LOGARITMA & EKSPONENSIAL

(1)

MATA KULIAH

MATA KULIAH :: MATEMATIKAMATEMATIKA KODE MATA KULIAH

KODE MATA KULIAH :: UNM10.103UNM10.103 SKS

SKS :: 2 (12 (1--1) 1)

LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL LOGARITMA & EKSPONENSIAL

Oleh Oleh Syawaludin

Syawaludin A. A. HarahapHarahap, , MScMSc

UNIVERSITAS PADJADJARAN UNIVERSITAS PADJADJARAN

FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN

JATINANGOR JATINANGOR

2011 2011

LOGARITMA LOGARITMA

Logaritma

Logaritma adalahadalah pangkatpangkat yangyang harusharus diberikan

diberikan kepadakepada suatusuatu angkaangka agaragar didapatdidapat bilangan

bilangan tertentutertentu..

““suatusuatu angkaangka”” tersebuttersebut merupakanmerupakan basisbasis daridari logaritma

logaritma..

Contoh Contoh::

2

2log 8 = …..log 8 = …..

2

2 harusharus diberidiberi pangkatpangkat berapaberapa agar agar hasilnya

hasilnya 8 ?8 ?

(2)

P

log log a = m a = m artinya artinya a = p a = p

^m^m

p

p disebut disebut bilangan bilangan pokok pokok a

a disebut disebut bilangan bilangan logaritma logaritma atau atau numerus

numerus dengan dengan a a > > 0 0 m

m disebut disebut hasil hasil logaritma logaritma atau atau eksponen

eksponen dari dari basis basis..

Bentuk

Bentuk Umum Umum

Sifat

Sifat--sifat sifat Logaritma Logaritma

1.

1. ^p^ploglog (a x b)(a x b) = = ^p^ploglog a + a + ^p^ploglog bb 2.

2. ^p^ploglog (a : b)(a : b) = = ^p^ploglog a a -- ^p^ploglog bb 3.

3. ^p^ploglog (a)(a)ⁿⁿ = n x = n x ^p^ploglog aa 4.

4. ^p^ploglog p p = 1= 1 5.

5. ^b^blog 1 = 0; log 1= 0; log 1 = 0; log 1= 0; lnln 1= 01= 0 6.

6. ^p^ploglog pp^x^x = x= x

(3)

Sebenarnya

Sebenarnya semuasemua angkaangka bisabisa dijadikandijadikan basis

basis logaritmalogaritma,, tapitapi yangyang palingpaling banyakbanyak digunakan

digunakan hanyahanya 22 angkaangka,, yaituyaitu::

1.

1. Logaritma dengan Basis 10Logaritma dengan Basis 10 Pada

Pada bentukbentuk ^p^ploglog aa == m,m, makamaka::

10

10loglog aa == mm cukupcukup ditulisditulis loglog aa == mm..

Basis

Basis 1010 padapada logaritmalogaritma tidaktidak perluperlu dituliskan

dituliskan..

Contoh Contoh::

10

10log 3 log 3 dituliskandituliskan log 3log 3

10

10log 5 log 5 dituliskandituliskan log 5log 5

2.

2. LogaritmaLogaritma naturalnatural dengandengan BasisnyaBasisnya adalah

adalah bilanganbilangan irasionalirasional tertentutertentu yaituyaitu e

e == 22,,7182871828 Pada bentuk

Pada bentuk ^p^plog a=m, maka log a=m, maka ^e^elog a=m log a=m cukup ditulis dengan ln a=m

cukup ditulis dengan ln a=m Contoh:

Contoh:

e

elog 3 log 3 dituliskan ln 3dituliskan ln 3

e

elog 5 log 5 dituliskan ln 5dituliskan ln 5

(4)

Fungsi

Fungsi eksponensialeksponensial menggambarkanmenggambarkan fenomena

fenomena pertumbuhanpertumbuhan//peluruhanpeluruhan dengandengan persentase

persentase tetaptetap..

Fungsi

Fungsi yangyang variabelvariabel independennyaindependennya (x)(x) merupakan

merupakan pangkatpangkat daridari suatusuatu konstanta

konstanta..

Contoh Contoh::

y

y == 22^x^x,, yy == 1010^x^x,, yy == 22((33^x^x),), yy == 55((22³^3x^x))

EKSPONENSIAL EKSPONENSIAL

y = a(

y = a(b b

^cx^cx

)) a

a = intercept ( = intercept (titik titik potong potong dengan dengan sumbu

sumbu y) y) b

b = basis = basis

cc = = bagian bagian dari dari basis basis

Bentuk

Bentuk Umum Umum

(5)

pangkat

pangkat negatifnegatif bisabisa dihilangkandihilangkan::

y = 2

y = 2^--x^x= (2= (2^--1¹))^x^x=(1/2)=(1/2)^x^x Jadi

Jadi :: fungsifungsi eksponensialeksponensial pangkatpangkat negatifnegatif

=

= fungsifungsi eksponensialeksponensial pangkatpangkat positifpositif,, dgndgn basis

basis :: 00<b<<b<11 (basis(basis bilanganbilangan pecahanpecahan))..

Aplikasi Aplikasi ::

y =

y = bb^x^x menggambarkanmenggambarkan pertumbuhanpertumbuhan ((growthgrowth).).

y = b

y = b^--x^x menggambarkanmenggambarkan peluruhanpeluruhan ((decaydecay).).

