MODEL MATEMATIKA KOMPETISI DUA POPULASI

11

MODEL MATEMATIKA KOMPETISI DUA POPULASI

Nurul Imamah Ah¹, Christine Wulandari Suryaningrum², Abdul jalil³, Ajeng Dwi Ana Putri³

1Universitas Muhammadiyah Jember nurulimamah@unmuhjember.ac.id

2 Universitas Muhammadiyah Jember Christine.wulandari@unmuhjember.ac.id

3 Universitas Muhammadiyah Jember Abduljalil.matematika@gmail.com

3 Universitas Muhammadiyah Jember ajengdwianaputri@gmail.com

Abstrak

Matematika terapan yang bermakna penggunaan matematika dalam menyelesaikan fenomena alam, baik fenomena fisik maupun fenomena non fisik. Salah satu penggunaan matematika terapan dalam ilmu ekologi adalah model matematika. Model matematika yang dapat mewakili suatu populasi makhluk hidup adalah Model Matematika kompetisi dua populasi, model matematika kompetisi dua populasi yaitu Interaksi yang terjadi antara individu dalam satu spesies atau interaksi antara individu dengan spesies yang berbeda dan memiliki dampak negatif bagi keduanya disebut persaingan atau kompetisi. berdasarkan hasil analisis diperoleh 4 titik kesetimbangan, sedangkan kestabilan dari titik kesetimbangan sistem juga memenuhi 4 kondisi Kata Kunci: matematika terapan, model kompetisi dua populasi, titik kesetimbangan, kestabilan dari titik kesetimbangan

Abstract

Applied mathematics which means the use of mathematics in solving natural phenomena, both physical phenomena and non-physical phenomena. Applied mathematics in ecology is mathematical models. Mathematical models can represent a population of living things are the Mathematical Model of two-population competition, the mathematical model of two-population competition is Interactions that occur between individuals in one species or interactions between individuals with different species and have a negative impact on both are called competition. based on the results of the analysis obtained 4 equilibrium points, while the stability of the equilibrium point of the system also fulfills 4 conditions.

Keywords: applied mathematics, model of the two-population competition, equilibrium, stability of the equilibrium.

PENDAHULUAN

Matematika terapan dapat digunakan dalam berbagai bidang, misalnya dalam bidang kedokteran, ekologi, biologi, ekonomi dan bidang-bidang lainnya [1].

Pemodelan matematika sebagai suatu pendekatan dalam merumuskan fenomena digunakan untuk meramalkan perilaku sistem. Perilaku sistem ini kemudian diasumsikan sehingga kita dapat mengetahui perilaku situasi yang sebenarnya. Salah satu fenomena yang dapat diformulasikan dalam bentuk pemodelan Matematika adalah fenomena perilaku makhluk hidup [2].

Setiap makhluk hidup dituntut untuk senantiasa berinteraksi dengan makhluk hidup lainnya. Interaksi yang terjadi antara individu dalam satu spesies atau interaksi antara individu dengan spesies yang berbeda dapat berdampak positif bagi keduanya, berdampak negatif bagi keduanya maupun berdampak negatif bagi salah satu spesies

dan positif bagi spesies yang lain. Jika berdampak positif bagi keduanya, interaksi keduanya disebut simbiosis mutualisme. Jika berdampak negatif bagi keduanya disebut persaingan atau kompetisi, sedangkan jika berdampak positif bagi spesies yang satu sedangkan bagi spesies yang lainnya negatif maka interaksi tersebut disebut dengan prey-predator. [3]

Ekologi merupakan salah satu cabang ilmu biologi yang mempelajari makhluk hidup seperti manusia, hewan dan tumbuhan yang hidup bersama dan saling mempengaruhi di dalam lingkungannya. Kompetisi dalam suatu ekosistem merupakan salah satu bentuk interaksi antar individu yang bersaing memperebutkan kebutuhan hidup yang sama. Pada individu hewan, kebutuhan hidup yang sering diperebutkan antara lain adalah makanan, sumber air, tempat berlindung atau bersarang dan pasangan untuk kawin. Contoh kompetisi antar populasi hewan yaitu kambing dan sapi yang memakan rumput di wilayah yang sama atau harimau dan singa dalam berburu mangsa yang sama[4]. Contoh lain kompetisi suatu populasi adalah kompetisi antara mahasiswa dengan mahasiswa yang lain untuk memperoleh beasiswa, contoh tersebut adalah salah satu model matematika yang menggambarkan persaingan antar individu [1]

Berdasarkan pentingnya kajian model matematika dalam kajian ekologi, maka topik penelitian ini tentang Analisis Dinamik Model Kompetisi Dua Populasi.

