Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-Metrik

Teks penuh

(1)

Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap

pada Ruang

𝑏

-Metrik

Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia

e-mail: sunarsini@matematika.its.ac.id Abstrakβ€” Dalam paper ini, dibahas mengenai ruang

b-metrik yang merupakan generalisasi dari ruang metrik. Bahasan yang menarik untuk dikaji dalam ruang b-metrik diantaranya adalah mengenai konvergensi barisan serta teorema titik tetap. Untuk mendapatkan teorema titik tetap dalam ruang metrik, perlu ditunjukkan bahwa ruang b-metrik tersebut lengkap. Pada paper ini, ditunjukkan bahwa ruang b-metrik π“΅πŸ

𝟐

merupakan ruang b-metrik yang lengkap, sehingga didapatkan pula teorema titik tetap dalam ruang b-metrik π“΅πŸ

𝟐

..

Kata Kunciβ€”Ruang Metrik, Ruang b-Metrik, Konvergensi Barisan, Teorema Titik Tetap.

I. PENDAHULUAN

alam mempelajari ilmu pengetahuan tentu di dalamnya mempelajari matematika. Analisis fungsional merupakan salah satu cabang dari matematika analisis. Konsep umum yang dibahas dalam analisis fungsional diantaranya ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach, ruang hasil kali dalam, dan ruang Hilbert.

Pembahasan dalam analisis fungsional pun mulai berkembang, salah satunya tertuju pada perumuman ruang metrik serta pengembangan teorema titik tetap pada ruang-ruang tertentu.

Masalah konvergensi barisan merupakan salah satu bagian yang cukup menarik pada pembahasan di dalam analisis fungsional. Khususnya barisan di dalam ruang metrik dan ruang b-metrik.

Teorema titik tetap atau teorema pemetaan kontraktif merupakan hal yang penting dalam pembahasan mengenai ruang metrik. Teorema ini menunjukkan bahwa titik tetap dari pemetaan pada ruang metrik itu ada dan tunggal. Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Stefan Banach pada tahun 1920.

Selain itu, pengembangan teorema titik tetap pada ruang b-metrik pun banyak diteliti. Konsep dari ruang b -metrik diperkenalkan dan dipelajari pada tahun 1989 oleh Bakhtin [9]. Bakhtin memperkenalkan ruang b-metrik sebagai generalisasi dari ruang metrik.

Dengan menggunakan gagasan ini, pada tahun 1993 Czerwik [8] menampilkan suatu generalisasi dari teorema titik tetap Banach pada ruang b-metrik.

Dalam paper ini, akan dikaji mengenai konvergensi barisan dan teorema titik tetap pada ruang b-metrik.

Ruang b-Metrik

Sebelum membahas mengenai ruang b-metrik, terlebih dahulu perlu dijelaskan mengenai pengertian ruang metrik serta konvergensi dalam ruang metrik. Hal

tersebut merupakan ide dasar dari konsep ruang 𝑏 -metrik.

Definisi 1.1[3] Misalkan 𝑋 suatu himpunan tak kosong.

Didefinisikan metrik atau fungsi jarak sebagai fungsi bernilai real 𝑑: 𝑋 Γ— 𝑋 β†’ ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut.

Untuk setiap π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, berlaku: (M1) 𝑑(π‘₯, 𝑦) β‰₯ 0.

(M2) 𝑑(π‘₯, 𝑦) = 0 ⇔ π‘₯ = 𝑦. (M3) 𝑑(π‘₯, 𝑦) = 𝑑(𝑦, π‘₯).

(M4) 𝑑(π‘₯, 𝑧) ≀ 𝑑(π‘₯, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧).

Jika 𝑑 metrik di 𝑋, maka pasangan (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik.

Contoh 1.2 [3] Pada himpunan ℝ dapat didefinisikan metrik 𝑑: ℝ Γ— ℝ β†’ ℝ dengan 𝑑(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| untuk setiap π‘₯, 𝑦 ∈ ℝ.

Berikutnya diberikan definisi mengenai barisan konvergen dalam ruang metrik.

