Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol.11 No. 1 Ed. Jan-Juni. 2023
Ilham Syata
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ilham.syata@uin-alauddin.ac.id
Putri Nurrabiah Suriadi
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, [email protected]
St. Nur Humairah Halim
Universitas Muhammadiyah Makassar,[email protected]
Abstrak, Tujuan penelitian ini untuk mencari nilai konstentrasi unsur paracetamol dan kafein. Langkah-langkah penelitian yaitu membentuk model matematika yang berbentuk system persamaan taklinear, menentukan nilai awal, mencari solusi system persamaan taklinear dengan metode broyden, mengulangi iterasi sampai mendapatkan galat yang kecil. Hasil penelitian diperoleh nilai konsentasi yaitu unsur paracetamol sebesar 12713,66 ppm dan kafein sebesar 6516,51 ppm
Kata Kunci: Konsentrasi paracetamol dan kafein, metode Broyden
1. PENDAHULUAN
Metode numerik adalah Teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara diskretisasi [1]. Pemakaian metode numerik sangat banyak digunakan karena mampu menyelesaikan model matematika yang rumit dan sulit diselesaikan secara analitik. Metode numerik telah dikembangkan oleh ilmuan sehingga diperoleh banyak metode yang dapat menyelesaikan kasus yang sama, serta dibutuhkan teknologi khususnya dibidang komputer untuk memudahkan dalam perhitungan. Metode numerik dapat digunakan dalam banyak bidang seperti matematika, teknik (sipil, mesin, elektro, kimia dan sebagainya), kedokteran, ekonomi, sosial dan bidang ilmu lainnya [2,3]. Sistem persamaan linear dan non linear dapat membentuk model yang sangat kompleks dan sulit diselesaikan secara analitik.
Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear dan non linear tersebut, baik dalam bentuk aljabar, polynomial ataupun transcendental, yaitu dengan mencari akar-akar persamaan nonlinear secara numerik.
Setiap penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan berurutan (iterasi), sehingga setiap hasil yang didapat lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, maka akan didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil yang sebenarnya dengan toleransi kesalahan (ε) yang ditentukan. Persamaan non linear juga dapat ditemukan pada bidang kimia yaitu untuk melakukan perhitungan terhadap nilai konsentrasi unsur kimia ataupun yang lainnya.
Pada bidang elektro, bentuk-bentuk persamaan nonlinear tersebut salah satunya diimplementasikan dalam suatu rangkaian listrik.
Serta bidang lainnya yang menggunakan bentuk- bentuk dari persamaan nonlinear. Ada dua metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan, yaitu metode analitik dan metode numerik [[5,7,9].
Metode analitik adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persoalan matematika secara tepat. Sedangkan metode numerik adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan suatu persoalan matematika dengan pen dekatan numerik [5,7,9].
Metode analitis dapat memberikan hasil yang eksak atau pasti dari suatu persamaan. Namun, ternyata banyak terdapat model matematis yang tidak bisa diselesaikan dengan metode analitis.
Misalnya persamaan nonlinear dengan pangkat lebih dari 3 akan sangat rumit bila harus diselesaikan dengan metode analitis. Dengan kelemahan yang dimiliki oleh metode analitik dimana hanya model matematis tertentu yang dapat diselesaikan, maka dikembangkanlah penyelesaian dengan metode numerik untuk dapat mendekati penyelesaian eksak. Ada beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu system persamaan nonlinear, Salah satunya menggunakan metode
Broyden [6]. Metode Broyden merupakan pengembangan dari metode Secant untuk variabel yang lebih dari satu.