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kestabilan dari titik kesetimbangan dari model kompetisi dua populasi, dengan melakukan simulasi dapat menggunakan Runge Kutta Fhelberg [5].

METODE PENELITIAN

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian kepustakaan dengan melakukan Analisis sumber pustaka yang menjadi bahan kajian dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Mengkaji literatur tentang model matematika

2. Membangun Model kompetisi dua Populasi dengan membuat asumsi-asumsi 3. Menganalisis titik kesetimbangan model kompetisi dari dua populasi

4. Analisis Kestabilan dari titik kesetimbangan model kompetisi dua populasi Langkah-langkah tersebut dapat dirinci dalam diagram alir berikut.

Gambar 1 Diagram alir analisis model kompetisi dua populasi Studi literature tentang Fenomena Nyata Model Kompetisi dua Populasi

Mulai

Membuat Model matematika Model Kompetisi dua Populasi

Menganalisis kestabilan dari Model Kompetisi dari dua populasi

Selesai

13 HASIL DAN PEMBAHASAN

Model kompetisi dua populasi merupakan suatu model matematika yang menggambarkan persaingan antar individu dalam satu populasi atau persaingan antara dua populasi untuk mendapatkan kebutuhan hidupnya, dengan mengasumsikan bahwa setiap populasi tumbuh secara logistic, maka model kompetisi dua populasi Lotka Volterra direpresentasikan dengan sistem persamaan diferensial biasa nonlinear autonomus berikut.

𝑑𝑀

𝑑𝑡 = 𝑟₁𝑀 (1 − 𝑀

𝐾₁− 𝛼 𝑁

𝐾₁) 𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 𝑟₂𝑁 (1 − 𝑁

𝐾₂− 𝛽𝑀

𝐾₂) (1)

Berikut keterangan variabel dan parameter pada model matematika:

Variabel dan parameter Keterangan

𝑟₁ Laju pertumbuhan Intrinsik 𝑟₁𝑀 Laju Kelahiran Populasi I 𝑟₁𝑀

𝑘₁

Laju kematian populasi I dipengaruhi 𝑘₁ karena adanya kompetisi dengan spesies yang sama 𝛼𝑟₁𝑀𝑁

𝑘₁

Laju kematian populasi I karena adanya kompetisi dengan spesies II

𝑟₂𝑁 Laju Kelahiran Populasi II 𝑟₂𝑁

𝑘₂

Laju kematian populasi II karena adanya kompetisi dengan spesies yang sama 𝛽𝑟₂𝑀𝑁

𝑘₂

Laju kematian populasi II karena adanya kompetisi dengan spesies Berbeda

Titik kesetimbangan pada persamaan (1) merupakan kondisi tidak terjadi perubahan atau populasi tidak terpengaruh oleh waktu, yakni ^𝑑𝑀

𝑑𝑡 = 0 dan ^𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 0 𝑟₁𝑀 (1 − 𝑀

𝐾₁− 𝛼 𝑁

𝐾₁) = 0 (2) diperoleh 𝑀 = 0 atau 1 − ^𝑀

𝐾1− 𝛼 ^𝑁

𝐾1 = 0 𝑟₂𝑁 (1 − 𝑁

𝐾₂− 𝛽 𝑀

𝐾₂) = 0 (3) Maka 𝑁 = 0 atau (1 − ^𝑁

𝐾₂− 𝛽 ^𝑀

𝐾₂) = 0

Berdasarkan persamaan (2) dan (3) maka diperoleh 4 kasus:

1. Titik kesetimbangan 𝐸₁= (0,0) yakni Ketika kedua populasi punah 2. Titik kesetimbangan 𝐸₂= (0, 𝑘₂), populasi pertama punah

