MAKALAH KESEBANGUNAN DAN KEKONGGRUENAN PADA BANGUN DATAR 1

MAKALAH KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN PADA BANGUN DATAR

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Dan Pengukuran Dosen Pengampu : Andi Asrafiani Arafah S.Pd , M.Pd

Disusun Oleh :

Nama : Eva Shofiriyanti

NIM : 2205116023

Kelas : PGSD A 2022

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MULAWARMAN

2023

ii

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah senantiasa Saya panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga Saya dapat menyelesaikan makalah dengan judul: " Kesebangunan Dan Kekongruenan Pada Bangun Datar ". Guna memenuhi tugas untuk mata kuliah Geometri dan Pengukuran. Dosen Pengampu : Ibu Andi Asrafiani Arafah S.Pd, M.Pd

Saya menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini tidak terlepas dari bantuan banyak pihak yang dengan tulus memberikan doa, saran dan kritik sehingga makalah ini dapat terselesaikan

Saya menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna dikarenakan terbatasnya pengalaman dan pengetahuan yang kami miliki. Oleh karena itu, kami mengharapkan segala bentuk saran serta masukan bahkan kritik yang membangun dari berbagai pihak. Akhirnya kami berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi perkembangan dunia pendidikan

Samarinda, 27 Oktober 2023

Eva Shofiriyanti

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI ... iii

BAB I ... 1

PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 2

C. Tujuan Percobaan ... 2

BAB II... 3

PEMBAHASAN ... 3

A. Pengertian Kesebangunan dan Kekonggruenan Pada Bangun Datar ... 3

B. Perbedaan Kongruen dan Sebangun ... 6

C. KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR SEGITIGA ... 7

D. KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN DUA BANGUN DATAR SEGITIGA. ... 10

E. Cara menggunakan konsep kekongruenan dan kesebangunan dalam pemecahan Masalah. ... 15

BAB III ... 19

PENUTUP ... 19

A. Kesimpulan ... 19

B. Saran ... 19

DAFTAR PUSTAKA ... 20

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Membandingkan dua benda secara geometris dapat dilihat dari dua aspek,yaitu bentuk dan ukurannya. Satu benda yang memiliki bentuk yang sama, tapi dengan ukuran yang berbeda banyak dijumpai atau digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, miniatur bangunan dan bangunan itu sendiri.

Dalam ilmu geometri, terdapat konsep kekongruenan dan kesebangunan. Kekongruenan merujuk kepada dua bangun datar yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Sementara itu, kesebangunan merujuk pada bangun datar dengan sudut-sudut yang sama besar.

Terdapat berbagai ciri – ciri yang membedakan antara kesebangunan dan kekongruenan pada bengun datar segi banyak dan bangun datar segitiga. Terdapat fungsi penting dalam penerapan kosep trigonometri dalam perhitungan kesebangunan dan kekonggruenan yang sangat bermanfaat dalam menghitung ukuran asli suatu benda dengan menggunakan perbandingan sudut dan sisi dalam segitiga siku – siku dengan fungsi trigonometri ( sin, cos , tan ) . Tapi, bagaimana sih penggunaan konsep kekongruenan dan kesebangunan dalam matematika !

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan kesebangunan dan kekongruenan bangun datar ?

2. Apa saja perbedaan antar kesebangunan dan kekongruenan bangun datar ?

2

3. Apa yang di maksud dengan kesebangunan dan kekongruenan bangun datar segitiga ?

4. Apa yang dimaksud dengan kesebangunan dan kekongruenan pada angun datar dua segitiga ?

5. Bagaimana penerapan komsep kesebangunan dan kekongruenan dalam pemecahan masalah kehidupan sehari – hari !

C. Tujuan Percobaan

1. Dapat menjelaskan apa itu kesebangunan dan kekongruenan bangun datar.

2. Dapat menjelaskan perbedaan kesebangunan dan kekongruenan bangun datar.

3. Dapat menjelaskan apa itu kesebangunan dan kekongruenan bangun datar dua segitiga.

4. Dapat menjelaskan perbedaan kesebangunan dan kekongruenan bangun datar dua segitiga.

5. Dapat menjelaskan cara penerapan komsep kesebangunan dan kekongruenan dalam pemecahan masalah kehidupan sehari – hari.

