Analisis Tegangan Bidang

MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL

Permodelan Struktur

A

Bentuk Tegangan 3 Dimensi

^z

^xy

^xy

^y

^yz

^x

^yz

^xz

^xz

Y

X

Z

Bentuk Tegangan 2 Dimensi

^x

^y

^xy

^xy Y

X

Fungsi Transformasi Tegangan Bidang

 Mentransformasikan suatu tegangan pada suatu titik dengan mengubah orientasi (sudut) dari suatu elemen

^x

^y

^xy

^xy Y'

X' Y

 X

 C

A B

^x

^y

^xy

^xy Y'

X' Y

 X

 C

A B

^y

^xy

^x 

^x'

^xy'

C

A ^xyB

^{y sin} 

^{xy cos} 

^{x cos}  

^x'

^xy'

C

A _xy sin B



C

A B

dA cos  dA

dA sin 

Free Body Diagram

^y

^xy

^x 

^x'

^xy'

C

A ^xyB

^{y sin} 

^{xy cos} 

^{x cos}  

^x'

^xy'

C

A _xy sin B



C

A B

dA cos  dA

dA sin 

^FN



⁰

          

 xx''dAxcosxc2dAycsin2y2si no sxycosdAsi nsino sxycdAsi nxysi no sdAco s

2 2

sin 2

2 ) 2 1

( 2

) 2

co s 1

'



(

    



^{xxyCosxy}





 







^x'



^x₂^yx₂^{yco s2xsiny2}

^y

^xy

^x 

^x'

^xy'

C

A ^xyB

^{y sin} 

^{xy cos} 

^{x cos}  

^x'

^xy'

C

A _xy sin B



C

A B

dA cos  dA

dA sin 

^{Fs 0}

























xy^'dA x ^{cos dAsin}  y ^{sin dAcos}  xy ^{cos dAcos}  xy ^{sin dAsin}

)

sin

(c os cos

sin sin

cos

'

      

²



²





_^x_'^_^_{ (}^xy_{  )sin}^_cos^y_{  (cos}^2_{ }^x_sin²_)^y

xy y

x xy

) 2 (cos 2

2 sin

'     

 xy

y x

xy  





Bentuk Persamaan Transformasi Tegangan Bidang

^y

^xy

^x 

^x'

^xy'

C

A ^xyB

) 2 (cos 2

2 sin

'     

 xy

y x

xy  









 







Tegangan Normal^x'



^x₂^yx₂^{yco s2xsiny2}

Tegangan Geser

Catatan :

Perjanjian tanda untuk dua persamaan di atas 1.Tegangan normal Tarik (+) Tegangan normal Tekan (-)

2.Tegangan geser searah sumbu (+) Tegangan geser berlawanan arah (-)

3.Sudut acuan berlawanan dengan arah jarum jam

^x

^y

^xy

^xy Y'

X' Y

 X

 C

A B

Contoh Soal 1

Carilah nilai tranformasi tegangan normal dan geser pada gambar di atas jika diketahui ^xy210 kg/cm2 dan ^{x }315 kg/cm2 y =105 kg/cm2 ?

^x

^y

^xy

^xy' C

^xy A B

^x'



315 kg/cm2 210 kg/cm2

105 kg/cm2

Jawaban

^x

^y

^xy

^xy' C

^xy A B

^x'



) 45

* 2 sin(

210 )

45

* 2 2 cos(

105 315

2 105

'315   

x

Tegangan Normal





 







^x'



^x₂^yx₂^{yco s2xsiny2}

) 90 sin(

210 )

90 cos(

210 210

'  

x

210 0

210

'  

x

/ 2

420

' kg cm

x 



315 kg/cm2 210 kg/cm2

105 kg/cm2

Jawaban

^x

^y

^xy

^xy' C

^xy A B

^x'



Tegangan Geser

) 2 (cos 2

2 sin

'     

 xy

y x

xy  





) 45

* 2 cos(

210 )

45

* 2 2 sin(

105

' 315 

xy

) 90 cos(

210 )

90 sin(

105

' 

xy

/ 2

105

' kg cm

xy 



315 kg/cm2 210 kg/cm2

105 kg/cm2

60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B



C B A

315 kg/cm2 210 kg/cm2

105 kg/cm2

420 kg/cm2 105 kg/cm2

Contoh Soal 2

Sket diagram free body irisan A – B dan hitung nilai tranformasi tegangan normal dan geser pada gambar di atas

60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B

Contoh Soal 2

60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B

100 MPa A

B 60 MPa

80 MPa

Diagram Free Body 1

60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B

Contoh Soal 2

60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B cos(2*42) 60sin(2*42)

2

) 100 (

80 2

) 100 (

'80     

x

Tegangan Normal





 







^x'



