Pertemuan 14
MODEL
TRANSPORTASI
Pendahuluan
Model program linier yang mempunyai bentuk khusus yang umum digunakan dalam
masalah pengoptimalan suatu
pendistribusian, antara lain adalah:
Model Transportasi (Transportation)
Model Penugasan (Assignment).
Model Transportasi
Membahas masalah pendistribusian suatu
komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination, demand), dengan tujuan meminimumkan
biaya yang akan terjadi
Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah :
Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
Biaya yang dibutuhkan untuk memindahkan suatu komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.
Gambar Model Transportasi :
Xm1 , Cm1
Xm3 , Cm3
Xmn , Cmn 1
2
m
1
2
n 3 X11 , C11
X12 , C12
X13 , C13
X1n , C1n Xm2 , Cm2
SUMBER TUJUAN
Xm1 , Cm1
Xm3 , Cm3
Xmn , Cmn
1
2
m
1
2
n 3
X11 , C11
X12 , C12
X13 , C13
X1n , C1n
Xm2 , Cm2
SUMBER TUJUAN
Dari Gambar Model Transportasi berlaku :
Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai dengan i = 1,2,3,....,m
Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas bj dengan j = 1,2,3,....,n
Jumlah unit yang dikirim oleh sumber ke-i kepada tujuan ke-j adalah sebanyak X
ijdengan i = 1,2,3,....,m dan j = 1,2,3,....,n
Biaya pengiriman per unit dari sumber ke-i kepada tujuan ke-j adalah sebanyak C
ijdengan i = 1,2,3,....,m dan j = 1,2,3,....,n
Formulasi model transportasi adalah :
Fungsi tujuan : Min Z =
m i
n j
ij ij C X
1 `
.
Fungsi pembatas : n X ai i m
j
ij , 1,2,3...,
1
n j
b
X j
m i
ij , 1,2,3...,
1
Xij > 0 untuk seluruh i dan j
Keseimbangan Model Transportasi:
Hal ini diperlukan karena dalam persoalan transportasi akan diperoleh solusi feasible, jika terpenuhi jumlah total supply (sumber) sama dengan jumlah total demand (tujuan).
n
j m
i
bj ai
1 1
Suatu model transportasi dikatakan seimbang bila jumlah total supply (sumber) sama dengan jumlah total demand (tujuan), dituliskan :
Bila ketentuan tersebut tidak dipenuhi, maka model transportasi tersebut disebut sebagai model yang tidak seimbang.
Untuk menyelesaikan model transportasi dengan cara memasukkan variabel artificial, dimana bila jumlah demand melebihi supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply kekurangan tersebut.
Sebaliknya, bila jumlah supply melebihi demand, maka dibuat suatu tujuan dummy yang akan menyerap kelebihan tersebut.
Biaya per unit untuk sumber dummy ke seluruh tujuan adalah nol, karena pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi pengiriman ke seluruh tujuan.
Demikian juga untuk biaya per unit dari semua sumber ke tujuan dummy adalah nol.
Metode Pemecahan :
Menentukan solusi feasible awal
Metode yang dapat digunakan antara lain, yaitu :
Metode pojok kiri atas (Northwest Corner),
Metode biaya terkecil (Least Cost),
Metode pendekatan Vogel’s (Vogel’s Approximation Method atau VAM).
Menentukan solusi feasible optimal
Terdapat 2 metode yang biasa digunakan, yaitu :
Metode Stepping Stone,
Metode distribusi yang dimodifikasi (MODI = Modification Distribution).
Langkah-Langkah Metode pojok kiri atas (Northwest Corner) :
1. Alokasi sebanyak mungkin ke sel di pojok kiri atas, disesuaikan dengan batasan penawaran dan permintaan.
2. Alokasi sebanyak mungkin ke sel feasible berikutnya yang berdekatan.
3. Ulangi langkah 2 sampai semua kebutuhan telah dipenuhi.
Langkah-Langkah Metode biaya terkecil (Least Cost):
1. Alokasi sebanyak mungkin ke sel feasible dengan biaya transportasi minimum, dan sesuaikan dengan batasan penawaran dan permintaan.
2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel feasible yang mempunyai biaya minimum berikutnya.
3. Ulangi langkah 2 sampai semua kebutuhan telah dipenuhi.
Langkah-Langkah Metode VAM :
1. Tentukan biaya penalti untuk tiap baris dan kolom dengan cara mengurangkan biaya sel terendah pada baris atau kolom terhadap biaya sel terendah berikutnya pada baris atau kolom yang sama.