Definisi 1.3[3] Suatu barisan (π‘₯𝑛) dari titik-titik dalam

suatu ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan konvergen ke π‘₯ ∈ 𝑋, dinotasikan dengan π‘₯𝑛→ π‘₯ untuk 𝑛 β†’ ∞ atau

lim

π‘›β†’βˆžπ‘₯𝑛= π‘₯

jika barisan bilangan real tak-negatif 𝑑(π‘₯𝑛, π‘₯) β†’ 0 saat

𝑛 β†’ ∞; dengan kalimat lain, untuk setiap πœ€ > 0, terdapat 𝑁 ∈ β„• sedemikian sehingga 𝑑(π‘₯𝑛, π‘₯) < πœ€ untuk

𝑛 β‰₯ 𝑁.

Berikut diberikan definisi mengenai barisan Cauchy pada ruang metrik.

Definisi 1.4[3] Misalkan (𝑋, 𝑑) suatu ruang metrik.

Suatu barisan (π‘₯𝑛) dari titik-titik di 𝑋 merupakan

barisan Cauchy jika untuk sebarang πœ€ > 0 terdapat 𝑁 ∈ β„• sedemikian hingga

𝑑(π‘₯π‘š, π‘₯𝑛) < πœ€ apabila π‘š, 𝑛 β‰₯ 𝑁.

Selanjutnya diberikan definisi mengenai ruang metrik lengkap.

Definisi 1.5[3]Misalkan (𝑋, 𝑑) suatu ruang metrik dan

𝐸 βŠ† 𝑋. Himpunan 𝐸 dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di 𝐸 mempunyai limit di 𝐸. Jika 𝑋

lengkap maka dikatakan (𝑋, 𝑑) ruang metrik lengkap.

Contoh 1.6 Himpunan bilangan real ℝ dengan metrik

𝑑(π‘₯, 𝑦) = |π‘₯ βˆ’ 𝑦| adalah suatu metrik lengkap. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut: misal (π‘₯𝑛) dengan

π‘₯𝑛= 1 βˆ’

1

𝑛 dan 𝑛 = 1,2, … adalah barisan Cauchy pada

(ℝ, 𝑑) dan (π‘₯𝑛) konvergen ke 1 ∈ ℝ maka terbukti

bahwa (ℝ, 𝑑) adalah ruang metrik lengkap.

(2)

Berikut ini diberikan definisi mengenai pemetaan kontraktif dalam ruang metrik.

Definisi 1.7[5] Diberikan (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik.

Pemetaan 𝑇: 𝑋 β†’ 𝑋 disebut kontraktif pada (𝑋, 𝑑) jika terdapat bilangan real 0 < π‘˜ < 1 untuk setiap π‘₯, 𝑦 ∈ 𝑋

yang memenuhi

𝑑(𝑇π‘₯, 𝑇𝑦) ≀ π‘˜π‘‘(π‘₯, 𝑦).

Setelah mendapatkan konsep mengenai ruang metrik, berikut akan diberikan definisi ruang b-metrik.

Definisi 1.8[1] Diberikan 𝑋 adalah suatu himpunan tak

kosong dan diberikan 𝑠 β‰₯ 1 bilangan riil. Suatu fungsi

𝑑𝑏: 𝑋 Γ— 𝑋 β†’ ℝ disebut b-metrik, untuk setiap π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋,

berlaku

(BM1)𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦) β‰₯ 0,

(BM2) 𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika π‘₯ = 𝑦,

(BM3)𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦) = 𝑑𝑏(𝑦, π‘₯)

(BM4)𝑑𝑏(π‘₯, 𝑧) ≀ 𝑠[𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦) + 𝑑𝑏(𝑦, 𝑧)]

Pasangan (𝑋, 𝑑𝑏) disebut ruang b-metrik.. II. METODOLOGIPENELITIAN Tahap pertama dari penelitian ini adalah mengkaji mengenai konvergensi barisan pada ruang b-metrik, kemudian akan ditunjukkan bahwa ruang b-metrik 𝑙1

2

adalah bukan merupakan suatu ruang metrik dengan syarat suatu nilai 𝑠 yang telah didapatkan. Langkah berikutnya adalah melakukan pengkajian mengenai ruang b-metrik 𝑙1

2

.

Setelah didapatkan mengenai konvergensi barisan pada ruang b-metrik berikut kelengkapannya, selanjutnya dikaji mengenai teorema titik tetap pada ruang b-metrik

𝑙1 2.

III. ANALISISDANPEMBAHASAN Konvergensi Barisan pada Ruang b-Metrik

Pada bagian ini akan diselidiki mengenai bagaimanakah konvergensi barisan pada ruang b-metrik.

