-jari silindernya, dengan massa adalah m.

Silinder menggelinding pada lintasan tanpa slip. Tentukan persamaan geraknya!

Penyelesaian:

Metode Lagrangian

- Menentukan Energi Kinetik

T = Energi Kinetik Translasi + Energi Kinetik Silinder+Energi Kinetik m T=1

2Mx˙²+1 2

M R² 2 θ˙²+1

2m V_m² Oleh karena relasi tanpa slip, x˙=− ˙θR

Dimana, kecepatan pusat masa x_˙

˙

x+ ˙θR = 0 , sehingga

˙

x=− ˙θR

Maka didapat,

V_m²= ˙x²+ ˙θ²R²+2x˙θ R˙ cosθ

¿2θ˙²R²−2θ˙²R²cosθ Lintasan Tanpa Slip

Rθ

m

I =

M^{m R2}

2

x

˙

˙x θ R

θ x˙

θ R˙

θ M

Jadi, energi kinetiknya diperoleh T = 1

2Mθ˙²R²+1

4M R²θ˙²+1

2m2θ˙²R²(1−cosθ)

= 3

4M R²θ˙²+m R²θ˙²(1−cosθ) - Menentukan Energi Potensial

Oleh karena energi potensial silinder konstan, maka hanya energi potensial m yang diperhitungkan

V = -mg Rcosθ - Langrangian

L = T-V L = 3

4M R²θ˙²+m R²θ˙²(1−cosθ)+mg Rcosθ d

dt

∂ L

∂θ˙−∂ L

∂ θ = 0 d

dt

∂ L

∂θ˙=∂ L

∂ θ d

dt(3

2M R²θ˙+2m R²θ˙(1−cosθ)) = mR²θ˙²sinθ−mgRsin θ 3

2M R²θ+¨ 2m R²( ¨θ− ˙θcosθ+ ˙θ²sinθ)=m R²θ˙²sinθ−mgRsin θ θ¨(3

2M R²+2m R²(1−cosθ))+ ˙θ²(2m R²sinθ−m R²sinθ)+mgRsin θ=0 θ¨(3

2M+2m(1−cosθ))+ ˙θ²(msinθ)+mg

R sinθ=0

Metode Newtonian

Meninjau persamaan gerak menggunakan Hukum Newton melalui persamaan torsi.

Hukum Newton II

∑

^F=dP_dt ^=md_dt^{⃗v=m .⃗a}

Karena menggunakan gerak rotasi maka digunakan persamaan torsi atau momen gaya

∑

^{τ=F . R}

1. Meninjau nilai torsi pada partikel

∑

^{τ=F . R}

F=N_partikel−mgsinθ

N_partikel=0 karena tidak ada gaya dari luar system F=0−mgsinθ R

F=−mgsinθ R

2. Meninjau torsi pada partikel dan silinder

∑

^{τ=F . R=Iθ¨}

L=⃗r ×⃗p=Iθ ˙ τ=dL

dt =Iθ¨

τ_silinderyang sumbu putarnya bergeser ke ujung jari−jari silinder(titik A) τsilinder terhadap titik A=(I_Silinder+M R²) ¨θ

τsilinder terhadap titik A=M R²

2 θ¨+M R²θ¨=3

2M R²θ¨ τsilinder terhadap titik A=3

2M R²θ¨ τ_partikel

τ_partikel=⃗r_A× ma⃗_A

⃗

r_A=⃗ri^+⃗r^j

⃗

r_A=Rsinθi+^ R(1−cosθ) ^j

⃗

a_A=⃗ai^+⃗a^j

⃗

a_A=(− ¨θ R− ˙θ²Rsinθ+ ¨θ Rcosθ) ^i+ ˙θ²Rcosθ+ ¨θ Rsinθ) ^j

Menghitung nilai τ_partikel=⃗r_A× ma⃗_A

⃗

r_A× m⃗a_A=⌊(Rsinθi^+R(1−cosθ) ^j)× m((− ¨θ R− ˙θ²Rsinθ+ ¨θ Rcosθ) ^i+ ˙θ²Rcosθ+ ¨θ Rsinθ) ^j)⌋

⃗

r_A× m⃗a_A=m R²(sinθcosθ˙²+sin²θθ−(¨ 1−cosθ)(− ¨θ− ˙θ²sinθ+ ¨θcosθ))