^x₂^yx₂^{yco s2xsiny2}

84 sin 60 84

cos 90 10

'  

 x

67 , 59 41

, 9 10

'  

x

x' 60,26 MPa



100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPa

60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B

100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPa

Tegangan Geser

) 2 (cos 2

2 sin

'     

 xy

y x

xy  





) 42

* 2 cos(

) 60 (

) 42

* 2 2 sin(

) 100 (

' 80   



xy 



) 84 cos(

) 60 (

) 84 sin(

90

'  

xy

xy' 95,77 MPa



60 MPa

80 MPa 100 MPa

A

B 60,26 MPa

95,77 MPa

100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPa

PR

Sket diagram free body irisan A – B dan hitung nilai tranformasi tegangan normal dan geser pada gambar di atas

A

B 50 MPa

30 MPa 25 MPa

Definisi tegangan utama:

 Tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama

 Pada bidang utama tidak bekerja tegangan geser

Letak tegangan utama:

' 0

 



d d _x

0 2

cos 2

2 sin ) ' (









     





xy y

x x

d d





 







^x'



^x₂^yx₂^{yco s2xsiny2}









 ^{cos 2 ( ) sin 2}

2 _xy  _x  _y

2 / ) 2 (

tan

y x

xy





 

  Letak Tegangan Utama

Letak tegangan utama:

  



 

^y+^x



^xy

 

^y+^x



^xy





^y+^x



^xy







-

-

2 2

2 ^xy

y x

xy

 





 



 



 

2 2

2 2

xy y

x

y x

 







 



 



 



Sin 2 =

Cos 2 = Tan 2 =

2 / )

( _{x y}

xy









Nilai tegangan utama:





 





  ^{cos2 sin 2}

2

' ^x 2 ^{y x y} _xy

x  

 























 



 



 

























 



 



 



 

 



2 2

2 min 2

max,

2 2

2 2

' 2

xy y

x

xy xy

xy y

x

y x

y x

y x

 



 

 





 





 

Nilai tegangan utama:





















 



 



 

























 



 



 



 

 



2 2

2 min 2

max,

2 2

2 2

' 2

xy y

x

xy xy

xy y

x

y x

y x

y x

 



 

 





 





 

Disederhanakan menjadi

2 2

min

max, '  ^x 2 ^y  ^x 2 ^y  _xy

  



 



 

 

 Nilai Tegangan Utama

Letak tegangan geser maksimum

' 0

 

 d

d _{xy sin 2 (cos2 )}

'  2   

 xy

y x

xy  



0 2

sin 2

2 cos )

' (









     





xy y

x xy

d d

xy y x





 ⁽ ^{)/ 2} 2

tan 



 Letak Tegangan Geser

Maskimum

Letak tegangan geser maksimum

Sin 2 =

Cos 2 = ^{2 2}

2 ^xy

y x

xy

 





 



 



 

2 2

2 2

xy y

x

y x

 







 



 



 



xy y x





 ⁽ ^{)/ 2} 2

tan 





Nilai tegangan Geser Max dan Min

) 2 (cos 2

2 sin

'     

 xy

y x

xy  

























 



 



 

























 



 



 



 





2 2

2 min 2

max,

2 2

2 ' 2

xy y

x

xy xy

xy y

x

y x

y x

 



 

 





 

 

Nilai tegangan Geser Max dan Min





















 



 



 

























 



 



 



 





2 2

2 min 2

max,

2 2

2 ' 2

xy y

x

xy xy

xy y

x

y x

y x

 



 

 





 

 

Disederhanakan menjadi

2 2

min

max, '  ^x 2 ^y  _xy

  



 



 



 NILAI TEGANGAN

GESER



Ditemukan oleh insiyur Jerman

bernama Otto Mohr (1835 – 1918)



Digunakan untuk merepresentasikan tegangan normal dan geser terhadap suatu titik tegangan dengan

orientasi sudut yang telah

ditentukan

Persamaan Tranformasi Tegangan





 





  ^{cos 2 sin 2} 2

' ^x 2 ^{y x y} _xy

x  

 



) 2 (cos 2

2 sin

'

    



xy

y x

xy  





Persamaan Lingkaran

2 2

2

( )

)

( x  a  y  b  R

Y

X b

a R

Titik Pusat(a,b)

Persamaan Lingkaran

2 2

2

( )

)

( x  a  y  b  R

 

^{2 2}

2

2 '

' ^{x y} _xy R

x   

 



 

   



2 2

2

) 2 (cos 2

2 sin 2

sin 2

2 ^y cos _xy ^{x y} _xy R

x  

 



  



 



 



  





 

 



 



Persamaan Lingkaran

 ^{ } ^  ^{ } ^{         }



 sin2 cos2

2 2 2 cos 2 2 sin

2 2 cos 2

sin 2

sin 2

2 cos

2 2 2

2 2

2 2

xy y x xy

y x xy

y

R x 

 







 



 



 



2 2

2

2 ^xy

y

R  x  

 



 



 



Persamaan Lingkaran

Bentuk Akhir Persamaan Lingkaran Mohr

 