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks
Definisi:
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung [3]. Secara umum, suatu matriks dituliskan sebagai:
𝐴 = [
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛]
Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, Jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran (berodo) m x n. penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, Sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom) adalah 𝐴𝑚𝑥𝑛, 𝐵𝑚𝑥𝑛 dan seterusnya.[4]
Berikut ini beberapa operasi Matriks a. Penjumlahan (addition)
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
𝑨 = [
𝑎𝟏𝟏 𝑎12 𝑎13 𝑎𝟐𝟏 𝑎𝟐𝟐 𝑎𝟐𝟑 𝑎𝟑𝟏 𝑎𝟑𝟐 𝑎𝟑𝟑] ; 𝑩 = [
𝑏𝟏𝟏 𝑏12 𝑏13 𝑏𝟐𝟏 𝑏𝟐𝟐 𝑏𝟐𝟑 𝑏𝟑𝟏 𝑏𝟑𝟐 𝑏𝟑𝟑
]
𝑨 + 𝑩 = [
𝑎𝟏𝟏+ 𝑏𝟏𝟏 𝑎12+ 𝑏𝟏𝟐 𝑎13+ 𝑏𝟏𝟑 𝑎𝟐𝟏+ 𝑏𝟐𝟏 𝑎𝟐𝟐+ 𝑏𝟐𝟐 𝑎𝟐𝟑+ 𝑏𝟐𝟑 𝑎𝟑𝟏+ 𝑏𝟑𝟏 𝑎𝟑𝟐+ 𝑏𝟑𝟐 𝑎𝟑𝟑+ 𝑏𝟑𝟑
] b. Pengurangan (subtraction)
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A 𝑨 = [
𝑎𝟏𝟏 𝑎12 𝑎13 𝑎𝟐𝟏 𝑎𝟐𝟐 𝑎𝟐𝟑
𝑎𝟑𝟏 𝑎𝟑𝟐 𝑎𝟑𝟑] ; 𝑩 = [
𝑏𝟏𝟏 𝑏12 𝑏13 𝑏𝟐𝟏 𝑏𝟐𝟐 𝑏𝟐𝟑 𝑏𝟑𝟏 𝑏𝟑𝟐 𝑏𝟑𝟑
]
𝑨 − 𝑩 = [
𝑎𝟏𝟏− 𝑏𝟏𝟏 𝑎12− 𝑏𝟏𝟐 𝑎13− 𝑏𝟏𝟑 𝑎𝟐𝟏− 𝑏𝟐𝟏 𝑎𝟐𝟐− 𝑏𝟐𝟐 𝑎𝟐𝟑− 𝑏𝟐𝟑 𝑎𝟑𝟏− 𝑏𝟑𝟏 𝑎𝟑𝟐− 𝑏𝟑𝟐 𝑎𝟑𝟑− 𝑏𝟑𝟑
]
c. Perkalian Skalar Pada Matriks
Jika A adalah Suatu matriks dan c suatu scalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalihkan masing- masing entri dari A oleh c
𝑨 = [
𝑎𝟏𝟏 𝑎12 𝑎13 𝑎𝟐𝟏 𝑎𝟐𝟐 𝑎𝟐𝟑
𝑎𝟑𝟏 𝑎𝟑𝟐 𝑎𝟑𝟑] → 𝑐𝑨 = 𝑨
= [
𝑐𝑎𝟏𝟏 𝑐𝑎12 𝒄𝑎13 𝑐𝑎𝟐𝟏 𝑐𝑎𝟐𝟐 𝑐𝑎𝟐𝟑 𝑐𝑎𝟑𝟏 𝑐𝑎𝟑𝟐 𝑐𝑎𝟑𝟑
] d. Perkalian Dua Matriks
Matriks 𝐴𝑚𝑥𝑛 dapat dikalikan dengan matriks 𝐵𝑝𝑥𝑞 jika dan hanja jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B (n=p).
𝐴𝑚𝑥𝑛𝐵𝑛𝑥𝑝 = 𝐴𝑚𝑥𝑞
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 𝑑𝑎𝑛 = [𝑏𝑖𝑗]𝑛𝑥𝑞 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐶 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐶𝑖𝑗
= ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
e. Transpose Dari Suatu Matriks
Pada suatu matriks 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) berukuran (mxn), maka transpose dari A adalah matriks 𝐴𝑇 berukuran (nxm) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-I dari A, i = 1,2,…,m sebagai koliom ke- I dari 𝐴𝑇.dengan kata lain: 𝐴𝑇= (𝑎𝑗𝑖) Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris [4]
2.1 Vektor Definisi
Vector adalah suatu potongan (ruang, segmen) garis yang mempunyai arah. [4]
