materi pembelajaran fisika dasar satu mengenai vektor

Vector

Lecturer: Arinilhaq, M.Si

Physics 1

SUB POKOK BAHASAN



Definisi Vektor



Penjumlahan vektor



Vektor Satuan



Penjumlahan vektor secara analitis



Perkalian Skalar



Perkalian Vektor

9/5/2020 Fisika I

3

Definisi Vektor

A

a

b R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ) Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

Vektor vs Skalar

Vector memiliki besar dan arah

Skalar hanya memiliki besar

contoh besaran vektor:

perpindahan, kecepatan dan percepatan

contoh besaran skalar:

waktu, suhu, massa

5

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.

Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

c a

R

S

T

T = R + S

Contoh

7

BESAR VEKTOR RESULTAN

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

θ cos 2RS

S R

T =

²

+

²

−

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

R S

T

T = R + S θ

(1.1)

Sifat-sifat penjumlahan vektor

(1) Hukum komutatif:

a b + = + b a

(2) hokum assosiatif:

( a b + + = + + ) c a ( b c )

9

PENGURANGAN VEKTOR

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.

A B -B

D D = A – B

Pengurangan vektor

( )

d = − = + − a b a b

11

CONTOH

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km

kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km

Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.

Tentukan besar perpindahan mobil tersebut ! N

E

U

20 km

40 km B

S

10 km

12

CONTOH

Jawab : _{40 km}

10 km

20 km 10 km

40 km

A B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : 40² +10² =10 17 m

soal

Dua buah vektor, A dan B, dijumlahkan sedemikian sehingga diperoleh vector resultan R=A+B. besar kedua vector berturut-turut 3 dan 8 m, dan memiliki arah sembarang. Tentukanlah :

(a) nilai besar R maksimum yang mungkin diperoleh

(b) nilai besar R minimum yang mungkin diperoleh

Fisika I

14

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan didefenisikan sebagai :

R r = R

• Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan.

(1.2)

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

Komponen Vektor:

Projeksi vector pada suatu axis disebut komponen .

x y x y

a = a + a = a i + a j

x

cos

a = a  ^a

_y

= ^{a sin} 

Contoh 1 Menentukan komponen vektor

Vektor perpindahan r

memiliki besar175 m dan diletakkan pada sudut 50 ° relative terhadap sumbu-

x(lihat gambar).

Tentukanlah komponen x dan

y vector tersebut

Merekonstruksi Vektor dari komponen-komponennya

Besar:

^{2 2}

x y

a = a + a

;

Arah: ^tan

^{1 y}

x

a

 =

⁻

^  a ^ 

 

Vektor 3-Dimensi

2 z 2

y 2

x R R

R

R = + +

Vektor R dinyatakan oleh : R = R_xi + R_yj + R_zk Besar vektor R adalah :

R

R_y R_z

R_x

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu

koordinat.

9/5/2020 Fisika I

19

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektor A = x_Ai + y_Aj dan vektor B = x_Bi + y_Bj, maka penjumlahan vektor

A + B = (x_A + x_B)i + (y_A + y_B)j.

Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku:

R = (x₀ + …+x_i + …+x_n)i + (y₀ + …+y_i + …+y_n)j

x_A x_B y_A

y_B

A B

x_A + x_B A

B y_A + y_B

(1.3)

Addition of Vectors by Means of Components

C = + A B



=

tan (

1

C

_y

/ C

_x

)

 =

⁻

Cek pemahaman anda!



Dua buah vektor, A dan B, memiliki komponen vektor seperti gambar di

baris pertama (dengan skala yang sama). Tentukanlah vektor R di baris

kedua gambar yang merupakan penjumlahan vektor

A

dan B?

Contoh 2 Penjumlahan vektor dengan metode komponen

seorang pelari berlari sejauh

145 m ke arah 20.0° timur laut

(vektor A) dan kemudian 105 m

ke arah 35.0° tenggara (vektor

B). Hitunglah besar dan arah

vektor resultan C dari kedua

vektor di atas.

CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan:

a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor

Jawab :

Vektor perpindahan :

R = (x_ujung – x_pangkal)i + (y_ujung – y_pangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

(2,2) (-2,5)

x y

pangkal ujung



R_x R_y

a.

24

CONTOH

o 1

x 1 y

4 37 tan 3

R

tan R  =



 



= 

=

 ^{− −}

(2,2) (-2,5)

x y

pangkal ujung



R_x R_y

b.

Besar vektor R = R_x² +R_y² = 3² + 4² = 5

c. satuan

Sudut yang dibentuk :

25

CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 2j B = 2i − 4j Tentukan :

a. A + B dan A + B b. A − B dan A − B Jawab :

a. A + B = 3i + 2j + 2i − 4j

= 5i − 2j

A + B =

29 )

2 (

5² + − ² =

b. A − B = 3i + 2j − (2i − 4j) = i + 6j

A − B =

37 6

1² + ² =

A

B -B

A − B

26

SOAL

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60^o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut

b. Jarak perpindahan

c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA

= 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C

b. A + B + C

27

PERKALIAN SKALAR

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos  (1.4)

Jika diketahui A = a_x i + a_y j + a_z k dan B = b_x i + b_y j + b_z k, maka :

A . B = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

A

 B

28

PERKALIAN SKALAR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah:

i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

CONTOH

cos AAB.B

=



Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i − 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !

Jawab :

A

B



Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i − 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4

Besar vektor A =

3

²

+ 4

²

= 5

Besar vektor B = 4² +(−2)² = 20

4 4 2

cos  = A.B AB = 5 20 = 10 5 = 125

Dengan demikian  = 79,7^o

Soal

Hitunglah sudut diantara vektor dan ?

Hint: The answer is on Haliday

Resnick (10

^th

Ed) page 54

31

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A  B = C (1.6)

Besar vektor C adalah :

C = AB sin  (1.7)

Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat

diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A  B tidak sama dengan B  A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A C = A  B

C’ = B  A



 C= -C’

PERKALIAN VEKTOR (cross product )

c =  a b

(2) Besar vektor

sin c = ab 

(3) Arah ditentukan

dengan aturan tangan kanan

(1) Menghasilkan

besaran vektor

33

PERKALIAN VEKTOR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian silang adalah:

i  i = j  j = k  k = 0

i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j

34

CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 4j B = 4i − 2j + k

Tentukan : a. A  B

b. Buktikan A  B = -B  A Jawab :

A  B = (3i + 4j)  (4i − 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B  A = (4i − 2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A  B

terbukti b.

35

SOAL

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k

B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k

Tentukan : a. A . (B  C) b. A . (B + C) c. A  (B + C)

4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

36

SOLUSI

6 1)

( 2

1

A = ² + ² + − ² =

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :

5 4)

( 3

B = ² + − ² = 1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :

6 5

7 cos  = AAB.B = Dengan demikian  = 55,1^o

Besar vektor B :

2. ^A

A_B B

Panjang A_B menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

26 14 )

4 ( 3 1

) 4 ).(

1 ( 3 . 2 1 . 4 cos B

A

AB 2 2 2 =

− + +

−

− +

= +

=



= A.B

37

SOLUSI

B  C = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j − 12i

A . (B  C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b.

A  (B + C) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k c.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90^o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :

R . S = RS cos 90^o = RS . 0 = 0 R . S = R_xS_x + R_yS_y + R_zS_z

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

Thank you ☺