^{2 2 2}

2

' 2

' ^x 2 ^y _xy ^{x y} _xy

x

  

 

 

 

 



 



 



 



 



 

^{2 2}

2

2 '

' ^{x y} _xy R

x   

 



 

   



Persamaan Lingkaran Mohr

Indentik dengan persamaan lingkaran

 

^{2 2 2}

2

' 2

' ^x 2 ^y _xy ^{x y} _xy

x   

 

   



 



 



 



 



 



2 2

)

2

( x  a  y  R



^{ x ' a}



^{2 }

 

^{ xy ' 2 R2} Bentuk persamaan lingkaran tersebut merupakan persamaan lingkaran dengan jari – jari R Yang bertitik pusat di (a,0)

Persamaan Lingkaran Mohr

Y'

X' Y

 X



^x

^y

^xy

^x'y'

^{x' 2 1}

^max

^max

^x^xy)

^y+^x

 ^y-^x



^y ^xy)





^{min =}

C J

E

D

Hal – hal penting dalam lingkaran mohr

 Tegangan Normal paling besar adalah ¹ dan teganngan paling kecil adalah ^2. Tegangan geser tidak bekerja pada sumbu ini

 Tegangan Geser terbesar adalah



^{max. secara}

numerik sama dengan radius lingkaran juga sama dengan

2

) (₁   ₂

Hal – hal penting dalam lingkaran mohr

 Tegangan Normal yang samadengan

bekerja pada masing – masing bidang geser maksimum

 Bila ¹ = ² maka lingkaran mohr akan

berubah menjadi sebuah titik dan tegangan geser tidak terbentuk pada bidang tersebut

2

) (₁   ₂

KONSTRUKSI

LINGKARAN MOHR

Gambar Salib Sumbu tegangan normal dan tegangan geser





^y

^xy a 

a

KONSTRUKSI

LINGKARAN MOHR

Tentukan titik pusat lingkaran C





C^{y+x)/2,0))}



 



 

0 2 ,

) ( _x  _y

^y

^xy a 

a

KONSTRUKSI

LINGKARAN MOHR

Tentukan titik A

dan tarik sebuah garis

dari titik C ke titik A



^{ x,xy}



^



C^{y+x)/2,0))}

^x^xy)

^y

^xy a 

a

KONSTRUKSI

LINGKARAN MOHR

Dari garis CA

buatlah lingkaran dengan titik pusat di C

Didapatkan ¹ dan

²

C 

^x^xy)

¹

²

^y

^xy a 

a

KONSTRUKSI

LINGKARAN MOHR

Lukis garis melalui titik A dan sejajar bidang a serta memotong lingkaran di titk B.

Lukis garis l SB mendatar dari titk B hingga memotong lingkaran di titik S

 Tegangan yang bekerja pada bidang tertentu, dapat ditentukan, yaitu : ^a dan -^a

^y

^xy a 

a

C 

^x^xy)

¹

²

B





^y+^x



S^a ^a)

^x

^xy

a

a

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

4MPa

4MPa

2MPa

Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Gambar salib sumbu dengan pusat 0

0 



4MPa

4MPa 2MPa

Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Tentukan pusat

lingkaran C ={(-2+4)/2,0}

= (1,0)

0 



C

4MPa

4MPa 2MPa

Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Tentukan titik A:(-2,-4)

4MPa

4MPa 2MPa

A(-2,-4)

0 



C

Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Lukis garis CA (jari-jari lingkaran).

Lukis lingkaran dengan jari-jari CA dan pusatnya di C.(1,0).)

4MPa

4MPa 2MPa

A(-2,-4)

0 



C

Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Setelah lingkaran

terlukis, didapat ¹ = -4 MPa ,^{2 =6 Mpa,}



^{max = 5}

4MPa

4MPa 2MPa

A(-2,-4)

B(6,0) E

(-4,0)

F(1,5)

G(1,-5) 0 



C

Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Hubungkan titik A dan B dan teruskan, maka garis ini

adalah letak bekerjanya Tegangan Utama.

4MPa

4MPa 2MPa

1MPa 5MPa

6MPa 6MPa

4MPa

C F(1,5)

B(6,0)

A(-2,-4)

G(1,-5) 0

E (-4,0)





Mencari Tegangan

Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Tarik garis yang melalui A dan G, maka garis ini adalah letak bekerjanya Tegangan Geser Maksimum.

4MPa

4MPa 2MPa

1MPa 5MPa

6MPa 6MPa

4MPa

C F(1,5)

B(6,0)

A(-2,-4)

G(1,-5) 0

E (-4,0)







Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang di permukaan

mesin besar mengalami tegangan sigma x = 15 Mpa, sigma y = 5 Mpa dan tau xy = 4 Mpa.



Tentukan besar tegangan utama dan tegangan geser maksimum di suatu elemen yang miring pada sudut teta

= 40 derajat