• Penulisan vector
1. Vektor posisi: Ditulis dalam notasi vector terhadap titik acuan.
Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol.11 No. 1 Ed. Jan-Juni. 2023
adalah 0𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
2. Vektor Basis: ditulis dalam vector satuan
Contoh:𝒂⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 3. Vektor Kolom
𝒂
⃗⃗ = ( 𝒙 𝒚 𝒛
) 4. Vektor Baris
𝒂
⃗⃗ = (𝒙, 𝒚 𝒛)
• Vektor pada Bidang dan Ruang
1. Vektor basis dapat ditentukan dengan mengitung vector satuan mulai dari ujung ke pangkal vector
2. Vektor Basis AB dengan koordinat titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑑𝑎𝑛
𝐵(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dapat dihitung:
Dalam bidang
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑏̅ − 𝑎̅ = (𝑥2− 𝑥1 𝑦2− 𝑦1) Dalam Ruang
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑏̅ − 𝑎̅ = (
𝑥2− 𝑥1 𝑦2− 𝑦1 𝑧2− 𝑧1) 3. Panjang vector
|𝐴𝐵̅̅̅̅| = √𝑥2+ 𝑦2
|𝐴𝐵̅̅̅̅| = √𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2
• Operasi Vektor
4. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Dengan Vektor basis dengan 𝑎(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑑𝑎𝑛 𝑏(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑏̅ + 𝑎̅ = (
𝑥2+ 𝑥1 𝑦2+ 𝑦1 𝑧2+ 𝑧1
) 𝑏̅ − 𝑎̅
= (
𝑥2− 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2− 𝑧1) 5. Perkalian Skalar dan Vektor
𝑘 ( 𝑥 𝑦 𝑧
) = ( 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧
) 𝑘. 𝑎̅ = 𝑘. |𝑎̅|
6. Perkalian Skalar/titik 𝑎̅ . 𝑏̅ = |𝑎||𝑏| cos 𝜃 7. Perkalian Skalar
Dengan Vektor basis dengan 𝑎(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑑𝑎𝑛 𝑏(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
𝑎̅ . 𝑏̅ = (𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2+𝑧1𝑧2)
Himpunan tak kosong V merupakan ruang vector apabila ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 Sedemikian hingga memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut
1. 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉 2. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
3. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
4. Terdapat 0 ∈ 𝑉 sedemikian hingga 0 + 𝑉 = 𝑉 + 0 = 0
5. Terdapat – 𝑥 ∈ 𝑉 Sedemikian hingga 0 + 𝑉 = 𝑉 + 0 = 0
6. 𝑎𝑥 ∈ 𝑉
7. 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 𝑑𝑎𝑛 (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
8. (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥) 9. 𝑙𝑥 = 𝑥
[4]
2.2 Sistem Persamaan Linear
Bentuk umum sistem m buah persamaan linear dengan n buah variabel dapat ditulis sebagai.
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Dimana 𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛 adalah variabel yang
belum diketahui,
𝑎11+ 𝑎12+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 adalah koefisien sistem dan 𝑏1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏𝑚 adalah nilai konstan. Sistem Persamaan Linear dapat diubah dalam bentuk matriks dengan persamaan:
𝐴𝑥 = 𝑏 [4,8,9]
Dimana A adalah matriks m*n, x adalah vector kolom dengan n buah entri dan b adalah vektor kolom dengan m buah entri
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎21 𝑎22 …
⋮ ⋮ ⋱
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚1 … 𝑎⋮𝑚𝑛
]
𝑥 = [ 𝑥1 𝑥2 𝑥⋮𝑛
] , 𝑏 = [ 𝑏1 𝑏2
⋮ 𝑏𝑛
] [5]
2.3 Sistem Persamaan Tak Linear
Sistem persamaan non linear adalah himpunan m persamaan non-linear, dengan m > 1. Sistem persamaan non linear dengan m persamaan dan n variabel secara umum berbentuk:
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0 𝑓2(𝑥1,𝑥2,… , 𝑥𝑛) = 0
⋮ ⋮ 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0
Setiap fungsi 𝑓𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 merupakan pemetaan vector 𝒙 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑡 dari 𝑅𝑛 𝑘𝑒 𝑅 Sistem ini dapat ditulis dalam bentuk lain dengan mendefinisikan fungsi F yakni pemetaan dari 𝑅𝑛 𝑘𝑒 𝑅 yang dapat ditulis sebagai:
𝑭(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
= (𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), … , 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛))𝑡
= 0
Dengan menggunakan notasi vector, Sistem di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑭(𝒙) = 𝟎
Fungsi 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑚 disebut koordinat fungsi F.
Contoh Sistem persamaan non linear 3𝑥1− 𝑐𝑜𝑠(𝑥2𝑥3) −1
2= 0
𝑥12 − 81(𝑥2+ 0. 𝑖)2+ sin 𝑥3+ 1.06
= 0 𝑒1𝑥1𝑥2 + 20𝑥3 +10𝜋−3
3 = 0 [6]
Persamaan non linear adalah persamaan yang pangkat variabelnya tidak sama dengan satu atau memuat salah satu fungsi trigonometri, hiperbola, transcendental. Adapun bentuk umum fungsi polynomial sebagai berikut:
𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 Dimana:
𝑎0… . 𝑎𝑛 → merupakan bilangan riil 𝑛 → merupakan pangkat polynomial [4]
2.4 Metode Broyden
Metode Broyden merupakan pendekatan metode Newton-Raphson dengan perkiraan matriks Jacobian yang digunakan untuk iterasi yang pertama. Metode Broyden merupakan metode yang paling sederhana dari metode Quasi-Newton. Metode Broyden ini merupakan pengembangan dari metode Secant untuk variabel yang lebih dari satu. Adapun algoritma metode broyden yaitu
a Mencari Hitung nilai F(X1) dengan subsitusi nilai iterasi 1 (X1)
b Hitung nilai a dan b dengan rumus an = F(Xn+1)- F(Xn) , n = 0, 1, 2, 3,…
bn = Xn+1- Xn , n = 0, 1, 2, 3,…
c. Mencari invers matriks 𝐽(𝑋𝑛+1)−1 dengan teorema Sherman-Morisson
J(Xn+1)−1
= J(Xn)−1×(bn− J(Xn)−1an)bntJ(Xn)−1 bntJ(Xn)−1an
n=0, 1, 2, …
d. Hitung nilai iterasi n+1 dengan rumus Xn+1 = Xn – J(Xn)-1.F(Xn) , n=1, 2, 3,…
e. Ulangi langkah 3 sampai F(X) ≈ 0 [6]
3. METODOLOGI
Penelitian ini merupakan penelitian terapan.