⃗

r_A× m⃗a_A=m R²(sinθcosθθ˙²+sin²θ訲+ ¨θ+ ˙θ²sinθ− ¨θcosθ− ¨θcosθ− ˙θ²sinθcos θ+ ¨θcos²θ)

⃗

r_A× m⃗a_A=m R²( ¨θ+ ¨θ+ ˙θ²sinθ−2θ¨cosθ)

⃗

r_A× m⃗a_A=m R²(2θ¨(1−cosθ)+ ˙θ²sinθ)

Menghitung nilai torsi pada sistem

∑

^τ=Iθ¨

∑

^{τ=τsilinder+τpartikel}

−mgsinθ R=3

2M R²θ¨+m R²(2θ¨(1−cosθ)+ ˙θ²sinθ) 0=3

2M R²θ+¨ m R²

(

^2θ¨(1−cosθ)+ ˙θ²sinθ

)

+mgsinθ R 0=3

2M R²θ+m R¨ ²2θ¨(1−cosθ)+m R²θ˙²sinθ+mgsinθ R 0=3

2Mθ¨+2mθ¨(1−cosθ)+mθ˙²sinθ+mg R sinθ 0= ¨θ(3

2M+2m(1−cosθ))+mθ˙²sinθ+mg R sinθ

2. A tangentially attached slope leads to a circular match-box track with radius R = 32 cm set in a vertical plane. The toy car starts from rest at the top of the slope, runs down the slope and detaches from the track at height h=3

2R measured from the bottom.

a) Find the height the car starts from.

b) Find the maximum height reached by it after it reaches the bottom of the track.

(Assume that the toy car is point-like, neglect drag and friction.) Solution.

s=R θ

˙ s=Rθ˙ s=R¨ θ¨ Lagrangian

T = 1 2m v² T = 1

2m(Rθ˙)² T = 1

2m R²θ˙²

V = mg(R+ Rcosθ) V = mgR+ mgRcosθ L = T-V

L = 1

2m R²θ˙²−(mgR+¿ mgRcosθ) L = 1

2m R²θ˙²−mgR−¿ mgRcosθ Persamaan euler-lagrange,

d dt

∂ L

∂θ˙ −∂ L

∂ θ=0

∂ L

∂θ˙ =m R²θ˙

∂ L

∂ θ=−mgR(−sinθ)

h₀=? 3

2R

d

dt

(

^{m R2θ˙}

)

−(−mgR(−sinθ))=0 m R²θ−mgRsin θ¨ =0

m R²θ=mgRsin θ¨ θ=¨ g

Rsinθ s=R¨ θ¨ s=R¨ g

Rsinθ s=g¨ sinθ

Karena s sentripetal, maka¨ s=g¨ cosθ

Newtonian

∑ F=ms¨

N+m gcosθ=ms¨ s=g¨ cosθ

Berdasarkan persamaan lagrangian dan newtonian yang sudah didapatkan maka,

cosθ=

R 2 R=0,5

R=32cm h=3

2R

a).

s¨=a_s

θ a

a_s

a_t gsinθ

gcosθ

R

2 ^mg

R

h θ θ

h₀=?

a_s=v² R gcosθ=v²

R Rgcosθ=v² mg(h₀−h)=1

2m v² mg(h₀−h)=1

2mRgcosθ h₀=h+1

2Rcosθ=3 2R+1

2Rcosθ=3 232+1

232(0,5)=56cm

b).

h_max=h+y_max=h+v²sin²θ 2g =3

2R+Rgcosθ .sin²θ

2g =3

2R+

(

^3212(122

^√

³⁾²

)

^=48+6=54cm

Sumber Referensi

Josephine Monica (2019). MEKANIKA#2 - Silinder dan Partikel (Newton-Euler).

[Video].Youtube:https://www.youtube.com/watch?v=2YjveX7YEbU.

Josephine Monica (2019). MEKANIKA#1 - Silinder dan Partikel (Lagrangian-Euler). [Video].

Youtube: https://youtu.be/2YjveX7YEbU?si=6a8JonXaSZzlLoSr.

Lazlo, H. (2010). 300 Creative Physics Problems with Solutions . London-New York-Delhi:

Anthem Press.