VEKTOR Fisika Dasar I

(1)

VEKTOR

Fisika

Dasar I

(2)

Besaran Vektor dan Skalar

• Besaran vektor: mempunyai nilai/harga dan arah.

• Besaran skalar: mempunyai nilai/harga saja (tidak memiliki arah)

Besaran skalar: massa, panjang mobil, volume mobil

Besaran vektor: kecepatan, percepatan, gaya

(3)

Representasi Vektor

O

 a

��= ´ � =⃗ �

A Vektor atau atau :

Modulus/besar atau panjang nya: | A| = a

Arahnya: terhadap horisontal

• Cara Geometri

Huruf tebal

(4)

A a

Vektor A dan B besarnya sama dan sejajar (arahnya sama)  dapat dikatakan vektor A = vektor B

Vektor A dan C besarnya sama tetapi berlawanan arah

 dapat dikatakan vektor A = - vektor C

B C

b c

C = -A

Representasi Vektor

• Cara Geometri

(5)

Representasi Vektor

x y

O � ^

• Cara Analitis

Merepresentasikan vektor dalam suatu sistem koordinat, misalnya kartesian. Tidak perlu membuat gambar atau sketsa, cukup dinyatakan dengan vektor satuan:

yang menyatakan arah ke sumbu positip yang menyatakan arah ke sumbu positip yang menyatakan arah ke sumbu positip

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, yang berfungsi untuk menunjukkan arah, misal pada system koordinat kartesian dua dimensi:

^ �

(6)

Vektor Satuan

0 y z

� ^ � ^ ^ �

• Vektor satuan: vektor dengan nilai/harga dan memiliki arah di sumbu tertentu.

• Kegunaan: menentukan/menunjukkan arah

• Vektor satuan yang mengarah ke sumbu positif

dari sumbu dan diberi label sebagai dan ; dimana tanda menunjukkan bahwa vektor tersebut merupakan vektor satuan.

•

|=1

(7)

Vektor Satuan

x

0 y z

� ^ � ^ ^ �

b

a

� c

⃗ � =� � ^ + � ^ � + � � ^

�

(¿ ¿ 2+�²+�² )

|�|= �= √ ¿

�

Untuk vektor satuan :

R c

R b R a









cos

(8)

Representasi Vektor

• Cara Analitis

Misal ada vektor Dengan panjang

Secara analitis, cukup dinyatakan dalam bentuk

Yang sebenarnya adalah proyeksi ke sumbu dan , sehingga dapat dikatakan vektor yang dibentuk mulai dari titik bergerak sebesar ke arah sumbu dan sebesar ke arah sumbu

a

Jika membentuk sudut dengan sumbu x, maka dipenuhi:

• ;

• Panjang/modulus |

• Besar sudut dihitung dari

x

a

� ^

^ �

� �

y

⃗ �

�

(9)

Operasi Matematika pada Vektor dan Skalar

Operasi Skalar Operasi Vektor

Penjumlahan Penjumlahan

Pengurangan Pengurangan

Perkalian Perkalian titik (dot product)

Pembagian Perkalian silang (cross product)

Pemangkatan Peng-akar-an

Cara Geometris (kedua vektor harus dinyatakan dalam gambar)

Cara Analitis (tidak perlu digambar, kedua vektor harus dinyatakan dalam notasi vektor satuan dalam system koordinat)

(10)

Sifat Operasi Vektor

C = A + B B

A

A B

C = B + A

B A

C = A + B = B + A

(komutatif)

(11)

B

A

C

A

C

D B

B C A

D

D = (A + B) + C

D = A + (B + C)

(A + B) + C = A + (B + C)

(asosiatif)

Sifat Operasi Vektor

(12)

Operasi Vektor: Penjumlahan

� �

Misal, diketahui vektor dengan panjang dan vektor dengan panjang berikut ini

Berapakah resultan atau panjang ( atau

�

 �

Dengan  adalah sudut terkecil yang

dibentuk oleh vektor dan vektor

(13)

�

• Vektor dan vektor diletakkan pada titik asal sama

• Cara Geometri

= ?