3. Titik kesetimbangan 𝐸₃= (𝑘₁, 0), populasi kedua punah

4. Titik kesetimbangan 𝐸₃= (^{𝛼𝑘2−𝑘1}

𝛼𝛽−1 ,^{𝛽𝑘1−𝑘2}

𝛼𝛽−1 ), populasi kedua ada dengan syarat eksistensi ^{𝛼𝑘2−𝑘1}

𝛼𝛽−1 ≥ 0 dan ^{𝛽𝑘1−𝑘2}

𝛼𝛽−1 ≥ 0 Syarat Eksistensi ^{∝𝐾2−𝐾1}

𝛼𝛽−1 ≥ 0, jika 𝛼𝛽 > 1, maka ∝ 𝐾₂ > 𝐾₁ jika 𝛼𝛽 < 1, maka 𝐾₁ >∝ 𝐾₂

Kestabilan sistem tersebut dapat dicari dengan menggunakan matriks Jacobi berikut.

𝐽 = [

𝑟₁− 2 𝑟₁

𝐾₁𝑀 −𝑟₁ ∝ 𝑁 𝐾₁

−𝑟₁𝑀𝛼 𝐾₂

−𝑟₂𝛽𝑁

𝐾₂ 𝑟₂− 2 𝑟₂

𝐾₂𝑁 −𝑟₂ ∝ 𝑁 𝐾₂ ] a. Untuk titik 𝐸₁ = (0,0)

𝐽(0,0) = [𝑟₁ 0 0 𝑟₂]

λ₁= 𝑟₁ > 0

λ₂ = 𝑟₂ > 0 𝐸₁ Tak stabil b. 𝐸₂ = (𝐾₁, 0)

𝐽(𝐾₁, 0) = [

−𝑟₁ −𝑟₁ ∝ 0 𝑟₂(1 −𝛽𝐾₁

𝐾₂ )]

λ₁= −𝑟₁ > 0

λ₂ = 𝑟₂(1 −𝛽𝐾₁ 𝐾₂ )

Jika 𝐾₂ < 𝛽𝐾₁, maka 𝐸₃ Stabil Asimtotik 𝐾₂ > 𝛽𝐾₁, maka 𝐸₃ Tak stabil Pelana

c. 𝐸₂ = (0, 𝐾₂)

𝐽(0, 𝐾₂) = [

𝑟₁−𝑟₁ ∝ 𝐾₂

𝐾₁ 0

−𝑟₂𝛽𝐾₂

𝐾₂ 𝑟₂− 2𝑟₂

𝐾₂∙ 𝐾₂ 𝑟₂ 𝐾₂∙ 0

] = [𝑟₁(1 −^∝𝐾2

𝐾1) 0

−𝑟₂𝛽 𝑟₂− 2𝑟₂] = [𝑟₁(1 −^∝𝐾2

𝐾₁) 0

−𝑟₂𝛽 −𝑟₂]

15

λ₁= 𝑟₁(1 −∝ 𝐾₂ 𝐾₁ ) Jika 𝐾₁ < ∝ 𝐾₂ , λ₁ < 0 𝐾₁ >∝ 𝐾₂ , λ₁ < 0

λ₂ = −𝑟₂ < 0 , 𝐸₂ Stabil Asimtotik 𝐸₂ Tak Stabil Pelana

d. 𝐸₄ = (^{∝𝐾2−𝐾1}

𝛼𝛽−1 , ^{𝛽𝐾1−𝐾2}

𝛼𝛽−1 )

𝐽 = [

−𝑟₁𝑀 𝐾₁

−𝑟₁2𝑀 𝐾₂

−𝑟₂

𝐾₂ 𝛽𝑁 𝑟₂ 𝐾₂𝑁

] 𝐸₄ memenuhi persamaan 𝑟₁−^𝑟1𝑀

𝐾1 −∝ 𝑟₁^𝑀𝑁

𝐾1 = 0 dan 𝑟₂−^𝑟2𝑁

𝐾2 − 𝛽𝑟₂^𝑀𝑁

𝐾2 = 0

|𝐽 − 𝜆𝐼| = |[

−^𝑟1

𝑘₁𝑀 − 𝜆 −^𝑟1

𝑘₁𝛼𝑀

−^𝑟2

𝑘2𝛽𝑁 −^𝑟2

𝑘2𝑁 − 𝜆]