Definisi 3.1[1] Diberikan (𝑋, 𝑑𝑏) ruang b-metrik.

Barisan {π‘₯𝑛} pada 𝑋 dikatakan konvergen jika dan hanya jika terdapat π‘₯ ∈ 𝑋 dan βˆ€πœ€ > 0 terdapat 𝑁 ∈ β„• sehingga untuk setiap 𝑛 β‰₯ 𝑁 didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯) < πœ€. Dalam hal ini dapat ditulis lim

π‘›β†’βˆžπ‘₯𝑛= π‘₯.

Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan konvergensi barisan pada ruang b-metrik.

Teorema 3.2 Diberikan (𝑋, 𝑑𝑏) ruang b-metrik. Jika barisan (π‘₯𝑛), (𝑦𝑛) di dalam 𝑋 yang masing-masing

konvergen ke π‘₯ dan 𝑦 maka barisan (𝑑𝑏(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛))

konvergen ke 𝑠𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦), untuk suatu 𝑠 β‰₯ 1.

Teorema 3.3 Jika (π‘₯𝑛) barisan di (𝑋, 𝑑𝑏) konvergen

maka (π‘₯𝑛) memiliki limit tunggal.

Selanjutnya, akan didefinisikan mengenai konsep barisan Cauchy pada ruang b-metrik yang masih berkaitan dengan kekonvergenan dalam ruang b-metrik.

Definisi 3.4[1] Diberikan (𝑋, 𝑑𝑏) merupakan ruang

b-metrik. Barisan (π‘₯𝑛) pada 𝑋 disebut barisan Cauchy jika dan hanya jika untuk setiap πœ€ > 0 terdapat 𝑁 ∈ β„•

sehingga untuk setiap 𝑛, π‘š β‰₯ 𝑁 didapatkan

𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯π‘š) < πœ€.

Definisi 3.5[1] Ruang b-metrik (𝑋, 𝑑𝑏) dikatakan

lengkap jika setiap barisan Cauchynya konvergen. Dari Definisi 3.4 diperoleh teorema mengenai barisan Cauchy berikut ini.

Teorema 3.6 Diberikan (𝑋, 𝑑𝑏) ruang 𝑏-metrik. Jika

(π‘₯𝑛) Barisan konvergen di (𝑋, 𝑑𝑏), maka (π‘₯𝑛)

merupakan barisan Cauchy. Ruang b-Metrik β„“1

2

Setelah mengetahui konsep-konsep mengenai ruang b -metrik dan konvergensinya, pada bagian ini akan diselidiki mengenai ruang ℓ𝑝 (0 < 𝑝 < 1) khususnya

𝑝 =1 2. Definisi 3.7[1] Himpunan β„“1 2 β„“1 2 = {π‘₯ = (π‘₯𝑛); π‘₯π‘›βˆˆ ℝ ∢ βˆ‘|π‘₯𝑛|12 ∞ 𝑛=1 < ∞}

Dari Definisi 3.7 diperoleh teorema sebagi berikut.

Teorema 3.8 Diberikan himpunan β„“1

2 . Jika 𝑑𝑏: β„“1 2 Γ— β„“1 2 β†’ ℝ dengan 𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦) = (βˆ‘ |π‘₯π‘›βˆ’ 𝑦𝑛| 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 maka 𝑑𝑏

merupakan b-metrik dengan 𝑠 = 22= 4. Lebih lanjut,

(β„“1 2

, 𝑑𝑏) merupakan ruang b-metrik.

Selanjutnya akan diberikan mengenai konvergensi barisan Cauchy pada ruang b-metrik β„“1

2 dan sifat lengkap

dari ruang b-metrik (β„“1 2

, 𝑑𝑏), seperti tertuang dalam

teorema dibawah ini.

Teorema 3.9 Diberikan (β„“1 2

, 𝑑𝑏) ruang b-metrik. Jika

(π‘₯𝑛) barisan konvergen di (β„“1 2

, 𝑑𝑏), maka (π‘₯𝑛)

merupakan barisan Cauchy.

Bukti.