3

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Kesebangunan dan Kekonggruenan Pada Bangun Datar

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Pengertian dari kongruen adalah sifat gambar geometrik yang bentuknya sama dan sebangun. Sedangkan Pengertian dari Sebangun adalah sama bentuknya.

Thales (624-546 SM), dikenal sebagai ahli geometri, astronomi, dan politik. Gagasan Thales yang paling fenomenal ada di bidang Matematika tentang kesebangunan. Ia mengungkapkan bahwa ia dapat menghitung tinggi piramida menggunakan bantuan bayangan suatu tongkat. Segitiga yang dibentuk dari tinggi piramida dan bayangannya sebangun dengan segitiga kecil yang dibentuk oleh tinggi tongkat dan bayangannya. Dengan perbandingan kesebangunan dua segitiga, ia dapat memperkirakan tinggi piramida tersebut.

1. Kesebangunan

Kesebangunan Dua Bangun Datar , Jika dua bangun datar memiliki panjang sisi yang bersesuaian yang sebanding dan sudut – sudut bersesuaian yang sama besar kedua bangun tersebut di sebut Sebangun.Seperti pada contoh terdapat bangun ABCD dan bangun EFGH yang merupakan persgi panjang. Jika ukuran panjang dan lebar kedua persegi panjang itu di bandingkan, diperoleh persamaan sebagai berikut.

4 AB = DC  10cm = 10 cm = 5 EF HG 8 cm = 8 cm 4 AD = BC  5 cm = 5 cm = 5 EH FG 4 cm 4 cm 4

Perbandingan panjang sisi persegi panjang ABCD dengan panjang sisi persegi panjang EFGH yang bersesuaian adalah sama, yaitu 5: 4.

Dapat dikatakan panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Selain itu besar sudut persegi panjang ABCD dan EFGH. Besar ∠A = ∠E = 90°. ∠B = ∠F 90°, ∠C= ∠G= 90°, dan ∠D = ∠H = 90°. Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegi panjang itu sama besarnya.

Dengan demikian Syarat Kesebangunan Dua Bangun Datar.

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, disebutkan bahwa jika dua bangun memiliki panjang sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar, kedua bangun itu disebut sebangun. Hal ini menjadi dasar bagi syarat kesebangunan dua bangun datar.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memiliki sifat-sifat berikut.

1) Ukuran antara sudut yang bersesuaian sama besar.

2) Perbandingan antara panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama besar.

5

Oleh karena persegi panjang ABCD dan EFGH memiliki panjang sisi- sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar maka kedua persegi panjang itu dikatakan sebangun.

2. Kekonggruenan

Dua bangun disebut kongruen jika satu bangun dapat menempati tempat bangun lain dengan tepat. Kekongruenan dua bangun segi banyak dapat didefinisikan sebagai berikut. “ Dua buah segi banyak disebut kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang”. Dua bangun disebut kongruen, jika setiap dua pasang titik yang bersesuaian pada kedua bangun berjarak sama. Dapat pula dikatakan dua buah bangun datar kongruen, jika keduanya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.

Dengan kata lain, bangun yang kongruen adalah bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Istilah kongruen dapat digunakan pada:

1) Dua ruas garis sama panjang.

2) Dua sudut sama besar.

3) Dua lingkaran dengan besar jari-jari yang sama.

Ada dua syarat yang harus dipenuhi agar dua buah segi banyak kongruen, yaitu :

1) sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun itu sama besar.

2) sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua bangun itu sama panjang.

6

Amati layang-layang PQRS dengan TUVW. Perhatikan sudut- sudutnya. ∠P = ∠T, ∠Q= ∠U, ∠R = ∠V, dan ∠S =∠ W. Artinya sudut- sudut yang bersesuaian sama besar. Sekarang, perhatikan sisi-sisinya! PQ TU, QR UV, RS = VW, SP WT. Artinya sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Oleh karena bangun PQRS dan bangun TUVW memenuhi syarat kekongruenann dua bangun datar maka bangun PQRS kongruen dengan bangun TUVW.

Berikutnya, perhatikan bangun KLMN dengan bangun EFGH!