Adapun langkah-langkah penelitian sebagai berikut:
1. Membentuk model matematika system persamaan tak linear
2. Menentukan nilai tebakan awal pada masing-masing variable
3. Menentukan nilai iterasi 1 dengan menggunakan metode newton rapshon 4. Hitung iterasi n+1 dengan metode broyden 5. Ulangi iterasi sampai F(X) ≈ 0
4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model
Dari hasil Eksperimen yang telah dilakukan yaitu mengukur konsentrasi larutan yang terdiri dari parasetamol dan kafein, Diasumsikan bahwa untuk parasetamol dan kafein didapatkan hubungan absorban A terhadap konsentrasi c mengikuti hubungan polynomial sebagai berikut
𝐴 = 𝑎0+ 𝑎1𝑐 + 𝑎2𝑐2+ 𝑎3𝑐3 Konstanta 𝑎0,𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 diperoleh dari data kalibrasi yang disajikan pada table, dengan Hubungan antara absorban dan konsentrasi dari parasetamol dan kafein untuk berbagai panjang gelombang (lambda)
Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol.11 No. 1 Ed. Jan-Juni. 2023 berbagai panjang gelombang [2]
Kom ponen
Lambda (nm)
𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3
Paras etamo l
272,2 1,83E- 03
1,44E- 04
- 4,99E-
08 0
249,1 5,38-03 6,53E- 05
0 0
Kafei n
272,2 -3,73E- 04
8,95E- 05
- 9,62E-
08 0
249,1 1,09E- 03
4,36E- 05
- 2,48E-
8 0
Tabel 4.2. Hasil pengukuran absorban dari satu sampel [2]
No Lamda(nm) Absorban
1. 272,2 0,073
2. 249,1 0,054
Misalkan 𝑥1 adalah variable untuk Konsentrasi Parasetamol dan 𝑥2 adalah variable untuk Konsentrasi Kafein, Kemudian dari Data diatas pada panjang gelombang 272,2 nm dan 249,1 nm dapat diperoleh sistem persamaan non linear dengan dua variable sebagai berikut:
1,83 × 10−3+ 1,44 × 10−4𝑥1
− 4,99 × 10−8𝑥12
− 3,73 × 10−4+ 8,95 × 10−5𝑥2
− 9,62 × 10−8𝑥22
+ 3,49 × 10−11𝑥23 = 0,073 5,38 × 10−3+ 6,53 × 10−5𝑥1+ 1,09 × 10−3
+ 4,36 × 10−5𝑥2
− 2,48 × 10−8𝑥22 = 0,054
Langkah 1: Sistem Persamaan non linear diatas dapat ditulis sebagai berikut:
𝐹(𝑥1, 𝑥2) = −0,071543 + 1,44 × 10−4𝑥1 + 8,95 × 10−5𝑥2
− 4,99 × 10−8𝑥12
− 9,62 × 10−8𝑥22 + 3,49 × 10−11𝑥23= 0 𝐺(𝑥1, 𝑥2) = −0,04753 + 6,53 × 10−5𝑥1
+ 4,36 × 10−5𝑥2
− 2,48 × 10−8𝑥22= 0
Sistem Persamaan tersebut kemudian digunakan untuk menentukan konsentrasi paracetamol dan kafein pada suatu campuran yang mengandung keduannya Dengan menggunakan Konsentrasi awal 10000 ppm parasetamol dan 6000 ppm kafein maka sistem tersebut dapat diselesaikan secara numeric metode Newton Rapshon
Langkah 2: Menentukan nilai tebakan awal 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2
Yaitu: 𝑥10 = 10000 𝑑𝑎𝑛 𝑥20 = 6000 Langkah 3: Mencari nilai fungsi dari kedua persamaan dengan nilai tebakan awal 𝑥10= 10000 𝑑𝑎𝑛 𝑥20 = 6000 yaitu