Fungsi

Fungsi Eksponen Eksponen Berbasis Berbasis e e

Dalam

Dalam banyakbanyak aplikasiaplikasi adaada suatusuatu basis basis khusus

khusus yang yang seringsering dipergunakandipergunakan yaituyaitu basis

basis e = 2,71828e = 2,71828 misal y = e

misal y = e^x^x Bentuk

Bentuk UmumUmum::

y = a.e

^bx^bx

(6)

Karakteristik

Karakteristik Fungsi Fungsi Eksponensial Eksponensial

1.

1. bb^m^m.b.bⁿⁿ bb^m+n^m+n

2.

2. bb^m^m b bⁿⁿ

3.

3. ((bb^m^m))ⁿⁿbb^m.n^m.n

4.

4. aa^m^m.b.b^m^m ((a.ba.b))^m^m

5.

5. bb^m^m/n^/n

6.

6. n n nn

7.

7. bb0 0 11,,

8.

8. bb^--m^m ,, b^m-n, b 0

√√√√√√√√

^b^m

√√√√√√√√

^b ^m^m

b 0 1

1 b

b^m^m b 0

√√√√√√√√

^b^m

n n

(7)

Contoh Soal Contoh Soal

1.

1. JikaJika ⁴⁴log 64 = xlog 64 = x Tentukan

Tentukan nilainilai x = ….x = ….

Jawab Jawab::

4

4log 64 = x log 64 = x 44^x^x = 64= 64 4

4^x^x = 4= 4⁴⁴ x = 4.

x = 4.

Contoh Soal Contoh Soal

2.

2. NilaiNilai daridari ²²log 8 + log 8 + ³³log 9 = ….log 9 = ….

Jawab Jawab::

=

= ²²log 8 + log 8 + ³³log 9log 9

=

= ²²log 2log 2³³ + + ³³log 3log 3²²

= 3 + 2

(8)

Contoh Soal Contoh Soal

3.

3. NilaiNilai daridari ²²log (8 x 16) = ….log (8 x 16) = ….

Jawab Jawab::

=

= ²²log 8 + log 8 + ²²log 16log 16

=

= ²²log 2log 2³³ + + ²²log 2log 2⁴⁴

= 3 + 4

= 7

Contoh Soal Contoh Soal

4.

4. NilaiNilai daridari ³³log (81 : 27) = ….log (81 : 27) = ….

Jawab Jawab::

=

= ³³log 81 log 81 -- ³³log 27log 27

=

= ³³log 3log 3⁴⁴ -- ³³log 3log 3³³

(9)

Contoh Soal Contoh Soal

5.

5. NilaiNilai daridari ²²log 8log 8⁴⁴ = ….= ….

Jawab Jawab::

=

= ²²log 8log 8⁴⁴

= 4 x

= 4 x ²²log 2log 2³³

= 4 x 3

= 12

Contoh Soal Contoh Soal

6.

6. NilaiNilai daridari ²²log log √√88⁴⁴ = ….= ….

Jawab Jawab::

=

= ²²log log √√88⁴⁴

= 2 x

= 2 x ²²log 2log 2³³

= 2 x 3

2

4 22log 8log 8

=

(10)

Contoh Soal Contoh Soal

7.

7. JikaJika log 100 = xlog 100 = x Tentukan

Tentukan nilainilai x = ….x = ….

Jawab Jawab::

log 100 = x

log 100 = x 1010^x^x = 100= 100 10

10^x^x = 10= 10²² x = 2.

x = 2.

Contoh Soal Contoh Soal

8.

8. lnln xx²² + + lnln x = 9. x = 9. TentukanTentukan nilainilai x ?x ? Jawab:

Jawab:

3 ln x

3 ln x = 9= 9 lnln xx = 3= 3 x

x = e= e³³

= 2,71828

= 2,71828³³

(11)

Contoh Soal Contoh Soal

9.

9. ee^2x^2x = 5. = 5. BerapaBerapa nilainilai x ?x ? Jawab:

Jawab:

ln e

ln e^2x^2x = ln 5= ln 5 2x

2x lnln e = 1,6094e = 1,6094 2x = 1,6094 2x = 1,6094 x = 0,8047 x = 0,8047

Contoh Soal Contoh Soal

10

10..^Suatu^{Suatu zat}^{zat yang}yang disuntikkandisuntikkan keke dalamdalam tubuhtubuh ikanikan akanakan dikeluarkan

dikeluarkan daridari darahdarah melaluimelalui ginjalginjal.. SetiapSetiap 11 jamjam separuh

separuh daridari zatzat ituitu dikeluarkandikeluarkan oleholeh ginjalginjal.. BilaBila 100100 miligram

miligram zatzat ituitu disuntikkandisuntikkan keke tubuhtubuh ikanikan,, berapaberapa miligram

miligram zatzat ituitu yangyang tersisatersisa dalamdalam darahdarah setelahsetelah:: a)a) 1

1 jam,jam, b)b) 22 jam,jam, c)c) 33 jamjam ??

Jawab Jawab::

1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2)

1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2) ¹¹=50 mg=50 mg

2 2

(12)

Contoh Soal Contoh Soal

11

11^.. ^Di^{Di tahun}^{tahun 1970}1970 jumlahjumlah populasipopulasi dugongdugong didi suatusuatu perairan

perairan adaada 100100 ekorekor.. BilaBila pertambahanpertambahan populasipopulasi 44%% per

per tahuntahun,, berapaberapa jumlahjumlah populasipopulasi dugongdugong padapada akhirakhir tahun

tahun 19951995 didi perairanperairan tersebuttersebut ??

Jawab Jawab::

P

P_tt = P= P₀₀ee^rt^rt ((pertumbuhanpertumbuhan dugong dugong terjaditerjadi secarasecara kontinyu

kontinyu))

= 100. e

= 100. e^0,04x25^0,04x25

= 100 x 2,71828 = 271,828 ekor