2. Pilih baris atau kolom dengan biaya penalti tertinggi.
3. Alokasi sebanyak mungkin ke sel feasible dengan biaya transportasi terendah pada baris atau kolom dengan biaya penalti tertinggi.
4. Ulangi langkah 1, 2, dan 3 sampai semua kebutuhan telah terpenuhi.
Langkah-langkah metode Stepping Stone :
1. Tentukan lintasan stepping stone dan perubahan biaya untuk setiap sel yang kosong dalam tabel.
2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya terbesar.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai semua sel kosong memiliki perubahan biaya positif yang mengindikasikan tercapainya solusi optimal.
Langkah-langkah metode MODI :
Tentukan solusi awal
Hitung nilai-nilai ui dan vj untuk tiap-tiap baris dan kolom dengan menerapkan rumus cij = ui + vj pada tiap sel yang terisi atau sel basis ( sel yang telah memiliki alokasi). Nilai ui dan vj dihitung dari selisih antara sel yang mempunyai biaya terkecil dengan biaya terkecil berikutnya pada tiap- tiap baris dan kolom.
Hitung perubahan biaya kij untuk setiap sel kosong dengan menggunakan rumus kij = cij – ui – vj
Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya terbesar (kij yang paling negatif). Alokasikan sesuai lintasan stepping stone untuk sel yang terpilih.
Ulangi langkah 2 sampai 4 sampai semua nilai kij positif atau nol.
Model Transportasi Tidak Seimbang :
Untuk menyelesaikan permasalahan model transportasi tidak seimbang adalah dengan menambahkan kolom / baris dummy
Penambahan kolom / baris dummy tidak akan mempengaruhi solusi awal maupun solusi
optimal pada metode transportasi.
Sel-sel pada kolom/baris dummy diperlakukan sama seperti sel yang lainnya. Sehingga
penyelesaiannya juga sama dengan tahap-tahap yang dilakukan pada model transportasi seimbang.
Khusus untuk penyelesaian awal dengan metode biaya sel minimum, maka akan terdapat sel-sel yang masing-masing mempunyai nilai biaya nol.
Dalam hal ini (atau kapan saja terdapat sel-sel yang bernilai seri/sama), maka salah satu sel dapat dipilih secara acak.
Degenerasi
Merupakan kondisi dimana jumlah kolom terisi (sel dengan alokasi) tidak sesuai
dengan rumus m + n -1
Kesulitan akan muncul pada saat dilakukan evaluasi untuk menentukan solusi optimal dengan menggunakan metode Stepping Stone maupun MODI, karena tidak akan bekerja dengan baik.
Untuk menyelesaikannya dipilih salah satu sel kosong artifisial dengan alokasi sebesar 0, yang diperlakukan seolah-olah sebagai sebuah sel yang berisi alokasi.
Penentuan sel artifisial nol ini dipilih secara acak, karena tidak terdapat aturan untuk mengalokasikan sel artifisial. Yang penting diperhatikan adalah
pemilihan sel artifisial nol tersebut harus menjamin terbentuknya suatu lintasan tertutup stepping stone.
Setelah penentuan sel artifisial nol ini, langkah
selanjutnya untuk menyelesaikan model transportasi sama dengan langkah-langkah yang telah dijelaskan sebelumnya.
Contoh :
Butiran gandum dipanen dan disimpan di tiga gudang penyimpanan 1, 2, dan 3. Kemudian butir- butir gandum tersebut dikirim ke penggilingan yang berlokasi di daerah lain yaitu A, B, dan C.
Setiap bulannya, jumlah butiran gandum yang tersedia di masing- gudang penyimpanan 1, 2, dan 3 adalah 150 ton, 175 ton, dan 275 ton.
Sedangkan jumlah butiran yang diminta per bulan oleh penggilingan A, B, dan C berturut-turt adalah 200 ton, 100 ton, dan 300 ton.
Biaya pengiriman satu ton masing gandum dari gudang penyimpanan ke penggilingan berbeda-beda menurut jarak dan sistem transportasi yang digunakan. Biaya-biaya tersebut dituliskan dalam tabel berikut :
Permasalahannya adalah berapa banyak ton gandum yang harus dikirim dari gudang penyimpanan ke tiap penggilingan setiap bulannya agar total biaya
transportasi minimum
Gudang (Sumber)
Penggilingan (Tujuan)
A B C
1 6 8 10
2 7 11 11
3 4 5 12
Gudang (Sumber) Penggilingan Tujuan Total (ton)
A B C
1 6 8 10 150
2 7 11 11 175
3 4 5 12 275
Total (Ton) 200 100 300