Ambil (π‘₯𝑛) sebarang barisan di ruang 𝑏-metrik

(β„“1 2

, 𝑑𝑏). Untuk setiapπœ€ > 0 terdapat𝑁 ∈ β„• dan 𝑠 = 4, sehingga untuk setiap 𝑛, π‘š β‰₯ 𝑁 berlaku 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯) <

πœ€ 8 dan 𝑑𝑏(π‘₯π‘š, π‘₯) < πœ€ 8 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯) artinya 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯) = (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯| 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 <πœ€ 8 𝑑𝑏(π‘₯π‘š, π‘₯) artinya

(3)

𝑑𝑏(π‘₯π‘š, π‘₯) = ( βˆ‘ |π‘₯π‘šβˆ’ π‘₯| 1 2 ∞ π‘š=1 ) 2 <πœ€ 8 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯π‘š) ≀ 4[𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯) + 𝑑𝑏(π‘₯π‘š, π‘₯)] ≀ 4 [( βˆ‘ [|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯| + |π‘₯π‘šβˆ’ π‘₯|]12 ∞ 𝑛,π‘š=1 ) 2 ] ≀ 4 [(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯|12 ∞ 𝑛=1 ) 2 + ( βˆ‘ |π‘₯π‘šβˆ’ π‘₯|12 ∞ π‘š=1 ) 2 ] < 4 [πœ€ 8+ πœ€ 8] = πœ€ jadi 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯π‘š) < πœ€

Sehingga terbukti bahwa (π‘₯𝑛) merupakan barisan

Cauchy.

Teorema 3.10 Ruang (β„“1 2

, 𝑑𝑏) merupakan ruang b -metrik yang lengkap.

Bukti.

Ambil sebarang barisan Cauchy (π‘₯𝑛) di β„“1 2

dengan

π‘₯𝑛= (π‘₯𝑛1, π‘₯𝑛2, π‘₯𝑛3, … ), maka untuk setiap πœ€ > 0,

terdapat 𝑁 sehingga untuk π‘š, 𝑛 β‰₯ 𝑁, berlaku

𝑑𝑏(π‘₯π‘š, π‘₯𝑛) = (βˆ‘ |π‘₯π‘šπ‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗| 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 < πœ€ (1)

Ini memenuhi untuk setiap 𝑗 = 1,2, … sehingga didapatkan

|π‘₯π‘šπ‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗| < πœ€ (2)

Sekarang ambil 𝑗 tetap. Dari (2) terlihat bahwa (π‘₯𝑛𝑗)

adalah barisan Cauchy di ℝ, karena ℝ merupakan suatu ruang metrik lengkap, sehingga untuk setiap barisan Cauchynya konvergen, katakan konvergen ke π‘₯π‘—βˆˆ ℝ

sehingga π‘₯𝑛𝑗→ π‘₯𝑗 saat 𝑛 β†’ ∞. Dengan menggunakan

limit ini, didefinisikan π‘₯ = (π‘₯1, π‘₯2, π‘₯3, … ) dan akan

ditunjukkan bahwa π‘₯ ∈ β„“1 2 dan

π‘₯𝑛→ π‘₯.

Dari (1) didapatkan untuk setiap π‘š, 𝑛 β‰₯ 𝑁 dan π‘˜ β‰₯ 1, diperoleh βˆ‘|π‘₯π‘šπ‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗| 1 2< πœ€12 π‘˜ 𝑗=1

jika π‘š β†’ ∞ dan π‘˜ β†’ ∞, untuk 𝑛 β‰₯ 𝑁. didapatkan

βˆ‘ |π‘₯π‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗|

1 2< πœ€12

∞

𝑗=1 (3)

Ini menunjukkan bahwa π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑛= (π‘₯π‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗) ∈ β„“1 2.

Karena π‘₯π‘›βˆˆ β„“1 2

, maka berdasarkan Ketaksamaan Minkowski (βˆ‘ |π‘₯𝑛𝑗+ (π‘₯π‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗)| 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 ≀ (βˆ‘ |π‘₯𝑛𝑗| 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 + (βˆ‘ |π‘₯π‘—βˆ’ π‘₯𝑛𝑗| 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 karena π‘₯π‘›βˆˆ β„“1 2 dan π‘₯ βˆ’ π‘₯π‘›βˆˆ β„“1 2, maka π‘₯ = π‘₯𝑛+ π‘₯ βˆ’ π‘₯π‘›βˆˆ β„“1 2 .