Dari gambar terlihat bahwa ∠K ≠ ∠E, ∠ L ≠ ∠F, ∠M ≠ ∠G, dan ∠N ≠

∠H. Semua sudut yang bersesuaian tidak sama besar. Demikian pula dengan sisi- sisinya. KL ≠ EF, LM ≠ FG, MN ≠ GH, dan NK ≠ HE.

Terlihat bahwa sisi-sisi yang bersesuaian tidak sama panjang. Oleh karena kedua bangun ini tidak memenuhi syarat kekongruenan dua bangun datar maka bangun KLMN tidak kongruen dengan bangun EFGH.

B. Perbedaan Kongruen dan Sebangun

Telah dijelaskan di bagian sebelumnya bahwa jika dua bangun memiliki panjang sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar, kedua bangun itu disebut sebangun.

Kesimpulannya, pada dua segi banyak yang sebangun berlaku sifat berikut.

a. Ukuran antara sudut yang bersesuaian sama besar.

b. Perbandingan antara panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama besar.

Sebagai contoh, jika persegi ABCD sebangun dengan persegi A'B'C'D', dapat ditulis:

7

□ ABCD ~ □ A'B'C'D'

Dengan ∠A bersesuaian dengan ∠A', ∠B bersesuaian dengan ∠B':

∠C bersesuaian dengan ∠C'; dan ∠D bersesuaian dengan ∠D'. Sisi AB bersesuaian dengan sisi A'B'; sisi BC bersesuaian dengan sisi B'C'; sisi CD bersesuaian dengan sisi C'D'; dan sisi DA bersesuaian dengan sisi D'A'.

Dari penjelasan tersebut, berlaku:

 sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu ∠A = ∠A', ∠B =

∠B', ∠C =∠ C', dan ∠D = ∠D'

panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, yaitu :

AB = BC = CD = DA

A’B’ B’C’ C’D’ D’A’

Jika kedua bangun kongruen maka kedua sifat tersebut tetap berlaku dengan syarat tambahan bahwa nilai perbandingan panjang sisi- sisi yang bersesuaian sama dengan 1. Jadi, jika persegi ABCD kongruen dengan persegi A'B'C'D' maka dapat ditulis dengan lambang □ ABCD ≅

□ A'B'C'D' dan berlaku.

 sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu ∠A = ∠A’ , ∠B =

∠B', ∠C = ∠C', dan ∠D =∠ D'.

C. KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN BANGUN DATAR SEGITIGA

 Kekongruenan Segitiga

8

Jika kekongruenan itu menyangkut segitiga, maka dua segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Untuk menguji apakah dua segitiga kongruen atau tidak, tidak perlu menguji semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu kondisi berikut:

a. Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut kriteria sisi – sisi – sisi.

b. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sudut – sisi.

c. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sisi – sudut.

d. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sudut – sisi.

9

Ketika menyatakan dua segitiga kongruen sebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

Bukan ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐸𝐷𝐹, atau ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐸𝐹𝐷, atau yang lainnya.

 Kesebangunan

Dua bangun disebut sebangun (similar) jika setiap dua pasang titik yang bersesuaian pada kedua bangun jaraknya sebanding dengan jarak dua pasang titik lainnya. Kesebangunan dilambangkan dengan symbol “⁓” Contoh: Diberikan dua bangun segiempat seperti gambar di bawah:

Kita bentuk pengaitan satu-satu antar titik-titik sudut di kedua segiempat

tersebut, yaitu:

A ↔E, B↔F, C↔G, D↔H.

10

Pengaitan seperti ini disebut korespondesi satu-satu.

Korespondensi satu satu ini menghasilkan:

1. Sudut-sudut yang bersesuaian:

2. Sudut-sudut yang bersesuaian:

∠A dan ∠E → m∠DAB = m∠HEF

∠B dan ∠F → m∠ABC = m∠EFG

∠C dan ∠G → m∠BCD = m∠FGH

∠D dan ∠H → m∠CDA = m∠GHF

3. Semua perbandingan Panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama, yaitu:

Sesuai definisi dapat disimpulkan bahwa segiempat ABCD sebangun dengan

segiempat EFGH dan dapat ditulis dengan segiempat ABCD~

EFGH.