𝐹(10000,6000)
= −0,071543
+ 1,44 × 10−4(10000) + 8,95 × 10−5(6000)
− 4,99 × 10−8(10000)2
− 9,62 × 10−8(6000)2 + 3,49 × 10−11(6000)3
= 9,9066 × 10−1 𝐺(10000,6000)
= −0,047,53
+ 6,53 × 10−5(10000) + 4,36 × 10−5(6000)
− 2,48 × 10−8(6000)2
= −2,573 × 10−2
Langkah 4: Mencari Turunan-turunan Fungsi tersebut terhadap masing-masing variabelnya yaitu
𝜕𝐹
𝜕𝑥1
= 1,44 × 10−4− 9,98 × 10−8𝑥1
𝜕𝐺
𝜕𝑥1= 6,53 × 10−5
𝜕𝐹
𝜕𝑥2= 8,95 × 10−5− 19,24 × 10−8𝑥2
+ 10,47 × 10−11𝑥22
𝜕𝐺
𝜕𝑥2
= 4,36 × 10−5− 4,96 × 10−8𝑥2
Langkah 5: Menghitung Turunan Dari Fungsi Yang Telah Didapat Dari Langkah Sebelumnya Dengan Menggunakan Nilai Tebakan Awal
𝜕𝐹
𝜕𝑥1= 1,44 × 10−4− 9,98 × 10−8(10000)
= −8.5 × 10−4
𝜕𝐺
𝜕𝑥1= 6,53 × 10−5
𝜕𝐹
𝜕𝑥2= 8,95 × 10−5− 19,24 × 10−8(6000) +10,47 × 10−11(6000)2
= 2,702 × 10−3
𝜕𝐺
𝜕𝑥2= 4,36 × 10−5− 4,96 × 10−8(6000)
= −2,54 × 10−4
Langkah 6: Menentukan deviasi dari setiap variabelnya menggunakan Aturan Cramer.
Nilai-Nilai Deviasi tersebut dimisalkan 𝑟11 𝑑𝑎𝑛 𝑟21 untuk mencari nilai 𝑟11 𝑑𝑎𝑛 𝑟21 Terlebih dahulu turunan dan Fungsi beserta nilai fungsi sistem persamaan non linear dibentuk menjadi:
[−8.5 × 10−4 2,702 × 10−3 6,53 × 10−5 −2,54 × 10−4] [𝑟11
𝑟21]
= − [9,90666 × 10−1
−2,573 × 10−2]
Kemudian Perhitungan dilanjutkan dengan mencari matriks 𝐴, 𝐴1 𝑑𝑎𝑛 𝐴2 dengan Aturan Cramer. Adapun hasilnya sebagai berikut:
𝐴 = [−8.5 × 10−4 2,702 × 10−3 6,53 × 10−5 −2,54 × 10−4] , 𝐴1
= [−9,90666 × 10−1 2,702 × 10−3 2,573 × 10−2 −2,54 × 10−4],
𝐴2= [−8.5 × 10−4 −9,90666 × 10−1 6,53 × 10−5 2,573 × 10−2 ] Setelah didapatkan matriks 𝐴, 𝐴1 𝑑𝑎𝑛 𝐴2 dengan Aturan Cramer di atas Kemudian Dilanjutkan dengan mencari determinan matriks-matriks diatas untuk mendapatkan nilai 𝑟11 𝑑𝑎𝑛 𝑟21yaitu:
𝑟11 =𝑑𝑒𝑡𝐴1 det 𝐴
=
[−9,90666 × 10−1 2,702 × 10−3
2,573 × 10−2 −2,54 × 10−4] [−8.5 × 10−4 2,702 × 10−3
6,53 × 10−5 −2,54 × 10−4]
=((−9,90666 × 10−1× −2,54 × 10−4) − (2,573 × 10−2× 2,702 × 10−3)) ((−8.5 × 10−4× −2,54 × 10−4) − (6,53 × 10−5× 2,702 × 10−3))
= 4514,48424
𝑟21 =𝑑𝑒𝑡𝐴2 det 𝐴
=
[−8.5 × 10−4 −9,90666 × 10−1 6,53 × 10−5 2,573 × 10−2 ]
[−8.5 × 10−4 2,702 × 10−3 6,53 × 10−5 −2,54 × 10−4]
=((−8.5 × 10−4× −2,573 × 10−2) − (6,53 × 10−5× −9,90666 × 10−1)) ((−8.5 × 10−4× −2,54 × 10−4) − (6,53 × 10−5× 2,702 × 10−3))
= 1059.314255
Langkah 7: Setelah mendapatkan nilai 𝑟11 𝑑𝑎𝑛 𝑟21 di atas, akan dicari nilai pendekatan yang lebih tepat dari nilai awal, dengan menggunakan persamaan dibawah ini:
𝑥11 = 𝑥10+ 𝑟11
= 10000 + 4514,48424
= 14514,48424 𝑥21 = 𝑥20+ 𝑟21
= 6000 + 1059,314255 = 7059.314255
Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol.11 No. 1 Ed. Jan-Juni. 2023