Pada persamaan (3) merepresentasikan [𝑑𝑏(π‘₯, π‘₯𝑛)]𝑝,

sehingga persamaan tersebut menunjukkan bahwa π‘₯𝑛→

π‘₯, dan karena (π‘₯𝑛) merupakan sebarang barisan Cauchy

di β„“1 2

, maka hal ini menunjukkan kelengkapan dari β„“1 2

. Teorema Titik Tetap pada Ruang b-Metrik β„“1

2

Pada bagian ini, akan diberikan beberapa teorema titik tetap dari ruang b-metrik β„“1

2

. Secara umum, teorema titik tetap pada ruang b-metrik telah diuraikan pada [7].

Teorema pertama mengenai prinsip kontraktif Banach pada ruang b-metrik β„“1

2.

Teorema 3.11(Teorema Titik Tetap Banach)

Diberikan (β„“1 2

, 𝑑𝑏) ruang b-metrik yang lengkap dengan konstanta 𝑠 = 22= 4 dan 𝑇: β„“1

2

β†’ β„“1 2

suatu pemetaan kontraktif dengan batasan π‘˜ ∈ [0,1/4) dan π‘˜π‘  < 1. Jika barisan (π‘₯𝑛) ∈ β„“1 2 dengan π‘₯𝑛= 𝑇 π‘₯π‘›βˆ’1= 𝑇 𝑛π‘₯ 0, 𝑛 = 1,2, … . sehingga 𝑑𝑏(𝑇π‘₯, 𝑇𝑦) ≀ π‘˜π‘‘π‘(π‘₯, 𝑦) maka terdapat π‘₯βˆ—βˆˆ β„“1 2 sedemikian hingga π‘₯𝑛→ π‘₯βˆ—

dan π‘₯βˆ— adalah titik tetap tunggal 𝑇.

Bukti:

Ambil sebarang π‘₯0∈ β„“1 2

dan (π‘₯𝑛) suatu barisan pada

β„“1

2 dengan

π‘₯𝑛= 𝑇 π‘₯π‘›βˆ’1= 𝑇𝑛π‘₯0,𝑛 = 1,2, …

Karena 𝑇 adalah suatu pemetaan kontraktif dengan konstanta π‘˜ ∈ [0,1/4) maka didapatkan

𝑑𝑏(𝑇2π‘₯ 0, 𝑇2π‘₯1) ≀ π‘˜π‘‘π‘(𝑇π‘₯0, 𝑇π‘₯1) ≀ π‘˜2𝑑 𝑏(π‘₯0, π‘₯1) ≀ π‘˜2(βˆ‘|π‘₯ 0βˆ’ π‘₯1| 1 2) 2 jadi 𝑑𝑏(𝑇2π‘₯0, 𝑇2π‘₯1) ≀ π‘˜π‘›(βˆ‘|π‘₯0βˆ’ π‘₯1| 1 2) 2

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (π‘₯𝑛) adalah barisan Cauchy pada β„“1

2. Diberikan π‘š, 𝑛 > 0 dan π‘š > 𝑛, 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯π‘š) < 4 (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯𝑛+1| 1 2) 2 + 42(βˆ‘|π‘₯ 𝑛+1βˆ’ π‘₯𝑛+2|12) 2 +43(βˆ‘|π‘₯ 𝑛+2βˆ’ π‘₯𝑛+3| 1 2) 2 + β‹― < 4π‘˜π‘›(βˆ‘|π‘₯ 0βˆ’ π‘₯1| 1 2) 2 + 42π‘˜π‘›+1(βˆ‘|π‘₯ 0βˆ’ π‘₯1|12) 2 +43π‘˜π‘›+2(βˆ‘|π‘₯ 0βˆ’ π‘₯1| 1 2) 2 + β‹― = 4π‘˜π‘›(βˆ‘|π‘₯ 0βˆ’ π‘₯1| 1 2) 2 [1 + 4π‘˜ + (4π‘˜)2+ (4π‘˜)3+ β‹― ] (4)

Kemudian ambil 𝑛, π‘š β†’ ∞ pada (4), didapatkan

lim π‘š,π‘›β†’βˆžπ‘‘π‘(π‘₯𝑛, π‘₯π‘š) = limπ‘š,π‘›β†’βˆž(βˆ‘|π‘₯π‘šβˆ’ π‘₯𝑛| 1 2) 2 = 0

Sehingga, (π‘₯𝑛) adalah barisan Cauchy pada β„“1 2.