�

• Vektor dan vektor digambar lagi sehingga terbentuk () dengan panjang

• Bentuk () agar menjadi segitiga siku-siku sehingga perhitungan dapat dilakukan dengan teorema Phytagoras



��

� sin �

Maka,

(14)

• Cara Analitis

= ? ⃗ � =�

_�

� ^ + �

_�

^ � ⃗ �= �

_�

�+ ^ �

_�

^ �

�

(¿ ¿ � +��) ^�+(��+��) ^{^}�

⃗�+ ⃗�=¿ Komponen vektor yang searah dijumlahkan

�

(¿ ¿ � +�_�)²+( ^�� +�_� )²

|^⃗�+ ⃗�|=�=√¿

Sesuai dengan teorema phytagoras Sedangkan sudut terhadap horizontal adalah

tan�=�_�+�_�

Dinyatakan dalam notasi vektor , dan

(15)

Operasi Vektor: Pengurangan

� �

Berapakah selisih atau panjang ( atau

�

� 

(16)

Operasi Vektor: Pengurangan

�

• Vektor dan vektor diletakkan pada titik asal sama

• Cara Geometri

= ?

�

• Vektor dan vektor digambar lagi sehingga terbentuk () dengan panjang

• Bentuk () agar menjadi segitiga siku-siku sehingga perhitungan dapat dilakukan dengan teorema Phytagoras



��

� sin �

Maka,

�

Dengan cara yang sama seperti pada penjumlahan:

(17)

Operasi Vektor

Persamaan penjumlahan dan pengurangan (Resultan dan Selisih) yang diperoleh sebelumnya, juga dapat diaplikasikan untuk berbagai bentuk vektor lain dengan berbagai sudut terhadap horisontal, karena persamaan yang diperoleh, hanya bergantung pada kedua panjang vektor dan sudut terkecil antara dua vektor tersebut

� �



Dengan  adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor dan vektor

adalah panjang vektor adalah panjang vektor

(18)

Operasi Vektor: Perkalian Titik

� �

Berapakah perkalian titik (dot product)

�

 �

(19)

Operasi Vektor: Perkalian Titik

• Diperoleh dengan memproyeksikan salah satu vektor ke arah vektor yang lain

• Cara Geometri

= ?

�  �

��

• Mengalikan kedua komponen vektor yang searah tersebut, sehingga

(20)

Operasi Vektor: Perkalian Titik

• Cara Analitik

= ? ⃗ �=�

_�

� ^ + �

_�

^ � ⃗ �= �

_�

� ^ + �

_�

^ �

.

Dengan menerapkan:. = . karena searah ; . = . karena tegak lurus, maka

Dinyatakan dalam notasi vektor satuan

⃗ � . ⃗ � = � � � � + � � � �

(21)

Operasi Vektor: Perkalian Silang

� �

Berapakah perkalian silang (cross product)

�

 �

Dengan  adalah sudut terkecil yang

(22)

• Hasil perkalian silang antara dua vektor selalu mempunyai arah tegak lurus dengan vektor pengalinya (searah atau -), sesuai

dengan arah putaran sekrup,

menghasilkan besaran vektor

• Cara Geometri

= � ^ =

Meja

horisontal

(23)

• Cara Analitis ⃗ �=�

_�

� ^ + �

_�

^ � + �

_�

� ^

⃗ �= �

_�

�+ ^ �

_�

^ � + �

_�

� ^

Dinyatakan dalam notasi vektor satuan

⃗�= ⃗�×⃗�=

|

^�^�^�^{^}^�^� ^�^�^{^}^�^�^� ^�^�^�^{^}^�^�

|

⃗ � =⃗ � × ⃗ � = ( �

�

_�

− �

_�

�

_�

) � ^ − ( �

�

_�

− �

_�

�

_�

) ^ � + ( �

�

_�

− �

_�

�

_�

) � ^