Catatan:

Ketika menyatakan dua bangun sebangun sebaiknya dinyatakan berdasarkan

titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

D. KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN DUA BANGUN DATAR SEGITIGA.

 Kesebangunan dua segitiga

11

Secara sederhana sesuai dengan pengertian kesebangunan, dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama.

Perhatikan gambar dua segitiga di bawah ini:

Dari gambar di atas, diperoleh syarat sebagai berikut:

1. Perbandingan sisi-sisyang bersesuaian senilai

2. Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama m∠𝐴 =𝑚∠𝐴′

m∠𝐵 =𝑚∠𝐵′

m∠𝐶 =𝑚∠𝐶′

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 dan ∆A’B’C’, memenuhi syarat tersebut, maka ∆𝐴𝐵𝐶 dan

∆A’B’C’ sebangun, dinotasikan ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆A’B’C’

Catatan:

Ketika menyatakan dua segitiga sebangun sebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

12

Bukan ∆𝐴𝐵𝐶~∆B′C′A,atau ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆C’B’A’, atau yang lainnya.

 Kesebangunan dengan perbandingan sederhana Perhatikan gambar di bawah ini:

Dari gambar di atas, diketahui QR//ST, sehingga m∠𝑃𝑄𝑅=𝑚∠𝑃𝑆𝑇 (sehadap)

m∠𝑃𝑅𝑄=𝑚∠𝑃𝑇𝑆 (sehadap) m∠𝑄𝑃𝑅=𝑚∠𝑆𝑃𝑇 (berhimpit) Diperoleh ∆𝑃𝑄𝑅 ~ ∆PST, akibatnya

Garis yang sejajar dengan salah satu sisi suatu segitiga dan memotong kedua sisi yang lain, akan membentuk dua segitiga yang sebangun dan membagi kedua sisi yang yain dengan perbandingan yang sama.

13

Akan tetapi perlu diingat, untuk kasus ini perbandingan sederhana bagi e dan f tidak berlaku, atau dengan kata lain:

Untuk perbandingan e dan f, harus kembali memakai prinsip dasar kesebangunan,

yaitu:

Contoh soal:

Perhatikan gambar berikut:

Tentukan Panjang a dan b.

Penyelesaian:

Karena BC//DE, maka ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐴𝐷𝐸

atau secara perbandingan sederhana

Untuk menghitung nilai b kita harus menggunakan sifat dasar kesebangunan

14

 Kesebangunan Khusus dalam segitiga siku-siku Perhatikan gambar berikut:

Dengan memperhatikan segitiga-segitiga yang sebangun,

Contoh soal:

Pada segitiga di bawah ini, Panjang BD = 4 cm dan BC = 20 cm.

Hitunglah Panjang AD

Jawab:

m∠𝐴𝐶𝐷 =𝑚∠𝐴𝐷𝐵(𝑠𝑖𝑘𝑢−𝑠𝑖𝑘𝑢)

15 m∠𝐴𝐶𝐷 =𝛾 =(90° −𝛼)=𝑚∠𝐵𝐴𝐷

m∠𝐶𝐴𝐷 =𝛼 =90° − (90°−𝛼)=𝛽 =𝑚∠𝐴𝐵𝐷 akibatnya ∆𝐶𝐴𝐷 ~ ∆𝐴𝐵𝐷

selanjutnya :

Jadi Panjang AD = 8 cm

Hubungan antara kesebangunan dengan kekongruenan adalah untuk dua segitiga yang kongruen sudah pasti sebangun, akan tetapi untuk dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen. Hali ini disebabkan karena kekongruenan itu berada di dalam kesebangunan.

E. Cara menggunakan konsep kekongruenan dan kesebangunan dalam pemecahan Masalah.

Materi kekongruenan dan kesebangunan bangun datar merupakan materi yang diperlukan untuk dapat membuat replika suatu bidang datar dengan ukuran yang lebih besar atau lebih kecil. Akan tetapi, kemampuan tersebut tidak akan mewujudkan hasil yang tepat dengan ketelitian tinggi apabila tidak menggunakan rumus-rumus dalam teori kesebangunan.

