Metode Iterasi Titik Tetap

(1)

Met

Metod ode It e It er era as s i i T T i it ti ik T k T et eta ap p

M

Meetotodede iteiterasrasii titiktitik tetetaptap adalahadalah mmeetotodede ygyg mmeemmisisahahkkanan xx den

dengangan sseebagibagianan x yanx yang lag lain in ssehehininggagga dipdiperoerolehleh : x = : x = g(x)g(x)..

C

Cariari akakarar dgndgn pepertidakrtidakssamamaanaan ::

X

X_k_k+₊₁₁ = g(X= g(X_k_k)); u; unntutukk k k = = 0, 1, 0, 1, 2, 2, 3, …3, … dgnX

dgnX₀₀ asasuummssii awawalalnnya, ya, ssehehininggagga didiperolehperoleh babaririssanan ::

X

X₀₀, , XX₁₁, , XX₂₂, , XX₃₃, , … … yanyang g dihdiharaparapkankan kkononvvergeergenn kkee akarnakarnya.ya.

J

Jikikaa g’g’((x)x) ^ε^ε [a, [a, b] dab] dann --1< g’(x) ≤ 11< g’(x) ≤ 1 uunntutukk sseetiaptiap xx ^ε^ε [a, b],[a, b], m

makakaa titiktitik tetetaptap tetersrseebubutt tutunnggaggall dandan iteiterasrasininyyaa akakanan ko

konnvvergenergen mmenenuujuju akarakar

(2)

f(x) = e f(x) = e^-x^-x -- xx

akar akar

y

y₁₁(x) = x(x) = x y

y₂₂(x) = e(x) = e^-x^-x akar

akar

(3)



Contoh : Contoh :



f( f(x) x) = = x – x – e e

^x^x

= = 0 0

ubah menjadi : x = e ubah menjadi : x = e

x x

atau g(x) = e atau g(x) = e

x x



ff((x) x) = = x x

²²

-- 2 2x x + 3 + 3 = 0 = 0 ubah menjadi : x = (x

ubah menjadi : x = (x

²²

+ + 3) 3) / / 2 at 2 atau au g(x) = (x

g(x) = (x

²²

+ 3) + 3) / / 2 2



g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini

iterasi sederhana ini

(4)

Proses Metode Iterasi Titik Tetap

(5)

Kriteria Konvergensi Kriteria Konvergensi

38 38



 Teorema :Teorema : Mis

Misalalkan g(x) dkan g(x) dan g’an g’(x) kon(x) kontitinnu u dadalalam m sselaelanng g [a[a,b] ,b] = = [s[s-h, s-h, s++hh]]

yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x

yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x₀₀ dipilih dalamdipilih dalam selang tersebut.

selang tersebut.

Jika

| g | g’’(x (x)| < )| <1 1

untuk semua x elemen [a,b] maka iterasiuntuk semua x elemen [a,b] maka iterasi

x x

_r+1_r+1

= g(x

= g(x ) )

_r_r akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titikakan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif

atraktif Jika

Jika

| g | g’’(x (x)| > )| >1 1

untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xuntuk semua x elemen [a,b] maka iterasi x_r+_r+1₁

= g(x

= g(x_rr) akan divergen dari s) akan divergen dari s

(6)

(7)

(8)

(9)

42 42

(10)

43 43