Nilai 𝑥11 = 14514.48424 dan 𝑥21 = 7059.314255 akan digunakan sebagai tebakan awal untuk langkah berikutnya
ITERASI 2:
Langkah 2: Menentukan nilai tebakan 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2
Yaitu: 𝑥11 = 14514.48424 𝑑𝑎𝑛 𝑥21 = 7059.314255
Langkah 3: Mencari nilai fungsi dari kedua persamaan dengan nilai tebakan 𝑥11 = 14514.48424 𝑑𝑎𝑛 𝑥21 = 7059.314255 yaitu
𝐹(14514.48424,7059.314255)
= −0,071543
+ 1,44 × 10−4(14514.48424) +8,95 × 10−5(7059.314255)
− 4,99 × 10−8(14514.48424)2
− 9,62 × 10−8(7059.314255)2 + 3,49 × 10−11(7059.314255)3
= −0,378522462 𝐺(14514.48424,7059.314255)
= −0,04753
+ 6,53 × 10−5(14514.48424) +4,36 × 10−5(7059.3142550)
− 2,48 × 10−8(7059.3142550)2
= −2,7829238 × 10−2
Langkah 4: Langkah selanjutnya yaitu dicari nilai dari 𝑟0 𝑑𝑎𝑛 𝑠0 yang ada pada persamaan yang mana diperoleh cari pengurangan terhadap sedangkan diperoleh dari selisih terhadap yang akan digunakan ketika mencari invers dari matriks sebagai berikut:
𝑟0 =[−3,78522462 × 10−1
−2,7829238 × 10−2]
−[9,9066 × 10−1
−2,573 × 10−2]
= [ −1,3692
−2,09923 × 10−3]
7059.314255 6000
= [ 4514,4824 1059,314255] Langkah 5: Langkah selanjutnya yaitu mencari invers dari matriks 𝐴 1−1dengan menerapkan teorerna Sherman-Morrison. Adapun hasil invers dari matriks menggunakan teorema Sherman- Morrison adalah sebagai berikut:
𝑨𝟏−𝟏
= [𝟗, 𝟕𝟗𝟐𝟑 × 𝟏𝟎−𝟕 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟑𝟔
−𝟏, 𝟔𝟓𝟒𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 𝟑, 𝟑𝟗𝟔𝟒 × 𝟏𝟎−𝟒]
+
([ 𝟒𝟓𝟏𝟒, 𝟒𝟖𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟓𝟗, 𝟑𝟏𝟒𝟐𝟓𝟓]−[−𝟎, 𝟔𝟔𝟕𝟑
−𝟕, 𝟎𝟗𝟏𝟑])[𝟏, 𝟑𝟓𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟓 −𝟐, 𝟔𝟕𝟓] [𝟒𝟓𝟏𝟒, 𝟒𝟖𝟐𝟒 𝟏𝟎𝟓𝟗, 𝟑𝟏𝟒𝟐𝟓𝟓 ][ −𝟎, 𝟔𝟔𝟕𝟑
−𝟕, 𝟎𝟗𝟏𝟑 × 𝟏𝟎−𝟕]
= [𝟗, 𝟕𝟗𝟐𝟑 × 𝟏𝟎−𝟕 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟑𝟔
−𝟏, 𝟔𝟓𝟒𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 𝟑, 𝟑𝟗𝟔𝟒 × 𝟏𝟎−𝟒]
+
[−𝟒, 𝟖𝟏𝟕𝟕−𝟒, 𝟗𝟑𝟗𝟗] [𝟏, 𝟑𝟓𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟓 −𝟐, 𝟔𝟕𝟓]
−𝟑, 𝟎𝟏𝟐𝟓
= [𝟗, 𝟕𝟗𝟐𝟑 × 𝟏𝟎−𝟕 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟑𝟔
−𝟏, 𝟔𝟓𝟒𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 𝟑, 𝟑𝟗𝟔𝟒 × 𝟏𝟎−𝟒]
+ [−𝟐, 𝟏𝟔𝟔𝟑 × 𝟏𝟎−𝟓 −𝟒, 𝟐𝟕𝟕𝟖
−𝟐, 𝟐𝟐𝟏𝟐 × 𝟏𝟎−𝟓 −𝟒, 𝟑𝟖𝟔𝟒]
= [−2,0684 × 10−7 −3,79114
−2,3868 × 10−5 −4,3861]
Langkah 6 : Setelah didapatkan nilai 𝐴1−1 maka langkah selanjutnya yaitu hasil nilai invers tersebut disubstitusikan ke dalarn rumus pada persamaan, sehingga diperoleh nilai sebagai berikut
[𝑥12 𝑥22]
= [14514.48424 7059.314255]
− [−2,0684 × 10−7 −3,79114
−2,3868 × 10−5 −4,3861] [−3,78522462 × 10−1
−2,7829238 × 10−2]
[𝑥12
𝑥22] = [14514.48424
7059.314255 ] − [1800,76190 542, 582734]
= [12713,72234 6516,73152]
