TOPIK 8
FUNGSI NON-LINIER
Nur Aida Arifah Tara, M.Si., Ph.D
Sub Topik
• Pengertian fungsi non linier
• Pengertian kurva non linier
• Pengertian fungsi non linier dalam permintaan
• Penegrtian fungsi non linier dalam penawaran
• Pengertian fungsi non linier dalam
keseimbangan
Fungsi Kuadrat
• Identifikasi persamaan kuadrat
• Lingkaran
• Elips
• Hiperbola
• Parabola
Fungsi Kuadrat
• Fungsi dengan pangkat tertinggi variabelnya dua
1. Fungsi Kuadrat dan Grafik Fungsi Kuadrat
• Bentuk garisnya melengkung dan hanya punya
satu titik puncak
• Bentuk Umum
Y = a + bx +cx
2; c ≠ 0
2. Identifikasi Persamaan Kuadrat
• Dapat juga berbentuk
ax
2+ pxy + by
2+cx + dy+ e = 0
(Setidak-tidaknya salah satu a atau b tidak sama
dengan nol)
Bentuk umum suatu persamaan kuadrat ax
2+ pxy + by
2+cx + dy+ e = 0
2. Identifikasi Persamaan Kuadrat
Bentuk kurva:
• Jika p
2=0 dan a=b ≠ 0 lingkaran
• Jika p
2- 4ab < 0 elips
• Jika p
2– 4ab > 0 hiperbola
• Jika p
2– 4ab = 0 parabola
Bentuk umum suatu persamaan kuadrat ax
2+ pxy + by
2+cx + dy+ e = 0
•
jika p = 0
ax
2+ by
2+cx + dy+ e = 0
2. Identifikasi Persamaan Kuadrat
ax
2+ by
2+cx + dy+ e = 0
Bentuk kurva:
•
Jika a = b ≠ 0 lingkaran
•
Jika a ≠ b, tetapi bertanda sama
elips
•
Jika a dan b berlawanan tanda
hiperbola
•
Jika a = 0 atau b= 0,
tetapi tidak keduanya
parabola
• Persamaan kuadrat yang paling penting dalam penerapan bisnis dan ekonomi
• Rumus Umum
ax2 + by2 +cx + dy+ e = 0 dimana a atau b ≠ 0
• Bentuk Umum
2. Parabola
• Bentuk Umum (1) y = ax2 + bx +c
sumbu simetri // sumbu vertikal (2) x = ay2 + by +c
sumbu simetri // sumbu horizontal dimana a ≠ 0
Bentuk (1) y = ax2 + bx +c , yang sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi
Y Y
a. Parabola terbuka ke atas jika a > 0 b. Parabola terbuka ke bawah jika a < 0
2. Parabola
x x
a > 0 a < 0
Titik Ekstrim Parabola (i,j)
• -b , b
2– 4ac 2a - 4a
• Contoh: tentukan titik ekstrim parabola
2. Parabola
• Contoh: tentukan titik ekstrim parabola
y = -x
2+ 6x -2 dan perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
• Jawab:
y = -x
2+ 6x -2 ; terbuka ke bawah karena a = -1 < 0
titik ekstrimnya terletak di atas, berupa titik puncak
Jawab
Koordinat titik puncak:
• -b , b2 – 4ac 2a - 4a
= -6 , 36 – 8 -2 4
2. Parabola
y = -x
2+ 6x -2 a = -1
b = 6 c = -2
= ( 3 , 7 )
• Perpotongan dengan sumbu y : x = 0 y= (0) + (0) -2 y = -2
• Perpotongan dengan sumbu x : y = 0 0 = -x2 + 6x -2
rumus abc x1 = 0,35 ; x2 = 5,65
Rumus ABC
Jawab
x1 = (-6 + √(62 – 8))/-2
= (-6 + √(36 – 8))/-2
= (-6 + √28)/-2
= (-6 + 5,29)/-2
= -0,70/-2 x1 = 0,35
2. Parabola y = -x
2+ 6x -2
Rumus ABC
= -0,70/-2 x1 = 0,35 x2 = (-6 - √(62 – 8))/-2
= (-6 - √(36 – 8))/-2
= (-6 - √28)/-2
= (-6 - 5,29)/-2
= -11,29 /-2 x2 = 5,65
rumus abc x1 = 0,35 ; x2 = 5,65
y = -x2 + 6x -2 (3,7)
y
7
2. Parabola
simestri y = -x + 6x -2
-2
5,65 x 0,35 3
X = 3 Sumbusimestri
Latihan:
• tentukan titik ekstrim parabola
y = 2x
2- 8x + 5 dan perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
2. Parabola
• Jawab:
1. Identifikasi parabola 2. Tentukan titik puncak
3. Tentukan perpotongan dengan sumbu x dan y
Jawab :
y = 2x2 - 8x + 5
1. Identifikasi parabola
a >0 2>0 terbuka ke atas 2. Tentukan titik puncak
2. Parabola
2. Tentukan titik puncak (8/4 ; ((64-40)/-8)) (2 ; -3)
3. Tentukan perpotongan dengan sumbu x dan y Jika x = 0 y =5
Jika y = 0 x1 = 3,22 x2 = -0,77
Penerapan Ekonomi
• Fungsi Permintaan
• Fungsi Penawaran
• Keseimbangan Pasar Qd = Qs
• Fungsi Biaya 1. Biaya Tetap 2. Biaya Variabel
3. Biaya Tetap rata-rata 4. Biaya Variabel rata-rata 5. Biaya rata-rata
6. Biaya Marjinal
Contoh:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 19 - P2 sedangkan Qs = -8 + 2P2 . Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?
Jawab:
1. Keseimbangan pasar
1. Keseimbangan Pasar
1. Keseimbangan pasar Qd = Qs
19 - P2 = -8 + 2P2 19 + 8 = P2 + 2P2
27 = 3P2 Jadi, Pe = 3
Qd = 19 – P2
= 19 – 9 Qe = 10
Jika terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah) per unit, maka persamaan
penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi:
Penawaran sebelum pajak
Qs = -8 + 2P
2Penawaran sesudah pajak
Qs = -8 + 2 (P+1)
22. Keseimbangan Pasar
Penawaran sesudah pajak
Qs = -8 + 2 (P+1)
2 1.Keseimbangan pasar yang baru?
Qd = 19 - P
2sedangkan Qs = -6 + 4P + 2P
22.
Pajak yang ditanggung konsumen dan produsen per unit barang?
3.
Pajak yang diterima oleh pemerintah?
Jika terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah) per unit, maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi:
Penawaran sebelum pajak Qs = -8 + 2P2
Penawaran sesudah pajak Qs = -8 + 2 (P+1)2
= -8 + 2 ((P+1) x (P+1))
2. Keseimbangan Pasar
= -8 + 2 ((P+1) x (P+1))
= -8 + 2 (P2 + 2P + 1)
= -8 + 2P2 + 4P + 2
= -6 + 2P2 + 4P 1. Keseimbangan pasar yang baru?
Qd = 19 - P2 sedangkan Qs = -6 + 2P2 + 4P
2. Pajak yang ditanggung konsumen dan produsen per unit barang?
tk = Pe’ – Pe tk=0,63 ; tp = t – tk tp = 0,37
2. Pajak yang diterima oleh pemerintah? T = Qe’ x t 5,82
