BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Analisis regresi adalah salah satu metode statistika yang memiliki dua pilihan model yang berbeda, yaitu model linear dan non-linear berdasarkan parameternya. Model linier merupakan model yang menggambarkan hubungan antara variabel respon (𝑌) dan variabel prediktor (𝑋) (Faraway dalam Santi,dkk. 2021). Model linier juga kerap kali dikenal sebagai metode regresi linier. Persamaan regresi sendiri merupakan persamaan matematik yang melakukan peramalan nilai-nilai suatu variabel dependen dari satu atau lebih variabel independen. Berdasarkan hal tersebut, analisis regresi bertujuan membuat perkiraan nilai suatu variabel dependen jika nilai variabel-variabel yang berhubungan sudah ditentukan.
Terdapat dua analisis dalam model linier yaitu analisis regresi sederhana dan analisis regresi berganda. Analisis regresi sederhana merupakan hubungan antara satu variabel dependen dan satu variabel independen. Sedangkan analisis regresi berganda merupakan hubungan antara tiga variabel atau lebih, dengan sekurang-kurangnya dua variabel independen dengan satu variabel dependen. Generalized Linear Model (GLM) merupakan bentuk umum yang dikembangkan dari bentuk dasarnya yaitu model linear.
GLM ini merupakan pengembangan model regresi untuk peubah respon yang tidak berdistribusi normal. GLM merupakan model yang kerap kali digunakan untuk menghitung atau memodelkan berbagai macam tipe data dimana distribusi variabel respon merupakan distribusi keluarga eksponensial.
Seperti yang telah disampaikan pada paragraf pertama, analisis regresi merupakan alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui hubungan antara dua variabel atau lebih dengan salah satu variabel (variabel dependen) dapat diduga oleh variabel lain (variabel independen). Bentuk pola hubungan antara variabel dependen dan independen dapat bermacam-macam seperti linear, kuadratik, kubik dan sebagainya. Model linier memiliki perbedaan dengan model kuadratik. Model linier memiliki gambar grafik hubungan antara variabel dependen dan independen yang berbentuk menyerupai satu garis lurus, sedangkan pada model kuadratik grafik hubungan yang terbentuk berupa grafik persamaan kuadrat. Model atau metode kuadratik merupakan model dimana nilai
variabel dependen memiliki bentuk naik atau turun secara linier atau terjadi secara parabola atau kurva yang dihasilkan membentuk garis lengkung (Renyaan, 2018).
Model kuadratik juga kerap kali disebut sebagai model non-linear. Regresi non-linear model kuadratik merupakan hubungan antara dua peubah yang terdiri dari variabel dependen (𝑌) dan variabel independen (𝑋) sehingga akan diperoleh suatu kurva yang membentuk garis lengkung menaik atau menurun (Yusnandar, 2004).
Dalam suatu kejadian khusus sangat dimungkinkan terjadi kasus dimana variabel independen memiliki lebih dari satu pola hubungan dengan variabel dependennya, yaitu variabel independen dan dependen dimungkinkan memiliki pola hubungan yang tetap (tetap atau konstan merupakan ciri khas bentuk regresi linear), namun pada saat variabel independen berada pada nilai-nilai tertentu ternyata memiliki persamaan garis regresi yang berbeda. Perbedaan garis regresi dapat merupakan penggabungan dua model yang berbeda seperti regresi model linear-kuadratik, dimana saat awal grafik membentuk garis linear hingga saat variabel independen pada nilai tertentu grafik menjadi bentuk grafik kuadratik. Model tersebut dikenal dengan regresi Linear-Quadratic Model.
Model regresi Linear-Quadratic sebelumnya telah dibahas dalam penelitian Pastor dan Guallar (1998). Pada penelitian yang berjudul “Use of Two-segmented Logistic Regression to Estimate Change-points in Epidemiologic Studies” tersebut Pastor dan Guallar memaparkan studi epidemiologi yang seringkali dirancang untuk mengeksplorasi hubungan antara variabel eksposur secara terus-menerus dan resiko penyakit. Pada proses tersebut, seringkali terdapat hubungan dosis-respon yang tiba-tiba berubah ketika variabel paparan mencapai tingkat ambang batas yang tidak diketahui yang disebut titik perubahan, tetapi tidak ada metode yang bisa menganalisis atau menyediakan prosedur inferensi untuk memperkirakan lokasi titik perubahan. Pada penelitian tersebut Pastor dan Guallar memaparkan sifat dan aplikasi regresi model Linear-Quadratic dan untuk memperoleh model dengan estimasi yang terbaik, maka kita perlu mengestimasikan nilai titik ubah dan nilai koefisien regresi.
