Lingkaran Mohr dan Teori Keruntuhan

LINGKARAN MOHR DAN TEORI KERUNTUHAN

Oleh

Prof. Ir. I Wayan Redana, MASc, PhD, IPU, AseanEng Program Studi Teknik Sipil, Fakultas Teknik,

Universitas Udayana, Denpasar, Bali, Indonesia

1

Gambar 1

(a)

(b)

 F h  H  T cos   N sin   0

 F v  V  T sin   N cos   0

Pada kondisi setimbang (equilibrium), jumlah semua gaya yang bekerja pada elemen adalah nol, sehingga:

Bagi persamaan di atas dengan luas bidang tempat gaya tersebut bekerja sehingga didapat tekanan normal dan geser. Tekanan normalnya adalah _x (horizontal) dan _y (vertikal). Pada bidang , bekerja tekanan normal _ dan tekanan geser _. Persamaannya menjadi:

0 sin

cos

sin        



_{x  }

0 cos

sin

cos        

 y  

 





 









_

cos 2

2 cos 2

sin

² _y ^{2 x y x y}

x

 

 





        



_

sin 2

cos 2

sin

^{x y}

y x

 





Selesaikan persamaan di atas secara simultan dan untuk bidang  didapat:

Apabila persamaan di atas dikuadratkan dan dijumlahkan, maka akan didapat persamaan lingkaran dengan radius

2

y

x



 

dan dengan titik tengah pada koordinat 



 



 

0 2 ,

y

x





Apabila lingkaran ini diplot pada bidang  -  untuk elemen di

atas, seperti diperlihatkan pada Gambar 2, maka akan didapat

lingkaran tekanan Mohr (Mohr, 1887).

Gambar 2

Cara menggambarkan Lingkaran Mohr

1) Bila tekanan yang diketahui adalah tekanan utama mayor atau minor, maka tekanan geser  = 0. Mulai dari titik tersebut, misalnya titik A atau titik B. Koordinat titik A atau B harus mengikuti tekanan yang diketahui yaitu  dan  .

2) Gambarkan garis paralel dengan bidang tekanan pada langkah (a).

3) Bila garis paralel dari titik A atau titik B di atas

memotong lingkaran Mohr, maka titik tersebut adalah

kutub P.

Diketahui:

Suatu elemen mendapat tekanan normal (₁) dan tekanan keliling (₃) seperti pada pada Gambar 3a.

Dihitung:

Tekanan normal (_)dan tekanan geser (_) yang bekerja pada bidang miring _.

 

 



 

0 2 ,

y

x





2

y

x



 

Jawab:

Pada elemen pada Gambar 3.a, tekanan yang bekerja pada bidang miring  dapat dihitung besarnya dengan lingkaran Mohr. Langkah yang dilakukan adalah:

•Gambar lingkaran Mohr dengan skala seperti pada Gambar 3. Pusat lingkaran terletak pada koordinat

dan radius

.

kPa

 39

     18 . 6 kPa

•Tentukan titik kutub P dengan jalan sebagai berikut:

(i) Tekanan yang diketahui adalah tekanan utama mayor atau minor dengan tekanan geser  = 0. Mulai dari titik tersebut, misal titik A. Koordinat titik A diketahui yaitu ₁=50 kPa dan =0.

(ii) Gambarkan garis paralel dengan bidang tekanan ₁=50 kPa, hasilnya adalah bidang datar yang melewati titik A.

(iii) Garis paralel dari titik A di atas memotong lingkaran Mohr di titik P, maka titik tersebut adalah kutub P.

(iv) Bila dimulai dari titik ₃=10 kPa dan =0, maka garis sejajar bidang bekerjanya ₃=10 kPa adalah garis vertikal pada titik ini. Jadi, perpotongannya dengan lingkaran Mohr pada titik itu juga yaitu titik P. Selanjutnya diperoleh besarnya tekanan normal dan geser pada bidang miring, yaitu

dan

.

Gambar 3

Hubungan Tegangan dan Regangan dan Kriteria Keruntuhan

Gambar 4

Kriteria Keruntuhan Mohr-Coulomb

Mohr (1900) membuat suatu hipotesa keruntuhan: suatu bahan akan gagal (runtuh) apabila tekanan geser pada bidang keruntuhan pada saat keruntuhan akan mencapai suatu fungsi yang unik terhadap tekanan normal pada bidang tersebut atau dapat dinyatakan dengan persamaan:

  ff

ff f 

 

dengan  adalah tekanan geser,  adalah tekanan normal.

Huruf f pertama menyatakan bidang gagal tempat

tekanan bekerja, dan f ke dua menyatakan keruntuhan.

Kriteria keruntuhan, dalam koordinat -, diperlihatkan pada Gambar 5.

Gambar 5

Gambar 6

Coulomb (1976) juga mempelajari kekuatan bahan dan membuat suatu hipotesis bahwa bahan yang menerima teganagn mempunyai suatu

parameter independen dan dependen. Parameter dependen disebut sudut friksi internal, yang diberi notasi  dan komponen lain yaitu kohesi diberi notasi c. Persamaannya menjadi:

f     c

 tan

dengan 

_f

adalah kekuatan geser tanah,  adalah tekanan normal yang bekerja dan c dan  adalah parameter kekuatan (strength). Persamaan

Coulomb ini dapat digambar seperti pada

Gambar 7.

Apabila persamaan Coulomb ini digabung dengan hipotesis Mohr maka didapat persamaan berikut:

ff c

ff    

 tan

Gambar 7

Hal penting yang perlu dipikirkan pada lingkaran Mohr atau kriteria keruntuhan Mohr-Coulomb adalah bagaimana mendapatkan parameter kekuatan tanah dengan pengujian laboratorium. Untuk itu diperlukan penjabaran Lingkaran Mohr yang lebih rinci. Apabila kemiringan dari envelop keruntuhan Mohr bisa didapat (misalnya dengan pengujian geser) maka dapat diperoleh sudut dari bidang runtuh 

_f

sebagai fungsi sudut  dengan cara:

45  2



_f



^o



(persamaan ini perlu pembuktian)

Apabila Tinggi Benda jauh lebih besar diameter, maka akan berlaku sebagai KOLOM

Apabila Tinggi Benda dibuat 2 kali diameter, maka sudut runtuh akan 45^o dan sudut =0 Konsep ini dipakai pada uji UCT

Apabila tekanan dinaikkan maka lingkaran Mohr akan menyinggung kantong keruntuhan dengan sudut kemiringan _f dan tekanan geser _ff .

ff f

f

 

   

 2

3 1

max

_f adalah mobilised shear resistance pada bidang runtuh potensial dan _ff adalah kekuatan geser yang dimiliki oleh elemen tersebut. faktor keamanan sebagai berikut:

) (

) ) (

( applied

available FS

Safety of

Factor

f ff





Kekuatan geser dengan nilai =0 berlaku untuk kondisi khusus dan bahan disebut kohesif murni.

Gambar 8

Rumusan kriteria Mohr-Coulomb,  ff

dan  ff .

Gambar 9

D

 R

 sin

 









2 cot sin 2

3 1

3 1

f c

f

f f

 





Apabila c=0 (tanah non-kohesif), maka  



₁¹_f^{f 3}_3f^f



sin  



 



 

Dengan penyusunan ulang, didapat:

     

¹₃

 1 1   sin sin  

atau kebalikannya:

 

   

₁³

 1 1   sin sin  

     

¹₃

 tan

²

   45

^o

  2     

   

₁³

 tan

²

   45

^o

  2   