Berdasarkan kelengkapan dari β„“1 2

maka (π‘₯𝑛) konvergen

ke π‘₯βˆ—βˆˆ β„“1

2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

π‘₯βˆ—

(4)

𝑇π‘₯βˆ—= lim

π‘›β†’βˆžπ‘‡ π‘₯𝑛= limπ‘›β†’βˆžπ‘‡ π‘₯𝑛+1= π‘₯ βˆ—

π‘₯βˆ— adalah titik tetap dari 𝑇. Perlu ditunjukkan bahwa titik

tetapnya tunggal.

Anggap π‘₯β€² adalah titik tetap yang lain dari 𝑇, maka

𝑇π‘₯β€²= π‘₯β€². 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, π‘₯β€²) = 𝑑 𝑏(𝑇π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯β€²) ≀ π‘˜ (βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ π‘₯β€²| 1 2) 2 (5) Persamaan (5) menunjukkan bahwa π‘˜ β‰₯ 1 namun dalam hal ini kontradiksi dengan π‘˜ ∈ [0,1/4). Sehingga titik tetapnya adalah tunggal.

Berikutnya akan diberikan teorema mengenai teorema titik tetap tipe Kannan pada ruang b-metrik β„“1

2

.

Teorema 3.12(Teorema Titik Tetap Kannan)

Diberikan (β„“1 2

, 𝑑𝑏) ruang b-metrik yang lengkap dengan

konstanta 𝑠 = 22= 4 dan 𝑇: β„“1

2

β†’ β„“1

2 suatu pemetaan

untuk setiap πœ‡ ∈ [0, 1/2) . Jika barisan (π‘₯𝑛) ∈ 𝑋 dengan

π‘₯𝑛= 𝑇 π‘₯π‘›βˆ’1= 𝑇𝑛π‘₯ 0, 𝑛 = 1,2, … . sedemikian hingga untuk setiap π‘₯, 𝑦 ∈ β„“1 2 berlaku 𝑑𝑏(𝑇π‘₯, 𝑇𝑦) ≀ πœ‡[𝑑𝑏(π‘₯, 𝑇π‘₯) + 𝑑𝑏(𝑦, 𝑇𝑦)] (6) maka terdapat π‘₯βˆ—βˆˆ β„“1 2 sedemikian hingga π‘₯𝑛→ π‘₯βˆ—

dan π‘₯βˆ— adalah titik tetap tunggal 𝑇.

Bukti:

Ambil sebarang π‘₯0∈ β„“1 2 dan

(π‘₯𝑛) suatu barisan pada

β„“1 2

dengan

π‘₯𝑛= 𝑇 π‘₯π‘›βˆ’1= 𝑇𝑛π‘₯

0,𝑛 = 1,2, …

Dengan menggunakan ketaksamaan (6) didapatkan

𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯𝑛+1) = 𝑑𝑏(𝑇π‘₯π‘›βˆ’1, 𝑇π‘₯𝑛) ≀ πœ‡[𝑑𝑏(π‘₯π‘›βˆ’1, π‘₯𝑛) + 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯𝑛+1)] = πœ‡ [(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ π‘₯𝑛|12) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯𝑛+1| 1 2) 2 ] ≀ πœ‡ πœ‡ βˆ’ 1(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ π‘₯𝑛| 1 2) 2 jadi 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯𝑛+1) ≀ πœ‡ πœ‡βˆ’1𝑑𝑏(π‘₯π‘›βˆ’1, π‘₯𝑛) dan didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯𝑛+1) ≀ ( πœ‡ πœ‡ βˆ’ 1) 𝑛 (βˆ‘|π‘₯0βˆ’ π‘₯1| 1 2) 2 Karena πœ‡ ∈ [0, 1/2) maka πœ‡ πœ‡βˆ’1∈ [0,1). Sehingga, 𝑇

merupakan suatu pemetaan kontraktif.