Penelitian tersebut kemudian dikembangkan kembali oleh F. Zhang, J. Yang, L. Liu et al. (2021) dalam artikel yang berjudul “Generalized linear-quadratic model with a change point due to a covariate threshold”. Pada penelitian ini, peneliti memperkenalkan model Linear-Quadratic Tergeneralisir dengan titik perubahan karena
ambang kovariat dengan satu segmen garis linier dan segmen kuadrat lainnya berpotongan di titik perubahan. Peneliti mengusulkan dua langkah metode untuk memperkirakan koefisien regresi dan titik perubahan. Sifat asimtotik dari estimator diturunkan oleh teori proses empiris modern. Uji sup-likelihood ratio bersamaan dengan distribusi terbatas digunakan untuk menguji keberadaan titik perubahan. Metode ini memiliki kekuatan yang lebih luas dalam beberapa skenario melalui studi simulasi.
Model Linear-Quadratic Tergeneralisir berasal dari model Linear tergeneralisir (Generalized Linear Model) dengan mengasumsikan prediktor kedalam bentuk kuadratik. Untuk melakukan prosedur estimasi tidak dapat dilakukan secara langsung dengan memaksimumkan fungsi likelihood karena terdapat titik perubahan. Oleh karena itu untuk melakukan prosedur estimasi dilakukan dalam dua langkah yang pertama dapatkan estimasi profil 𝜉, langkah kedua estimasi 𝛾. Kemudian untuk mengetahui keberadaan titik perubahan dapat dilakukan dengan menggunakan Uji sup-likelihood ratio. Kemudian untuk melihat keakuratan model, dilakukan uji simulasi dengan melakukan perbandingan terhadap beberapa metode lain dan untuk mengevaluasi apakah model fit silakukan dengan menghitung prediksi error dengan menggunakan K- Fold cross-validation.
Berdasarkan hal tersebut, maka dalam tesis ini dibahas tentang model linear kuadratik tergeneralisir dan dijabarkan langkah-langkah yang dilakukan untuk mengestimasi koefisien regresi dari model yang terbentuk. Kemudian untuk menentukan titik perubahan yang tidak diketahui dilakukan dengan menggunakan uji sup-likelihood ratio. Dalam rangka melihat keakuratan model, maka akan dilakukan simulasi dengan menggunakan data … yang kemudian akan dibandingkan dengan paket fungsi dalam R dan dengan menggunakan K-fold cross-validation akan dihitung prediksi nilai error dari model.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan dilakukan penelitian dan ditulisnya tesis ini adalah mempelajari konsep model linear kuadratik tergeneralisir dengan titik perubahan untuk melakukan estimasi koefisien regresi dan menentukan keberadaan titik perubahan.
1.3. Pembatasan Masalah
Dalam tesis ini batasan masalah diperlukan agar peneliti dapat fokus pada tujuan awal dan tidak terjadi penyimpangan alur bahasan. Pembahasan hanya akan difokuskan untuk menaksir estimasi koefisien regresi dan mengetahui keberadaan titik perubahan pada model regresi berbentuk linier-kuadratik tergeneralisir dengan titik perubahan.
1.4. Tinjauan Pustaka
Estimasi koefisien regresi dan menentukan keberadaan titik perubahan telah dilakukan dalam beberapa penelitian. Ada banyak penelitian dalam menentukan model titik perubahan dibawah regresi rata-rata tertentu untuk model regresi perubahan seperti:
Andrews, 1993; Bai and Perron, 1998; Kato, 2009; Lee et al., 2011. Dari penelitian- penelitian tersebut, terbatas pada topik bahasan yang terpaku pada GLM (Generalized Linear Model). Penelitian terakhir terkait titik perubahan dilakukan oleh Tapsoba et al.
(2020) yang memaparkan model tergeneralisir untuk mengestimasi titik ubah (Change Point) yang dapat digunakan pada data yang paling tidak memiliki satu titik ubah (change point) yang tidak diketahui sehubungan dengan beberapa kovariat dalam GLM baik untuk data independen maupun data yang saling berkorelasi. Metode tersebut kemudian diaplikasikan pada data HIV dan data Diabetes.
Penelitian-penelitian tersebut hanya berfokus pada bentuk Linier-Linier belum pada bentuk Linier-Kuadratik. Pastor dan Elisio (1998) mulai memaparkan bentuk regesi logistik Linier-Kuadratik dalam penelitiannnya yang kemudian dikembangkan oleh F.