Contoh

Dari puncak suatu tiang bendera dibentangkan seutas tali yang dipatokkan pada tanah. Jarak dari patok ke tiang bendera 20 meter. Pada jarak 5 meter dari patok tersebut, dipancangkan tongkat sepanjang 2 meter. Tongkat

16

tersebut berdiri tegak lurus pada tanah, sejajar dengan tiang bendera, dan menyentuh tali. Berapakah tinggi tiang bendera dan Panjang tali tersebut?

Jawab:

Soal di atas bisa dibuat sketsa seperti gambar di bawah ini:

AB = Panjang tali BC = Tiang bendera DE = tongkat

Perhatikan ∆𝐴𝐷𝐸 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐴𝐶𝐵

Karena DE//CB, maka ∆𝐴𝐷𝐸 ~ ∆𝐴𝐶𝐵, sehingga

Jadi tinggi tiang bendera 8 meter

Selanjutnya, menurut teorema Pythagoras, dalam ∆𝐴𝐵𝐶, dimana m∠𝐶 = 90 ° berlaku:

AB² = AC ² + CB²

= 20² + 8²

17

= 464

AB = √464 = 21, 54066

Jadi Panjang talinya adalah 21,5 meter.

Contoh :

Sebuah foto diletakkan pada sehelai karton berukuran 40 cm x 50 cm (posisi portrait). Di sebelah kanan dan kiri foto masih terdapat karton yang tidak tertutup foto selebar 4 cm, sedangkan bagian bawah foto selebar 7 cm. Jika foto dan karton sebangun, buatlah sketsa keadaan tersebut, kemudian tentukan lebar karton bagian atas yang tidak tertutup foto.

Jawab:

Sketsa gambar:

Lebar karton = 40 cm Panjang karton = 50 cm

Lebar foto = 40 – 4 – 4 = 32 cm Misalkan panjang foto = p cm

Dan t adalah karton bagian atas yang tidak tertutup foto.

maka berdasarkan perbandingan kesebangunan:

18 t = 50 – 7 – 40 = 3

Jadi lebar karton bagian atas yang tidak tertutup foto adalah 3 cm.

19

BAB III PENUTUP

F. Kesimpulan

Dalam ilmu geometri dua buah bangun datar segi banyak dapat dikatakan sebangun apa bila memiliki panjang sisi – sisi yang bersesuaian yang sebanding dengan sudut – sudut yang bersesuaian yang sama besar sedangkan dua buah bngun datar segi banyak dapat dikatakan kongruean apabila bangun datar memiliki bentuk dan ukuran sama dengan syarat dua ruas garis sama panjang, dua sudut sama besar , dua lingkaran dengan besar jari – jari yang sama besar.

Dalam konsep kongruenanan bangun datar segitiga memiliki syarat (1) Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut kriteria sisi – sisi – sisi. (2) Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sudut – sisi. (3) Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang.

Biasa disebut dengan kriteria sudut – sisi – sudut. (4) Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sudut – sisi.

Sehingga penerapan konsep kesebangunan dan kekongruenan dalam memecahkan permasalahan kehidupan sehari – hari tentu akan berhubungan dengan sudut dan panjang sisi dan di butuhkan penerapan konsep trigonometri dalam kekongruenan dan kesebangunan .

G. Saran

Pentingnya penguasaan konsep fungsi trigonometri meliputi ( sin, cos,tan ) sangat di perlukan dalam memecahkan masalah kehidupan sehari hari yang berkaitan dengan kesebangunan dan kekongruenan bangun datar.

20

DAFTAR PUSTAKA

Supriyanto,Agus dan Miftahudin . 2014. Eksplore Matematika Jilid 3 . Jakarta : Penerbit Duta.

Djumanta, Wahyudin . Dkk. 2008. Matematika untuk Kelas IX . Jakarta : Penerbit Grafindo Media Pratama.

Yasri . Dkk. 2020. Kekongruenan dan Kesebangunan Unit Pembelajaran 12.

Jakarta : Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah.

Anggraini Yeni . Dkk. 2022. Matematika SMP Kekongruenan dan Kesebangunan.

Lampung : Fakultas Tarbiyah da Keguruan UIN Raden Intan.