Dari Teorema 3.11 telah ditunjukkan bahwa (π‘₯𝑛)

adalah barisan Cauchy pada β„“1 2

dan merupakan barisan konvergen. Anggap bahwa (π‘₯𝑛) konvergen ke π‘₯βˆ—βˆˆ β„“1

2 sehingga didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) ≀ 4[𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, π‘₯𝑛) + 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, 𝑇π‘₯βˆ—)] = 4 [(βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ π‘₯ 𝑛| 1 2) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—|12)2] ≀ 4 (βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ π‘₯ 𝑛| 1 2) 2 + 4πœ‡[(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ π‘₯𝑛| 1 2) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—| 1 2) 2 ] Dan didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) ≀ 4 1βˆ’4πœ‡(βˆ‘|π‘₯ βˆ—βˆ’ π‘₯ 𝑛| 1 2) 2 + 4πœ‡ 1βˆ’4πœ‡(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—|12)2 (7) Dari (7), didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) ≀ 4 1βˆ’4πœ‡(βˆ‘|π‘₯ βˆ—βˆ’ π‘₯ 𝑛| 1 2) 2 + 4πœ‡ 1βˆ’4πœ‡( πœ‡ πœ‡βˆ’1) 𝑛 (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—| 1 2) 2 (8) Diberikan 𝑛 β†’ ∞ pada (8) sehingga

lim

π‘›β†’βˆžπ‘‘π‘(π‘₯

βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) = lim π‘›β†’βˆž(βˆ‘|π‘₯

βˆ—βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—|12)2= 0

Oleh karena itu, π‘₯βˆ—= 𝑇π‘₯βˆ— dan menunjukkan bahwa π‘₯βˆ—

adalah titik tetap tunggal dari 𝑇.

Berikutnya akan diberikan teorema mengenai teorema titik tetap tipe Chatterjea pada ruang b-metrik β„“1

2

.

Teorema 3.13(Teorema Titik Tetap Chatterjea)

Diberikan (β„“1 2

, 𝑑𝑏) ruang b-metrik yang lengkap dengan konstanta 𝑠 = 22= 4 dan 𝑇: β„“1

2

β†’ β„“1 2

suatu pemetaan untuk setiap πœ† ∈ [0, 1/8) dan π‘ πœ† <1

8. Jika barisan

(π‘₯𝑛) ∈ β„“1

2 dengan

π‘₯𝑛= 𝑇 π‘₯π‘›βˆ’1= 𝑇𝑛π‘₯

0, 𝑛 = 1,2, … .

sedemikian hingga untuk setiap π‘₯, 𝑦 ∈ β„“1 2 berlaku 𝑑𝑏(𝑇π‘₯, 𝑇𝑦) ≀ πœ†[𝑑𝑏(π‘₯, 𝑇𝑦) + 𝑑𝑏(𝑦, 𝑇π‘₯)] (9) maka terdapat π‘₯βˆ—βˆˆ β„“1 2 sedemikian hingga π‘₯𝑛→ π‘₯βˆ—

dan π‘₯βˆ— adalah titik tetap tunggal 𝑇.

Bukti:

Ambil sebarang π‘₯0∈ β„“1 2

dan (π‘₯𝑛) suatu barisan pada

β„“1

2 dengan

π‘₯𝑛= 𝑇 π‘₯π‘›βˆ’1= 𝑇𝑛π‘₯0,𝑛 = 1,2, …

Dengan menggunakan ketaksamaan (9) didapatkan

𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯𝑛+1) = 𝑑𝑏(𝑇π‘₯π‘›βˆ’1, 𝑇π‘₯𝑛) = (βˆ‘|𝑇π‘₯π‘›βˆ’1 βˆ’ 𝑇π‘₯𝑛| 1 2) 2 ≀ πœ† [(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ 𝑇π‘₯𝑛|12) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯π‘›βˆ’1| 1 2) 2 ] = πœ† [(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ π‘₯𝑛+1|12) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯𝑛|12) 2 ] ≀ 4πœ† [(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ π‘₯𝑛| 1 2) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ π‘₯𝑛+1|12) 2 ] Dan didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯𝑛, π‘₯𝑛+1) ≀ 4πœ† 1 βˆ’ 4πœ†(βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’1βˆ’ π‘₯𝑛| 1 2) 2 Karena πœ† ∈ [0, 1/8) maka 4πœ† 1βˆ’4πœ†βˆˆ [0,1). Sehingga, 𝑇

merupakan suatu pemetaan kontraktif.

Dari Teorema 3.11 dan Teorema 3.12 telah ditunjukkan bahwa (π‘₯𝑛) adalah barisan Cauchy pada β„“1

(5)

dan merupakan barisan konvergen ke π‘₯βˆ—βˆˆ β„“1

2

.