Zhang, J. Yang, L. Liu et al. (2021). Penelitian milik Zhang, et al. tersebut menjadi Literatur utama dalam penulisan tesis ini. Penelitian tersebut bertujuan untuk untuk mengestimasi titik ubah (change point) yang tidak diketahui karena ambang kovariat pada bentuk Generalized Linear-Quadratic yang diaplikasikan pada Data tentang hubungan antara variabel usia dengan penyakit gagal jantung dan paket data hubungan antara usia dengan resiko ibu melahirkan anak Down Syndrome.
1.5. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan tesis ini adalah studi literatur yang diperoleh dari sumber-sumber seperti buku, artikel jurnal dan sebagainya serta penerapan atau aplikasi metode pada studi kasus yang ada.
1.6. Sistematika Penulisan
Tesis ini membahas tentang tentang model linear kuadratik tergeneralisir dan langkah- langkah yang dilakukan untuk mengestimasi koefisien regresi dari model yang terbentuk serta menentukan titik perubahan yang tidak diketahui dengan menggunakan uji sup-likelihood ratio dengan model Liniear-Kuadratik Tergeneralisir. Topik bahasan tersebut akan dibagi ke dalam beberapa bab bahasan.
Bab I adalah bagian pendahuluan yang berisikan latar belakang masalah, tujuan penulisan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penulisan dan sistematika penulisan. Bab II akan berisi uraian mengenai landasan teori yang digunakan dalam pembahasan, yaitu Regresi Linier, Regresi Kuadratik, Regresi Linear-Kuadratik, Generalized Linear Model, Titik Perubahan (Change Point), dan teorema-teorema yang berhubungan. Bab III akan menjabarkan tentang pengembangan model Generalized Linear-Quadratic Model, metode yang digunakan untuk memperkirakan estimasi koefisien regresi dan menentukan keberadaan titik perubahan. Bab IV akan berisi tentang uji simulasi yang dilakukan pada set data … yang kemudian akan dilakukan perbandingan hasil yang menggunakan model Generalized Linear-Quadratic Model dengan satu titik perubahan dan paket fungsi R. Bab V merupakan bab penutup yang berisi kesimpulan jawaban atas masalah yang berasal dari pembahasan masalah dan saran yang muncul akibat kekurangan-kekurangan pada proses pembahasan masalah.
Daftar Pustaka Sementara BAB I
Andrews, D. 1993. Tests for parameter instability and structural change with unknown change point.
Econometrica. Vol. 61: 821-856.
Bai, J., Perron, P., 1998. Estimating and testing linear models with multiple structural changes.
Econometrica Vol. 64, 47–78.
Kato, K., 2009. Asymptotics for argmin processes: convexity arguments. J. Multivariate Anal. Vol. 100:
1816–1829.
Lee, S., Seo, M.H., Shin, Y., 2011. Testing for threshold effects in regression models. J. Amer. Statist.
Assoc. Vol. 106: 220–231.
Pastor, Roberto, and Eliseo Guallar. 1998. Use of Two-segmented Logistic Regression to Estimate Change-points in Epidemiologic Studies. American Journal of Epidemiology. Vol. 148 No. 7:
631-642.
Renyaan, Novy Ika Anthonia. 2018. Perbandingan Metode Regresi Linier dan Kuadratik dalam Peramalan Penjualan Sepeda Motor. Skripsi. Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Fakultas Sains dan Teknologi.
Santi,Vera Maya, dkk. 2021. Pemodelan Jumlah Kasus Malaria di Indonesia Menggunakan Generalized Linier Model. Jurnal Statistika dan Aplikasinya. Vol 5 Issue (1): 112-120.
Tapsoba, J.d.D., Wang, C.-Y., Zangeneh, S., Chen, Y.Q., 2020. Methods for generalized change-point models: with applications to human immunodeficiency virus surveillance and diabetes data. Stat.
Med. Vol. 39: 1167–1182.
Wibisono, Yusuf. 2009. Metode Statistik. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.
Yusnandar, M.E. 2004. Aplikasi Analisis Regresi Non-Linear Model Kuadratik Terhadap Produksi Susu Kambing Peranakan Etawah (PE) Selama 90 hari Pertama Laktasi. Jurnal Informatika Pertanian.
Vol 13: 735-743.
Zhang, Feipeng., Jiejing Y., Lei L., dan Yuan, Yu. 2021. Generalized Linear-Quadratic Model with a Change Point due to Covariate Threshold. Online Journal of Statistical Planning and Inference.
Vol 216: 194-206.