Nilai 𝑥12 = 12713,72234 dan 𝑥22 = 6516,73152 akan digunakan sebagai tebakan awal untuk langkah berikutnya
ITERASI 3:
Langkah 2: Menentukan nilai tebakan 𝑥12 𝑑𝑎𝑛 𝑥22
Yaitu: 𝑥12 =12713,72234 𝑑𝑎𝑛 𝑥22 = 6516,73152
Langkah 3: Mencari nilai fungsi dari kedua persamaan dengan nilai tebakan
𝑥12 =12713,72234 𝑑𝑎𝑛 𝑥22 = 6516,73152 yaitu
𝐹(12713,72234 ; 6516,73152 )
= −0,071543 × 10−3
+ 1,44 × 10−4(12713,72234 ) +8,95 × 10−5(6516,73152 )
− 4,99
× 10−8(12713,72234 )2
− 9,62
× 10−8(66516,73152 )2 + 3,49
× 10−11(66516,73152 )3
= 0,108 𝐺(12713,72234 ; 6516,73152 )
= −0,04753
+ 6,53 × 10−5(12713,72234 ) +4,36 × 10−5(6516,73152 )
− 2,48
× 10−8(6516,73152 )2
= −0,015008
Langkah 4: Langkah selanjutnya yaitu dicari nilai dari 𝑟1 𝑑𝑎𝑛 𝑠1 yang ada pada persamaan yang mana diperoleh cari pengurangan terhadap sedangkan diperoleh dari selisih terhadap yang akan digunakan ketika mencari invers dari matriks sebagai berikut:
𝑟1 = [−6,9915 × 10−3
−0,013604 ]−[−3,7852 × 10−1
−2,7829 × 10−2]
= [0,3715 0,0414] 𝑠1 = [12713,72234
6516,73152 ] − [14514.48424 7059.314255 ]
= [−1.800 492,58]
Langkah 5: Langkah selanjutnya yaitu mencari invers dari matriks 𝐴2−1dengan menerapkan teorerna Sherman-Morrison. Adapun hasil invers dari matriks menggunakan teorema Sherman- Morrison adalah sebagai berikut:
𝐴2−1
= [−2,0684 × 10−7 −3,79114
−2,3868 × 10−5 −4,3861]
+
([−1.800
−492,58]−[−0,1569
−0,1816]) [0,01213 8984,6] [−1.800 −492,58][−0,1569−0,1816]
= [−2,0684 × 10−7 −3,79114
−2,3868 × 10−5 −4,3861]
+
[−1799,8
−492,4 ] [0,01213 8984,6]
371,9
= [−2,0684 × 10−7 −3,79114
−2,3868 × 10−5 −4,3861]
+ [−0,0587 −0,0435
−0,0161 −11,896]
= [−0,0587 −3,83464
−0,0161 −16,2821]
Langkah 6 : Setelah didapatkan nilai 𝐴1−1 maka langkah selanjutnya yaitu hasil nilai invers tersebut disubstitusikan ke dalarn rumus pada persamaan, sehingga diperoleh nilai sebagai berikut
Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya Vol.11 No. 1 Ed. Jan-Juni. 2023
23
= [12713,72234 6516,73152 ]
− [−0,0587 −3,83464
−0,0161 −16,2821] [−6,9915 × 10−3
−0,013604 ] [𝑥13
𝑥23] = [12713,72234
6516,73152] − [0,0525804 0, 2161256]
= [12713,66976 6516,50991]
Karena nilai iterasi ke dua dan iterasi ke tiga hampir sama maka iterasi dihentikan, Jadi nilai Nilai 𝑥13 = 12713,66976 dan 𝑥23 = 6516,50991 Selanjutnya penulis akan mencari nilai eror menggunakan Microsoft exel, didapatkan seperti table dibawah ini:
Tabel 4.3. Perhitungan galat
No 𝒙𝟏 𝒙𝟐 Eror
1 10.000 6.000
2 14514,48 7059,31 0,378 3 12713,72 6516,73 0,15008 4 12713,67 6516,51 0,15 Iterasi dapat dilanjutkan untuk memperoleh galat yang lebih kecil. Semakin banyak iterasi yang dilakukan maka akan mendapatkan solusi yang menghampiri solusi analitik.