= (−^𝑟1

𝑘1𝑀 − 𝜆) (−^𝑟2

𝑘2𝑁 − 𝜆) − (^𝑟1

𝑘1𝛼𝑀 −^𝑟2

𝑘2𝛽𝑁)

= ^𝑟1𝑟2

𝑘1𝑘2𝑀𝑁 +^𝑟1𝑀

𝑘1 𝜆 −^𝑟2𝑁

𝑘2 𝜆 + 𝜆²+ ^𝑟1𝑟2

𝑘1𝑘2𝛼𝛽𝑀𝑁

= 𝜆²+ (^𝑟1𝑀

𝑘1 +^𝑟2𝑁

𝑘2) 𝜆 + ^𝑟1𝑟2

𝑘1𝑘2𝑀𝑁 + ^𝑟1𝑟2

𝑘1𝑘2𝛼𝛽𝑀𝑁

= 𝜆²+ (^𝑟1

𝑘₁𝑀 + ^𝑟2

𝑘₂𝑁) 𝜆 + ^𝑟1𝑟2

𝑘₁𝑘₂𝑀𝑁(1 + 𝛼𝛽) Jika 𝐷 > 0 𝜆₁, 𝜆₂ ∈ 𝑅

𝜆₁+ 𝜆₂ = − (^𝑟1

𝑘1𝑀 + ^𝑟2

𝑘2𝑁) < 0 𝜆₁. 𝜆₂ = ^𝑟1𝑟2

𝑘₁𝑘₂𝑀𝑁(1 + 𝛼𝛽) > 0

𝜆₁. 𝜆₂ < 0 𝐸₄ stabil asimtotik

Jika 𝐷 = 0 𝜆_1.2 = − (^𝑟1

𝑘1𝑀 + ^𝑟2

𝑘2𝑁) < 0 𝐸₄ stabil asimtotik Jika 𝐷 < 0 𝜆₁, 𝜆₂ ∈ 𝑅

𝜆_1.2 = −𝑏 ± √𝐷

= − (^𝑟1

𝑘₁𝑀 + ^𝑟2

𝑘₂𝑁) ± √𝐷 𝑖

𝛼 = − (^𝑟1

𝑘₁𝑀 + ^𝑟2

𝑘₂𝑁) < 0 𝐸₄ stabil asimtotik

Simulasi model kompetisi dua populasi dilakukan dengan mencoba beberapa kasus, yaitu:

1. Kasus 1 Jika 𝑘₂ < 𝛽𝑘₁

No U0 V0 r1 k1 r2 k2 alpha betta E4 Titik stabil

1 8 4 0.4 50 0.4 60 1 2 Eksis E2,E3,E4

2 4 8 0.4 50 0.4 60 1 2 Eksis E2,E3,E4

3 12 4 0.4 50 0.4 60 1 2 Eksis E2,E3,E4

4 4 12 0.4 50 0.4 60 1 2 Eksis E2,E3,E4

2. Kasus 2 Jika 𝑘₁ < 𝛼𝑘₂

No U0 V0 r1 k1 r2 k2 Alpha Betta E4 Titik stabil

1 4 12 0.4 50 0.5 60 1 2 Eksis E2

2 4 12 0.5 60 0.4 50 1 2 Tidak eksis E2

3 12 4 0.5 50 0.4 60 1 2 Tidak eksis E2

4 12 4 0.4 60 0.5 50 1 2 Tidak eksis E2

3. Kasus 3

Jika 𝑘₁ > 𝛼𝑘₂ dan 𝑘₂ > 𝛽𝑘₁

No U0 V0 r1 k1 r2 k2 alpha betta E4 Titik stabil

1 8 4 0.4 50 0.4 60 2 1 Eksis E2,E3,E4

2 4 8 0.4 60 0.4 50 2 1 Eksis E2,E3,E4

3 12 4 0.4 50 0.4 60 2 1 Eksis E2,E3,E4

4 4 12 0.4 60 0.4 50 2 1 Eksis E2,E3,E4

4. Kasus 4

Jika 𝑘₁ < 𝛼𝑘₂ dan 𝑘₂ < 𝛽𝑘₁

No U0 V0 r1 k1 r2 k2 alpha betta E4 Titik stabil

1 8 4 0.4 50 0.4 60 2 1 Eksis E2,E3,E4

2 4 8 0.4 60 0.4 50 2 1 Eksis E2,E3,E4

3 12 4 0.4 50 0.4 60 2 1 Eksis E2,E3,E4

4 4 12 0.4 60 0.4 50 2 1 Eksis E2,E3,E4

17

Hasil simulasi numerik model matematika kompetisi dua populasi berdasarkan keempat kasus disajikan pada gambar berikut.

Gambar 1. Simulasi dari table 1

Gambar 2. Simulasi dari table 2

Gambar 3. Simulasi dari table 3

Gambar 4. Simulasi dari table 4

19

Berdasarkan hasil simulasi dengan menggunakan metode (RKF) pada program matlab tersebut, maka diperoleh kestabilan pada table berikut.

Tabel 1. Kestabilan dari titik kesetimbangan

KESIMPULAN

Model matematika kompetisi dua populasi memiliki 4 titik kesetimbangan, dengan 4 tipe kestabilan, yaitu:

1. Jika 𝐸₂ Stabil asimtotik, maka 𝐸₄ tidak eksis jadi hanya ada 2 titik kesetimbangan yaitu 𝐸₁ dan 𝐸₂

2. Jika 𝐸₃ Stabil asimtotik, maka 𝐸₄ tidak eksis jadi hanya ada 2 titik kesetimbangan yaitu 𝐸₁ dan 𝐸₃

3. Jika 𝐸₂ tak stabil pelana, maka 𝐸₄ eksis dan S.A dan 𝐸₃ tak stabil pelana maka 𝐸₄ eksis dan stabil asimtotik

4. Jika 𝐸₂ Stabil asimtotik dan 𝐸₃ Stabil asimtotik, maka 𝐸₄ juga Stabil asimtotik

Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk pengembangan model matematika kompetisi dua populasi ini adalah dengan mengkaitkan dengan realita kehidupan atau pada kajian ekologi yang lebih spesifik.

DAFTAR RUJUKAN

[1] Toha, Syamsuddin. Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan Model Perilaku Jumlah Pelaku Narkoba dengan Faktor Rehabilitasi. Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi: Makassar

[2] Warsiki. Endang. pengantar uji stabilitas untuk model kompetisi antara dua populasi. Universitas Kristen Satya Wacana: Salatiga

[3] Kartono, (2012). Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika Fenomena Perubahan. Graha Ilmu:Yogyakarta

[4] Kuznetsov, Y.A. (1998). Element of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag: New York.

[5] Borreli & Coleman.(1996). Differential Equation Modelling Approach

No Titik Kesetimbangan Syarat Eksistensi Kestabilan Syarat Kestabilan

1 𝐸₁ = (0,0) - Tak stabil -

2 𝐸₂ = (𝑘₁, 0) - Stabil

asimtotik

𝑘₂ < 𝛽𝑘₁ Tak stabil

pelana

𝑘₂ > 𝛽𝑘₁

3 𝐸₃ = (0, 𝑘₂) - Stabil

asimtotik

𝑘₁ < 𝛼𝑘₂ Tak stabil

pelana

𝑘₁ > 𝛼𝑘₂ 4 𝐸₄ = (^{𝛼𝑘2−𝑘1}

𝛼𝛽−1 ,^{𝛽𝑘1−𝑘2}

𝛼𝛽−1 ) ^{−𝑘1+𝛼𝑘2}

𝛼𝛽−1 ≥ 0,^{𝑘2−𝛽𝑘1}

𝛼𝛽−1 > 0 Stabil asimtotik

𝑘₁ > 𝛼𝑘₂ dan 𝑘₂ > 𝛽𝑘₁ Stabil

asimtotik

𝑘₁ < 𝛼𝑘₂ dan 𝑘₂ < 𝛽𝑘₁