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa π‘₯βˆ— adalah titik

tetap dari 𝑇. 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) ≀ 4 [(βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ π‘₯𝑛+1| 1 2) 2 + (βˆ‘|π‘₯𝑛+1βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—|12)2] = 4 (βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ π‘₯ 𝑛+1| 1 2) 2 + 4 (βˆ‘|𝑇π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—|12)2 ≀ 4 (βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ π‘₯ 𝑛+1| 1 2) 2 + 4πœ† [(βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ 𝑇π‘₯𝑛| 1 2) 2 + (βˆ‘|π‘₯π‘›βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—| 1 2) 2 ] Sehingga didapatkan 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) ≀ 4𝑑 𝑏(π‘₯βˆ—, π‘₯𝑛+1) + 4πœ†π‘‘π‘(π‘₯βˆ—, π‘₯𝑛+1) + 4πœ†π‘‘π‘(π‘₯𝑛, 𝑇π‘₯βˆ—)] (10)

Diberikan 𝑛 β†’ ∞ pada (10) sehingga

𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) ≀ 4πœ† (βˆ‘|π‘₯βˆ—βˆ’ 𝑇π‘₯βˆ—|

1 2)

2

(11) Ketaksamaan (11) salah, kecuali 𝑑𝑏(π‘₯βˆ—, 𝑇π‘₯βˆ—) = 0,

sehingga didapatkan π‘₯βˆ—= 𝑇π‘₯βˆ—.

IV. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Jika (π‘₯𝑛), (𝑦𝑛) barisan di dalam ruang b-metrik

(𝑋, 𝑑𝑏) yang masing-masing konvergen ke π‘₯ dan

𝑦, maka (𝑑𝑏(π‘₯𝑛, 𝑦𝑛)) konvergen ke 𝑠𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦),

untuk suatu 𝑠 β‰₯ 1.

2. Jika (π‘₯𝑛) barisan konvergen di ruang b-metrik

(𝑋, 𝑑𝑏) maka (π‘₯𝑛) memiliki limit tunggal

3. Ruang (β„“1 2

, 𝑑𝑏) merupakan ruang b-metrik yang lengkap terhadap b-metrik 𝑑𝑏(π‘₯, 𝑦) =

(βˆ‘ |π‘₯π‘›βˆ’ 𝑦𝑛| 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 .

4. Diperoleh 3 teorema titik tetap pada ruang b -metrik lengkap (β„“1

2

, 𝑑𝑏) yaitu:

a. Teorema Titik Tetap Banach b. Teorema Titik Tetap Kannan c. Teorema Titik Tetap Chatterjea

DAFTARPUSTAKA

[1] Dubey, A.K., Shukla, R., Dubey, R.P., 2014. β€œSome Fixed Point Results in b-Metric Spaces”. Asian Journal of Mathematics and Applications 2014. 0147.

[2] Alghamdi, M.A, Hussain, N., Salimi, P., 2013. β€œFixed Point and Coupled Fixed Point Theorems on b-Metric-like Space”. Journal of Inequalities and Application 1. 402.

[3] Yunus, M. 2005. Modul Ajar Pengantar Analisis

Fungsional. Surabaya: Jurusan Matematika ITS.

[4] Bartle, R.G. Sherbet, D.R. 2010. Introduction to Real Analysis (Fourth Edition). John Wiley and Sons, Inc., United States of America.

[5] Kreyszig, E. 1978. Introductory Fungsional

Analysis with Applications. New York: John Wiley

& Sons. Inc.

[6] Amini Harandi, A. 2012. β€œMetric-like Spaces, Partial Metric Space and Fixed Points” Fixed Point Theory Application 1. 204.

[7] Kir, M., Kiziltunc, H. 2013. β€œOn Some Well Known Fixed Point Theorems in b-Metric Spaces”. Turkish

Journal of Analysis and Number Theory 1. 13-16.

[8] Czerwik, S. 1993. β€œContaction Mappings in b-metric spaces”. Acta Math. Inform. Univ. Ostrav. 1, 5-11. [9] Bakhtin, IA. 1989. β€œThe Contraction Mapping

Principle in Quasimetric spaces”. Functional Analysis, vol 30. 26-37.

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...