4.2 Pembahasan
Berdasarkan hasil perhitungan di atas, untuk menyelesaikan contoh kasus sistem persamaan non linear dengan metode Broyden. Adapun dalam perhitungannya, membutuhkan proses yang panjang. Untuk metode Broyden, iterasi pertama menggunakan metode Newton Raphson yang diawali dengan menentunkan nilai tebakan awal dan mencari turunan fungsi terhadap masing- masing variabelnya. Untuk mendapatkan nilai selesaiannya, dibutuhkan juga nilai-nilai deviasi.
Sedangkan dalam pencarian nilai-nilai deviasi, melibatkan perhitungan aljabar matriks yaitu matriks jacobian dan aturan cramer. Untuk matriks jacobian yang berordo 2 x 2 seperti yang dikerjakan oleh penulis.
Lalu untuk iterasi kedua dan seterusnya maka akan menggunakan teorema Sherman- Morris. Langkah pertama yang di ambil subtitusi
dan G lalu mencari nilai 𝑟0 dan 𝑠0 dan setelah itu baru penulis menerapkan teorema Sherman- Morris untuk mencari invers dari matriks 𝐴1 seperti pada metode diatas, setelah didapat hasil invers tersebut penulis mensubtitusikan ke dalam pada persaman, seperti pada langkah ke 5.
Dari hasil iterasi dapat diperoleh konsentrasi parasetamol yang memenuhi seperti yang terlihat pada Tabel di atas, Pada sistem persamaan dengan panjang gelombang 272,2 nm dengan 249,1 nm apabila diselesaikan dengan metode Broyden akan diperoleh konsentrasi parasetamol sebesar 12713,66976 ppm dan
konsentrasi kafein sebesar
6516,50991 ppm Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode metode Broyden dapat diterapkan untuk mengkombinasikan besarnya konsentrasi parasetamol dan kafein dalam larutan untuk memperoleh nilai absorban yang diinginkan.
5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan, Dengan menggunakan langkah-langkah metode Newton Raphson dengan nilai awalan konsentrasi parasetamol sebesar 10000 dan konsentrasi kafein 6000 maka diperoleh konsentrasi parasetamol yang memenuhi Pada sistem persamaan dengan panjang gelombang 272,2 nm dengan 249,1 nm diperoleh konsentrasi parasetamol sebesar 12713,66 ppm dan konsentrasi kafein sebesar 6516,51 ppm. Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode Broyden dapat diterapkan untuk mengkombinasikan besarnya konsentrasi parasetamol dan kafein dalam larutan untuk memperoleh nilai absorban yang diinginkan.
6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Burden, R.L. dan Faires, J.D. 2011.
Numerical Analysis Ninth Edition. Boston:
BROOKS/CALE
[2] Romantir,Baiq Maya.”Penyelesaian Sistem Persamaan Non Linear Dengan Metode Newton-Raphson Termodifikasi”.jurnal STMIKAKOM-yogyakarta.2004
[3] Rukmono,Budi Utomo.”Metode Numeric Rosenberg Dengan Arah Pencarian Termodifikasi Penambahan Konstanta lk Untuk Beberapa Nilai 0 ≤ lk ≤ 1”.Jurnal
Prima Program Studi Pendidikan Matematika Dan Penelitian Matematika.Vol.6, No 1.2017.
[4] Anton, Howard dan Rorres, C. 2013.
Elementary Linear Algebra 11th Edition.
Canada : Wiley.
[5] Sastry. S.S, Formerly, Dkk. 2006.
Introductory Methods of Numerical Analysis Fourth Edition. New Delhi : Prentice-Hall of India.
[6] Burden, Richard L. 2016. Numerical Analysis. Boston: Cengage Learning [7] Yang, W.Y., Cao, W., Chung, T., dan
Morris, J. 2005. Applied Numerical Method Using MATLAB. New York: John Wiley &
Sons, Inc.
[8] Bloomfield, Victor A. 2009. Using R For Numerical Analysis in Science and Engineering. New York: CRC Press
[9] Basuki, A. 2005. Metode Numerik dan Algoritma Komputasi. Yogyakarta: Andi Publiher.
